Эволюция функциональных представлений на примере логарифмической функции КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Эволюция функциональных представлений на примере логарифмической функции
КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Введение
Тема квалификационной работы - «Эволюция функциональных представлений на примере логарифмической функции».
Исторически логарифм-число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.
Логарифмическая функция изучается в курсе математического анализа и теории функций комплексного переменного, а также в школьном курсе математики.
Объект исследования – логарифмическая функция.
Предмет исследования – эволюция функциональных представлений логарифмической функции.
Целью данной работы является:
а) рассмотреть различные подходы к введению логарифмической функции её свойства;
б) дать ясное и согласное с фактами изложение истории возникновения и развития учения о логарифмах
в) привести систему задач и упражнений различного уровня сложности.
Задачи: 1) систематизировать знания о истории логарифмов;
2) изучить периоды развития функции;
3) сопоставить периоды развития логарифмов с соответствующими периодами развития функции
4)привести и сравнить определение логарифмов как показатели степени, интегральное определение и свойства.
5)сравнить историческое и современное определение логарифмов.
6) познакомиться с историко-генетическим методом;
7) изучить возможность введения логарифма в школьном курсе математики как площади под гиперболой;
8) структурировать материал по главам и параграфам;
Гипотеза: Периоды развития функции совпадают с периодами развития логарифмов.
Квалификационная работа состоит из введения, трёх глав, подразделённых на параграфы, заключения и списка литературы. Библиография содержит 25 наименований. Работу можно поделить на две части: исторический подход к изучению логарифмов и современный подход. Первая часть включает в себя главу, которая называется «История возникновения и развития логарифмов», здесь рассматриваются предпосылки к возникновению логарифмов в древние и средние века, приводятся первые таблицы логарифмов, дается их сравнение, а также различные подходы к логарифмам.
Вторая часть включает в себя вторую и третью главы. Вторая глава называется- «Различные подходы к введению логарифмической функции». Эта глава посвящена рассмотрению различных подходов к введению логарифмической функции, как обратной к показательной, даются аксиоматические и интегральные определения.
Третья глава-« Применение историко-генетического метода при введение логарифмов в школе ». Здесь рассматриваем изучение логарифмов в школе.
Так же рассматриваются решения задач, различного уровня сложности и логарифмы вокруг нас.
Содержание
Глава 1. История возникновения и развития логарифмов.
§1Характеристика Европейской математики 16-17 века.
§2. История развития функции.
§3. Идеи сопоставления геометрической и арифметической прогрессии.
п.1. Архимед.
п.2.. Логарифмы Иоста Бюрги, таблицы
§4. Кинематическое определение логарифма Джона Непера.
§5.Таблицы десятичных логарифмов.
§6.Логарифмы и площадь под гиперболой.
§7.Теория логарифмов у Леонардо Эйлера.
§8.Спор о логарифмах отрицательных чисел.
§9.Выводы по 1 главе.
Глава 2. Различные подходы к введению логарифмической функции.
§1. Обратная функция и её свойства. Дифференцируемость.
§2. Свойства функции y=aˣ.§3. Логарифмическая функция как обратная к показательной.
§4. Степенные ряды.
§5.Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.
§6.Определение определенного интеграла.
§7.Интегральное определение логарифмической функции.
§8. Аксиоматическое определение логарифмической функции.
§9. Выводы по 2 главе.
Глава 3. Применение историко-генетического метода при введение логарифмов в школе.
§1. Историко-генетический метод.
§2. Введение логарифма в школьном курсе математики как
площадь под гиперболой.
Приложения.
Заключение.
Список литературы.
Глава 1. История возникновения и развития логарифмов.
§1Характеристика Европейской математики 16-17 века.
На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах. Трудности возникли и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.     
С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным объектом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа.
Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых или значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных условиями другого рода (условиями минимума или максимума некоторых связанных с ними величин), составляет предмет вариационного исчисления.
Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.
§2. История развития функции.
Функция - это фундаментальное понятие не только математического анализа, но и всей математики. На ней построен целый ряд точных наук огромной важности, кроме того, оно играет большую роль в познании реального мира.
В работе Антоновой Е. выделены следующие этапы развития функции созвучные с соответствующими этапами выделенными Юшкевичем А.П.. Функция в своем развитии прошла следующие этапы:
1. Установление отдельных зависимостей между величинами (VI-V вв. до н. э.-ХШ в.);
2. Выделение идеи функциональной зависимости, а именно осознание понятий «зависимая» и «независимая» переменная величина и ее выражение в механической и геометрической формах (XIV-XVI вв.);3. Доминирование идеи задания функции аналитической формулой и ее логический анализ (конец XVI-XVIII вв.);
4. Современный этап становления понятия функции (XIX-XXI вв.): его обобщение, расширение и исследование.
Рассмотрим подробнее развитие понятия функции на каждом из этапов:
1. Вавилоняне составили таблицы обратных значений, квадратов и кубов, сумм квадратов и кубов чисел. С их помощью можно было решать обратные задачи: производить деление чисел, извлекать квадратные и кубические корни, решать квадратные и некоторые кубические уравнения.
Пифагорейцы нашли выражение поиски количественной зависимости между различными физическими величинами, такими, как длина струны и высота звука.
В александрийскую эпоху, астрономы разработали целую тригонометрию хорд, соответствующую дугам окружности фиксированного радиуса, и с помощью теорем интерполяции вычислили таблицы, равносильные сегодняшним таблицам значений синусов.
В алгебре идея зависимости между величинами содержится в скрытом виде (значение суммы зависит от значений слагаемых и т.д.).
Таким образом, в упомянутых выше примерах зависимость между дискретными конечными множествами постоянных величин устанавливается фактически.
2. Выделение элементов функциональной зависимости было связано с новыми попытками применения математических методов к описанию различных естественных явлений, особенно со своеобразным расцветом кинематических исследований. Попытки найти количественное выражение некоторых качеств или явлений, таких, как теплота, плотность, скорость и т.д. Им сопоставляли «степени (или градус) интенсивности», «непрерывно» изменявшиеся в некоторых пределах, и проявляли замечательное стремление свести эту интенсивность качеств и форм к некоторой шкале измеримых величин. Это направление средневековой математики имело различные названия: учение о конфигурациях качества, или о широт форм, или о равномерности и неравномерности интенсивностей и т.д.
3. Изобретение нового способа задания функций, а именно задание функции аналитическим выражением.
Более подробно идея аналитического задания функции была высказана в знаменитой «Геометрии» Декарта (1637), ставя в соответствие плоской алгебраической кривой уравнение между координатами ее точек (понимаемыми /ж" опять-таки как прямые отрезки). Здесь впервые с полной ясностью было указано, что уравнение между х и у служит средством задания зависимости между переменными величинами, позволяющим вычислить все значения одной из них по данным значениям другой при помощи формулы.
И. Ньютоном открыл разложения функций в бесконечные ряды. В это время степенной ряд делается важнейшим универсальным средством аналитического выражения и исследования любых функций. Именно благодаря степенным рядам понятие функции как аналитического выражения заняло центральное место во всем анализе.
Кроме разложения функций в степенной ряд, Ньютон развил кинематически – геометрическую концепцию анализа, продолжив в этом направлении идеи своего учителя И. Барроу. Ньютон берет в качестве всеобщего аргумента, а зависящие от него переменные вводятся как непрерывно текущие величины, обладающие теми или иными скоростями изменения.
Слово «функция» впервые появилась в рукописях Лейбница от 1673г., в частности в рукописи «Обратный метод касательных или о функциях», притом не совсем в современном понимании. Сначала здесь речь идет об отыскании «геометрической» или «негеометрической» кривой, у которой отношение между аппликатой и абсциссой выражено каким-либо данным уравнением, ее подкасательной, поднормали и др., связанных с кривой отрезков. Затем Лейбниц переходит к обратной задаче отыскания «аппликат» по данному свойству подкасательной или «другого рода линий, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию». После этого функциями именуются сами такие отрезки, связанные с кривой.
Появление в печати определения функции как аналитического выражения связано с именем И. Бернулли. Он писал: «Функцией переменной величины здесь называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Скобки, как и знак функции f , ввел Л.Эйлер в 1734 году.
В творчестве Эйлера понятие функции получило дальнейшее существенное развитие. Все функции у Эйлера мыслятся представимыми степенным рядом. Однако вскоре ему встретились функции, которые невозможно представить в виде степенного ряда. Это обстоятельство побудило его дать более общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых... Итак... все количества, которые как-либо зависят от х, т.е. определяются им, называются функциями» (1755).
Все же в 18 веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и ее аналитическим выражением.
История не стоит на месте, она постоянно «движется», развивается, так и понятие функции всегда будет расширяться, углубляться с дальнейшим развитием не только анализа, но и других наук.
§2. Идеи сопоставления геометрической и арифметической прогрессии.
Первые идеи логарифмического вычисления в их грубейшей форме возникли из сопоставления членов геометрической прогрессии с арифметической прогрессией их порядковых номеров или же чисел, им пропорциональных.
Следы такого сопоставления восходят к древности и довольно ясно выражены в одном месте Архимедова «Псаммита». Это небольшой арифметический трактат. Почти сто лет назад «Псаммит» был переведен на русский язык Ф. Петрушевским (в 1824 г.). Но эта книга представляет библиографическую редкость, а язык перевода, в общем довольно точного, слишком тяжел и архаичен.
И в своем «Псаммите» Архимед выражается так: „Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции (т. е., по нашей терминологии, находящихся в геометрической прогрессии), начиная от единицы, и если два члена его перемножить, то произведение будет членом того - же ряда, настолько удаленным от большего множителя, на - сколько меньший удален от единицы; он же будет удален от единицы одним членом меньше против того, насколько удалены от нас оба множителя вместе".
При современных обозначениях смысл этого места можно передать так: если с геометрической прогрессией
1, α, α² ,αᵌ,. . .
сопоставить арифметическую прогрессию порядковых номеров её членов
1, 2, 3, 4,...,
то произведение двух членов первой аᵐ и аⁿ будет членом той же прогрессии, порядковый номер которого равен сумме порядковых номеров множителей без единицы, т. е. m+n-1.
Это, хотя и простое, но важное замечание Архимеда не осталось незамеченным и повторяется почти во всех значительных сочинениях XV и XVI столетий с тем лишь улучшением более позднего происхождения, что за порядковые номера членов геометрической прогрессии принимаются числа 0, 1, 2, 3,... или им пропорциональные. Так, у французского математика Chuquet в его сочинении 1484 года LeTripаrty сnlascicncecles Nombres" мы находим, в виде примеров, сопоставление прогрессий
0, 1, 2, 3,... или 0, 1, 2, 3,….
1, 2, 4, 8,… 1, 3, 9, 27,…
с вполне ясным указанием на то, что произведению двух членов
геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии член, равный сумме тех, которые отвечают множителям.
Похожие замечания, которые были у Архимеда встречаются и у других авторов.
п.1 Архимед.
Архимед (около 287–212 до н. э.), древнегреческий ученый, математик и механик. Архимед родился в Сиракузах (о. Сицилия) и жил в этом городе в эпоху 1-й и 2-й Пунических войн. Предполагают, что он был сыном астронома Фидия. Научную деятельность начал как механик и техник. Архимед совершил поездку в Египет и сблизился с александрийскими учеными. Это послужило толчком к развитию его выдающихся способностей. Развил методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Его математические работы намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Архимед – пионер математической физики. Математика в его работах систематически применяется к исследованию задач естествознания и техники. Архимед – один из создателей механики как науки. Ему принадлежат различные технические изобретения. Работы Архимеда показывают, что он был прекрасно знаком с математикой и астрономией своего времени, и поражают глубиной проникновения в существо рассматриваемых Архимедом задач. Центральной темой математических работ Архимеда являются задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов. Решение многих задач этого типа Архимед первоначально нашел, применяя механические соображения, по существу сводящиеся к методу «неделимых», а затем строго доказал методом исчерпывания, который он значительно развил. Рассмотрение Архимедом двусторонних оценок погрешности при проведении интеграционных процессов позволяет считать его предшественником не только И. Ньютона и Г. Лейбница, но и Г. Римана. Архимед вычислил площади эллипса, параболического сегмента, нашел площади поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента, а также объемы различных тел вращения и их сегментов. Архимед исследовал свойства так называемой архимедовой спирали, дал построение касательной к этой спирали, нашел площадь ее витка. Здесь он выступает как предшественник методов дифференциального исчисления. Архимед рассмотрел также одну задачу изопериметрического типа. В ходе своих исследований он нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта. Архимеду принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны (традиционно именуемая формулой Герона). Архимед дал (не вполне исчерпывающую) теорию полуправильных выпуклых многогранников (архимедовы тела). Особое значение имеет аксиома Архимеда: из неравных отрезков меньший, будучи повторен достаточное число раз, превзойдет больший. Эта аксиома определяет так называемую архимедовскую упорядоченность, которая играет важную роль в современной математике. Архимед построил счисление, позволяющее записывать и называть весьма большие числа. Он с большой точностью вычислил значение числа π и указал пределы погрешности.
п.2 Логарифмы Иоста Бюрги.
Швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) был высококвалифицированным механиком и часовых дел мастером, математику он изучил самостоятельно. Он состоял придворным часовщиком, а также мастером астрономических инструментов сначала в Касселе, затем с 1603 г. в Праге, где сблизился с Кеплером. Мы не знаем, когда в точности Бюрги приступил к созданию своих таблиц, но, вероятно, они были готовы около 1610 г. Бюрги долго медлил с их изданием, и они вышли в свет уже после двух трудов Непера; за эту задержку Кеплер впоследствии порицал своего друга. Книга Бюрги озаглавлена «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях»
