Исследовательская работа по математике на тему «Фракталы- частички хаоса геометрии будущего»

Государственное областное бюджетное
профессиональное образовательное учреждение
«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Научно-практическая конференция
«Первые шаги в науку»
Исследовательская работа
на тему
«Фракталы- частички хаоса геометрии будущего»
Выполнил:
Фадееа Роман
студент группы 2015-10
Бирюков Илья
студент группы 2015-4 Научный руководитель:
Клещина Наталья Вячеславовна, преподаватель математики
Липецк, 2016
Содержание
Введение
1. Раздел математики - геометрия
2. Название геометрических фигур в фамилиях
3. Природные творения в виде геометрических фигур
4. Геометрия в быту
5.Геометрия в архитектуре
6.Геометрия в живописи
7.Геометрия и фигурная плазменная резка металла
Литература
Введение.
До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников. Однако, этот набор, как не сложно заметить, трудно применим для описания сложных объектов, таких как, турбулентный поток жидкости, пористые материалы, форма облаков, кровеносно-сосудистая система, крона дерева и т.д.
Поэтому необходимы были новые геометрические понятия и методы для описания этих объектов. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.
Что скрывается за таинственным понятием «фрактал»? Наверное, для многих этот термин ассоциируется с красивыми изображениями, замысловатыми узорами и яркими образами, созданными с помощью компьютерной графики. Но фракталы – это непросто красивые картинки. Это особые структуры, которые лежат в основе всего, что нас окружает. Ворвавшись в научный мир всего несколько десятилетий назад, фракталы успели произвести настоящую революцию в восприятии окружающей действительности. Используя фракталы, человек может создавать высокоточные математические модели природных объектов, систем, процессов и явлений.
Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Я лично, определил бы фракталы, как частички хаоса. Фракталы проявляют хаотическое поведение, благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри фрактала. При изучении математического хаоса и фракталов — открываются возможности предсказать закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими. Так что, в конце концов, может быть, весь мир вокруг нас фрактален!
В данной работе на основе сравнительного анализа собранных данных приведены доказательства, что фракталы частички математического хаоса в фрактальной геометрии будущего, которая пронизывает практически все сферы человеческой деятельности и окружающего мира. С фракталами связаны неразрывно наши представления о красоте и гармонии, о безупречной логической структуре.
Нами выбраны:
-объект исследования: раздел математики-геометрия;
-предмет исследования: фрактал
Цель исследования: на основе сравнительного анализа собранных данных доказать, что мир вокруг нас фрактален.
Задачи исследования:
1. Изучить вопросы:
•что такое фрактал;
•основные понятия, используемые при доказательстве.
2. Собрать и изучить информацию о классификации фракталов.
3. Привести доказательство на примере металлических, бумажных изделий и эскизов в компьютерной графики.Методы исследования:
-поисковый;
-аналитический;
-практический.
Место исследования: исследование осуществлялось с января по апрель 2016 года в Липецком политехническом техникуме и сварочной мастерской ЧП «Эксергия» Татанкова В.В..
Для получения информации мы воспользовались сетью Интернет, металлическими листами Ст-3 толщина от 1 до 10 мм, станком лазерной резки FS 4020, сварочным оборудованием постоянного тока, металлическими прутками, сборочно-сварочным приспособлениями, бумажными шаблонами, программами NestMaster, Microsoft Excel, Photoshop online express.
1. Понятие фрактала.
Так что же такое фрактал? Парадоксально, но общепринятого точного определения этого понятия не существует. Сам термин ''фрактал'' происходит от латинского слова fractus (сломанный, разбитый), от которого происходят и термины fraction, fractional - дробь, дробный. С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество с дробной размерностью. Фрактал по первому определению Мандельброта - это множество, хаусдорфова размерность которого превосходит его топологическую размерность. По второму определению фрактал это геометрическая структура, части фрагменты которой в какой-то мере подобны cамой структуре. Можно также сказать, что математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации материи в природе. В основе этого понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные объекты самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их в микроскоп с любым увеличением.
Однако по любому из предложенных определений невозможно представить. что такое фрактал. Это тот случай, когда рассмотрение понятия лучше начинать не с его определения, а с рассмотрения конкретных примеров. Позднее можно вернуться к определению.
Мы знаем, что линия имеет одно измерение, поверхность двумерна, а пространственная фигура трехмерна. Фрактал же - это не линия и не поверхность, а, если так можно выразиться, что-то среднее. Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размеров возрастает ''объем'' фрактала, но его размерность - величина не целая, а дробная. Поэтому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или масштабным самоподобием, скейлингом (от англ. scaling). Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур. Жидкость, газ, твердое тело - три привычных для нас состояния однородного вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность облака или клуба дыма, точнее их границ, размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Аналогичным образом можно подсчитать реальных объектов, вроде береговой линии или кроны дерева. Кровеносная система человека, например, имеет размерность порядка 2,7. Все объекты с нечеткой, неупорядоченной, хаотичной, изломанной структурой оказались фракталами или состоящими из фракталов.
