МЕТОДИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения по специальности: 15.02.08 — Технология машиностроения
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»
МЕТОДИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине «Математика»
для студентов заочной формы обучения
по специальности:
15.02.08 - Технология машиностроения
2015г.
Составитель: Мозговая И.В., преподаватель СП ГБОУ СПО «Ленинградский машиностроительный техникум им. Ж. Я. Котина»
Рассмотрена и одобрена на заседании цикловой комиссии
Протокол № 7 от 14.05.2015 г.
Председатель предметно-цикловой комиссии:
__________________/Сергеева И.В./
Согласована на заседании методического совета
Протокол № 7 от 28.05.2015 г.
Заместитель директора по УР:
__________________/Семенова С.А./
Содержание
Введение4
Глава I. Теория пределов
1. Последовательности, виды последовательностей.....................................................................5
2. Предел последовательности........................................................................................................6
3. Функции (повторение).................................................................................................................8
4. Предел функции в точке..............................................................................................................9
Глава II. Дифференциальное исчисление
1. Производная, механический и геометрический смысл производной,
уравнение касательной правила дифференцирования...............................................................12
2.Приложения производной к исследованию функции.............................................................14
3.Дифференциал, приложения дифференциала..........................................................................19
Глава III. Интегральное исчисление
1. Первообразная. Неопределенный интеграл............................................................................22
2. Определенный интеграл...........................................................................................................29
3. Приложения интеграла............................................................................................................ 31
Контрольная работа...34
ВВЕДЕНИЕ
Решение обучающимися задач по высшей математике часто сопряжено со многими трудностями. Помочь преодолеть эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач - основное назначение данного пособия.
Предлагаемые материалы предназначены для обучения на занятиях и самостоятельного изучения программы по математике. Они позволяют дифферинцировать обучение путем сочетания теоретического материала, подробного разбора основных методов и примеров решения задач.
Весь материал распределен по трем зачетным разделам (главам) программы. Каждая глава состоит из нескольких параграфов, которыми определяется ее теоретическая часть.
Все главы содержат:
-краткое изложение теоретического материала;
-примеры с подобным разбором разных методов решения;
-упражнения для самостоятельного решения;
Итоговая контрольная работа выполняется после изучения курса в соответствии с вариантом. Варианты рассчитаны на группу обучающихся в количестве 25 человек.
Данное пособие написано в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами и программой курса «Математика» для средних специальных учебных заведений.
Предназначено для внутреннего пользования.
ГЛАВА 1.ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Последовательности, виды последовательностей.
Выпишем в порядке убывания правильные положительные дроби с числителем 1:
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415..
Каждому натуральному числу соответствует правильная дробь: 113 EMBED Equation.3 1415; 213 EMBED Equation.3 1415; 313 EMBED Equation.3 1415 и т.д. В общем случае любому натуральному числу соответствует единственно правильная дробь с числителем 1, т.е. n13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, между множеством всех натуральных чисел и множества дробей вида 13 EMBED Equation.3 1415 установлено соответствие. Это соответствие – функция, областью определения которой служит множество 13 EMBED Equation.3 14151,2,3,4,n
А множеством значений 13 EMBED Equation.3 1415
Функция, определенная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.
Значение функции, соответствующие значениям аргумента 1, 2, 3, принято называть 1-м, 2-м, 3-м, n-м и т.д. членом последовательности.
Последовательность обозначают (а1, а2, а3..аn) или (аn). Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n-ого члена последовательности.
Пример: Последовательность задана формулой Хn=13 EMBED Equation.3 1415
Найдите Х1; Х5; Хr-2; Хк; 13 EMBED Equation.3 1415
Подставим вместо n последовательность 1, 5, к-2, к, к+3, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим примеры:
(аn)= 13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что каждый член данной последовательности начиная, со второго, больше предыдущего, т.е. аn+113 EMBED Equation.3 1415> аn для любого n. Такую последовательность называют возрастающей.
Последовательность (аn) называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего.
(Хn) = 1;13 EMBED Equation.3 1415каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. Хn+1 < Хn для любого типа n. Такую последовательность называют убывающей.
3) (Zn) = 1; 1; 2; 2; 3; 3; у этой последовательности Zn+1 13 EMBED Equation.3 1415 Zn; такую последовательность называют неубывающей.
4) (Yn) = 2; 2; 1/2; 1/2; 1/3; 1/3;..у этой последовательности Yn+1 13 EMBED Equation.3 1415 Yn такую последовательность называют невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называют монотонными.