Бюрги — об этом он писал сам — исходил из соображений о соответствии между умножением в геометрической прогрессии и сложением в арифметической, которые он почерпнул, правда, не у Штифеля (так как не знал латыни), а у других авторов, писавших по-немецки. Задача состояла в выборе прогрессии со знаменателем, достаточно близким к единице с тем чтобы ее члены следовали друг за другом с интервалами, достаточно малыми для практических вычислений. Бюрги взял знаменатель 1,0001 и сопоставил числа 0, 10, 20, ..., 10n, ... арифметической прогрессии с членами геометрической 10000000, 100010000, 100020001, ..., 108·1,0001ⁿ, ... Первые числа, напечатанные красной краской, называются красными, вторые напечатаны черной краской и называются черными. Красные числа являются логарифмами черных, разделенных на 108, при основании 101,0001. Множитель 108 введен для того, чтобы по возможности долго избегать дробей. Так как таблицы расположены по красным числам, то они представляют собой таблицы антилогарифмов (термин, введенный в этом смысле Валлисом, 1693). Поэтому для умножения и деления черных чисел чаще всего нужна интерполяция. Вычислены черные числа с девятью верными цифрами.
Красные числа следуют с интервалом в десять, за одним исключением. Таблица черных чисел начинается с 108, и Бюрги заканчивает ее черным числом 108 , для которого с помощью интерполяции вычисляет «полное красное число» 230270,022. Это число применяется при делении a/b, когда а<b, подобно тому как в десятичных логарифмах добавляется целая характеристика, чтобы избежать отрицательной мантиссы. Именно, вместо a/b Бюрги в этом случае находит a·10⁸b он складывает красные числа соответствующие а и 108, вычитает из суммы красное число, соответствующее b, и по результату находит черное число с девятью десятичными знаками, дающее дробь a/b. Если а>b, Бюрги вычитает из красного числа для a красное число для b и находит черное число, соответствующее результату; полученное число дает восемь десятичных знаков дроби a/b.
Таблицы Бюрги не получили значительного распространения. Они не могли конкурировать с таблицами Непера, более удобными и к тому же к 1620 г. уже широко известными.
§3. Кинематическое определение логарифма Джона Непера.
Джон Не́пер (англ. John Napier; 1550—1617) — шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.
К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 г., но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614, содержавшее определение неперовых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90° с интервалом в 1', а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно, в «Построении удивительной таблицы логарифмов», 1619г. В обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.
В отличие от Бюрги, сопоставившего две дискретные прогрессии, Непер с самого начала вводил понятие логарифма для всех значений непрерывно меняющихся тригонометрических величин — синуса и косинуса. При тогдашнем состоянии математики, когда еще не было аналитического аппарата исчисления бесконечно малых, естественным и единственным средством для этого являлось кинематическое определение логарифма. Быть может, здесь не остались без влияния и традиции, восходившие к оксфордской школе XIV в. Исходные определения из «Описания»:
«Опp. 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.
Опр.2. Говорят, что линия сокращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает отрезки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они отсекаются
Опр.3. Говорят, что количества иррациональные, или невыразимые числом, определяются числами с наибольшим приближением, когда они определяются большими числами, отличающимися от истинных значений иррациональных количеств меньше, чем на единицу.
Опр.4. Синхронными движениями называются те, которые происходят вместе и в течение одного и того же времени.
Опр.5 и постулат. Так как существуют движения как более медленные, так и более быстрые, чем всякое данное движение, то отсюда необходимо следует, что существует движение равно быстрое всякому данному (которое определяется как движение ни более медленное, ни более быстрое, чем данное).
Опр.6.Логарифмом всякого синуса называется, наконец, число, определяющее с наибольшим приближением линию, возрастающую равномерно, между тем как линия полного синуса убывает пропорционально до величины данного синуса, причем оба движения синхронны и вначале равно быстры».
Здесь в геометрическом выражении высказаны многие замечательные идеи. Отметим только своеобразную формулировку идеи о непрерывности в третьем определении и обратимся к основному, шестому определению логарифма.
Если изобразить полный синус, т. е. радиус круга, у Непера равный 107, отрезком АВ, а линию синуса — отрезком YB= у , то логарифмом у (обозначим его Lу) будет отрезок ОХ = х, проходимый точкой X, начинающей движение из О с постоянной скоростью v0 , за то самое время, в какое точка Y, одновременно выходящая из А с той же начальной скоростью v0, проходит отрезок AY со скоростью, пропорциональной расстоянию, остающемуся до другого конца В, т. е. пропорциональной YB. На языке дифференциального исчисления
dxdt=ν˳ dydt=ν˳y10⁷ , dyy=-dx10⁷и, учитывая, что y=107при x=0,x = Ly = - 107 lny10⁷=- 107lny+107ln107.
Как видно, неперов логарифм числа у не есть, как иногда пишут в учебниках анализа, натуральный логарифм этого числа: Ly выражается через ln у линейно. Многие свойства логарифмов Непера поэтому несколько отличаются от свойств логарифмов в нашем смысле слова. Главное, конечно, у них общее: если четыре числа образуют геометрическую пропорцию
y1 :y2=y3:y4 то их логарифмы составляют арифметическую пропорцию
Ly1 - Ly2 = Ly3 - Ly4, т.е. геометрической прогрессии чисел соответствует арифметическая прогрессия логарифмов. Однако, поскольку
L1 = 107 ln 107, т. е. L1 не равен нулю, правила действий усложняются: так, например,
L(ab) = La + Lb-L1, L ab=La - Lb + L1
и т. п. В примерах Непера, правда, L1 выпадает, но лишь потому, что в них вычисляются четвертая и средняя пропорциональные, например:
Labc= L (ab) — Lc + L1=La + Lb — Lc.
Нулю равен неперов логарифм числа 107, т. е. полного синуса или радиуса. Этого и добивался Непер, имевший в виду прежде всего тригонометрические вычисления. Поскольку тригонометрические величины рассматривались еще не в отношении к радиусу, а как отрезки, выраженные в тех же единицах, что полный синус, последний входил в формулы и на него часто приходилось умножать и делить. Равенство нулю логарифма полного синуса представляло в таких условиях определенные преимущества. По мере уменьшения натуральных значений синуса неперов логарифм возрастает, а при синусе, равном нулю, обращается в бесконечность. В таблице Непера в строке, в которой в графе синуса обозначен 0, в графе логарифма синуса стоит слово Infinitum— «бесконечность».
Разумеется, Непер не записывал и не интегрировал приведенное выше дифференциальное уравнение, которое выражает кинематическое определение логарифма. Но фактически его прием составления таблиц равносилен приближенному численному решению дифференциального уравнения. Сначала находится весьма малый отрезок, проходимый точкой X, когда точка Y перемещается из начального положения А на расстояние 1, т. е. вычисляется L9999999. Опираясь на представление о мгновенной скорости и сравнивая скорости точек X иY , Непер выводит, что
107-y<Ly<107/y (107- y )и для y = 9999999 принимает в качестве логарифма среднее арифметическое
чисел 1 и 107/9999999 = 1,00000010000001..., так что L9999999= 1,00000005 (с точностью до четырнадцатого знака). Здесь, как и всюду, Непер пользуется десятичными дробями. Далее для арифметической прогрессии логарифмов
хn = 1,00000005n он находит соответствующую геометрическую прогрессию чисел
уп = 107(1-1/107)n, где п = 1, 2, 3,…,100.
Это нетрудно, так как здесь нужны только вычитания; уk=уk-1- 0,0000001yk-1
Так получается, при подходящих округлениях, L9999900.
Отношение числа 9999900 к 107 есть 1-1/105 , и Непер переходит к вычислению логарифмов уп = 107(1-1/105)n, до n=50, причём логарифму у1 известен. Аналогично применяются прогрессии 107(1-1/2·103)ⁿ и в особенно большом объёме 107(1-1/102)ⁿ.Числа уп округляются, и с помощью оценки разности логарифмов близких чисел, основанной на приведенном выше неравенстве, вычисляются их логарифмы. Так Непер доходит до L5000000.
Термин «логарифм» (logarithmus) принадлежит Ненеру, он возник из сочетания греческих слов — отношение и число, которое означало «число отношения» что напоминает о двойных, тройных, полуторных и иных целых или дробных отношениях древней и средневековой математики. Первоначально Непер пользовался другим термином: numeriartificiales— «искусственные числа» — в противоположность numerinaturales— «числам естественным».
§4 Таблицы десятичных логарифмов.
Таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с данными числами. Во-первых, таблицы были расположены по значениям синусов от 0 до 90° и косинусов, а не по натуральному ряду чисел. Во-вторых, при действиях с числами по таблицам Непера приходилось еще оперировать с L1. Чтобы устранить эти недостатки, Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти 1010, или, что сводится к тому же, просто единицу. Это предложение он сделал в ходе обсуждения с посетившим его в 1615 г. профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561 —1631), который и сам задумывался, как усовершенствовать таблицы логарифмов. Заняться осуществлением своего плана Непер не мог из-за пошатнувшегося здоровья, но указал идею двух вычислительных приемов, развитых далее Бригсом.
Бригс опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений — «Первую тысячу логарифмов» (Logarithmorumchiliasprima, Londini, 1617) в год смерти Непера. Здесь даны были десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками. Позднее, будучи профессором в Оксфорде, он выпустил «Логарифмическую арифметику» (Aritmeticalogarithmica, Londini, 1624), содержащую четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Оставшийся пробел был восполнен голландским книготорговцем и любителем математики Андрианом Влакком (1600—1667), опубликовавшим как второе издание труда Бригса и под тем же названием (Гауда, 1628) десятизначные таблицы от 1 до 100 000 вместе с такими же логарифмами всех шести тригонометрических линий через одну минуту.
Таблицы Влакка легли в основу всех последующих, причем в них было внесено немало структурных изменений и поправок: у Влакка имелось еще 173 ошибки в первых семи знаках, а всего более 600. Избавиться от ошибок оказалось нелегким делом. Еще в известных таблицах уроженца Словении Георга Бега (1754—1802), впервые напечатанных в Вене в 1783 г. и многократно переиздававшихся вплоть до наших дней, было пять ошибок. Первые безошибочные таблицы Бега вышли в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804—1877) в Берлине в 1857 г.
Мы не можем входить в детали двух вычислительных приемов, употребленных Бригсом. Оба они, как говорилось, восходят к Неперу. Один из них основан на том, что характеристика (термин Бригса), т. е. целая часть логарифма целого числа, на единицу меньше количества цифр в самом числе. С другой стороны, характеристика десятичного логарифма а10", где 1 < а< 10 дает четырнадцать первых знаков логарифма а. Чтобы найти эти знаки, нужно поэтому только знать количество цифр числа а10", а это возможно и без вычисления самих цифр, что было бы немыслимо. Дело в том, что число цифр произведения двух множителей равно сумме чисел их цифр или на единицу меньше, а судить, какой из двух случаев имеет место, можно по первым цифрам множителей. Так, Бригс вычислил
log2 = 0,3010299956639Однако большинство десятичных логарифмов простых чисел Бригс нашел по-другому -— с помощью извлечении квадратных корней. Важную роль в его расчетах играло предельное соотношение, которое мы запишем в современной форме:
loga=limn→∞n(na –1)поскольку
loga=lnaln10loga≈n(na –1)mm10 –1) при весьма больших m и n. Бригc по существу пользовался такой процедурой, причем брал m и n в виде степеней двойки.
Как видно, открытие Непера в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. Составлением логарифмических таблиц и совершенствованием их занялись очень многие математики, помимо уже названных, среди них Кеплер (Марбург, 1624—1625), применивший логарифмы к построению новых таблиц движений планет (1627).
После появления ArithmeticaLogarithmicaБригга и Влакка, Trigonometria Britannica Бригга и Trigonometria Artif'icialis Влакка громадный труд вычисления первых обширных таблиц десятичных логарифмов был закончен. В дальнейшем оставалось лишь исправлять неизбежные при таких вычислениях ошибки, уменьшать объем таблиц и придавать им более удобную форму. Но при этом всегда основой служили упомянутые выше капитальные сочинения. Эти сочинения навсегда останутся памятниками необыкновенного трудолюбия двух людей, которые, располагая столь незначительными средствами, не отступили перед задачей огромной трудности. Даже теперь, когда мы располагаем столь разнообразивши и могущественными способами для вычисления логарифмов, немногие согласились бы взяться зa труд составления таких обширных таблиц, каковы таблицы Бригга и Влакка.
Практическое значение всех этих работ было очень велико. Гигантский труд авторов таблиц и их виртуозная вычислительная сноровка заслуживают глубокого уважения.
§5.Логарифмы и площадь под гиперболой.
Около 1686  г. математику  Николаю Меркатору  из Голштинии случайно  удалось,  путём несложного преобразования,   найти естественное решение задачи о площади «под» гиперболой. И до Меркатора было известно несколько решений задачи о площади «пол гиперболой», но все они были сложны и искусственны.
Гипербола, которая является графиком функции y =1x
Теперь, оставляя ось Ох прежней, перенесём ось Оу на единицу  вправо в положение О1у1. Если точка N, взятая на гиперболе, имела раньше абсциссу ОР = х, то новая абсцисса будет О1Р- обозначим её через z. Тогда z = x ̶ 1 или же х = 1 + z. Уравнение нашей линии (гиперболы) y =1x принимает вид: y= 11+z.
Если, например, ОР = 1,8 ед. и искомый логарифм   обозначен как 11,81χ dx, то теперь мы должны его обозначить как 00,811+z dz,
так как новая абсцисса z изменяется, от значения 0 до значения 0,8. И вот Меркатор (в этом решающий шаг!) привлекает формулу суммы убывающей геометрической   прогрессии.  А именно,  
1-z+z²-z³-z⁴-z⁵+… = 11+zКазалось бы эта формула нужна для того, чтобы сложное выражение бесконечной суммы преобразовать в простое, стоящее справа. Меркатор же наоборот, заменяет простую дробь 1/1+z бесконечным знакопеременным рядом, расположенным по степеням буквы z. Он получает: пл «под» гиперболой (логарифм),
= 00,8(1-z+z2-z³+...)dzСтоящий знак интеграла, означает площадь, а уравнения
у = 1,   у = —z,   у = z2,   у = —z3, ...
означают   параболы  последовательных   степеней. Итак, «ключ» Меркатора, который он применил для открытия незнакомой замкнутой  шкатулки — это  замена  площади гиперболы  рядом площадей  последовательных парабол.
Во времена Меркатора формула площади для параболы
0bxⁿdz=1n+1bⁿ+1 была уже хорошо  известна.  Что же касается того, что ряд парабол тянется неограниченно далеко (до бесконечности), то Меркатор об этом мало беспокоился. Примерно через 150 лет после него математикам стоило многих трудов доказательство того, что при этом переходе сразу к несметному множеству площадей парабол мы не совершаем ошибки, одним словом, логически-строгое доказательство далось нелегко. Но в ту эпоху, когда жил Меркатор, можно было не входить в эти тонкости и беззаботно попеременно прибавлять и  вычитать площади последовательных парабол:
00,811+zdz=00,81·dz-00,8z·dz+00,8z²·dz-00,8z⁸·dz+…==0,8-0,8²2+0,8³3-0,8⁴4+0,8⁵5-... кв. едЭти последовательные площадки под параболами у = z0,  у = z1,  у = z2,  у = z3, ...,  у = z9 . Конечно, значение z = 0,8 взято лишь в качестве примера. Можно написать в общем виде: площадь «под» гиперболой[1…1+z]:т.е =z-z²2+z³3-z⁴4+z⁵5-...Окончательная формула такова:
log(1+z)= z-z²2+z³3-z⁴4+z⁵5-...или изменяя букву
log(1+x)= x-x²2+x³3-x⁴4+x⁵5-...§6.Теория логарифмов у Эйлера.
Этот параграф я ещё не переделала.
§7.Спор о логарифмах отрицательных чисел.
В качестве примера таких споров упомянем спор о природе логарифмов отрицательных и мнимых величин. Этот спор начался в 1712 г. между Лейбницем, считавшим логарифмы отрицательных чисел мнимыми, и И. Бернулли, настаивавшем на том, что они действительны. При этом И. Бернулли опирался на «доказанный» им факт, что
In у = In (- у).
В спор включились ряд ученых, в том числе Даламбер и Эйлер. Однако спор не утих даже после того, как в 1749 г. Эйлер открыл многозначность логарифма и предложил убедительное для того времени доказательство. Эйлер исходил из уравнения

