Электронное пособие по математике на тему Корни. степени, логарифмы

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И
МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ РФ
ГОБУ СПО ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ТЕХНИКУМ
СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
ЭЛЕКТРОННОЕ ПОСОБИЕСТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ

Воронеж 2012Рассмотрено на заседании цикловой комиссии
математических и естественнонаучных дисциплин __________2014 г.
Председатель цикловой комиссии _______________ Шаранина Н.К.Составил: преподаватель ГОБУ СПО «Воронежский техникум строительных технологий» Сафонова Е.А.Пособие представляет собой краткое изложение теоретического материала и набор практических упражнений по темам «Корни, степени, логарифмы»,
«Степенная, показательная и логарифмические функции», «Решение иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и их систем».
Предназначено для студентов 1 курса техникума всех специальностей.
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u
Пояснительная записка PAGEREF _Toc404721242 \h 4 КОРЕНЬ n- ОЙ СТЕПЕНИ. И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА PAGEREF _Toc404721244 \h 5ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ PAGEREF _Toc404721245 \h 8СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ PAGEREF _Toc404721246 \h 10ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. PAGEREF _Toc404721247 \h 14ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ PAGEREF _Toc404721248 \h 16ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА PAGEREF _Toc404721249 \h 18РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ PAGEREF _Toc404721250 \h 20ЛОГАРИФМ И ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО PAGEREF _Toc404721251 \h 21ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. PAGEREF _Toc404721252 \h 24ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ PAGEREF _Toc404721253 \h 27ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА PAGEREF _Toc404721254 \h 29ВОРОСЫ И ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ PAGEREF _Toc404721255 \h 31ЛИТЕРАТУРА. PAGEREF _Toc404721256 \h 34

Пояснительная запискаСодержащийся в пособии теоретический материал может быть использован при самостоятельной работе, а также как справочный материал при выполнении практических заданий. Для знакомства с основными идеями решения предлагаемых задач в пособии рассматриваются примеры их решения.
Данное пособие позволит разнообразить формы работы на занятиях, осуществить уровневую дифференциацию при обучении студентов. В пособии содержится много задач и вопросов для устного решения, которые удобно и полезно использовать при закреплении изложенного теоретического материала, так как ответы на них требуют не простого повторения увиденного или услышанного, а понимания и осмысления его. Именно устные упражнения помогают развивать речь и логическое мышление студентов.
В пособие включены задачи и упражнения трёх уровней сложности.
Упражнения 1-го уровня сложности, включённые в каждый пункт пособия, задают обязательный уровень подготовки. Для выполнения этих заданий от студента требуется уметь применять полученные знания в знакомой ситуации. Выполнение этих заданий обеспечивает студенту получение удовлетворительной оценки.
Упражнения 2-го уровня являются заданиями повышенного (по сравнению с базовым) уровня. Они расположены после черты. Для выполнения этих упражнений студент должен уметь применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из решения базовых задач.
И, наконец, задания 3-го уровня (отмеченные знаком) требуют от студента умения анализировать ситуацию, делать логические выводы, давать математические обоснования, находить самостоятельно решения и грамотно записывать их.
Чтобы помочь студентам в подготовке к контрольной работе и экзамену, в методическое пособие включены вопросы и задачи на повторение основного материала по теме. А ответы на эти вопросы студенты смогут найти как раз в предлагаемом пособии.
Данное пособие даёт возможность повысить эффективность уроков, так как наличие пособия на столе студента значительно сократит время на озвучивание и осмысление задания, даст возможность использовать различные формы работы, позволит более подготовленным по математике студентам выполнять задания, выходящие за минимум, но после выполнения ими обязательных задач.
В связи с введение ЕГЭ в практику средней школы все чаще входит проверка знаний учащихся посредством теста. Такой вид проверки знаний применяется и при проведение вступительных экзаменов в вузы. Поэтому для подготовки студентов к такой форме проверки знаний в пособие включены задания с текстовой формулировкой: какому промежутку принадлежит корень уравнения, укажите наибольшее (наименьшее) целое решение неравенства и т.д.
Для решения всех перечисленных задач и написано предлагаемое пособие.
1. КОРЕНЬ n- ОЙ СТЕПЕНИ.Определение. Корнем n-ой степени из числаназывается такое число , такое что
Если n - число четное, то выражение имеет смысл лишь при ;
если n - число нечетное, то выражение имеет смысл при любом .
Согласно данному определению корень n-ой степени из числа - это решение уравнени Число корней этого уравнения зависит от значений и .
Уравнение при имеет два действительных корня .
Уравнение имеет один действительный корень . Причем, если , то, при и , если , то .
ПРИМЕР 1. Решим уравнения: а); б); в).
а) ,,.
б) ,,.
в) ,,.
Ответ: а); б) ; в).
Определение. Арифметическим корнем n-но степени из неотрицательного числа называется такое число , что .
Обозначают также .
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙДля любого натурального , целого и любых неотрицательных чисел и выполняются равенства:
= ·.
2. =,
3. =()k, если , то .
4. =, .
5. =, .
6. = , если - четное число,
, если - нечетное число.
7. Для любых чисел и таких, что выполняется неравенство
УПРАЖНЕНИЯ
1. 1. Вычислите:
а) г) ж)
б) д) з)
в) ; е) ()-4;и) ()-3+
1. 2. Найдите значение выражения:
а) в) д) ;
б) г) е)
1. 3. При каких значениях верно равенство:
а) б) в) г) д) е)
1. 4. Вынесите множитель за знак корня, считая и :
а)
б)
в)
1. 5. Внесите множитель под знак корня:
a) 2x3y 53xy ;
б) 3x2c3y 4y327x3c7 ;в) x2-y22 34x-y2
1. 6. Сравните числа:
а) и и и и
б) и и 0; и и
1. 7. Расположите числа в порядке возрастания:
а) б) в)
1. 8. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:
а)
б)
1. 9. Решите уравнение:
а) ;б) ;в) ; г) ;
; ; ;
; ; .
1. І0. Найдите область определения и область значений функции:
а) б) в) г)
1.11. Верно ли равенство:
а) б)