5) (Вn) = -1; 1; -1; 1; .(-1)n- не является монотонной.
Последовательность (Хn) называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число M(m), что для всех членов этой последовательности выполняется первенство Хn 13 EMBED Equation.3 1415 M (Xn13 EMBED Equation.3 1415 m). Числа M и m называют соответственно верхней и нижней границами последовательности (Хn). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом m) геометрически означает, что ни одна точка Хn не лежит правее точки М (левее точки m).
Последовательность (Хn) называется ограниченной, если существуют два числа M и m такие, что для всех n выполняется неравенство m 13 EMBED Equation.3 1415 Xn 13 EMBED Equation.3 1415 M. Тот факт, что последовательность ограничена числами M и m геометрически означает, что все её члены помещаются в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415.
Последовательность (Хn) называется постоянной, если все её члены совпадают.
Пример: Доказать, что последовательность (Хn)= 13 EMBED Equation.3 1415 ограничена снизу и сверху.
Хn =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (Хn=1+13 EMBED Equation.3 1415); т.е. последовательность ограничена снизу.
Хn =1+ 13 EMBED Equation.3 1415- правильная дробь 13 EMBED Equation.3 1415 1<13 EMBED Equation.3 1415
§ 2 Предел последовательности
Рассмотрим последовательность Хn=13 EMBED Equation.3 1415. Замечаем, что при возрастании номера n члены последовательности приближаются к нулю, причем расстояние между нулём и точками изображающие члены последовательности могут быть как угодно малыми. В этом случае говорят, что предел последовательности (Хn) равен нулю, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Х
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Число а называют пределом последовательности Хn если для любого 13 EMBED Equation.3 1415 все члены последовательности Хn кроме, может быть, конечного их числа, лежат в 13 EMBED Equation.3 1415 - окрестности (а-13 EMBED Equation.3 1415; а +13 EMBED Equation.3 1415) точки а, т.е. найдется такое натуральное число N, что при n>N будет выполнено неравенство
(Хn –а)< 13 EMBED Equation.3 1415.
Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.
Если последовательность (Хn) имеет пределом число а, то пишут 13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность называется бесконечной малой, если её предел равен нулю 13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности 13 EMBED Equation.3 1415
Если (аn) –бесконечно большая последовательность, то последовательность 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415бесконечно малаяЕсли (аn) – бесконечно малая, то 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно большая.
Теоремы о пределах
1)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 след. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 С13 EMBED Equation.3 1415R
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры: Разделить числитель и знаменатель на n и применить теорему о пределе частного
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельного решения
1) Вычислить пять первых членов последовательности.
а) Хn=2n+5
б) Хn=13 EMBED Equation.3 1415
в) Хn=13 EMBED Equation.3 1415
г) Хn= 4n2+3n+1
2) Напишите общий член последовательности:
а) 1; 13 EMBED Equation.3 1415
б) 1; 7; 13; 19;
в) 2; 4; 8; 16; 32;
г) 1; 7; 17; 31;
Даны последовательности:
а) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415 б) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415 в) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415 г) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415
Докажите, что последовательности а и б – возрастающие, в и г – убывающие.
Даны последовательности:
а) Хn= 3n-1 б) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415 в) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415 г) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415 д) Хn= 13 EMBED Equation.3 1415
Какие из них являются ограниченными?
Вычислите пределы последовательностей:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415 д) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 е) 13 EMBED Equation.3 1415
§ 3 Функции (повторение)
Функцией называют соответствие двух множеств D и Е, где D13 EMBED Equation.3 1415 и Е 13 EMBED Equation.3 1415 R, при котором каждому элементу х 13 EMBED Equation.3 1415 D соответствует единственный элемент у 13 EMBED Equation.3 1415 Е.
Множество D называют областью определения функции, а множество Е – множеством значения функции. О.О.Ф. обозначают D (
· ), а множество её значений – Е(
· ).
Функция у=
· (х), полностью определяется заданием множество пар (х;
·(х)), где х пробегает все множество D (
·), а
·(х) – соответствующие значения функции.
Для каждой функции необходимо и достаточно задать закон соответствия
·, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения.
Функция может быть задана: аналитически, таблицей, функциональной шкалой, словесно или еще каким-либо способом.
Задачи:
1) Дана функция
·(х)=х3-2х+х-1
Найти:
·(-1);
·(2)
Подставим в функцию вместо х значение –1 и 2.