т. е. в современной форме записи

Здесь, как мы уже упоминали, i — «бесконечно большое» число. Разрешая это уравнение относительно у, Эйлер получил:

т. е.

Здесь x1i — корень с бесконечно большим показателем. Он бесконечнозначен. Все его значения различны; вообще говоря, они мнимые. Следовательно, логарифм тоже имеет бесконечное множество различных значений, которые отличаются на числа, кратные 2π∙-1. В самом деле,

Отсюда

Одно из значений логарифма действительного положительного числа будет действительно, остальные — мнимые. Значения логарифмов отрицательных и мнимых чисел — все мнимые.
Решающий толчок введению мнимых чисел в математический анализ был дан тогда, когда выяснилась их полезность в решении дифференциальных уравнений математической физики. Это проявилось в сочинениях Даламбера (1752) и Эйлера (1755) по гидродинамике. В этих работах были использованы результаты Эйлера (1734) и Клеро (1739), эквивалентные утверждению, что выражение
Pdx + Qdyявляется полным дифференциалом некоторой функции φ(x,y), если

Даламбер решал задачу обтекания твердого тела жидкостью (однородной и без учета веса). Обозначив р и q — составляющие по осям скоростей частиц, протекающих через точку М (х,у), он нашел из сравнения их полных дифференциалов уравнения

которые интерпретируются как условия того, что

суть полные дифференциалы. Эти уравнения были получены также Эйлером.
Теперь уже нетрудно определить пару сопряженных гармонических функций, являющихся решениями системы уравнений Даламбера — Эйлера. Следовало лишь применить метод, предложенный Даламбером в случае уравнения колебания струны. Пусть

Тогда

Отсюда

Сопряженные гармонические функции, как нетрудно теперь увидеть, представляют действительную и мнимую часть функции комплексного переменного.
Эйлер, получив аналогичный результат и не имея возможности дать ему подходящую интерпретацию, выразил сопряженные гармонические функции в виде рядов по однородным гармоническим полиномам, представляя при этом комплексные числа, как в алгебраической, так и в тригонометрической форме.
К середине XVIII в. в математическую практику вошли различные аспекты понимания комплексного числа, как переменного, так и постоянного. Наибольшие заслуги в этом деле принадлежат Эйлеру. Во «Введении в анализ бесконечно малых» Л. Эйлер ввел комплексную переменную в качестве наиболее общего понятия переменной величины, использовав комплексные числа при разложении функций на линейные сомножители. Он ввел впервые формулы (приведем их в привычной нам символике):

а также формулы связи между тригонометрическими и показательными функциями

Если рассмотреть всю совокупность фактов, установленных Эйлером и его современниками, то можно прийти к выводу, что основные факты теории элементарных функций комплексного переменного были в большей части уже выявлены.
Что касается дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного, то Эйлер, полагая
f(x+ iy) = и (х, у) + iv (х, у),
действовал с ними, как с парами функций вещественного переменного. Кроме того, в серии работ (1776—1783) он использовал комплексные числа при вычислении интегралов. Не формулируя явно, он выделил класс аналитических функций комплексного переменного, высказав относительно них принцип симметрии, состоящий в том, что всякая функция Z (z), где z=x+iy, имеет вид
Z(x + iy) = M+iN,
а при z=x - iyZ(x — iy) = М — iN.
Если теперь рассмотреть интеграл
zdz=Vгде
z=x±iy, у = P + iQ,
то

откуда

Как указывалось выше, условие, что подынтегральные выражения есть полные дифференциалы, ведет к известным условиям Даламбера — Эйлера

В других случаях Эйлер использует
z=υ(cosφ+isinφ)Полагая здесь φ=const, он таким образом интегрирует вдоль луча, выходящего из начала координат.
Работа Эйлера «О представлении сферической поверхности на плоскости» (1777г.) не только содержит идею, но и практически вводит конформное отображение областей сферы на плоскость. Эйлер называл эти отображения «подобными в малом». Термин «конформный» был впервые употреблен, по-видимому, петербургским академиком Ф. Шубертом в 1789 г. Рассматривая долготу t и широту и сферической поверхности и соответствующие декартовы координаты х и у точек плоскости, Эйлер вывел общие условия конформного отображения в виде
dx = р du + r dt cos и,
dy = r du — р dt cos и,
откуда
dx + idy = (р - ir) (du — i dt cos u).
С помощью подстановки

