Исследовательская работа по математике Автоподобные фигуры, фракталы (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
города Ульяновска
«Средняя школа №31 имени Героев Свири»

Авто подобные фигуры или фракталы
Научно-исследовательская работа
Выполнили: Белянин Михаил ученик 10Б класса МБОУ СШ №31,
Сайфиев Тимур ученик 10 б класса МБОУ СШ №31
Степушин Дмитрий ученик 10 б класса
МБОУ СШ №31
Руководитель: Максимова Галина Леонидовна-учитель
математики МБОУ СШ №31 имени Героев Свири


Ульяновск 2016г
Содержание:
1.Введение.
2. Авто подобные фигуры. Фракталы. Определение. История возникновения.
2.1 Типы фракталов.
2.2.Геометрические фракталы.
3. Стохаластические фракталы.
4.Применение Фракталов. Фрактальная графика.
1. Введение
Автоподобные фигуры - это фигуры, части которых подобны целому. Автоподобные фигуры всё больше и больше привлекают внимание не только математиков, но и учёных других областей знаний.
Пропорциональность проявляется в подобном строении дерева и его ветвей, в формах снежинок, кристаллов, в сохранении одной клеткой живого организма всей информации о целом.
Авто подобие широко использовал в своих картинах известный голландский художник М. Эшер (1898 – 1972). Одна из его картин взята в качестве иллюстрации обложки учебника геометрии И.М. Смирновой, В.А. Смирнова для 7 -9 классов.
Данная тема сегодня очень актуальна, поскольку в современной математике развивается новый раздел – фрактальная геометрия. Фракталы успели занять полноправное место не только в математике, но и в других областях науки, а красивые рисунки, выполненные с помощью компьютерной графики, привлекают к ним даже людей, далёких от науки. Обнаруживается само подобие и в природе: например, в организме человека каждый нерв подобен другому, альвеолы лёгких подобны друг другу, клетки ткани также подобны одна другой . Авто подобные фигуры применяют и в технике.В своей работе мы собрали материал об авто подобных фигурах, фракталах рассказали об истории возникновения этих фигур, об основоположниках данного направления, научились изображать некоторые из них, провели исследовательскую деятельность относительно свойств таких фигур как: треугольная, четырёхугольная , круговая «Звезда Коха», «кривая Пеано», « кривая дракона». Но особый интерес вызывают стохаластические фракталы.
Основные цели и задачи работы:
-привлечь интерес к разделу математики, в котором изучаются авто подобные фигуры, фракталы,
- решая исследовательские задачи, познакомится с некоторыми свойствами фракталов,
- используя возможности компьютерных программ научиться строить данные фигуры,

