Урок по математике на тему Решение уравнений, содержащих абсолютную величину (8 класс)

Тема урока : « Решение уравнений, содержащих абсолютную величину»
Цели: В ходе выполнения упражнений закрепить знания определения модуля, свойств модуля, тождества √х²=|х|, правила построения графиков функций, содержащих абсолютную величину. Показать различные способы решения уравнений с модулями.
Ход урока:
Актуализация опорных знаний.
На экран проецируем ЛСМ «Модуль действительного числа»
Вычислить (устно)
|6|, |-2|, |-2,56|, |22-1|, 52, |32-5|, |13 - 12|, (-6)4Упростить выражение (решаем на доске и в тетрадях)
а) √у⁶, где у ≥0, б) √х⁶, где х<0, в) √м⁴, г) ⅓√с⁸, д) 15√0,16с⁶
Решение: а) √у⁶=√(у3)2=|у3|=у3;
б) √х⁶=√(х3)2=|х3|=-х3;Место для формулы. в) √м⁴=√(м²)²=|м²|=м²;
г) ⅓√с⁸=⅓√(с⁴)²=⅓|с⁴|=⅓с⁴;
д) 15√0,16с⁶=6√(с3)2=6|с3|; 6|с3|=6с3, где с≥0; 6|с3|=-6с3, где с<0;
3) Построить графики функций на доске и в тетради. (см. К-4)
Построить графики в разных системах координат для дальнейшего использования
при графическом способе решения уравнений. За единичный отрезок взять 2 клетки.
1928495302895 а) у=|х|, б) у=|х+2| в) у=|х|+2
3886200114935228600106680
(В тетрадях оставить место для записи решения уравнений.)
Работа по теме.
Заполняем координату К-6: «Способы решения уравнений»
1 способ: С использованием геометрической интерпретации (Г.П.)
2 способ: По определению абсолютной величины (А.В.)
3 способ: Графический метод (Граф.)
Есть и другие способы, которые рассмотрим позже.
Рассмотрим первый способ.
а) Решим уравнение |х+4|=2. (объясняет учитель)
Решение: Найдем точки, удаленные от -4 ровно на два единичных отрезка.
-2 +2

-6 -4 -2 0 1 Х
х=-4-2 или х=-4+2
х=-6 или х=-2.
Ответ: -6; -2.
б) Решить № 1122 (а,б) с комментированием на месте.
|х-1|=2 -2 +2

-1 0 1 3 Х
Ответ: -1;3.
|х+5|=4 -4 +4

-9 -5 -1 0 1 х
Ответ: -9;-1.
в) Решить уравнение на доске и в тетрадях. Учитель помогает при необходимости.
|2х-6|=8
Решение: |2х-6|=8 |:2
|х-3|=4 -4 +4

-1 0 1 3 7 х
Ответ:-1;7.
|4х+8|=16 Ответ: -6;2.
г) Решить уравнение: |х+3|²-5|х+3|+6=0 (Объясняет учитель, привлекая учащихся)
Решение: Воспользуемся свойством: |а|²=|а²|=а² (см. К-3)
Пусть |х+3|=t, тогда получим уравнение:
t²-5t+6=0,
Найдем t: t=3 или t=2, Выполним обратную замену:
|х+3|=3 или|х+3|=2
Далее решаем каждое из полученных уравнений, используя способ геометрической
интерпретации.
-3 +3 -2 +2

-6 -3 0 1 Х -5 -3 -1 0 1 Х
Ответ: -6;-5;-1;0.
3)Рассмотрим второй способ по определению абсолютной величины. ( см. К-2)
а) Решить уравнение: |2х+3|=6-5х. (Объясняет учитель)
Решение: 2х+3≥0, х≥-1,5, х≥-1,5,
|2х+3|=6-5х ↔ 2х+3=6-5х; ↔ 7х=3; ↔ х=3/7;
2х+3<0, х<-1,5, х<-1,5
-2х-3=6-5х. 3х=9 х=3.