это преобразуется вdx + idy = (р + ir) cos и dz.
Геометрически это соответствует: стереографической проекции сферы на плоскость

преобразованию плоскости £ посредством логарифма

зеркальному отражению в действительной оси z = e. Такое конформное отображение сферы (без полюсов) на плоскость

называется проекцией Меркатора в картографии.
Поэтому
x + iy = 2Г (z) =2Г (In s-it),
x —iy = 2Г (In s + it),
Г (z) — аналитическая функция с действительными значениями при z — действительном, откуда
х = Г (In s — it) + Г (In s + it),
iy = Г (In s — it) — Г (In s + it).
Таким образом, еще Эйлер сумел практически решить общую задачу о конформном отображении областей сферы на плоскость.
Математическая литература XVIII в. в интересующем нас здесь плане представляет пестрое переплетение важных результатов, проливающих свет на природу комплексных величин, не менее важных приложений последних к гидродинамике, картографии и другим наукам, и обильных ошибок и неясностей в пользовании мнимыми объектами. Различные интерпретации комплексных чисел еще не сформировались в единую концепцию, тем более это- относится к комплексным переменным. Однако все необходимые элементы общей теории, могущей охватить свойства функций комплексного переменного, в основном сложились; наступила пора создания этой теории. Эта пора совпала с наступлением XIX в.
§9.Выводы по 1 главе.
В первой главе мы проследили за развитием истории учения о логарифмах. Трехсотлетняя практика всех вычислителей вполне доказала, что благодаря логарифмам числовые вычисления были чрезвычайно облегчены.
Таким образом, с точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим более древним великим изобретением Индусов— нашей десятичной системой нумерации. Но и с теоретической точки зрения введение самого понятия о логарифме, как о некоторой новой функциональной связи между переменными величинами, сыграло огромную роль в истории математики, вполне выяснившуюся при возникновении анализа бесконечно малых и ставшую еще более очевидной при дальнейшем его развитии.
Дальнейшее развитие этого понятия не только дало мощное вычислительное средство, но и само послужило к развитию новых методов математического анализа. История логарифмов служит одним из бесчисленных подтверждений мысли о взаимоотношении теории и практики, блестяще выраженной великим русским математиком П. Л. Чебышевым: «Практика предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитей ее, то она еще больше приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике».
Глава 2. Различные подходы к введению логарифмической функции.
§1. Обратная функция и её свойства. Дифференцируемость.
Теперь перейдём, непосредственно, к понятию функция.
Определение: даны две переменные x и y. Переменная y называется функцией от переменной x, если каждому значению x из области её изменения ставится в соответствие по некоторому закону определённое значение y. Переменная x называется в этом случае аргументом функции y
y=f(x).
Из определения функции не следует, что различным значениям аргумента x должны соответствовать различные значения функции y. Такие функции называются постоянными функциями. Функция y=f(x) считается заданной, если:
указанная область изменения аргумента x (область определения и задания функции)
дан закон функциональной зависимости между x и y.
Предположим, что функция y=f(x) задана в некоторой области X, и пусть У будет множество значений, которые эта функция принимает, когда x изменяется в пределах области X. X и У – промежутки.
Выбираем какое – нибудь значение y=yₒ из У ; тогда в X найдётся значение x=xₒ , при котором наша функция принимает именно значение yₒ так, что f(xₒ)=yₒ ,подобных значений xₒ может оказаться и несколько. Т.о. каждому значению y из У ставится в соответствии одно или несколько значений x; этим определяется в области У однозначная или многозначная функция x=g(y), которая и называется обратной для функции y=f(x). Из определения обратной функции следует:
1°.Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции;
2°.Множество значений обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции;
3°.График обратной функции строится симметрично относительно y=x.
Определение: Функция y=f(x), определённая на промежутке X, называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка X; иными словами, если различным значениям аргумента соответствуют разные значения функции.
Пусть функция y=f(x) обратима на промежутке X, а область её значения есть У. Поставим в соответствие каждому y из У, то единственное значение x, при котором f(x)=y (т.е. единственный корень уравнения относительно переменной x ). Тогда получим функцию, которая определена на У, а область её значения есть X. Эта функция обозначается x=f‾¹(y) и называется обратной по отношению к функции y=f(x).
ТЕОРЕМА об обратной функции:
Пусть функция y=f(x) определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке X. Тогда в соответствующем промежутке У значений этой функции существует однозначная обратная функция x=g(y) также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Доказательство:
1)Обратимость:
Ограничимся случаем возрастающей функции. Значение непрерывной функции f(x) заполняют сплошь некоторый промежуток У, т.ч. для каждого значения yₒ из этого промежутка найдётся хоть одно такое значение xₒ (из X), что f(xₒ)=yₒ .
Т.к. функция монотонная, такое значение может найтись только одно: если x больше или меньше y, то соответственно и f(x) больше или меньше yₒ. Сопоставляя именно эти значения xₒ произвольно взятому yₒ из У, мы получим однозначную функцию x=g(y) обратную для функции y=f(x).
2)Монотонность:
Легко видеть, что g(y), также как f(x) монотонно возрастает. Пусть yʹ˂yʺ и xʹ=g(yʹ), xʺ=g(yʺ); тогда по определению функции g(y) одновременно yʹ=f(xʹ) и yʺ=f(xʺ). Если было бы xʹ˃xʺ, то в силу возрастания функции f(x), было бы и yʹ˃yʺ, что противоречит условию. Итак , возможно только неравенство xʹ˂xʺ, так что g(y) действительно возрастает.
3)Непрерывность:
Чтобы доказать непрерывность функции x=g(y) достаточно сослаться на теорему о непрерывности функции (теорема: Если множество значений монотонно возрастает (убывает) функция f(x), которое она принимает, когда x изменяется в промежутке X , содержится в некотором промежутке У и заполняет его сплошь, то функция f(x) в промежутке X (непрерывна).
Теорема доказана.
Определение: функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если её приращение △y представлено в виде ∆y=A∆x+α∆x , где A-число, а α- бесконечно малая функция при ∆x→0.
ТЕОРЕМА:
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.
Доказательство:
1)Необходимость.
Существует fʹ(x), по определению имеем fʹ(x)=lim∆y/∆ x но тогда ∆y/∆x= f ʹ(x)+a. Значит, ∆y= fʹ(x)∆ x +α∆ x или ∆y=A∆ x + α∆x, где A= fʹ(x)
2)Достаточность.
Пусть ∆y=A∆ x + α∆x, тогда ∆y/∆ x =A+ α, а поэтому limα→∞∆y/∆x=A, следовательно, производная в точке существует, причём f ʹ(x)=A.
Данная теорема означает, что дифференцируемость значит существование производной, поэтому операцию нахождения производной называется дифференцированием.
Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании и непрерывности обратной функции и функции x=φ(y) является для неё обратной.
ТЕОРЕМА:
Если существует f ʹ(x ˳)≠0, то существует производная обратной функции в точке y˳= f (x ˳) причем φʹ(y˳)=1/ fʹ(x ˳), т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции.
Доказательство:
Дадим значению аргумента y˳ обратной функции x =φ(y). При этом ∆y≠0. Следовательно, приращение этой функции будет ∆x≠0, т.к. в противном случае x ˳+∆ x = x ˳ и силу однозначности прямой функции y=f(x) мы имели бы f(x ˳+∆x)= f (x ˳), т.е. ∆y=0, следовательно, запишем ∆x /∆y=1/∆y/∆ x.
Переходим к пределу при ∆y⟶0 (в силу непрерывности x =φ(y) будем также ∆ x ⟶0) fʹ(x ˳)≠0, следовательно, существует предел левой и правой части, получим φʹ(y˳)=1/ fʹ(x ˳) или x ʹᵧ=1/yʹₓ .
§2. Свойства функции y=aˣ.
Прежде, чем перейти к определению логарифмической функции как обратной к показательной, рассмотрим некоторые свойства показательной функции в действительной области:
Если a˃1, то
1°. Область определения (­∞;+∞);2°. Область значения (0;+ ∞);3°. Функция y=aˣ - возрастающая;
4°. Если x→­∞, то aˣ →0;5°. Если x→+∞, то aˣ →+∞;6°. Функция непрерывна на множестве R всех действительных чисел;
7°. Дифференцирование показательной функции (aˣ)'=aˣ ln a,
в частности (eˣ)'=eˣ.
Воспользуемся логарифмическим дифференцированием и получим производную показательной функции f (x) = ax. В соответствии с применяемым правилом, прологарифмируем правую и левую части по натуральному основанию
ln f(x) = ln ax = x·ln a,
дифференцируя правую и левую части этого равенства, получим
1f(x)· f '(x) = ln a
откуда найдём ,f '(x) = ax·ln a,
В частном случае a = e производная показательной функции имеет более простой вид
(eˣ)'=eˣ.
Рассмотри теперь случай, когда 0<a<1.
1°. Область определения (­∞;+∞);2°. Область значения (0;+ ∞);3°. Функция y=aˣ - убывающая;
4°. Если x→­∞, то aˣ →+∞;5°. Если x→+∞, то aˣ →0;6°. Функция непрерывна на множестве R всех действительных чисел;
7°. Интегрирование
aˣdx=aᶻlna+C, в частности, eᶻdx=eᶻ+C;8°. Некоторые определения связанные с e:
e = limn→∞1+1nn;
e = lim(1+ x)¹⁄ ͯ ;
limx→0(a ͯ-1)/x=logaₑ=ln a.
Воспользуемся полученными результатами построим график функции.



