Методические указания для обучающихся на 1 курсе в техникуме предмету :Математика: алгебра и начала математического анализагеометрияпо теме:Степени и корни
Введение
Методические указания и типовые задания для выполнения самостоятельных работ предназначены для обучающихся в группах 1 курса по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», предназначены для реализации Федеральных государственных образовательных стандартов по профессиям 23.01.03 «Автомеханик», 23.01.06 «Машинист дорожных и строительных машин».
В образовании современного человека роль математической подготовки ставит следующие цели обучения математике: овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин; интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе; формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности; формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.
В соответствии с государственными требованиями после изучения дисциплины, обучающиеся должны иметь представление: о роли и месте знаний предмета «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» при освоении общепрофессиональных и специальных дисциплин по выбранной профессии; о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений. Знать основные математические формулы и понятия по разделу «Корни, степени и логарифмы». Уметь использовать математические методы при решении прикладных задач. Основной формой проверки знаний и умений по математике является самостоятельная работа.
Одной из главных задач курса математики является достижение обучающимися такого уровня математической подготовки, который бы позволил им: успешно овладеть другими учебными дисциплинами; приобрести навыки решения типовых задач; подготовиться к экзаменам; продолжить дальнейшее образование.
В данной методической разработке по каждой из основных тем раздела сформулированы требования к уровню знаний, умений и навыков обучающихся. Для проверки практических умений и навыков разработаны задания, которые соотнесены со структурой теоретического курса и способствуют его усвоению и глубокому пониманию. Данная методическая разработка ставит своей целью оказание помощи обучающимся в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.
К каждой теме раздела предложен образец решения основных заданий, который включает в себя этапы выполнения задания и служит образцом при оформлении письменных работ.
Требования к оформлению самостоятельных работ
Самостоятельная работа выполняется в учебной тетради в клетку (12-18 листов). Запись ведётся в каждой странице, без пропусков. Первая страница - титульный лист, установленного образца. Записывается номер работы и тема.
Номер варианта самостоятельной работы определяется карточкой с вариантом заданий. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается обучающемуся без оценки.
Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.
Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в карточке с вариантом, номера задач следует указывать перед условием.
Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью и в конце решения ставится ответ.
Необходимо правильно употреблять математические символы.
Не следует откладывать выполнение самостоятельной работы. Выполнить ее следует в сроки, предусмотренные графиком учебного процесса.
Получив проверенную работу, по которой получена неудовлетворительная оценка, учащийся должен исправить и объяснить все ошибки на консультации или после занятия.
Критерии выставления оценок
Ответ оценивается отметкой «5», если:
- работа выполнена полностью;- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось
специальным объектом проверки); - допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
- допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
- допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.
Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.
Общие методические указания
Выполнение самостоятельной работы подводит промежуточный итог знаний студентов по данной дисциплине. Эта самостоятельная работа имеет цель систематизации, закрепления и расширения теоретических знаний по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия». Выполнение самостоятельной работы выявляет умение обучающихся работать с литературой, применять на практике теоретические знания, грамотно и логично излагать свои мысли.
Лучшим способом закрепления учебного материала является решение задач. При решении задач следует придерживаться следующих рекомендаций:
Внимательно изучите цель, поставленную в задаче, выясните, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми элементами.
Не следует приступать к решению задачи, не обдумав условия и не найдя плана решения.
Попытайтесь соотнести данную задачу к какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен.
Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное.
Попробуйте разделить данную задачу на серию вспомогательных, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.
Найдя план решения, выполните его, убедитесь в рациональности решения, произведите проверку решения данной задачи.
Если решить задачу не удается, найдите в учебной литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно ее решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.
Тема: Степени и корни. Степень с натуральным, отрицательным и произвольным действительным показателем, ее свойства. Арифметический квадратный корень, его свойства
Обучающийся должен:
Знать: понятия степени с натуральным, целым отрицательным, нулевым, рациональным и действительным показателем, а также корня п–ой степени, арифметического квадратного корня; свойства степеней и корней.
Уметь: находить значения корня и степени на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней и корней;
Опр.: Степенью называется выражение вида: , где — основание степени; — показатель степени
Свойства степеней:
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
( abc… ) n = a n · b n · c n …
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
( a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
( a m ) n = a m n .
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Опр. Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .
Опр. Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
, где ,
Рассмотрим примеры:
а) , т. к. ; б)
в), т. к. ; г) , т. к.
Опр. Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
Рассмотрим примеры:
1., т. к. ;
2. , т. к. ;
Опр. Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен , a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу .
Корень из квадрата
Например, . А решения уравнения соответственно и
Свойства корней:
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Теперь формула a m : a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
Пример: a4 : a7 = a 4 - 7 = a -3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
Примеры: 2 0 = 1, ( – 5 ) 0 = 1, ( – 3 / 5 ) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :
Таким образом, для степени с натуральным и рациональным показателем полный список свойств выглядит так:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) ;
9)
Примеры. Вычислить: а)
б) С другой стороны,
в)
г )
д)
е)
Упростите выражение:
а)
.
б)
Вопросы и упражнения для самоконтроля.
1.Дайте понятие степени?
2. Дайте определение арифметического квадратного корня?
3. Перечислите основные свойства степени и корня.
4. Вычислить: 1) 134(3/4) ; 2) 7354; 3) 47354+153128, 4) 9 ∙912 · 3-15. Возвести в степень:
а) ; б) ; в) ; г)
6. Вычислите: а) 252-4·28, б) (3·364 ) 2 7. Запишите выражение 13x2 в виде степени с дробным показателем.
