Проект ученицы 9 класса Гончаровой Валерии на тему Теоремы Чевы и Менелая

Тема работы
«Теоремы Чевы и Менелая и их применение при решении задач»








Работу выполнила ученица 9 класса
Гончарова Валерия























Оглавление
Введение
Основная часть
1.Теорема Чевы
2.Применение Теоремы Чевы
3.Теорема Менелая и следствия из теоремы Менелая
4.Применение теоремы Менелая
Заключение

Список литературы

























Введение
Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширные как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться.
Е.Т. Белл.
Школьный курс планиметрии содержит не так много информации по геометрии конфигурации треугольников и окружностей. А тема эта очень интересна. Многие великие ученые, такие как Гаусс, Эйлер, Лейбниц, Чева, Симпсон занимались решением задач, связанных с комбинацией фигур треугольника и окружности. С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами, в некоторых странах их наделяли и наделяют магическим смыслом и не случайно. Казалось бы, каждая из них изучена досконально, вдоль и поперек, но вот они в паре. В сотрудничестве они подарили множество открытий миру математики и принесли всемирную известность К. Фейербаху и многим другим ученым. Нас заинтересовали такие интересные факты геометрии, как теоремы Чевы и Менелая. Они привлекают своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи, сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные факты. Изучая эти теоремы, мы увидели геометрию с новой, неожиданной стороны: красивые интересные задачи, новые факты.
Цель нашей работы – изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению геометрических задач.
Основная часть
1.Теорема Чевы
Джованни Чева итальянский математик. Родился в 1648 г. и умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении “О взаимопересекающихся прямых”. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Теорема, названная его именем – это классическая теорема геометрии треугольника.[5, c. 369]
Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры.
Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекутся в некоторой точке М (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный).
Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами.
Теорема Чевы. Пусть А1, В1, С1 –три точки, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или на их продолжениях. Для того, чтобы прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекались в одной точке или были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
рис.1
Доказательство. Необходимость. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М внутри треугольника АВС (рис. 1). Обозначим через S1,S2,S3 площади треугольников АМС, СМВ и АМВ, а через h1, h2 расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС (рис. 2).
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
рис.2
аналогично 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы.
Достаточность. Пусть точки A1, B1, C1 лежат на сторонах ВС, СА и АВ треугольника и выполнено соотношение (1), М точка пересечения отрезков AA1 и ВВ2, а отрезок СМ пересекает сторону АВ в точке Q. Тогда, по уже доказанному,
13 EMBED Equation.3 1415, так что 13 EMBED Equation.3 1415
Из леммы снова следует совпадение точек: Q==C1. Достаточность доказана.[2.c.3]
2. Теорема Менелая
Менелай Александрийский математик и астроном. Время его жизни и деятельности определяется приведенными в "Альмагесте" Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай Александрийский произвел в Риме в первом году царствования Траяна, т. е. в 98 г. после Рождества Христова. Менелаем были написаны два сочинения: "О вычислении хорд", в 6 книгах, и "Сферика", в 3 книгах. Главным предметом "Сферики" Менелая Александрийского служит сферическая тригонометрия. Из числа многих предложений, для нас впервые встречающихся в этом сочинении, самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств (regula sex quantitatum). Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. [5. c. 369]
Теорема Менелая: Пусть точки А1 и С1 лежат на сторонах ВС и АВ треугольника АВС (рис. 3), а точка В1 на продолжении стороны АС этого треугольника. Точки А1, В1, и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
рис.3
Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть точки А1, В1, С1 лежат на прямой l и АА0 = h1, ВВ0 = h2, СС0 = h3 перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l (см. рис. 3). Из подобия треугольников АА0C1 и BB0C1 получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, полу-
чаем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.
Достаточность. Пусть точки A1, В1, С1 (рис. 4), лежащие на прямых ВС, AC, AB, таковы, что
13 EMBED Equation.3 1415
Докажем, что точки А1 , В1, С1 лежат на одной прямой.
Проведем прямую А1В1 и докажем, что точка С ей принадлежит.
Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая А1В1 не параллельна прямой AB. Пусть Т точка пересечения прямых А1В1 и AB (см. рис. 4). Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
рис.4
Из условия и равенства (1) следует, что
13 EMBED Equation.3 1415.
Точки Т и С1 совпадают, то есть коллинеарны.
Теорема Чевы давала критерий инцидентности прямых, теорема Менелая дает критерий коллинеарности точек.[2. c. 6]
3. Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач
Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач.
Задача 1. Докажите: если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть А1 ,B1 и С1 точки касания вписанной окружности треугольника АВС (рис. 5). Для того чтобы доказать, что отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
13 EMBED Equation.3 1415 Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: BC1 = BA1 = x, CA1 = CB1 = y, AB1 = AC1 = z.
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

рис. 5
Задача 2.. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
рис. 6
Решение. По условию задачи МА = AC, NC =3BN. Пусть МА = АС = b, BN =k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2 / 3.
Задача 3. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. По условию NQ=LR , 13 EMBED Equation.3 1415Пусть NA = LR = а, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

рис.7
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Ответ: п / т.
Задача 4. Пусть AD медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Решение. Пусть AD = DC = a, KD = т; тогда АК = 3т. Пусть Р точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение 13 EMBED Equation.3 1415 Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то
13 EMBED Equation.3 1415
По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415

рис. 8
Ответ: 3/2.
Задача 5. Докажите теорему: высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть АH1, АH2, и АН3 высоты треугольника АВС со сторонами a,b и c.Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВH2, обозначив АН2= х , СН2=b – x.
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Приравнивая правые части полученных равенств, получаем
с2 - х2 = а2 - (b - х)2,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Итак,
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников ACH3 и BCH3 , BAH1 и CAH1 получим
13 EMBED Equation.3 1415
и
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
рис.9
Для доказательства теоремы достаточно показать , что 13 EMBED Equation.3 1415Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, BH1 , CH1, CH2 и AH2 через а, b и c убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется.
Теорема доказана.
Мы продолжаем работу над этой темой: сейчас мы исследуем следствия из теоремы Менелая: теорему Паппа, теорему Паскаля, теорему Дезарга, а также нас интересуют замечательные точки, такие как точка Лемуана, точки Жергонна и Нагеля, точка Ферма – Торичелли.

Заключение
Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.
Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.
Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику, помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С4 единого государственного экзамена.


Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7 – 9 класс. – М.: Просвещение, 2010.
2. И.С. Безверхняя, В.Н. Безверхний. Некоторые вопросы преподавания планиметрии в средней школе. – Тула. 1992 – 60 с.: ил.
3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Гос. уч. – пед. изд-во, М.: 1962 – 235 с.: ил.
4. Г.Коксетер, С.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978 – 286 с.: ил.
4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.911 классы. М.: Дрофа, 1996 – 243 с.
5. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Э68 Ред. коллегия: М. Аксенова, В. Володин и др. – М.: Аванта + 2005 – 688 с.: ил.





Рисунок 13Root Entry 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·j
·ч
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·j
·
·
·
·
·Equation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·j
·ч
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·j
·
·
·
·
·Equation NativeEquation NativeEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·j
·ч
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·j
·
·
·
·
·Equation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·j
·ч
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·j
·
·
·
·
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·S PG
·
·
·
·
·
·
·
·
·j
·ч
·
·
·я
·
·
·
·
·Ё
·
·
·
·a Ne
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·S Fa
·
·
·
·
·
·
·j
·
·
·
·
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·Equation NativeEquation Native