1. 12. Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ;
; ;
; .
1.13. Найдите значение выражения:
а) в) г)
д)
1.14. Приведите к рациональному виду знаменатели дробей:
а) ; ; б)
1.15. Определите знак выражения:
а) б) в)
1.16. Между какими целыми числами заключено число:

1.17. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
1.18. Выполните действие:
а) б)
в) г)
* 1.19. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
д)
е)
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯОпределение. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.
Таковы уравнения
Для решения иррационального уравнения необходимо «избавиться от радикалов». Для этого нужно обе части уравнения возвести в такую степень, каков показатель корня. Но если при возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получается уравнение, равносильное данному, то при возведении в чётную степень может получиться уравнение, не равносильное данному.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение:
Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим откуда следует, чт т.е. или
Проверим, являются ли полученные числа корнями данного уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получается верные равенства и
Следовательно, и - решения данного уравнения.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
Возведя в квадрат обе части уравнения, получим После преобразований приходим к квадратному уравнению корни которого и
Проверим, являются ли найденные числа корнями данного уравнения. При подстановке в него числа получаем верное равенство т.е. - решение данного уравнения. При подстановке числа 1 получаем неверное равенство Следовательно, число 1 не является решением данного уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения.
О т в е т:
Рассмотренные примеры показывают, что при решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
Не решая данного уравнения видим, что оно не имеет корней, т.к. область допустимых значений переменной пуста: при а при x≤4.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
x-2≥0x-8≥0
и
Но не удовлетворяет условию. О т в е т:
УПРАЖНЕНИЯ
2. 1. Решите уравнения:
а) б) в)

г) д) x+2x+3=0 е)

2. 2. Решите уравнения:
а) б)


в) г)

2. 3. Решите систему уравнений:
а) б) в)
г) д) е)
2. 4. Решите уравнения:
а) д)
б) е)
в) ж)
г) з)
2. 5. Решите уравнение:
а)
б)
2. 6. Решите систему уравнений:
а) б)
2. 7. Решите уравнение:
а) б)
в) г)
2. 8. Решите неравенство:
а)
б) <2; <-1;