Тема: Иррациональность в знаменателе
Обучающийся должен:
Знать: понятие иррациональности в знаменателе дроби и методы освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.
Уметь: применять алгоритм при преобразовании выражений, содержащих иррациональность в знаменателе дроби, выполнять преобразования выражений.
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.
Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?
Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.
Умножаем и числитель, и знаменатель для того, чтобы значение дроби осталось неизменным.
Примеры: а) 9/√5 = (9*√5)/(√5*√5) = (9√5)/5
б) (7√3)/(2√7) = (7√3 * √7)/(2√7*√7) = (7√21)/(2*7) = 7√21/14
Примеры: Преобразовать алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:
Решение:
Используем основное свойство дроби, то есть подбираем такой множитель, чтобы при умножении на него в знаменателе дроби не оказалось квадратных корней.
Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:
Разложить знаменатель дроби на множители.
Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на . Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на .
Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.
Выражения вида и называются сопряженными.
Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.
Рассмотрим примеры сопряженных выражений.
1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.
Возможны два случая:
a) . В этом случае :
Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби , нужно числитель и знаменатель дроби умножить на , получим
Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби - только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной.
б) ,
В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее до разности квадратов:
Для выражения сопряженным будет :
Соответственно, для выражения сопряженным будет :
Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на
Получим:
2. Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени:
В этом случае сопряженное выражение :
Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Получим:
3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:
Исключим иррациональность из знаменателя дроби:
Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.
Найти значение выражения:
Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.
Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:
Подставим полученные выражения в исходное:
Итак,
Пример: Упростить выражение.
Решение:
Ответ:
Вопросы и упражнения для самоконтроля.
Задание 1. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:
3. Что необходимо сделать для избавления от иррациональности в знаменателе?
Тема: Иррациональные уравнения и способы их решения
Обучающийся должен:
Знать: определение и способы решения иррациональных уравнений.
Уметь: решать иррациональные уравнения разных видов, а также аналогичные неравенства и системы; использовать различные способы при решении иррациональных уравнений.
Опр. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.
Примеры:
1. , , ; ответ: ;
2. ; ответ: ;
3.
ответ:
4. ; ответ:
Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:
f(x)=g(x) , (*)
при решении которого важную роль играет четность или нечетность.
Если n- нечетное, то уравнение (*) равносильно уравнению:
fx=(g(x))n Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений):fx≥0 . Уравнение (*) в этом случае равносильно системе:
Способы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
Замечание: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.
Пример 1. Решить уравнение
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат: x2 - 3 = 1;Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых: x2 = 4.Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.Проверка.При x1 = -2 - истинно:При x2 = -2 - истинно. Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Пример 2. Решить уравнение .Решение:
Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполняться два условия:
а) x - 9 0;
x 9;
б) 1 - x 0;
-x -1 ;x 1.
ОДЗ данного уранения: x .Ответ: корней нет.
Пример 3 . Решить уравнение + = 7.
Решение:
Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение = 12 (1), являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение(х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x2 - 15x + 44 =0.
Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x1 = 4, х2= 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: х1 = 4, х2= 11.
В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.
Пример 4. Решить уравнение - = 3.
Решение:
Уединив первый радикал, получаем уравнение = + 3, равносильное исходному.
Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
x2 + 5x + 2 = x2 - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению
4x - 5 = 3 (1). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению16x2 - 40x + 25 = 9(x2 - 3х + 3), или7x2 - 13x - 2 = 0.
Это уравнение является следствием уравнения (1) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x2 = 1/7 - не удовлетворяет.
Ответ: x = 2.
При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).
Пример 5. Решить уравнение 2x2 - 6x + + 2 = 0.
Решение.
Введем вспомогательную переменную. Пусть y = , где y 0, тогда получим уравнение 2y2 + y - 10 = 0;y1 = 2; y2 = - 5/2. Второй корень не удовлетворяет условию y 0.Возвращаемся к x: = 2;x2 - 3x + 6 = 4; x2 -3x + 2 = 0; x1 = 1; x2 = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями исходного уравнения.Ответ: x1 = 1; x2 = 2.
Вопросы и упражнения для самоконтроля.
1. Какие уравнения называют иррациональными?
2. Перечислите способы решения иррациональных уравнений.
3. Решите иррациональные уравнения: 1) х-2= x – 8; 2) 3х-5 = 9;
3)3х3-2х+1=1; 4) x+3x+7=7; 5)х2- 3х= 10-4х-х24. Решите уравнения:
а) ; б) ; в) ; г)
Список использованной литературы:
1.Башмаков М.И. Математика /Учебник для начального и среднего профессионального образования/ - М.: Академия, 2013
2.Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика – М.: «Дрофа», 2010
3.Богомолов Н.В., Сборник задач по математике – М.: «Дрофа», 2010
4.Виленкин И.В, Гробер В.М. Высшая математика - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002
5.Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики - М.: «Академия», 2010
6. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики - М.: «Наука», 1970
7.Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2008
8.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина, 2013
9.Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2010
10. Пехлецкий И. Д. Математика - М.: «Академия», 2010
11. Погорелов А.В. Геометрия, 10-11 /Учебник/ - М.: «Просвещение», 2006
12. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 1 - М.: «Наука», 1981
13. Яковлев Г.Н. и др. Алгебра и начала анализа, часть 2 - М.: «Наука», 1978