·(-1)=(-1)3-2·(-1)2+(-1)-1=-5
·(2)=23-2·22+2-1=1
2) Найти области определения функций:
а) у=13 EMBED Equation.3 1415 Функция дробно-рациональная, знаменатель не должен быть равен нулю.
Поэтому: х2-5х+6
·0. Находим: х
·2, х
·3.
Следовательно, область определения функции любое значение кроме х=2 и х=3.
D(у)=13 EMBED Equation.3 1415
б) у=13 EMBED Equation.3 1415 Функция иррациональная, значит выражение, стоящее под корнем, должно быть больше или равно нулю.
Решаем неравенство 2х-413 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Находим: х13 EMBED Equation.3 1415
Значит, D(у)=[2;13 EMBED Equation.3 1415
в) у=13 EMBED Equation.3 1415 Решаем систему неравенств
13 EMBED Equation.3 1415
Значит, D(у)=[1;13 EMBED Equation.3 1415
г) у=13 EMBED Equation.3 1415 Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 решаем методом интервалов.
+ - + Значит, D(у)=13 EMBED Equation.3 1415
-3 2/3
§ 4 Предел функции в точке
Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа
· существует такое положительное число
·, что при всех х
· а, таких, что |x – a |<
·, выполняется неравенство | f(x) – a | <
·.
Данное определение предполагает, что функция у = f(x) определена в некоторой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] точки а, кроме, быть может, самой точки а.
Указанный предел обозначается так: 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрически существование предела функции в точке означает, что для любого числа
·> 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2
· > 0, высотой 2
· и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–
·; а +
·), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике – см. рис.:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Критерий Коши существования предела функции в точке.
Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа
· > 0 можно указать такую проколотую [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] точки а, что для любых чисел х1 и х2, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство | f(x1) – f(x2) | <
·.
Пример: Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415
Зададим произвольное13 EMBED Equation.3 1415 и покажем, что существует 13 EMBED Equation.3 1415такое, что из неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 вытекает неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 Имеем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,. Значит, если положить 13 EMBED Equation.3 1415, то выполнение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 влечет за собой выполнение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, согласно определению заключаем, что 13 EMBED Equation.3 1415
Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции, аналогичных теоремам о пределе числовой последовательности.
1) 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Замечательные пределы:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 1a) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 2a) 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Функция у=
·(х) называется непрерывной в точке а, если предел функции в точке а существует и равен значению в этой точке, т.е. если 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, если в точке а функция непрерывна, то:
существует предел функции в точке а;
этот предел совпадает со значением функции в точке х=а.
Если одно из указанных условий непрерывности функции в точке х=а нарушено, то в этой точке функция имеет разрыв и эту точку называют точкой разрыва функции.
Упражнения для самостоятельного решения
Является ли функция f(x) непрерывной в точке х0=2, если 13 EMBED Equation.3 1415
и f(2)=4 ?
Ответ обоснуйте.
Является ли функция f(x) непрерывной в точке х0=7, если 13 EMBED Equation.3 1415
и f(7)=-5? Ответ обоснуйте.
Вычислите пределы функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 7) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 8) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ГЛАВА II. ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Производная; механический и геометрический смысл производной;
уравнение касательной; правила дифференцирования.
Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции (13 EMBED Equation.3 1415в этой точке к приращению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415, когда последнее стремится к нулю:
13 EMBED Equation.3 1415
а) При прямолинейном движении точки скорость V в данный момент t = t0 есть производная от пути S по времени t, вычисленная при t=t0 13 EMBED Equation.3 1415 . Ускорение а в данный момент t=t0 есть производная от скорости V по времени t, вычисленная при t=t0 13 EMBED Equation.3 1415
б) Производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в этой точке.
y y
·
·
0 x0 x 0 x0 x 0 x0 x
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
в) Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х0:
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица производных
1. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415 11. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415
Правила дифференцирования.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Второй производной функции
у=f(x) называется производная от производной 13 EMBED Equation.3 1415и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнение для самостоятельного решения13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить производные следующих функций:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·11.Точка движется прямолинейно по закону S=2t3 +t2 –4. Найти скорость и ускорение в момент времени t=4.
12.Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону S=3t2 +t+4. Найти кинетическую энергию (Ек=mV2/2) через 4 с после начала движения.
13.Напишите уравнение общей касательной к параболам у=х2 +2х и у=х2 - 4х.
Решение : 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 х1=х2-3; -(х2-3)2=13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Подставим полученное значение в уравнение касательной.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
§ 2 Приложение производной к исследованию функции
Функция у=f(x) называется возрастающей в промежутке (а, в), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что х1<х2 имеет место неравенство f(x1)< f(x2) (рис.1).