Решением первой системы является число 3/7, вторая система не имеет решений.
Ответ: 3/7.
б) Решить № 1135 (а) на доске и в тетрадях х²+5х-6|х|/х=0

Решение: х>0, х>0, х=1,
х²+5х-6|х|/х=0 ↔ х²+5х-6=0; ↔ х=-6, х=1 ↔ х=-2,
х<0, х<0, х=-3.
х²+5х+6=0. х=-2, х=-3
Ответ: -3;-2;1.
в) Решить № 1135 (в). Учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой.
Решение: х>0, х>0,
х²+5х²/|х| -6=0 ↔ х²+5х-6=0; ↔ х=-6, ↔ х=1,
х<0, х=1 х=-1.
х²-5х-6=0. х<0,
х=6,
Ответ:-1;1. х=-1
4) Рассмотрим третий способ – графический.
а) Решить уравнение: |х|=(х+1)²-1. Объясняет учитель с привлечением учащихся.
Решение: Воспользуемся ранее построенным графиком функции у=|х|. (см. рис. 1а)
В этой же системе координат построим график функции у=(х+1)²-1. Квадратичная функция, график – парабола. Введем новую систему координат с началом в точке (-1;-1); пунктирные прямые: х=-1, у=-1. В новой системе координат построим график функции у=х². Это и есть требуемый график у=(х+1)²-1.
22860106680
Найдем абсциссы точек пересечения графиков: х=-3, х=0.
Это и есть корни уравнения: |х|=(х+1)²-1.
Ответ: -3;0.
б) Решить уравнение: |х+2|=|4/х| . ( на доске и в тетрадях)
Решение: Воспользуемся ранее построенным графиком функции у=|х+2|. ( см. рис. 1б)
В этой же системе координат построим график функции у=|4/х|.
График - гипербола, ветви которой расположены в 1 и2 координатных углах.
- В скольких точках пересекаются графики?
-Значит, сколько решений имеет уравнение?
86995-454660
-Графики пересекаются в двух точках, но с «плохими» координатами. В подобных случаях говорят о приближенном решении уравнения и пишут так:
Ответ: х≈-3,2; х≈1,2.
в) Решить уравнение: |х|+2=х-1. (на доске и в тетрадях)
Решение: Воспользуемся ранее построенным графиком функции у=|х|+2 (см. рис. 1в)
В этой же системе координат построим график функции у=х-1. Для построения графика этой функции возьмем вспомогательную систему координат с началом в точке (0;-1), пунктирная прямая у=-1. Построим в ней график функции у=х. Это и будет требуемый график у=х-1.
161290155575
-Пересекаются ли графики функций у=|х|+2 и у=х-1?
- Значит, уравнение |х|+2=х -1 не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Г) Решим данное уравнение аналитическим способом. Вызвать к доске сильного ученика, обсуждение – коллективное.
|х|+2=√х-1.
- Как называется уравнение такого вида?
-Какова область допустимых значений? (х≥0)
Решение: х+2=х-1;
х+2+1=х;
х+3=х, ( возведем обе части уравнения в квадрат)
(х+3)²=(х)²;
х²+6х+9=х;
х²+5х+9=0;
Д=25-36<0.
Значит, данное уравнение не имеет корней.
-В чем вы видите недостаток и в чем преимущество графического способа решения уравнений? ( Недостаток: координаты точек пересечения могут быть «плохие» числа , значит корни уравнения – приближенные числа. Преимущество: наглядность и рациональное решение.)3. Закрепление изученного материала.
1) Выполнить самостоятельную работу.
Решить уравнения:
№ Вариант1Ответы № Вариант 2 Ответы
1 |х-1,5|=0,5 1;2 1 |х-5|=4 1;9
2 |2х-4|=4 0;4 2 |2х-7|=5 1,6
3 |3-1,5х|=-2,5 Нет корн. 3 |0,2х-1|=0,2 6;4
4 |х²-6х+9|=0 3 4 |х²+4х+4|=0 -2
5 х3+4|х|=0 -2;0 5 25|х|+х3=0 -5;0
2) Проверим результаты. Решить на доске уравнения, вызвавшие затруднения.
Критерий оценок: 5+ - «5», 4+ - «4», 3+,2+ - «3».
3)Выполнить задание:
- Запишите число, составленное из корней первого и второго уравнения из варианта 1 и первого уравнения из варианта 2, записав каждую пару корней в порядке возрастания. Припишите корни второго уравнения из варианта 2, записав эту пару в порядке убывания.
12041961
- Расставьте точки так, чтобы получилась дата, имеющая мировое значение для всего человечества. 12.04.1961 - первый полет человека в космос.
Далее провести небольшую беседу о дне космонавтики и о первом космонавте Земли - Юрии Алексеевиче Гагарине.
4.Итог урока.
Перечислите способы решений уравнений с модулями. Приведите свои примеры уравнений, содержащих абсолютную величину.
5.Домашнее задание.
П. 29, № 1123, 1126, 1137(а,г), 1135(б,г) для сильных.
Учебник «Алгебра-8», автор А.Г. Мордкович.