Слово “Фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные картинки фракталов сегодня можно найти везде: от открыток до футболок.
Итак, что это за цветные формы, которые мы видим повсюду вокруг? Говоря простым языком, фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах. Отсюда следует принцип самоподобия. Все фракталы подобны самим себе, то есть они похожи на всех уровнях. Существует много типов фракталов.
Однако фракталы — не просто сложные фигуры, сгенерированные компьютерами. Все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом. Теоретически, можно сказать, что все что существует в реальном мире является фракталом, будь то облако или маленькая молекула кислорода.
Фрактал - значит "состоящие из фрагментов". Их разработке мы обязаны такому выдающемуся математику, как Мандельброт, разработавшему в 1975 году методику фрактальных вычислений, графическая реализация которых стала возможна только на современных моделях персональных компьютеров. Здесь приведен один из узоров полученных при работе . Конечно, по этой небольшой серой репродукции трудно представить себе всю красоту исходных полноэкранных цветных узоров (рис.1)
Но даже его достаточно, чтобы почувствовать то необъятное разнообразие, которое может быть получено с помощью фракталов. К тому же один и тот же сюжет можно представить совершенно разными способами. Полученные фракталы можно изменять в масштабе, увеличивать или уменьшать детальность изображения, прокручивать в вертикальном и горизонтальном направлениях. Здесь кроме симметричных изображений можно получать и иррегулярные структуры. Большие возможности соответственно требуют и большого количества времени для их изучения. Наряду с целевым продвижением здесь есть и элемент случайности. Случайность приводит к неожиданным открытиям.
Фракталы, или множества Мандельброта, широко внедряются и в Интернете, где они вычисляются в режиме on-line.
Чтобы представить себе фрактал понаглядней, рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки, мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровов, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.
Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Я лично, определила бы фракталы, как частички хаоса. Фракталы проявляют хаотическое поведение, благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри фрактала. Например, посмотрите на дерево, затем выберите определенную ветку и изучите ее поближе. Теперь выберите связку из нескольких листьев. Для ученых, занимающихся фракталами (которых иногда называют хаологами), все эти три объекта представляются идентичными.
Слово хаос наводит большинство людей на мысли о чем-то беспорядочном и непредсказуемом. На самом деле, это не совсем так. Итак, насколько хаотичен хаос? Ответ таков, что хаос, в действительности, достаточно упорядочен и подчиняется определенным законам. Проблема состоит в том, что отыскание этих законов может быть очень сложным. Цель изучения хаоса и фракталов — предсказать закономерность в системах, которые могут казаться непредсказуемыми и абсолютно хаотическими.
Система — это набор вещей, или область изучения, причем некоторые из обычных систем, которые хаологи любят изучать включают облачные образования, погода, движение водных потоков, миграции животных, и множество других аспектов из жизни матери природы. Так что, в конце концов, может быть, весь мир вокруг нас фрактален!
Среди множества необычных объектов, построенных математиками в конце XIX - начале XX века при пересмотре оснований математики, многие оказались фракталами, то есть объектами с дробной, или фрактальной, размерностью Хаусдорфа - Безиковича. Все они очень красивы и часто носят поэтические названия: канторовская пыль, кривая Пеано, снежинка фон Коха, ковер Серпинского и т. д. И все они обладают одним очень важным свойством, которое роднит их с самой обыкновенной прямой. Это свойство называется самоподобием: все эти фигуры подобны любому своему фрагменту.
Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок "настоящей" геометрической прямой, "длины без ширины", как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента: прямая во всех своих частях устроена одинаково, подобна самой себе, но это ее замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, ее "прямолинейностью".
Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами - самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны.
Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.
Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.
Даже простейшие из фракталов - геометрически самоподобные фракталы - обладают непривычными свойствами.


2.Классификация фракталов
Как и все в науке, фракталы принято делить на классы или виды. Каждый вид имеет свое особое происхождение.
Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические (см. таблицу).
8559802159000
Теперь подробнее остановимся на каждом пункте.
2.1 Геометрические фракталы
Именно с них началась история фракталов. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, т.к. сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают т.н. жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие другие.
Особое применение геометрические фракталы находят в машинной графике: они используются, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы (искусственные облака, горы, поверхность моря изображений деревьев, кустов, береговой линии и т.п.). Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур.