Функция у=f(x) называется убывающей в промежутке (а, в), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что х1<х2 имеет место неравенство f(x1)> f(x2) (рис.2).
y у=f(x) y у=f(x)
f(x2)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Рис.1
Рис.2
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции у=f(x) характеризуются знаком её производной: если в некотором промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, то функция возрастает в этом промежутке; если же 13 EMBED Equation.3 1415
то функция убывает в этом промежутке.
Пример: Исследовать на монотонность f(x)=х3- 6х2 + 4
Находим производную и критические точки
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415+ - + х
0 4
f(x)
Итак, в промежутках 13 EMBED Equation.3 1415- функция возрастает, а 13 EMBED Equation.3 1415 - убывает.
Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в нуль или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку х0 производная 13 EMBED Equation.3 1415 меняет знак, то функция f(x) имеет в точке х0 экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак, с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус.
Если при переходе через критическую точку х0 производная не меняет знака, то функция f(x) в точке х0 не имеет экстремума.
Пример: Исследовать на экстремум у=х3-3х2
Находим производную и критические точки.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equat
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Кривая у=f(х) называется выпуклой вниз (вогнутой) в промежутке (а, в), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Кривая у=f(х) называется выпуклой вверх в промежутке (а, в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называют промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции у=f(x) характеризуется знаком её второй производной:
если в некотором промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, то кривая выпукла вниз в этом промежутке (рис.1),
если же 13 EMBED Equation.3 1415, то кривая выпукла вверх в этом промежутке (рис.2).
y y
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Рис.1 13 EMBED Equation.3 1415 рис.2 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Найти промежутки выпуклости f(x)=x4-2x3+6x-4
Находим производные первого и второго порядков
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 + - + x
f(x) 0 1
На промежутках 13 EMBED Equation.3 1415кривая выпукла вниз, на (0; 1) кривая выпукла вверх.
Точка графика функции у=f(х), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика называется точкой перегиба. Точками перегиба может служить только критические точки, принадлежащей области определения функции у=f(x), в которой вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку х0 вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415 меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х0; f (х0)).
Пример: Найти точки перегиба кривой f (x)=6х2-х3
Находим производные первого и второго порядков
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 + - Точка (2; 16)-точка перегиба
f(x) 2 х
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
найти критические точки, принадлежащие данному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;
найти значения функции на концах промежутка;
сравнить полученные значения и выбрать набольшее и наименьшее.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x2-4x+3 в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415
1)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 -наименьшее значение
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415- наибольшее значение
Общая схема для построения графиков функций.
Область определения функции
Четность, нечетность и периодичность
Точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)
Асимптоты
Производная, критические точки, значение функции в критических точках
Монотонность и экстремумы
Производная второго порядка, промежутки выпуклости, точки перегиба
Контрольные (опорные) точки
Построение графика.
Пример: Построить график функции: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2)Функция не является ни четной ни нечетной, ни периодичной
х=0, у=0 – график проходит через начало координат
Так как 13 EMBED Equation.3 1415вертикальная асимптота.
Находим наклонную асимптоту у=kx+b.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно у=х+3 – наклонная асимптота
5) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415и терпит разрыв х=3
6) 13 EMBED Equation.3 1415 + - - +
f(0)=0 f(6)=12
f(
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
· и терпит разрыв при х=3, точек перегиба нет
f(x) 3 x
8) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· -4
Y=x+3 -6
X=3
Упражнения для самостоятельного решения
Найдите промежутки монотонности следующих функций:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 6) у= ln x2
2) 13 EMBED Equation.3 1415 7) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 8) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 9) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
Исследуйте на экстремум следующие функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданных промежутках:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите промежутки выпуклости кривых:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Найдите точки перегиба следующих кривых:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Исследуйте следующие функции и постройте графики:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
§3 Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциалом функции у=f(x) называется производной этой функции 13 EMBED Equation.3 1415
на произвольное приращение аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 - дифференциал первого порядка
13 EMBED Equation.3 1415- дифференциал второго порядка.
Основные правила и формулы вычисления дифференциалов.
Основные формулы дифференцирования могут быть представлены через дифференциалы следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EM
·BED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти дифференциалы первого порядка:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти дифференциалы второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вычисление приближенного числового значения функции.
Пусть дана функция у= f (x); приращение этой функции 13 EMBED Equation.3 1415, её дифференциал 13 EMBED Equation.3 1415. При достаточно малых (близких к нулю) приращениях аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 будем считать, что 13 EMBED Equation.3 1415т.е., что приращение функции приближено равно её дифференциалу.