рис 1 . рис 2.
§3. Логарифмическая функция как обратная к показательной.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели ряд свойств показательной функции. По теореме об обратной функции существует обратная функция, определенная на У = (0; +∞), имеющая область значений X=-∞;+∞.Монотонная и непрерывная на У. Эта обратная функция называется логарифмической функцией и обозначается так:
x=logax;
поменяв местами x и y местами получим:
x=logax.
Согласно сказанному выше, логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
1°. Область определения (0; +∞);
2°. Область значения -∞;+∞;3°. °Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).
Докажем, что при a>1 функция возрастает
(в случае 0<a<1 производится аналогичное рассуждение)
При x₁ и x₂- произвольные положительные числа и x₂> x₁
Надо доказать, что logax₂>logax₁.
Допустим противное, т.е. что
logax2=logax1 1Т.к. показательная функция y=aˣ при a>1 возрастает, то из неравенства (1) следует
alogax2≥alogax1 2но alogax2=x₂ ,
alogax1=x₁ ,
т.е. x₂≤x₁ - это противоречит допущению x₂>x₁.
В следствии возрастания функции при a>1 получаем, что при x>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<x<1- отрицательные.
4°. y=logax непрерывная функция на (0; +∞);5°. Дифференцирование:
(logax)'=1/x ln aт.к. логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными, то зная производную одной, легко получить производную другой.
(logax)'=1/(aˣ)'=1/aˣln a= 1/xlogae(ln x)'=1/(eˣ)'=1/eˣ;6°. Интегрирование:
ln x dx=x ln x-x+C u d=uv-vu u=lnxdv=dxv=xdv=dx/x⇒ x ln x-x dx/x=x ln x-dx==x ln x-x+CНа рисунке 1 построен график функции для случая a>1, а на рисунке 2- для случая, когда 0<a<1. Замечаем, что прямая x=0 (ось y) является центральной асимптотой графика логарифмической функции. Кроме того, можно отметить, что график логарифмической функции пересекает ось x в одной точке (1; 0), т.е. уравнение logx=0 имеет единственное решение xa=1.
В начале параграфа отмечено, что y=logax и y=aˣ - взаимно обратные функции. Это означает, в частности, что равенство y=logax и x=ay выражают одну и ту же зависимость между x и y подобно тому, как это имеет место, например, для равенств y =xn и ny. Итак
y=logax⟺xayОпределение: Логарифмом положительного числа x по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a , чтобы получить число x (a>0, a≠1).
Формула alogab=b (где b>0, a>0 и a≠1) называется основным логарифмическим тождеством. Из определения логарифма вытекают следующие важные равенства:
1°. Loga1=0 aᵒ=1
2°. Logaa=1 a¹=a
3°. Если x₁>0 и x₂>0, то Loga(x₁·x₂)=logax₁+logax₂В общем случае loga(x₁·x₂)=loga|x₁|+loga|x₂|,x₁·x₂>0(Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей).
Доказательство:
Положим y=loga(x₁·x₂), y₁=logax₁, y₂=logax₂. Надо доказать y=y₁+y₂. Из равенства y=loga(x₁·x₂)⟹ay=x₁·x₂.
Аналогично из равенства y₁logax₁, следовательно, что ay₁=x₁ а из равенства y₂=logax₂ - что ay₂=x₂. Тогда имеем
ay=x₁·x₂=ay₁·ay₂=ay₁+y₂,
но из равенства ay=ay₁+y₂ вытекает равенство y=y₁+y₂ ч.т.д.
4°. Если x₁>0 и x₂>0, то logx₁/x₂=logax₁-logax₂В общем случае: log(x₁/x₂)=loga|x₁|-loga|x₂|, x₁/x₂>0.
Докажем 4° с помощью основного логарифмического тождества x₁/x₂=alogax₁/alogax₂= alogax₁- logax₂5°. Если x>0, то logaxᵏ=klogax.
(Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания степени)
Доказательство:
x=alogax⇒xn=(alogax)ⁿ=anlogaxСледовательно по определению logaxⁿ=nlogax.
6°. Если x>0, то logax=logbx/logba (b>0 и b≠0)Доказательство:
136779025400020059656350 Logax=y ay = x Logbx=y1by1=x ay=x⟹by2ʸ=by1⟹·y₂y=y₁⇒y₁/y₂ Logbx=y₂by₂=x36703076200
y=y₁/y₂
7°. Если x>0, то logax=logaᵏxᵏ(значение логарифма не изменится, если основание логарифма и логарифмируемое число возвести в одну и ту же степень)
Доказательство:
Используя свойство 6°, получим
Logaᵏx=logaxᵏ/logaaᵏСогласно свойству 5° имеем logaxᵏ=k logax,
logaaᵏ=k logaa=k⇒logaxᵏ=k logax/k=logax.
Некоторые пределы:
limx→0loga(1+x)/x=logaelimx→0ax-1/x=logae=ln a§4. Степенные ряды.
Ряды, членами которого являются целые положительные степени независимой переменной x или двучлена (x-a) (где a- постоянная), умноженные на числовые коэффициенты:
n=0∞Cnxⁿ (1)или
n=0∞Cnx-aⁿ (2) - называются степенными рядами.
Члены степенных рядов непрерывными и дифференцируемыми функциями на действительной оси. Исследуем вид области сходимости степенных рядов.
Очевидно, что всякий степенной ряд (1) сходится при x=0 (сумма ряда равна C₀).
ТЕОРЕМА 1: (Абель)
Дан степенной ряд n=0∞Cnxⁿ если он сходится для некоторого значения x = x ₀≠0 , то он сходится и при том абсолютно для всех значений x таких, что | x |>| x ₀|;
если он расходится для некоторого значения x = x ₁, то он расходится и для всех значений x таких, что |x|>|x₁|.
Рассмотрим степенной ряд n=0∞Cnxⁿ. Логически могут представиться три возможности: 1) ряд сходится на всей числовой оси; 2) ряд сходится только в точке x =0 ; 3) ряд сходится не только в точке x =0, но и не на всей числовой оси. Исследуем как расположены на числовой оси в этом последнем случае точки сходимости степенного ряда.
ТЕОРЕМА 2:
Если степенной ряд n=0∞Cnxⁿ сходится не на всей числовой оси, но и не только в точке x =0, то существует число R>0 такое , что
ряд абсолютно сходится для | x |<R.
ряд расходится для | x |>R.
Определение: Число R>0 , определенное в теореме 2, называется радиусом сходимости степенного ряда.
Промежуток (-R; R) называется промежуток сходимости степенного ряда. Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R.
ТЕОРЕМА 3:
Степенной ряд n=0∞Cnxⁿ с радиусом сходимости R сходится равномерно во всяком замкнутом промежутке [-r; r], где 0<r<R.
ТЕОРЕМА 4:
Сумма степенного ряда есть непрерывная функция внутри промежутка сходимости.
ТЕОРЕМА 5:
Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, лежащего внутри промежутка сходимости.
Замечание: Если степенной ряд
n=0∞Cn xn=C₀++C₁x+C₂x²+...+Cn xn+... (3)
Проинтегрировать почленно по какому – нибудь фиксированному промежутку [a; b] , то получится числовой ряд n=0∞abCn xn dx, т.к. определенные интегралы [a; b]- эти числа.
ТЕОРЕМА 6:
Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке внутри промежутка сходимости.
ТЕОРЕМА 7:
Радиусы сходимости рядов, полученных из некоторого степенного ряда почленным интегрированием или почленным дифференцированием, совпадают с радиусом сходимости исходного ряда.
Рассматривая степенные ряды вида (3), расположенные по степеням x , также рассматривают и степенные ряды более общего вида:
n=0∞Cn x-x0ⁿ=C0+C1x-x0+…+Cnx-x0ⁿ+..., расположенных по степеням двучлена x-x₀. Отрезками степенного ряда являются многочлены, что делает степенные ряды удобным средством для приближённых вычислений. Предположим, что рассматривается функция f(x) в промежутке [x₀,x₀+H] или [x₀-H, x₀] (H>0), имеет производные всех порядков. Тогда для всех значений x в этом промежутке имеет место формула (формула Тейлора)
fx=fx₀+f'x₀1!x-x₀+f″x₀2!x-x₀2+…++f″x₀n!x-x₀ⁿ+rnx-x₀ⁿ+,где rn (x)- дополнительный член, при этом n можно брать сколь угодно большим, т. е. доводить это разложение до сколь угодно высоких степеней x-x₀.
Это приводит к мысли о бесконечном разложении:
fx=fx₀+f'x₀1!x-x₀+f″x₀2!x-x₀2+…++f″x₀n!x-x₀ⁿ+rnx-x₀ⁿ+...Такой ряд независимо, от того сходится он и имеет ли, на самом деле, своей суммой f(x)- называется рядом Тейлора для функции f(x).
C₀=f(x₀), C₁= f'(x₀)/1!, C₂= f''(x₀)/2!, Cn= f''(x₀)/n!..,-коэффициенты Тейлора.
Т.к. разность между fx и суммой n+1 членов ряда Тейлора, в виду формулы Тейлора, есть как раз rnx, то очевидно: для того, чтобы при некотором значении x действительно имело место разложение в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член rnx формулы Тейлора – при этом значении x – стремился к нулю с возрастанием n:limn→∞rnx=0.ТЕОРЕМА 8:
Всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.
ТЕОРЕМА 9:
Для того, чтобы ряд Тейлора, составленный для функции fx, сходился в [-h; h] и имел своей суммой fx, необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член формулы Тейлора для fx стремился к нулю в [-h; h] при n→∞.ТЕОРЕМА 10:
Если функция fx, бесконечно дифференцируема в [-h; h] и все производные в [-h; h] ограничены одним числом
|f(n)(x)|≤M, n=1,2,3,4,…, то Тейлора функции fx сходится в [-h; h] к fx.§5.Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.
Раскладывая логарифмическую функцию в ряд Тейлора по степеням x, надо, чтобы сама функция и её производные имели смысл при x=0; если же взять fx=lnx, то как раз f0 и fⁿ0 при всяком n лишены смысла.
Поэтому рассмотрим логарифмическую функцию
fx=ln1+x. (1)
Эта функция и все её производные определены при x=0. Функция (1) определена для 1+ x>0, то есть для x>-1. Разложим функцию (1) в ряд, используя возможность почленного интегрирования степенных рядов.
Возьмём производную функции (1):
f'(x)=1/1+x; она может быть разложена в ряд Тейлора, т.к. дробь 1/1+t может рассматриваться как сумма геометрической прогрессии при |t|<1(знаменатель прогрессии равен – t)
f'(t)=1/1+t=1-t+t²-t³+...+(-1)n-1tn-1 +..., (2)
радиус сходимости равен единице.
Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в промежутке [0, x], где | x|<1:0xf'tdt=0xdt1+t==ln1+x⃒=ln1+x==0xdx-0xtdt+0xt2dt-…+-1n-10xtn-1dt+…==t|0x-t²/2|0x+t³/3|0x-…+(-1)n-1tn/n|0x+…==x-x²/2+x³/3-...+-1n-1xn/n+...итак,
ln1+x=x-x²/2+x³/3...+ -1n-1xn/n..., (3)
для | x|<1Проверим не сохраняется ли равенство (3) и при x=±1. Очевидно, что при x=-1 теряется смысл функции ln1+x, поэтому равенство (3) при x=-1 лишено смысла.
При x=1 сохраняется смысл и функции ln1+x, она обращается в число ln2, и ряд также имеет смысл
1-1/2+1/3-...+(-1)n-11/n+... (4)
Теперь проверим равенство:
ln2=1-1/2+1/3-...+(-1)n-11/n+... (5)
Для проверки равенства (5) поступим следующим образом: производя деление единицы на 1+t как многочлена и остановившись на (n+1)-ом шагу, получим:
1/1+t=1-t+t²-t³+...+(-1)n-1tn-1+(-1)n tⁿ⁄1+t.Интегрируем это равенство в промежутке [0, 1]:
01dt/1+t=ln(1+t)|01=ln2= 01dt-01tdt+01t²dt-...+(-1)ⁿ|01tⁿ/1+t dt =t|01-t²/2|01 +t³|01-...+(-1)ⁿ01tⁿ/1+t dt=1-1/2+1/3-...+(-1)n01tⁿ dt/1+t (6)

Сумма первых n- слагаемых в (6) является n- ой частичной суммой Sn ряда (4). Перепишем (6) в виде
ln2-Sn=(-1)ⁿ01tⁿ/1+t dt (7)
и оценим, интеграл в правой части пользуясь тем, что
tⁿ/1+t≤tⁿ, т.к. 0≤t≤1
(-1)ⁿ01tⁿ/1+t dt=01tⁿ/1+t dt≤01t²dt=tn-1/n+1|01=1/(n+1)
Отсюда следует, что при n→∞ интеграл в правой части (7) стремится к нулю, а ⟹, Sn→ln2, что означает, что сумма ряда (4) равна ln2, т.е верно (5).
Итак для -1< x≤1 справедливо разложение
ln1+x=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+...- -1n-1xn/n+... (8)
Логарифмическая функция (1) имеет смысл и при x>1, но ряд стоящий в правой части (8) при x>1, суммы не имеет, он расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.
§6.Определнеи определенного интеграла.
Прежде чем перейти к интегральному определению логарифмической функции дадим определение определённого интеграла.
 Пусть на замкнутом промежутке [a, b] задана функция f(x). Проделаем следующие операции:
     1) Раздробим [a, b] на части точками
x0 = a < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b,
причем наибольшую из разностей xk+1 - xk обозначим через λ.
   2) В каждом частичном промежутке [xk, xk+1] выберем по точке ξk и вычислим f(ξk).
     3) Умножим f(ξk) на длину (xk+1 - xk) соответствующего промежутка [xk, xk+1].
     4) Сложим все найденные произведения. Сумму