- 1 –
1. Фракталы. Определение. История возникновения.
Существует несколько определений фрактала:
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный) — термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных множеств. В его работах использованы результаты других учёных, работавших в той же области (Пуанкаре, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).
Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа).
Фрактал - самоподобное множество нецелой размерности. Самоподобное множество - множество, представимое в виде объединения одинаковых непересекающихся подмножеств подобных исходному множеству.
Основные свойства фракталов:
Они имеют тонкую структуру, т. е. содержат произвольно малые масштабы.
Они слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.
Они имеют некоторую форму самоподобия, допуская приближённую.
Они имеют дробную размерность Хаусдорфа — Безиковича (HB).
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии . Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии . Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. Мандельброт (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам.. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.
- 2 -
Геометрия, которую мы изучаем в школе и которой пользуемся в повседневной жизни, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, лесные красавицы ели на какой-либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями. Почему же фракталы так красивы? Так сказочно, обворожительно, волнующе (какие еще есть эпитеты?) красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"
"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."
Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.
2.Типы фракталов
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
геометрические фракталы
алгебраические фракталы
системы итерируемых функций
стохастические фракталы
- 3 -
2.1 Геометрические фракталы
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем про стых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
«Веточка»
Однако существуют и самоподобные фигуры весьма причудливых очертаний. Так мы можем получить первые несколько стадий построения «веточки». Это простейшая самоподобная фигура, имеющая неограниченное число элементов.Она строится следующим образом. Исходный отрезок делят на три равные части, и из точек деления под углом 45° проводят отрезки, составляющие 1/3 длины исходного отрезка. Затем ту же процедуру повторяют по отношению к вновь построенным отрезкам и т. д.( приложение №1)«Звезда Кох»
Один из первых примеров автоподобных фигур был придуман в начале XX в. немецким математиком Хельгой фон Кох (1870-1924) и называется звезда Кох. Для ее построения берут равносторонний треугольник и последовательно добавляют к нему новые, подобные ему, треугольники. На первом шаге стороны правильного треугольника разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается правильный звездчатый шестиугольник. Стороны этого шестиугольника снова разбиваются на три равные части, и их середины заменяются на правильные треугольники. Повторяя этот процесс, получают все более сложные многоугольники, все более приближающиеся к предельному положению - звезде Кох. Выясним, какова длина кривой ограничивающей звезду Кох. Предположим, что сторона исходного, равностороннего треугольника равна единице и, следовательно, его периметр равен трем. На следующем шаге число сторон увеличивается в четыре раза, и длина каждой из них в три раза меньше исходной. Поэтому периметр правильного звездчатого шестиугольника будет равен 3* 4/3=4. Аналогично на каждом следующем шаге периметр многоугольника увеличивается в 4/3 раза, становясь все больше и больше. Вычислим площадь звезды Кох. Пусть площадь исходного правильного треугольника равна 1. На первом этапе мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами, в три раза меньшими исходных. Площадь каждого равна 1/9, следовательно, площадь звёздчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3. На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников суммарной площадью 12/81. Так как длины сторон на каждом шаге уменьшается в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Тогда площадь звезды Кох представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. S= 1+3/5=8/5
- 4 -
Ещё один вариант звезды Кох можно построить из квадратов последовательным добавлением к исходному подобных ему квадратов. По аналогии с предыдущим построением на первом шаге стороны квадрата разбиваются на три части и их середины эаменяются квадратами, подобными исходному. Повторяя этот процесс можно получать более сложные многоугольники, всё более приближающиеся к искомой фигуре.
Фигуры Кох можно построить из окружностей.
Ещё один пример кривой ,получающийся последовательным приближением подобными многоугольниками, был получен Джузеппе Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для её построения разобьём данный квадрат на четыре равные квадраты и соединим их центры тремя отрезками. Уберём внутренние стороны квадратов и из четырёх их копий составим фигуру, изображённую на рис. Снова уберём внутренние стороны квадратов и соединим тремя отрезками концы ломаных, как показано на рис. Повторив описанную процедуру, будем получать сложные ломаные, всё более приближающиеся к кривой Пеано. Ломаные, участвовавшие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются , стягиваясь к точкам исходного квадрата, то есть она будет полностью заполнять весь исходный квадрат. Кривая будет иметь бесконечную длину.
Драконова ломаная
114301790065Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. По другому драконовую ломаную называют «кривой дракона», придуманная Э.Хейуэем. Для ее построения возьмем отрезок. Повернем его на 90° вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим угол из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем угол на 90° вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной. Повторяя описанную процедуру и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные ломаные, напоминающие дракона.

1085219483873Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:
- 5 -
27178061341000
3.Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.
Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста, фотореалистичные горы готовы.
- 6 -
4.Применение
Естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии.
Радиотехника
Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.
Информатика
Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.
Выводы:
Первый раз услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое? С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии,  географии, биологии, механике и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любой поисковой системе, то придем к мысли, что Рунет  создавался для фракталов.
Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение. У большинства веб-дизайнеров, программистов есть собственная галерея фракталов(необычайно красивы).


- 7-
По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными «сухими» цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном.
Своей проектной работой мы хотели рассказать о довольном новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются. Мы очень надемся, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они есть почти на каждом шагу.
 
 Список литературы
http://ru.wikipedia.org/wikihttp://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xmlhttp://fractals.narod.ru/http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htmБондаренко В.А.,Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану. // Автоматика и телемеханика.-1994.-N5.-с.12-20.
Ватолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995.-N15.-с.11.
Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с. (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)
Application of fractals and chaos. 1993, Springer-Verlag, Berlin.
 
 Приложения
 
 
 
 
-8 -