Конструктивные фракталы строятся с помощью рекурсивных процедур, систем итерированных функций, L-систем, и др.
1.1.Фрактал Серпинского
Не перепутайте этот фрактал с решеткой Серпинского. Это два абсолютно разных объекта. В этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. При каждой итерации, добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. Поэтому его фрактальная размерность ln9/ln3 = 2.0
1.2. Кривая Коха
Кривая Коха один из самых типичных геометрических фракталов. Она была изобретена в девятнадцатом веке(1904г) немецким математиком по имени Хельге фон Кох, который, изучая работы Георга Контора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых странных кривых с необычным поведением. Инициатор — прямая линия. Генератор — равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова. В своем исследовании, Мандельброт много экспериментировал с кривыми Коха, и получил фигуры такие как Острова Коха, Кресты Коха, Снежинки Коха и даже трехмерные представления кривой Коха, используя тетраэдр и прибавляя меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани. Кривая Коха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507
Кривая Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной, т. е. нигде не дифференцируема, хотя всюду непрерывна.
Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.
1.3. Крест Коха
Крест Коха — это один из вариантов кривой Коха, изобретенный Мандельбротом. Вместо отрезка прямой, он использовал в качестве инициатора квадрат или прямоугольник. Так как в этом фрактале использован та же самая идея что и в оригинальной кривой Коха, его фрактальная размерность такая же: ln4/ln3 = 1.261859507.
1.4.Фрактал Мандельброта
Это НЕ множество Мандельброта, которое можно достаточно часто видеть. Множество Мандельброта основано на нелинейных уравнениях и является комплексным фракталом. Это тоже вариант кривой Коха несмотря на то, что этот объект не похож на нее. Инициатор и генератор так же отличны от использованных для создания фракталов, основанных на принципе кривой Коха, но идея остается той же. Вместо того, чтобы присоединять равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоединяются к квадрату. Благодаря тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5
1.5. Фракталы Звезда и Снежинка
Оба эти объекта не являются классическими фракталами и они не были изобретены Мандельбротом или кем-либо из известных математиков. Я просто создал эти фракталы из интереса и чтобы поэкспериментировать в программировании. И инициатор и генератор здесь фигура, сформированная соединением средних точек сторон со средними точками противолежащих сторон в правильном шестиугольнике. Более того, я могу только подозревать о размерности этих фракталов.
1.6.Фрактал Лабиринт
Этот фрактал еще иногда называют H-деревом. И инициатор и генератор имеют вид буквы H. На приведенном здесь примере сама H не закрашена. Вместо этого заполнены области вне фрактала, что облегчает восприятие рисунка и шаблона. Фрактальная размерность этого конкретно фрактала весьма интересна. Так как толщина H в процессе итераций уменьшается, размерность кончиков буквы H точно 2.0, но элементы между кончиками имеют другую размерность, меняющуюся от 1.3333 до 1.6667.
1.7. Пятиугольник Дарера Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции (1.618033989 или 1/(2cos72)) в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.
Мы исследовали геометрический фрактал:
-треугольник и круг Серпинского. Эскизы разработан нами в программе NestMaster. В сварочной мастерской ЧП «Эксергия» Татанкова В.В., на станке лазерной резки FS4020, из низкоуглеродистой стали 1 м. По эскизам выполнялась резка фракталов. Лазером можно выполнять точные, аккуратные разрезы металлических заготовок небольшой толщины.
4088130-965200028803606477000-1073151016000
-геометрический фрактал был изготовлен в мастерских ЛПТ на сварочном аппарате постоянного тока из низкоуглеродистой стали 10мм, методом поверхностного наплавления;
-фрактал додекаэдр из бумаги с звездами на каждой грани (изготовлен по шаблону фигур)
2.2 Алгебраические фракталы
Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Алгебраические фракталы могут быть линейными и нелинейными. Линейные фракталы - это фракталы, определяемые линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. Значительно богаче и разнообразнее нелинейные фракталы - это фракталы, определяемые нелинейными функциями. Примером алгебраических фракталов  является Множество Мандельброта. Для его построения необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается a+bi. Действительная часть a, а bi - мнимая часть. i - называют мнимой единицей. (Если возвести i в квадрат, то получим -1).
Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х - это действительная часть a, а Y - это коэффициент при мнимой части b.
Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C. Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняется некоторое (достаточно большое) количество раз вычисление функции Zn+1=Zn*Zn+C. Если Zn значение больше 2, то изображается точка цветом равным номеру итерации, на которой абсолютное значение превысило 2, иначе изображается точка черного цвета. Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Границы множества являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо хаотично. Всего лишь элементарное уравнение, запущенное по фрактальному принципу – может дать невероятно сложные формы, потрясающие воображение. Их можно изменить, всего лишь подкорректировав базовое уравнение – в таком случае, по подобию малой части, вся сложная структура глобально изменится.