Заменим приращение функции её дифференциалом, получим 13 EMBED Equation.3 1415
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.
Найти приближенное значение функции f(x)= 5x3-2x+3 при х=2,01
Полагая х=2 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Приближенное вычисление степеней
Рассмотрим функцию f(x)=xn. Пусть аргумент Х получает малое приращение 13 EMBED Equation.3 1415 .
Вычислим приближенное значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 применяя формулу
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Найти приближенное значение (4,012)2
Полагая 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Приближенное вычисление корней
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть аргумент Х получает малое приращение 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Применим формулу 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Найти приближенное значение 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Приближенное вычисление обратных величин
Рассмотрим функцию: 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть аргумент Х получает малое приращение 13 EMBED Equation.3 1415
Применим формулу 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 откуда13 EMBED Equation.3 1415
Найти приближенное значение 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
ГЛАВА III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Первообразная, неопределенный интеграл
Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415если в любой точке этого промежутка её производная равна f(x):
13 EMBED Equation.3 1415
Отыскание первообразной функции по заданной ею производной f(х) или по дифференциалу f(x)dx есть действие, обратное дифференцированию - интегрирование.
Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.
Основные свойства:
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: 13 EMBED Equation.3 1415
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Неопределенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: 13 EMBED Equation.3 1415
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла: 13 EMBED Equation.3 1415
Есть 13 EMBED Equation.3 1415 и u=g(x) - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то 13 EMBED Equation.3 1415
Основные формулы интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:
1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;
2. данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Примеры: Найти следующие интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 так как dx=d(1+x)
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
16)13 EMBED Equation.3 1415
17)13 EMBED Equation.3 1415
18)13 EMBED Equation.3 1415
19)13 EMBED Equation.3 1415
20)13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельного решения
Найти следующие интегралы:
1)13 EMBED Equation.3 1415 13)13 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 1415 14)13 EMBED Equation.3 1415
3)13 EMBED Equation.3 1415 15)13 EMBED Equation.3 1415
4)13 EMBED Equation.3 1415 16)13 EMBED Equation.3 1415
5)13 EMBED Equation.3 1415 17)13 EMBED Equation.3 1415
6)13 EMBED Equation.3 1415 18)13 EMBED Equation.3 1415
7)13 EMBED Equation.3 1415 19)13 EMBED Equation.3 1415
8)13 EMBED Equation.3 1415 20)13 EMBED Equation.3 1415
9)13 EMBED Equation.3 1415 21)13 EMBED Equation.3 1415
10)13 EMBED Equation.3 1415 22)13 EMBED Equation.3 1415
11)13 EMBED Equation.3 1415 23)13 EMBED Equation.3 1415
12)13 EMBED Equation.3 1415 24)13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование методом замены переменной
Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) заключается в преобразовании интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 в интеграл13 EMBED Equation.3 1415который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки x=g(u). Дифференцируя это равенство получим 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем 13 EMBED Equation.3 1415
После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415 он приводится к переменной х.
Примеры:
1)13 EMBED Equation.3 1415
3х+2=u 3dx=du 13 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 1415
4x+1=u
4dx=du 13 EMBED Equation.3 1415
3)13 EMBED Equation.3 1415
2x3+1=u
6x2dx=du 13 EMBED Equation.3 1415
4)13 EMBED Equation.3 1415
x2+1=u
2xdx=du 13 EMBED Equation.3 1415
5)13 EMBED Equation.3 1415
5x5+1=u
15x2dx=du 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
cos kx = u
-k sin kxdx = du
13 EMBED Equation.3 1415
7)13 EMBED Equation.3 1415
5x2=u 10xdx=du 13 EMBED Equation.3 1415du
8) 13 EMBED Equation.3 1415
-3x2+1=u
-6xdx=du 13 EMBED Equation.3 1415du
9)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415du 13 EMBED Equation.3 1415du
10)13 EMBED Equation.3 1415
3x=u 3xln3dx=du 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельного решения
Найти следующие интервалы:
1)13 EMBED Equation.3 1415 9)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4)13 EMBED Equation.3 1415 12)13 EMBED Equation.3 1415
5)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 14) 13 EMBED Equation.3 1415
7)13 EMBED Equation.3 1415 15) 13 EMBED Equation.3 1415
8)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование по частям.