будем называть интегральной суммой.
     5) Будем изменять произведённое дробление [a, b] так, чтобы величина λ стремилась к нулю.
     Если при этом существует конечный предел
I=lim λ→0σ (1)не зависящий от выбора точек ξk, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается через
Точный смысл соотношения (1) таков: всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0, что при любом способе дробления, у которого λ < δ, будет
| σ - I | < ε,
как бы при этом ни были выбраны точки .
   Пример. Используя определение, вычислить интеграл ,
где С – некоторое число.
   Решение. Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками a = x0 < x1 < x2 < … < x i - 1 < xi < … < xn = b и составим соответствующую интегральную сумму. Так как подынтегральная функция f (x) = C постоянна, то для любого выбора промежуточных точек ξ i получим интегральную сумму вида:
.
Далее имеем:
.
Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек ξ i и равна
C·(b - a).
Следовательно, и ее предел при

равен той же величине. Таким образом, по определению,
.
§7.Интегральное определение логарифмической функции.
Понятие интеграла позволяет определить некоторые элементарные функции с помощью интеграла. Определим функцию ln x равенством
lnx=¹ˣdtt (1)Так как функция f(t)= 1t непрерывна в интервале (0,+∞), то интеграл (1) существует в том же интервале изменения x и, следовательно, интервал (0,+∞) является областью определения функции ln x.
Функция ln x дифференцируема (и поэтому непрерывна) в каждой точке области определения.
(ln x)'= (¹ˣdtt)'=1xФункция ln x возрастает в интервале (0,+∞). Это следует из того что в данном интервале 1x>0, то есть (ln x)' >0
ln1=¹¹dtt=05. Для любых a > 0 и b>0 ln (a·b)=ln a+ln b. Для доказательства рассмотрим функцию g(x) = ln(ax). Ее производная g(x)'=1x, но тогда ln (ах)и ln x являются различными первообразными функции 1x и поэтому
ln(ах)= ln х + С.
Полагая в этом равенстве x=1, получаем lna =С. Таким образом,
ln(ах)= ln х + ln a.
Очевидно, методом математической индукции это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых. Из равенства
ln a=lna(ab·b)=ln(ab)+lnbПолучаем
ln(ab)=ln a ̶ ln b
.6. Для любого xϵ(0,∞) и любого действительного a справедливо равенство
ln(xª)=a ln x
7. Множество значений функции ln x есть все множество действительных чисел. В самом деле, в силу непрерывности функции ln x множество её значений есть промежуток, но этот промежуток не ограничен сверху и снизу, так как, например,
ln2n =nln2, а ln2-n =-nln2.
§8. Аксиоматическое определение логарифмической функции.
Логарифмической функцией называется любой непрерывный гомоморфизм группы R+ в группу R, т.е. любая функция f из множества R>0 в множество R , обладающая свойствами:
1. fx·y=fx+fy.2. f- непрерывна.
Определение 1:Если в двух множествах ɱ и ɲ определены некоторые соотношения (например, a<b или a·b=c) и если каждому элементу a из ɱ так сопоставлены элемент a͞ =φa из ɲ, что все соотношения между элементами в ɱ выполняется и для образов в ɲ (например, из a<b ⇒a<b , если рассматривается соотношение <), то φ называется гомоморфизм или отображения ɱ в ɲ.
Определение 2: Пусть R- поле вещественных чисел. Функция f(x) с вещественной переменной x называется непрерывной при x=a, если для любого числа ε>0 существует такое число δ>0, при которых |f(a+h)-f(a)|<ε для |h|<δ.Логарифмической функцией с основанием a, где a>0 называется логарифмическая функция, обладающая дополнительным свойствам:
3. f(a)=1.
Из свойства 1. ,т.е. гомоморфности f·, получим свойство
4. f(1)=0.
При a =1 свойства 3. и 4. противоречат друг другу, поэтому логарифмическая функция с основанием a =1 не существует. Часто ограничение a≠1 включает в само определение логарифмической функции по основанию a, что, как мы видим, находит свое объяснение с аксиоматической точки зрения.
Логарифмическую функцию с основанием a обозначим: logax.Возникают вопросы о существовании хотя бы одной такой функции logax и о ее единственности. Перечислим основные свойства logax а предложении, что такая функция существует и единственная.
1°. loga(x·y)= logax+ logay для всех x, y∈ R;
2°. Функция logax- непрерывна;
3°. logaa=1;4°. loga(1)=0;5°. logax-1=-logax при x>0;6°. loga(x/y)=logax-logay при x, y>0;7°. loga(ax)=x для всех x∈ R.
Свойство 7° имеет важное следствие. Оно говорит о том, что композиция (logax)°ax равна тождественной функции id:R→R. Функция loga°:R→R сюръективна, так как для любого x∈ R по свойству 7°loga(ax).Определение 3: Если все объекты φ(a) принадлежат некоторому множеству N, то сопоставление a→ φ(a) называется отображением из M в N (где a∈ M). Элемент φ(a) называется образом элемента a, а a- прообразом элемента φ(a) .
Определение 4: Отображение множества M в множество N называется сюръективным или отображением из M на N , если каждый элемент из N имеет хотя бы один прообраз.
Функция инъективна, если y1, y2∈R>0 и y1 ≠y2, то y1 =ax1, y2 =ax2 и loga(ax1)=x₁, loga(ax2)=x₂ и x₁=x₂, т.к. иначе y1 =y2, Определение 5: Отображение множества M в множество N называется взаимно однозначным или инъективным, если каждый образ φa обладает ровно одним прообразом a.Определение 6: φ-биекция, если- всюду определенное,
- является суръективной,
- является функциональной,
- является инъективной.
Далее, °. loga(alogax)= logax и loga(x)=logax, и по инъективности функции loga° получаем alogax=x. Итак , мы доказали свойство:
8°. (ax)° (logax)=idСледовательно, обе функции logax и ax являются биекциями и эти биекции взаимно обратны. Таким образом, получено свойство:
9°. Логарифмическая функция по основанию a является биекцией, которая взаимно обратна с показательной функцией с основанием a.10°. Всякая логарифмическая функция по основанию a является изоморфизмом группы R+ на группу R.
Определение 7: Предположим, что можно установить взаимно однозначное отображение множества ɱ и ɱ друг на друга, при котором сохраняются соотношения; это означает, что если элементу a из ɱ взаимно однозначно соответствует элемент a из ɱ, то соотношения, выполняющие для произвольных элементов a, b,… и наоборот. В этом случае ɱ и ɱ называется изоморфными ( относительно данных соотношений) и пишут ɱ ≅ɱ. Само отображение называют изоморфизмом.
Функция logax обратна к функции ax, a≠1. Функция ax изоморфизм, а любая функция, обратная к изоморфизму, является изоморфизмом.
Следствием свойства 9° и монотонности показательной функции является монотонность функции logax:
11°. Функция logax монотонно возрастает, если a>1 и монотонно убывает, если 0< a<1.
12°. loga(xb)=b logax при b ∈R b ∈R>0.13°. logax=logac·logcxТЕОРЕМА: Существует единственная логарифмическая функция с основанием a>0, т.е. функция из R>0 в R со свойствами
1. fx·y=fx+fy.2. f- непрерывна.
3. f(a)=1.
Доказательство:
Существование.
Поскольку a>0 и a≠1, то функция ax будет изоморфизмом группы R+ на группу R. Тогда изоморфизм обратный к ней, обладает свойствами 1-3. Поэтому он является логарифмической функцией с основанием a.Единственность .Если существуют две функции со свойствами 1-3, т каждая из них по свойству 8° будет обратной функцией к одной и той же функции, а именно к показательной функции ax. Поэтому эти функции совпадают.
§9. Выводы по 2 главе.
Во второй главе мы рассмотрели различные подходы к введению логарифмической функции. Нами были изучены :обратная функция и её свойства, дифференцируемость, свойства функции y=aˣ, логарифмическая функция как обратная к показательной, степенные ряды, разложение логарифмической функции в ряд Тейлора, определение определенного интеграла, интегральное определение логарифмической функции, аксиоматическое определение логарифмической функции.
Глава 3. Применение историко-генетического метода при введение логарифмов в школе.
§1. Историко-генетический метод.
Использование на уроках элементов истории математики повышает интерес учащихся, имеет большое мировоззренческое и общекультурное значение, может оказывать воспитывающее влияние.
Учитель не только должен знать, как происходило развитие основных математических понятий и идей, но и понимать, что учащиеся в своем обучении кратко повторяют этот путь и сталкиваются с теми же трудностями, с какими сталкивались ученые, стоявшие у истоков формирования того или иного математического понятия. Учителю необходимо не только быть знакомым с историей науки, но параллельно, неразрывно с излагаемым материалом, обращать внимание на то, какие методические идеи и находки подсказывает ему история науки, следовать с историко-генетическому метод.В основе историко-генетического метода лежит следующее наблюдение: изучая математику, учащиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания. Если мы знаем этот путь, знаем историю математики, то можем, используя это знание, координировать учебный процесс, делая его более эффективным, а математику, преподносимую учащимся, более понятной. Поясним эту идею следующим высказыванием американского профессора М. Клайна: «Нет никакого сомнения, что затруднения, которые встретили великие математики, являются теми же камнями преткновения, какие встречают студенты, и что никакие попытки смазать эти трудности с помощью логической словесности не достигнут цели. И если нужны были 1000 лет, чтобы первоклассные математики добрались до понятия отрицательных чисел, и потребовалось еще 1000 лет, чтобы математики признали отрицательные числа, то можно быть уверенным, что учащиеся испытают затруднения с отрицательными числами. Больше того, учащимся придется преодолеть эти трудности почти тем же путем, каким это преодолели математики, постепенно привыкая к новым понятиям, оперируя с ними и используя все интуитивные средства, которые учитель сможет им привести».
Для того чтобы лучше разъяснить суть историко-генетического метода, рассмотрим кратко главные этапы его становления. Началом его проникновения в преподавание математики можно считан, появление в 1685 г. «Исторического и практического трактата по алгебре» Дж. Валлиса. Исторический подход к изложению предмета и метода алгебры, реализованный в трактате, вызывал у читателей большую заинтересованность и тем самым способствовал ускоренному постижению смысла излагаемого материала, логики выводов и доказательств. Таким образом, впервые было замечено, что если к математическим понятиям, терминам и символам подойти с позиции исторического развития, то они перестанут казаться искусственными и оторванными от жизни. Станет, виден их глубокий жизненный смысл, их естественность и необходимость. «Трактат по алгебре» Валлиса можно считать первым курсом алгебры, построенном на историко-генетических началах.
В XVIII в., т.е. спустя почти двести лет, французский математик А.К. Клеро, следуя за педагогической идеей Валлиса, уделил большое внимание историческому методу в процессе обучения математике. Он считал очень продуктивной методику, которая учит искать и делать открытия, потому что при таком изложении математических утверждений указывается, каким образом люди пришли к открытию.
В середине XIX столетия англичанин В.Г. Спенсер опубликовал книгу «Геометрия путем изобретения», в которой излагал для детей геометрию не обычным дидактическим способом, а знакомил читателей с геометрическими представлениями, постепенно и как бы только подготавливая к ее изучению. Такая методика также дала положительные результаты.
В конце XIX — начале XX столетий историко-генетический метод стал широко популяризироваться деятелями математического образования. В 1904 г. французский математик А. Пуанкаре писал: «Зоологи считают, что за короткий период развития эмбриона животного он воспроизводит историю своих предшественников всех эпох. Кажется, что-то же самое происходит в развитии ума. Задача воспитания - дать уму ребенка пройти то, что изведали его предки, пройти быстро определенные этапы, но не опустить ни одного из них. Для достижения этой цели история науки должна служить поводырем».
В России одним из активных пропагандистов историко-генетического метода был русский исследователь истории математики и математического образования В.В. Бобынин. Приведем цитату из его работы 1886 г. «Философское, научное и педагогическое значение истории математики»: «Умственное развитие молодых поколений управляется теми же законами и вследствие этого проходит в существенных чертах те же самые фазы развития, которые имели место в соответствующих ступенях умственного развития всего человечества... преподавание каждой науки должно идти тем же путем, которым шла при своем развитии сама наука...». Такой метод В.В. Бобынин называет генетическим, понимая под этим «метод, развивающий в преподавании положения и выводы науки именно таким образом, как они развивались в действительности». В качестве основного педагогического значения истории математики Бобынин указывает именно на значение ее для генетического метода преподавания. Фактически о том же говорит и русский психолог и педагог П.Ф. Каптерев: «Наиболее удобная в педагогическом отношении форма изложения есть генетическая, когда сообщается история происхождения знания, показывается, как знание возникло и развивалось».
Определенного рода повторяемость общего пути умственного развития человечества в формировании индивидуального сознания, которую на опыте собственной педагогической деятельности подмечали многие преподаватели XIX в., в середине XX столетия стала предметом психологических исследований. Психолог В.В. Давыдов считает, что учащиеся присваивают культурные формы в процессе учебной деятельности, осуществляя при этом мыслительные действия, адекватные тем, посредством которых исторически вырабатывались продукты духовной культуры, т.е. школьники как бы воспроизводят реальный процесс создания людьми понятий, образов, ценностей и норм. Отсюда В.В. Давыдов делает важный вывод о том, что обучение в школе всем предметам необходимо строить так, чтобы оно «в сжатой сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития... знаний». Таким образом, историко-генетический метод действительно может играть большую роль в преподавании математики, так как именно он позволяет учащимся пройти тот путь, который проходило человечество, добывая математические знания.
Историко-генетический метод побуждает каждый раз обосновывать введение того или иного понятия, рассказывая, какие задачи практики привели к его открытию, и как оно впервые использовалось. С его помощью учитель может предвидеть трудности, возникающие при усвоении учащимися школьной программы и преодолевать их, используя исторический опыт.
Историко-генетический метод способен подсказать учителю решение и некоторых чисто методических проблем, например, как лучше спланировать изучение данного учебного материала, какой методической разработке отдать предпочтение, в какой последовательности изучать те или иные темы. «Вообще, мы можем ожидать больший успех делая то, что нам подсказывает генетический принцип, чем следуя чисто формальной концепции математики». Этот метод может оказать учителю большую помощь при реализации в учебном процессе эвристических приемов: чтобы подвести учащихся к открытию математического факта, учитель должен кратко пройти вместе с ними тот путь, который привел людей к установлению этого факта.
Однако преподаватели прекрасно понимают, что попытка воспроизвести весь исторический путь познания математической истины, повторяя все детали ошибок и заблуждений первооткрывателей, приведет к отказу от тех преимуществ, которые предоставляют дидактике современные обобщающие идеи, концепции и методы науки, и, как следствие, к разрушению логической структуры курса. Поэтому историко-генетическому методу противопоставляется другой метод преподавания - логический.
При логическом изложении не должно быть ничего лишнего, никаких нарушающих стройность предмета исторических случайностей. Однако и ходе преподавания стало очевидным, что логический метод также не лишен недостатков. В своей строго логической форме, без указаний на происхождение понятий и выхода теории в практику, математическая дисциплина принимает слишком искусственный характер, «...мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаем понимать, как и почему они были поставлены». По этой причине логическое изложение не заинтересовывает даже способных учащихся так, как могло бы.
Вот почему уже много лет не угасает интерес к историко-генетическому методу. Однако очевидно, что этот метод эффективен лишь в том случае, когда в процессе изложения научных понятий правильно найдено соотношение логического и исторического подхода в преподавании. Говоря об историко-генетическом методе, мы, безусловно, не имеем в виду его крайние формы - повторение в преподавании развития математического знания со всеми нюансами и тонкостями. Для методически правильной организации обучения учителю, прежде всего, необходимо знать общие законы развития математической науки, пути формирования и становления математических понятий и идей.
В конце XIX в. история математики как наука лишь зарождалась и поэтому не могла решить поставленных перед нею задач. Только в наше время, когда, благодаря исследованиям таких историков математики, как
Г.Г. Цейтен, Б.Л. Ван-дер-Варден, Г. Вилейтнер, И.Я. Депман, А.П. Юшкевич, Б.А. Розенфельда и др., накоплен и систематизирован колоссальный историко-математический материал, стало возможным на основе этих данных делать обобщения, говорить об общих законах развития математического знания, прослеживать пути формирования математических понятий от их зарождения до современного состояния.Исторические справки и сведения, эвристические идеи выводов формул и доказательств теорем, яркие несложные примеры, несомненно, заинтересуют учащихся и сделают более эмоциональными уроки математики, и главное, позволят им в случае необходимости даже через несколько лет снова вывести уже забытую формулу или теорему. Отметим также, что основные этапы эвристического рассуждения, реализуемого на уроке, могут быть подсказаны учителю данными истории математики и осуществлены с помощью историко-генетического метода.
Историко-генетический метод преподавания нельзя сводить только к использованию отдельных историко-математических сведений на уроках математики. Реализуя этот метод в своей работе, учитель повторяет вместе с учащимися путь развития науки, ведет их по пути новых открытий. Отдельные историко-математические сведения, которые он использует, - это лишь вершина айсберга, каким является метод. Разумеется, учителю необходимо знать и отдельные частные сведения, которые он может непосредственно рассказывать на уроке. Но если учитель знает основные этапы развития математических понятий и идей и знает конкретно, какой фрагмент этих сведений он хочет изложить учащимся, то подобрать нужный историко-математический материал ему будет несложно.
Историко-математические сведения, излагаемые учителем, могут быть самыми разными и нести самую разнообразную смысловую нагрузку, однако наиболее эффективным их использование будет лишь в том случае, если они излагаются в системе, единым методом и если их использование позволяет сделать изложение материала более последовательным, понятным, целостным и интересным.§2. Введение логарифма в школьном курсе математики как
площадь под гиперболой.
Идею сопоставления арифметической и геометрической прогрессии можно интерпретировать так.
Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой а₀ = 2; q = 1,2. Вычисления дают:
а₀ = 2; а₁ = 2,4; а₂ = 2,88; а₃ = 3,46; а₄ = 4,15; а₅ = 4,98, ...
Строим оси координат и график гиперболы у = 1x
Вдоль оси Ох откладываем от начальной точки О последовательно отрезки:
ОА = 1; ОР₀ = 2; ОР₁ = 2,4; ОР₂ = 2,88; ОР₃= 3,46; ОР₄ = 4,15;
ОР₅ = 4,98.
В концах этих отрезков строим ординаты точек гиперболы. Мы получим криволинейную фигуру АР₀М₀В и ряд криволинейных фигур Р₀Р₁М₁М₀, P₁Р₂M₂M₁, Р₂Р₃М₃М₂.
Величина площади таких фигур не зависит от длины отрезков
[а₁ ... а₂], [а₂ ... а₃] и т. д., но только от отношений a₂a₁,a₃a₂, … В данном случае, согласно определению геометрической прогрессии, отношения: a₂a₁,a₃a₂,a₄a₃ … все равны между собойa₂a₁=a₃a₂=a₄a₃=…=q=1,2.
А потому можно утверждать, что все указанные площади (за исключением первой) равны между собой: S. Р₀Р₁М₁М₀ = S. P₁Р₂M₂M₁ = S. Р₂Р₃М₃М₂ = ... = S.
Площадь первой фигуры АР₀М₀В обозначим S₀. Отсюда получаем
площадь на отрезке [1 ... а₀] = S₀
» » » [1 ... а₁] = S₀ + S;
» » » [1 ... а₂] = S₀ + 2S;
» » » [1 ... а₃] = S₀ + 3S;
» » » [1 ... а₄] = S₀ + 4S;
................................................................
» » » [1 ... аn] = S₀ + nS.
Таким образом площади, опирающиеся на эти отрезки, составляют арифметическую прогрессию, в то время как длины отрезков ОР₀, OP₁, ОР₂, ОР₃,... образуют геометрическую прогрессию. Этим мы установили связь между обеими прогрессиями.
Рассмотрим ещё геометрическую прогрессию, у которой начальный член а₀ = 1:
1, q, q², q³ ,q⁴, ...
Пусть, например, q = 1, 2. Если для этой прогрессии построить график такой как для предыдущей, то получим ряд равных между собою площадей:
AP₁M₁B, P₁Р₂M₂M₁, Р₂Р₃М₃М₂; ... .