2. 9. Решите неравенство:
а) б)
в) г)
д) е)
2. 10. При каких значениях x значение выражений x+2 и равны?
* 2.11. Определите координаты всех точек графика функции равноудаленных от осей координат.
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
Определение. Степенью числа с рациональным показателем , где число целое, а - натуральное , называется число
Итак, по определению
Например: ,
Замечание І. Так как по определению , то для любого
Замечание 2. При не определяется. Действительно, если считать равенство верным при , то мы бы получили, что, например, если , то при должно выполнять равенство Но
При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняют основные свойства степеней, только верны они будут лишь для .
СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
Для любых рациональных чисел и и любых положительных чисел и справедливы равенства:
1. ar1∙ar2=ar1+r2 ar1÷ar2=ar1-r2ar1r2=ar1∙r2a∙br=ar∙brabr=arbr и тогда ar<br, если и ar>br, если .
Для любых рациональных чисел и из неравенства >следует, что ar1>ar2, если и ar1<ar2, если .
ПРИМЕР 1. Сравним числа и
Так как то по свойству 7.
ПРИМЕР 2. Сравним числа и
Запишем эти числа с одинаковым показателем степени:
,
Так как то по свойству 6, и
УПРАЖНЕНИЯ.
3. І. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало отрицательных показателей степени:
а)
б)
3. 2. Выражение с дробным показателем замените корнем:
а) a34 ;
б) b- 45.3. 3. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:
а)
б)
3. 4. Найдите значение числового выражения:
а) б) в) :
:
:
3. 5. Вычислите:
а) б) в)

3. 6. Сравните числа:
а) и и и
б) и и и
3. 7. Разложите на множители:
а)
б)
3. 8. Упростить выражение:
а)
б) :
в) :
3. 9. Найдите значение выражения:
а) при б) при
в) г)
3. 10. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г) :
д) е)
з) ж)
3. 11. Сравните числа:
а) и б) и в) 3600 и 54003. 12. Упростите выражение:
а) б):
в) г)
3. 13. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
3. 14. Зная, что найдите и Зная, что найдите и
Зная, что найдите и Зная, что найдите и



ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.Определение. Функция, заданная формулой , где, называется показательной функцией с основанием .
Сформулируем основные свойства показательной функции, пользуясь её графиком.
Для наглядности построим графики показательных функций
и .
left-8890
1. Область определения D(y)– множество всех действительных чисел R.
2. Множество значений E(y) – все действительные положительные числа: 0; +∞При функция возрастает на всей числовой прямой;
при функция убывает на множестве R.
График функции проходит через точки A(0;1) и B(1; а).
График функции ограничен снизу осью Ох.
Функция непрерывная, ни чётная ни нечётная, наибольшего и наименьшего значений не имеет.
Если a>1, то при x>0 y>1, при x<0 0<y<1;Если 0<a<1, то при x>0 0<y<1, при x<0 y>1.УПРАЖНЕНИЯ.
4.1. Найдите область определения и область значений функции:
а) ; б) ; в) ; г) ;
; ;
; ; ;
4.2. Сравните числа:
а) и б) и в) и
4.3. Расположите числа в порядке возрастания:
а) б)
4.4. Сравните по величине числа и :
а) б) в)

4.5. Сравните основание с единицей:
а)
б)
4.6. Из данных выражений выберите те, значения которых принадлежат промежутку
(1;+):
а) б) в) г) д) е)
4.7. Определите знак корня уравнения:
а) ; б); в); г)
4.8. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х) на заданном отрезке:
а) ƒ в) ƒ
б) ƒ г) ƒ

4.9. Найдите область определения и область значений функции:
а) б) в)
г) ; д) е) .
4.10. Используя графики функций, решите неравенство:
а) б) в) г)
4.11. Какие из данных уравнений имеют один корень:
а) ; б) в) г)
;
4.12. Сравните с единицей числа:
а) ; ; ; б)
4.13. Какое заключение можно сделать относительно показателя степени , если верно равенство:
а)
б); ; =; ()=4.14. Начертите график функции ; назовите множество значений функции; выделите часть графика, для которой < y < 2; найдите соответствующие значения x.
4.15. Начертите график функции . С помощью графика функции найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
4.16. Постройте методом преобразований график функции и назовите её основные свойства:
а), б), в) ,
, , ,
, ,
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯОпределение. Уравнения, в которых переменная содержится в показателе степени, называются показательными.
Примеры показательных уравнений:
= ; =; .
Показательные уравнения относятся к уравнениям трансцендентным, которые в общем виде решены быть не могут. Однако в многочисленных частных случаях решение показательного уравнения можно получить, используя элементарные алгебраические преобразования; из алгебраических преобразований наиболее часто встречаются три, которые и определяют методы решения показательных уравнений.
Рассмотрим их на примерах.
Метод приведения к общему основанию.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение = .
Заметим, что ==7. Поэтому данное уравнение можно записать в виде = 7Следовательно, корнями данного уравнения будут такие числа , для которых , т.е. х = 2 . О т в е т: х = 2
Метод разложения на множители.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение .
Заметим, что . Поэтому данное уравнение можно записать в виде т.е. , откуда .
О т в е т: 1.
Метод введения новой переменной.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение .
Заметим, что , сделаем замену переменной ,где по свойству показательной функции. Уравнение принимает вид . Его корнями являются числа и . Решая уравнения и , получаем и .
О т в е т: 2 ; 0.
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Решите показательное уравнение методом приведения к общему основанию:
а)
б)
5.2. Решите уравнение разложением на множители:
а) б) в)