Интегрируя обе части равенства d(uv)=udv+vdu, получим13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415
С помощью этой формулы вычисление интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к вычислению интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 если последний окажется проще исходного.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415
u=x dv=sin xdx du=dx 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. v=-cos x
2) 13 EMBED Equation.3 1415
u=ln x; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельного решения
Найти следующие интегралы:
1)13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 7) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
При вычислении интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 от четной степени синуса или косинуса используются формулы понижения степени
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
При вычислении интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 от нечетной степени синуса или косинуса нужно отделить от нечетной степени один множитель и ввести новую переменную, полагая cos x = t в первом интеграле и sin x = t - во втором.
При вычислении интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 применяются формулы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4)13 EMBED Equation.3 1415 (см. 3)
Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415 tgx=u
13 EMBED Equation.3 1415
cosx=u -sinxdx=du 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельного решения
Найти следующие интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415 7)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
§ 2. Определенный интеграл
13 EMBED Equation.3 1415 т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Свойства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Непосредственное интегрирование
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите определенные интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Интегрирование методом замены переменной (подстановки)
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415
2x-1=u 2dx=du dx=13 EMBED Equation.3 1415 un=213 EMBED Equation.3 1415 ub=213 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5x -1=u 5dx=du 13 EMBED Equation.3 1415 un=513 EMBED Equation.3 1415 ub=513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2x3+1=u 6x2dx=du
13 EMBED Equation.3 1415 un=1; ub=3
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислить с помощью подстановок следующие определенные интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
§ 3 Приложения интеграла
I. Вычисление площади плоской фигуры 13 EMBED Equation.3 1415
1) Дано: у2=х , 13 EMBED Equation.3 1415 х=1, х=4
S-? 13 EMBED Equation.3 1415
у 13 EMBED Equation.3 1415
3 13 EMBED Equation.3 1415
1
0 Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
1 4 9 х
2) Дано: у=sin x, y=0, x=0, x=
·
S-?
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2кв.ед.
0 13 EMBED Equation.3 1415
· х
3) Дано: у=х2 , у=2х
S-?
у Пределы интегрирования (точки пересечения графиков функции)
х2=2х х2-2х=0 х(х-2)=0
х=0 х=2 13 EMBED Equation.3 1415(кв.ед.)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
-1 0 1 2 х
II. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох. 13 EMBED Equation.3 1415 a
·x
·b
Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y2=2x, прямой х=3 и осью Ох.
Решение Применим формулу
13 EMBED Equation.3 1415
III. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Оy. 13 EMBED Equation.3 1415. a
·y
·b
Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной параболой y=x2, прямой y=4.
Решение Применим формулу
13 EMBED Equation.3 1415
II. Вычисление пути 13 EMBED Equation.3 1415
1.Скорость движения точки изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти путь, пройденной точкой за 10 с от начала движения.
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ:1110м
2.Скорость движения точки изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 83м
III. Вычисление работы 13 EMBED Equation.3 1415.
Часто используется закон Гука: F =kx. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04м, если для сжатия её на 0,01м нужна сила 10Н.
Так как х=0,01м при F=10H, то используем закон Гука. Находим
13 EMBED Equation.3 1415
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 0,8 Дж
Упражнения для самостоятельного решения
а) Вычислите площади фугур, ограниченных указанными линиями:
1) х-у+2=0, у=0, х=-1, х=2
2) у=х2, у=0, х=0, х=3
3) у=х2+1, у=0, х=-1, х=2
4) у=13 EMBED Equation.3 1415
5) у=cosx, y=0, x=0, 13 EMBED Equation.3 1415
6) y=x2,y=-3x
7) y=x2, y=2-x2
б) 1) Скорость движения точки изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.
2) Скорость движения точки изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.
3) Скорость движения точки изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Выполняется в соответствии с вариантом
1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
14. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
16. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
17. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
18. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
19. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
20. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
21. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
22. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
23. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
24. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
25. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти производные функций
1. а) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
16. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
17. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
18.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
19.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
20. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
21. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
22. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
23. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
24. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
25. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найти неопределенные и определенные интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием.
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры или объем тела:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить площадь фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить площадь фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у=х2 и у=13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями xy=1, x=2, x=3, y=0
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми 13 EMBED Equation.3 1415 у=х2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить площадь фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох.
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у=(1-х)2, прямой х=2 и осями Ох и Оу.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить площадь фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ох.
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у=х2+1, прямыми у=х, х=1 и осью Оу.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=x3, x=2, x=0, y=0
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и кубической параболой 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13PAGE 15
13PAGE 14515
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativerEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native