Получаем:
площадь на отрезке [1 ... 1 ] = O.
» » » [1 ... q] = S₀;
» » » [1 ... q²] = 2S₀;
» » » [1 ... q³] = 3S₀;
» » » [1 ... q⁴] = 4S₀;
.............................................................
» » » [1 ... qⁿ] = nS₀;
И здесь имеет место соответствие между геометрической прогрессией
ОА = 1; ОР₁ = q; ОР₂ = q²; ОР₃ = q³; , ... ,
и арифметической прогрессией
0; S₀; 2S₀; 3S₀; 4S₀; ...
Связь между геометрической прогрессией длин отрезков и арифметической прогрессией площадей можно формулировать cлeдующим образом: возвышению в степень длины отрезка q соответствует умножение площади S₀ на число n. Площадь криволинейной трапеции над отрезком (1,х) оси абсцисс, ограниченная дугой равнобочной гиперболы, представляет собой натуральный логарифм числа x.
Ф.Клейн (1849-1925) принадлежит к числу математиков–классиков обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших её лицо излагает свою идею введения логарифмов в школе по простому и естественному способу: по его мнению основным принципом должно быть признание квадратуры уже известных кривых правильным источником для введения новых функций. Это соответствует, с одной стороны, историческому положению вещей, а с другой, методу, применяемому в высших частях математики. Следуя этому общему принципу, надо исходить из гиперболы ɳ= 1ξ и назвать логарифмом х число, измеряющее площадь, которая содержится между кривой и осью абсцисс, а с боков ограничена ординатами боков ограничена ординатами ξ=1 и ξ=х Передвигая вторую ординату, можно легко на основании геометрической интуиции составить себе качественное представление об изменении этой площади при изменении х и, следовательно, приблизительно построить кривую у= ln х. Чтобы возможно более просто получить функциональное уравнение логарифма, можно, например, исходить из равенства
lxdξξ=ccxdξξкоторое получается при преобразовании cξ=ξ' переменных интегрирования; это равенство говорит, что площадь, заключенная между ординатами 1 и х, равна площади, заключенной между ординатами с и с х, в с раз более удаленными от начала. Этот факт легко сделать весьма наглядным геометрически, если обратить внимание на то, что величина площади должна оставаться неизменной, если передвигать ее под гиперболой и в то же время растягивать в такой же мере, в какой уменьшается высота. Но из этой теоремы вытекает непосредственно теорема сложения!
1xdξξ+1xdξξ=1xdξξ+xx·xdξξ=1x·xdξξ Этот путь можно применить в школьной практике.
Приложения.
Логарифмы вокруг нас.
Изобретение логарифмов, сокращая вычисление нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов.
Лаплас
История возникновения логарифмов и логарифмической линейки
Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2: Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 – 10–7)ґ107, приближенно равное 1/e. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10–4) ґ104, достаточно хорошему приближению числа e. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.
Для чего были придуманы логарифмы? Конечно для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Неппер, так говорит о своих побуждениях:
«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики»
В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени)