Мы исследовали алгебраический фрактал. Эскизы разработаны нами в программе Photoshop online express NestMaster.
22809208267700084963082740500107958274050023780752362200014954252362200078549523622000023558500
В мастерских ЛПТ на сварочном аппарате постоянного тока и сборочно-сварочного приспособления мы изготовили этот алгебраический фрактал из металлических прутков 4 мм.2.3 Стохастические фракталы
Третья большая группа фракталом-стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма» . Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря – получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста, фотореалистичные горы готовы!

Мы исследовали стахостический фрактал в кабинете информатики и информационных технологи №45. Представлю  алгоритм,  который  я  составил, для  построения  в  программе  «Microsoft  Excel»  фракталов  Мандельброта  «пылающее  солнце»  и  «спиральная  галактика».  На  практике  для  достижения  приемлемой  точности  достаточно  100  итераций.
Алгоритм  построения  в  программе  “Microsoft  Excel” 
фрактала  Мандельброта  «пылающее  солнце»  (для  100  итераций)
1.Записать  в  ячейку  А1  переменную  Xn2.Записать  в  ячейку  В1  переменную  Yn.
3.Записать  в  ячейку  D1  параметр  р.
4.Записать  в  ячейку  E1  параметр  q.
5.Записать  в  ячейку  G1  переменную  Xn+1.
6.Записать  в  ячейку  H1  переменную  Yn+1.  7.Ввести  в  ячейку  А2  значение  0.
8.Ввести  в  ячейку  В2  значение  0.
9.Ввести  в  ячейку  А3  формулу  =G2. 
10.Ввести  в  ячейку  В3  формулу  =H2.
11.Ввести  в  ячейку  D2  значение  -0,5219.  

12.Ввести  в  ячейку  E2  значение  0,4999.
13.Ввести  в  ячейку  G2  формулу  =A2^2-B2^2+$D$2
14.Ввести  в  ячейку  H2  формулу  =2*A2*B2+$E$2
15.Растянуть  ячейку  А3  за  правый  нижний  уголок  до  A101.
16.Растянуть  ячейку  В3  за  правый  нижний  уголок  до  B101.
17.Растянуть  ячейку  G2  за  правый  нижний  уголок  до  G101.
18.Растянуть  ячейку  H2  за  правый  нижний  уголок  до  H101.
19.Выделить  область  значений  от  G2  до  H101.
20.Для  построения  фигуры  сделать  следующее:
Вставка->Диаграммы->Точечная->Точечная  с  гладкими  кривыми
 
3.Применение фракталов
Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:
1. КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение).
2. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.
Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.
3. ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.
4.ФИЗИКА ПОВЕРХНОСТЕЙ
Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
5.МЕДИЦИНА
1Биосенсорные взаимодействия
2 Биения сердца
3 Беспорядочная жизнь.
6 БИОЛОГИЯ
Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.
120552996740022658313876600

7 Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.
8 Экономики
Последнее время фракталы стали популярны у «трейдеров» для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.
9 Физика и другие естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
10 Литература
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)
В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна
венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений) «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»)
Заключение
Мир фракталов — это удивительный, огромный и многообразный мир. Он очаровывает, покоряет, однако иногда в нем трудно разобраться. Первый раз услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое?
С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории.
Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение. У большинства веб-дизайнеров, программистов есть собственная галерея фракталов(необычайно красивы).
По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными «сухими» цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном.
Своей проектной работой я хотела рассказать о довольно новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются. Я очень надеюсь, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они есть почти на каждом шагу.
Будем надеяться, что появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания и осознания мира. Возможно, мои дети будут также легко и осмысленно оперировать понятиями фракталов и нелинейной динамики, как мы оперируем понятиями классической физики, только вот жить в это время прекрасное...
Мир фракталов — это удивительный, огромный и многообразный мир. Он очаровывает, покоряет, однако иногда в нем трудно разобраться. Фрактальные рисунки — это пик вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Недавно геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур, таких как прямые, треугольники, окружности, сферы, многогранники. Но с помощью набора этих известных фигур нелегко описать более сложные природные объекты, например, пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев. Новые компьютерные средства, без которых не может обойтись современная наука, выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Когда изучаешь фракталы, понимаешь, что весьма затруднительно провести грань между математикой и информатикой, потому что они тесно переплелись, стремясь открыть неповторимые, уникальные модели. Фракталы приближают нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений. Поэтому тема фракталов меня заинтересовала.