5.3. Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) б) в) ;
2x+2-22-x=15.5.4. Решите систему уравнений:
а) б) в)
5.4. Решите систему уравнений:
а) 4x+y=164x+2y-1=15.5. Решите уравнение:
а) =; б) в) = 5;
; ;
5.6. Решите уравнение:
а) ; б) в)
; ;
г) д) ;
+ =;

5.7. Решите систему уравнений:
а) б) , в) ,
; ;
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВАРешение показательных неравенств основано на свойствах монотонности показательных функций: функция является возрастающей при и убывающей при
Если , то ax1>ax2 <=> x1>x2
Если , то ax1>ax2 <=> x1<x2 Методы решения показательных неравенств остаются такими же, как и методы решения показательных уравнений.
Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
Пользуясь тем, что , перепишем неравенство в виде . Т.к. , то функция является убывающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству, откуда получаем .
О т в е т: (-; 3)
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
Заметим, что и перепишем данное неравенство в виде

Отсюда получаем >, >. Так как >1, то функция является возрастающей, поэтому полученное неравенство равносильно неравенству .
О т в е т: (;+)
ПРИМЕР 3. Решим неравенство .
Заметим, что =, . Сделаем замену переменной , где , тогда неравенство перепишется в виде , .
Решим его: ; ; , . Следовательно, решением данного неравенства являются числа , удовлетворяющие условию , .
Функция является убывающей, поэтому .
Ответ: (- 2;1).
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Решите неравенство:
а) 4 0,3
б) 0,2 1,5 3 0,4
6.2. Решите неравенство:
а) 3 3 3
б) 5 8

6.3. Решите неравенство:
а) 9 б) 3
5
6.4. Решите неравенство, используя графики:
а) 3 б) 2 в) 3 г) 2

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ7.1. Решите уравнение:
а) б) в) 0,2
3 3;
3 4
7.2. Решите неравенство:
а) 32 б) 0,3 в)
7.3. Решите двойное неравенство:
а) 6 б) 1 в)
0,2 0,04.
7.4. Найдите область определения функции:
а) б) ; в) ; г)
7.5. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) 2 б) в) 9 г)
7.6. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) 3 б) 1 в) ; г) 0,04
7.7. Решите неравенство:
а) х; б) .
7.8. Решите неравенство:
а) 10; б) ; в)
; 3;
7.9. Решите уравнение:
а) 3; б) 4
;
7.10. Решите неравенство:
а); б) 2>2;
4; 2.
ЛОГАРИФМ И ОСНОВНОЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВОПусть дано уравнение , где .
Это уравнение при не имеет решений, но при оно имеет единственный корень, т.к. функция непрерывная и монотонная, то каждое числовое значение она принимает только один раз. Этот корень называют логарифмом числа по основанию , то есть, если , то и
Определение. Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число.
Итак, log=
Формулу = называют основным логарифмическим тождеством.
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
При работе с логарифмами применяют следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции.
При любом и любых положительных x и y выполняются равенства:
Логарифм единицы при любом основании равен 0.
loga1=02. Логарифм самого основания равен 1
logaa=14. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
logax∙y=logax+logay5. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел.
logaxy=logax-logay6. Логарифм степени по положительному основанию равен произведению показателя степени на логарифм её основания.
logaxm=m∙logax Докажем, например, равенство 4.
По основному логарифмическому тождеству числа x и y можно записать в виде
и . Тогда
Следовательно, по 3 свойству логарифмов
Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей,
Свойства 5 и 6 доказываются аналогично.
Довольно часто в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы, применяется формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию и следствия из неё:
log1ax=-logax logax=1logxa
logax=logbxlogba

Для доказательства свойства 7 достаточно равенство прологарифмировать по основанию b;

Формула доказана.
Определение. Десятичный логарифм числа – это логарифм этого числа по основанию 10.
Десятичный логарифм числа обозначают
Определение. Натуральный логарифм числа – это логарифм этого числа по основанию е, где е – число иррациональное, определяемое следующим образом
Натуральный логарифм числа обозначают
Для нахождения натуральных и десятичных логарифмов применяют калькулятор, а имея формулу перехода от одного основания логарифма к другому, с помощью калькулятора можно найти практически логарифм любого числа.
Пример. Найдём логарифм числа lg5; ln10; log210.

УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Проверьте справедливость равенства:
а)
б)
8.2. Запишите равенства с помощью логарифма:
а)
8.3. Запишите равенство без логарифмов:
а)
б)
8.4. Найдите логарифмы данных чисел по основанию а:
а) при а=5; б) 64, , 2 при а=8
в) 16, при а=2; г) 27, при а=3.
8.5. Найдите значение x по определению логарифма:
а) б) в)

8.6. Найдите значение x , если:
а)
б) =х;
8.7. Найдите значение выражения; используя основное логарифмическое тождество:
а)
б) 0
8.8. Прологарифмируйте выражение по основанию x:
а), х=3; б) , х=2;
в) х=10; г) , х=10.
8.9. Упростите выражение:
а) б) в) .
8.10. Вычислите:
а) б) в)
; ;

8.11. Найдите x, если:
а)
б)
в)
8.12. Найдите с помощью калькулятора:


8.13. Найдите значение x, если:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
8.14. Вычислите:
а) б) в)
8.15. Выразите через а и в:
а) и если
б) и если
в) если
г) если
д) если
9. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.Определение. Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а
Построим график логарифмической функции и назовем её основные свойства
.

Область определения функции D(y) – множество всех положительных чисел, то есть
логарифмы существуют только от положительных чисел.
Область значений функции E(y)– множество всех действительных чисел R, т.е. логарифм положительного числа может быть любым числом.
Функция является возрастающей на всей области определения, если a>1 и убывающей, если 0<a<1, то есть
Если a>1, то большему числу соответствует больший логарифм;
Если 0<a<1, то большему числу соответствует меньший логарифм.
График логарифмической функции проходит через точки A(1;0) и B(а; 1), то есть
логарифм единицы равен нулю и логарифм самого основания равен единице.
УПРАЖНЕНИЯ.
9.1. Какие из данных функций являются возрастающими и почему:
1) 3) 5) 7)
2) 4) 6) 8)
9.2. Найдите область определения функции:
а) б) в)




9.3. Сравните числа и объясните:
а) и б) и 1;
и и
и ; и
9.4. Сравните числа x и y и объясните ответ:
а) б)
;

9.5. Решите уравнение:
а) б)


9.6. Совпадают ли области определения функций:
а) и
б) и
в) и .
9.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном промежутке:
а) б)
в) в)


9.8. Укажите множество значений функции:
а) б) в)
9.9. Сравните числа и объясните свой ответ:
а) и б) и
и и
9.10. Какое заключение можно сделать относительно числа, если известно, что:
а) б) в)

9.11. Сравните с единицей основание , если:
а) б) в)

9.12. Найдите область определения выражения:
а) б) в)
9.13. Постройте график функции и назовите её основные свойства:
а) б) в)



9.14. Найдите графически корни уравнения:
а) б) в)


ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Определение. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма, называются логарифмическими.
Логарифмические уравнения, как и показательные, относятся к уравнениям трансцендентным, поэтому в буквенном виде не решаются.

Рассмотрим несколько методов решения логарифмических уравнений.
На основании определения логарифма.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
Данному уравнению удовлетворяют те значения , для которых выполнено равенство Получили квадратное уравнение , корни которого равны и Следовательно, числа и являются корнями данного уравнения.
Ответ:
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
Это уравнение определено для тех значений , при которых выполняются неравенства и Для этих данное уравнение равносильно уравнению из которого Однако, числа не удовлетворяет неравенству Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
Запишем данное уравнение в виде По определению логарифма числа , являющиеся решением данного уравнения, должны удовлетворять условиям: и т.е. данное уравнение равносильно системе
Но не входит в ОДЗ.
Следовательно, решением данного уравнения
является только число 2.
Ответ: 2.
Метод потенцирования.
Он основан на применении свойств логарифмов.
Рассмотрим его на примерах.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
Заметим, что Тогда данное уравнение запишем в виде
Отсюда ОДЗ:


и Условию удовлетворяет только число 2.
О т в е т: 2.
Метод введения новой переменной.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
Сделаем замену переменной тогда данное уравнение перепишется в виде Его корни и Решаем уравнения замены и и находим корни данного уравнения и О т в е т:
Метод логарифмирования.
Этот метод применяют при решении комбинированных уравнений.
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
Прологарифмируем данное уравнение по основанию 10 и получим новое уравнение Если то и Тогда или или О т в е т: 10; 100.
УПРАЖНЕНИЯ
10.1. Решите логарифмическое уравнение:
а) б)


10.2. Решите уравнение:
а) б)

10.3. Решите уравнение введение новой переменной:
а) б)

10.4. Решите систему уравнений:

а) б) в)


г) д) е)


10.5. Решите уравнение:
а) б) в)

* 10.6. Найдите корни уравнения:
а) б)


в) г)
* 10.7. Решите уравнение:
а) б)
в) г)
д) е)
10.8. Решите систему уравнений:

а) б) в)

* 10.9. Решите уравнение:
а) б)
в) г)
г) д)
е) ж)
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВАПри решении логарифмических неравенств применяют определение и свойства логарифмической функции:
если то
если то
Рассмотрим на примерах решение логарифмических неравенств.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
Число поэтому данное неравенство можно переписать в виде Логарифмическая функция с основанием является убывающей, поэтому данному неравенству удовлетворяют значения, для которых и или откуда
Ответ:
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
Обозначим тогда неравенство принимает вид откуда Для данного неравенства откуда
Ответ:
УПРАЖНЕНИЯ
11.1. Решите логарифмическое неравенство:
а) б) в)


11.2. Решите неравенство:
а) б)



11.3. Найдите решение неравенства:
а) в)

б) г)


11.4. Решите неравенство:
а) б)



* 11.5. Найдите область определения функции:
а) б) в)
г) д)
* 11.6. Решите неравенство:
а) б) в)
г) д) е)
ВОРОСЫ И ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕДайте определение корня n-ой степени из числа. Что такое арифметический корень из числа?
Решите уравнение:
Перечислите основные свойства арифметических корней.
Сравните числа: и и и
Дайте определение степени с рациональным показателем и перечислите основные свойства таких степеней.
Найдите значение:
Какое из чисел больше: или 3 или
Перечислите основные свойства показательной функции.
Сравните числа: и и и и
Как находятся корни уравнения и как решается неравенство ?
Решите уравнение:
Решите неравенство:
Дайте определение логарифма числа.
Вычислите:
Запишите основное логарифмическое тождество.
Вычислите:
Перечислите основные свойства логарифмов.
Прологарифмируйте: при при
Найдите x, если:

Дайте определение логарифмической функции и перечислите её основные свойства.
Сравните: и и и
Как решается уравнение и как решается неравенство
Решите уравнение:
Решите неравенство:
Какие уравнения называются иррациональными?
Решите уравнение:
Решите систему уравнений:

а) б) в) г)

Что называется решением системы двух уравнений с двумя переменными?
Решите систему уравнений:





ЛИТЕРАТУРА.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. Алгебра и начало анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / -6-е изд. – М.: Просвещение, 1997.
Звавич Л.И, Шляпочник Л.Я., Козулин Б.В. Контрольные и проверочные работы по алгебре. 11 кл.: Методическое пособие / М.: Дрофа, 2002.
Лаппо Л.Д., Попов М.А.. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию: Учебно-методическое пособие / М.: Издательство «Экзамен», 2004.
Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др. Единый государственный экзамен 2002: Контрольные измерительные материалы: Математика / – М.: Просвещение, 2002.
Ершова А.П. Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2003.
Алтынов П.И. Контрольные и зачётные работы по алгебре: 11 кл.: К учеб. «Алгебра и начало анализа» под ред. А.Н. Колмогорова – М.: Просвещение /–М.: Издательство «Экзамен», 2004.
Денищева Л.О., Корешкова Т.А. Алгебра и начало анализа. 10-11 кл.: Тематические тесты и зачёты для общеобраз. учреждений / Под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2003.
Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции/ задачи и упражнения/: Пособие для учителя. –М.: Просвещение, 1984.
Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А.Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике / курс А/ и алгебре и началам анализа/ курс В/ за курс средней школы. 11 класс: Экспериментальное пособие. -4-е изд.,испр. –М.: Дрофа, 2001.