Г. Бригс Д. Непер.
Соперники логарифмов
Ранее изобретения логарифмов потребность в ускорении выкладок породила таблицы иного рода, с помощью которых действие умножения заменяется не сложением, а вычитанием. Устройство этих таблиц основано на тождестве
ab=(a+b)²4-(a-b)²4.в верности которого легко убедиться, раскрыв скобки.
Имея готовые четверти квадратов, можно находить произведение двух чисел, не производя умножения, а вычитая из четверти квадрата суммы этих чисел четверть квадрата их разности. Те же таблицы облегчают возвышение в квадрат и извлечение квадратного корня, а в соединении с таблицей обратных чисел упрощают и действие деления. Их преимущество перед таблицами логарифмическими состоит в том, что с помощью их получаются результаты точные, а не приближенные. Зато они уступают логарифмическим в ряде других пунктов, практически гораздо более важных. В то время как таблицы четвертей квадратов позволяют перемножать только два числа, логарифмы дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, а кроме того - возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем (целым или дробным). Вычислять, например, сложные проценты с помощью таблиц четвертей квадратов нельзя.
Тем не менее таблицы четвертей квадратов издавались и после того, как появились логарифмические таблицы всевозможных родов. В 1856 г. во Франции вышли таблицы под заглавием:
"Таблица квадратов чисел от 1 до 1000 миллионов, помощью которой находят точное произведение чисел весьма простым приемом, более удобным, чем помощью логарифмов. Составил Александр Коссар".
Идея эта возникает у многих, не подозревающих о том, что она уже давно осуществлена. Ко мне раза два обращались изобретатели подобных таблиц как с новинкой и очень удивлялись, узнав, что их изобретение имеет более чем трехсотлетнюю давность.
Другим, более молодым соперником логарифмов являются вычислительные таблицы, имеющиеся во многих технических справочниках. Это - сводные таблицы, содержащие следующие графы: квадраты чисел, кубы, квадратные корни, кубические корни, обратные числа, длины окружности и площади кругов для чисел от 2 до 1000. Для многих технических расчетов таблицы эти очень удобны, однако они не всегда достаточны; логарифмические имеют гораздо более обширную область применения.
Логарифмические диковинки
Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются 3- и 4-значными таблицами, то, с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14-значные логарифмы Бригга. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, - тем точнее, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14-значных логарифмов*; но среди 500 всевозможных образцов логарифмических таблиц, вышедших в свет со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Назовем, например, 20-значные логарифмы чисел от 2 до 1200, изданные во Франции Калле (1795). Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие логарифмические диковинки, о существовании которых, как я убедился, не подозревают и многие математики.
Вот эти логарифмы-исполины; все они - не десятичные, а натуральные*:
48-значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000;
61-значные таблицы Шарпа;
102-значные таблицы Паркхерста
и, наконец, логарифмическая сверхдиковинка: 260-значные логарифмы Адамса.
В последнем случае имеем, впрочем, не таблицу, а только так называемые натуральные логарифмы пяти чисел: 2, 3, 5, 7 и 10 и переводный (260-значный) множитель для перечисления их в десятичные. Нетрудно, однако, понять, что, имея логарифмы этих пяти чисел, можно простым сложением или умножением получить логарифмы множества составных чисел; например, логарифм 12 равен сумме логарифмов 2, 2 и 3 и т. п.
К логарифмическим диковинкам можно было бы с полным основанием отнести и счетную линейку - "деревянные логарифмы", - если бы этот остроумный прибор не сделался благодаря своему удобству столь же обычным счетным орудием для техников, как десятикосточковые счеты для конторских работников. Привычка угашает чувство изумления перед прибором, работающим по принципу логарифмов и тем не менее не требующим от пользующихся им даже знания того, что такое логарифм.
* (14-значные логарифмы Бригга имеются, впрочем, только для чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 101000.)
* (Натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718..., о котором у нас еще будет речь впереди.)
Логарифмы на эстраде
Самый поразительный из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками, без сомнения следующий. Предуведомленные афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, вы заготовляете дома путем терпеливых выкладок 31-ю степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-значным числовым линкором. В надлежащий момент вы обращаетесь к счетчику со словами:
- А попробуйте извлечь корень 31-й степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.
Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже написан результат: 13.
Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-й степени, да еще в уме, да еще с молниеносной быстротой!... Вы изумлены, уничтожены, а между тем во всем этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13, которое в 31-й степени дает 35-значный результат. Числа, меньшие 13, дают меньше 35-цифр, большие - больше.
Откуда, однако, счетчик знал это? Как разыскал он число 13? Ему помогли логарифмы, двузначные логарифмы, которые он помнит наизусть для первых 15-20 чисел. Затвердить их вовсе не так трудно, как кажется, особенно если пользоваться тем, что логарифм составного числа равен сумме логарифмов его простых множителей. Зная твердо логарифмы 2, 3 и 7*, вы уже знаете логарифмы чисел первого десятка; для второго десятка требуется помнить логарифмы еще четырех чисел.
Изумивший вас математический трюк состоял в следующем:
lg 31(35 цифр)=34,...31Искомый логарифм может заключаться между 34/31 и 34,99/31 или между 1,09 и 1,13.
В этом интервале имеется логарифм только одного целого числа, именно 1,11 - логарифм 13. Таким путем и найден ошеломивший вас результат. Конечно, чтобы быстро проделать все это в уме, надо обладать находчивостью и сноровкой профессионала, но по существу дело, как видите, достаточно просто. Вы и сами можете теперь проделывать подобные фокусы, если не в уме, то на бумаге.
Пусть вам предложена задача: извлечь корень 64-й степени из 20-значного числа.
Не осведомившись о том, что это за число, вы можете объявить результат извлечения: корень равен 2.
В самом деле, lg 64(20 цифр)=19,...64 ;
он должен следовательно, заключаться между 19/64 и 19,99/64, т. е. между 0,29 и 0,32. Такой логарифм для целого числа только один: 0,30..., т. е. логарифм числа 2.
Вы даже можете окончательно поразить загадчика, сообщив ему, какое число он собирался вам продиктовать: знаменитое "шахматное" число
18446744073709551616.
* (Напомним, что lg 5 = lg 10/2 = 1 - lg 2.)
Логарифмы на животноводческой ферме
Задача
Количество так называемого "поддерживающего" корма (т. е. то наименьшее количество его, которое лишь пополняет траты организма на теплоотдачу, работу внутренних органов, восстановление отмирающих клеток и т. п.)* пропорционально наружной поверхности тела животного. Зная это, определите калорийность поддерживающего корма для вола, весящего 420 кг, если при тех же условиях вол 630 кг весом нуждается в 13500 калориях.
Решение
Чтобы решить эту практическую задачу из области животноводства, понадобится, кроме алгебры, привлечь на помощь и геометрию. Согласно условию задачи искомая калорийность х пропорциональна поверхности (s) вола, т. е.
x/13500 = s/s1,
где s1 - поверхность тела вола, весящего 630 кг. Из геометрии мы знаем, что поверхности (s) подобных тел относятся, как квадраты их линейных размеров (l), а объемы (и, следовательно, веса) -как кубы линейных размеров. Поэтому ss₁=l²l₁², 420630=l³l³₁, и значит, ll₁=34203630 ,
откуда
x13500=3420630=3(420630)²=3(23)²,x=13500349С помощью логарифмических таблиц находим: х = 10300.
Вол нуждается в 10300 калориях.
* (В отличие от "продуктивного" корма, т. е. части корма, идущей на выработку продукции животного, ради которой оно содержится.)
Логарифмы в музыке
Музыканты редко увлекаются математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держаться от нее подальше. Между тем музыканты - даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, "алгеброй гармонию", - соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы. Приведу отрывок из статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхенвальда. (Она была напечатана в "Русском астрономическом календаре на 1919 г." и озаглавлена "О больших и малых расстояниях".)
"Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой". Но можно доказать , что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так называемые "ступени" темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Положим, что нота do самой низкой октавы - будем ее называть нулевой октавой - определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т. д.; 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в 122 большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой
Npm=n·2m(122 )ᵖ.
Логарифмируя эту формулу, получаем:
lg Npm = lg n + m lg 2 + p lg 2/12 или lg Npm = lg n + (m + p/12)lg 2,
а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg 2 = 1), имеем:
lg Npm = m + p/12.
Отсюда видим, что номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве** - мантиссу этого логарифма".
Например, -, - в тоне sol третьей октавы, т. е. в числе 3 + 7/12 (≈ 3,583), число 3 есть характеристика логарифма числа колебаний этого тона, a 7/12
(≈ 0,583) - мантисса того же логарифма при основании 2; число колебаний, следовательно, в 23,583, т. е. в 11,98, раза больше числа колебаний тона do первой октавы.
* Умноженные на 12.
** Деленный на 12.
Звезды, шум и логарифмы
Речь, в самом деле, пойдет о звездах и о шуме в тесной связи с логарифмами.
Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.
Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что "величина" звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит "бел", практически - его десятая доля, "децибел". Последовательные степени громкости - 1 бел, 2 бела и т. д. (практически - 10 децибел, 20 децибел и т. д.) - составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же "сила" этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.
Дело станет яснее, если рассмотрим несколько примеров.
Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь - в 6,5 бела, рычанье льва - в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в
106,5-1 = 105,5 = 316000 раз; львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в
108,7-6,5 = 102,2 = 158 раз.
Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы ив 10-100раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).
Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое - следствие общего закона (называемого "психофизическим законом Фехнера"), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Логарифмическая комедия
Задача
В добавление к тем математическим комедиям, приведем "доказательство" неравенства 2 > 3. На этот раз в доказательстве участвует логарифмирование. "Комедия" начинается с неравенства
1/4 > 1/8,
бесспорно правильного. Затем следует преобразование:
(1/2)2 > (1/2)3,
также не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит,
2lg10 (1/2) > 3lg10 (1/2).
После сокращения на lg10 (1/2) имеем: 2 > 3. В чем ошибка этого доказательства?
Решение: Ошибка в том, что при сокращении на lg10 (1/2) не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg10 (1/2) есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмировали при основании не 10, а другом, меньшем чем 1/2, то lg (1/2) был бы положителен, но мы не вправе были бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.]