Урок по теме: Логарифмы. Свойства логарифмов

Злобова Людмила Викторовнаучитель математики МБОУ ВСШ
Тема: «Логарифм. Свойства логарифма».
Класс: 12 общеобразовательный.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
1.1. Образовательные: введение понятия логарифма; основных свойствлогарифма; основного логарифмического тождества; формирование умений и навыков применять свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений; развитие математического мышления; умения    логически     и рационально мыслить;техники вычисления.
1.2. Воспитание познавательной активности; творческих способностей обучающихся; умения слушать и аргументировать свой ответ; уважения друг  к другу.  
1.3.Усиление практической направленности данной темы для качественной подготовки к экзамену, умение выделять главное, умение работать с Интернетом. 
2.1.Развивающие: развитие математического мышления; техники вычисления логарифмов; умение работать в парах; развитие навыков самоконтроля.
3.1.Воспитательные: воспитание познавательной активности;воспитание культуры общения;взаимопонимания.
Формы  проведения учебного занятия:
Коллективная.
Исследовательская.  
Индивидуальная.
В парах.
Фронтальная.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска, презентация «Логарифм. Свойства логарифма», теоритический и практический раздаточный материал.
Методы обучения: частично-поисковый, проблемный. 
Структура урока:
Организационный момент.
Сообщение темы, целей урока.
Проверка домашнего задания (по свойствам степеней).
Этап исследования: введение новых знаний
фронтальная работа с тренировочными упражнениями;
индивидуальная работа;
закрепление: работа в парах.
Подведение итога урока. Рефлексия.
Домашнее задание.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Сообщение темы, целей урока.
Проверка домашнего задания(по свойствам степеней).
Этап исследования.
4.1.Определение логарифма.
1.Представим число 2 при помощи различных математических действий:
6:3=4-2=2*1=1+1=21=2.
Возможен ли другой вариант получения числа 2?
Учитель. Рассмотрим следующую запись:
log636= log525= log416= log749=2.
Обучающиеся. Заметим:
62=36; 52=25; 42=16; 72=49.
Учитель. Рассмотрим ещё одну запись:
log1/24= log21/4= log1/39= log51/25=-2.
Обучающиеся:
(1/2)-2= 4; (2)-2=1/4; (1/3)-2=9; (5)-2=1/25.
Учитель. Рассмотрим ещё одну запись:
log42= log366= log819= log255=1/2=0,5.
Обучающиеся:
41/2= 2; 361/2=6; 811/2=9; 251/2=5.
Учитель. Рассмотрим ещё одну подобную запись и постараемся сделать определенные выводы:log421= log761= log831= log291=0; то есть
420=1; 760=1; 830=1; 290=1.
Попробуйте составить слово из букв:
БУКВЫ ax= b,
гдеа> 0,
а= 1.
2х =16,
2х=24,
X=4. 2х=7?
х= log27
Значит, alogab=b;
гдеа> 0, а= 1,b> 0.
А log636=2 4 62=36 Логарифмом числа b по основаниюа называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить b (основное логарифмическое тождество).
И log525=2 6 52=25 О log291=0 2 290=1 Ф log1/24=-2 7 (1/2)-2= 22= 4 Г log421=0 3 420=1 Рlog42=1/2=0.5 5 40,5=(22)0,5=2 М log5(1/25)=-2 8 (5)-2=(1/5)2=1/25 Л log749=2 1 72=49 В каждом представленном случае мы использовали новую запись, включающую себя логарифм (log) , которая читается так:
logаb
- логарифм числа b по основанию а.
logеb = lnb
В зависимости от основания а логарифм может быть записан следующим образом:
- натуральный логарифмLчисла b по основанию е
(e=2,7182818…, e> 0).
log10b=lgb

- десятичный логарифм
числа b по основанию 10.
Краткая информация из истории логарифмов о происхождении терминов и обозначений (учитель).




Замените данное равенство логарифмом:
а) 1270=1; log1271=0
б) 24=16; log216=4
в) (81)3/4=27; log8127=3/4
3.Замените число 3 любыми пятью логарифмами по любому основанию (пять учащихся у доски показывают свой вариант с доказательством).
Например:
log28= log327= log481= lg1000=lne3=3.
4.Замените число -1 любыми пятью логарифмами(пять учащихся у доски показывают свой вариант с доказательством).
Например:
log2(1/2)= log1/33= log14(1/14) = lg0,1=ln(1/e)=-1.
5. Проверьте справедливость равенств
(поочередно обучающиеся решают у доски с пояснением):log√39=4, (√3)4=(31/2)4=32=9,
lg0,001=-3, 10-3=1/(10)3=1/1000=0,001,
ln(1/e)5=-5, (e)-5=(1/e)5.
6. Найдите число b (обучающиеся решают самостоятельно в тетрадях, затем сверяют с доской):
a) log1/8 b= -1, b= (1/8)-1=(8/1)1=8,
б) log√6 b= 2, b=(√6)2=6,
в) lg b = 4,b=104=10000,
г) lnb=7, b=(е)7=е7.
7. Запишите число 3, -2, 0 в виде логарифма с основаниема=4 (работа в парах).
a) log4b= 3, b= (4)3=64,
б) log4 b= -2, b=(4)-2=(1/4)2=1/16,
в) lоg4b = 0, b=40=1.
8. Найдите число а, если:
a) logа 125= 3, (а)3=125,(а)3=53, а=5;
б) logа(1/27)=-3, (а)-3=1/27, (а)-3=(1/3)3, (а)-3=3-3, а= -3;
в) lоgа25 = -2, (а)-2=25, (а)-2=52, (а)-2=(1/5)-2,а=1/5, а=0,2.
4.2. Основные свойства логарифмов.
logа1= 0
1)
,так как а0=1.
Например:
1. log71= 0,
70=1,
2. log151= 0,
150=1,
3. log991= 0,
990=1.
logaa=1

2) , так как а1=а.
Например:
1. log77= 1,
71=7,
2. log1515= 1,
151=15
3. log9999= 1
991=99
logax+ logay = loga(x*y)

3)
Например:
1. log216 + log24= log2(16*4) = log264= 6, так как 26=64 .
2. log216=4, т.к. 24=16 log24=2, т.к. 22=4 log216 + log24=4+2=6.
logax- logay = loga(x/y)

4)
Например:
1. log216 – log24= log2(16/4) = log24=2, так как 22=4 .
2. log216=4, т.к. 24=16 log24=2, т.к. 22=4 log216 – log24=4-2=2.
logaxp=plogax

5)
Например:
1. log2 16= log2 (24)= 4* log22=4*1=4, таккакlogаа= log22=1
2. log3 35= 5* log3 3= 5*1=5.
3. 2* log2 √8=log2 (√8)2=log28=3, так как 23=8.
4. 2*log2 √8= 2*log2 (8)1/2= 2* (½)log28=2*(½)*3=3, так как √8=(8)1/2.
logaxp=log(a)1/px

6)
Например:
1. 1=log16 16= log16 (24)= log(16)1/42=log(24)1/42=log22=1, таккакlogаа= =log2 2=1, (аm)n=amn.
2. log81 32= log(81)1/2 3= log93=1/2=0,5, таккак (81)1/2= √81=9; (9)1/2= √9=3.
log(a)px=(1/p)*logax
7)
Например:
1. log6255= log(5)45=(1/4)* log55=0.25*1=0,25, так как 625=54, logаа= =log55=1.
2. log648= log(8)2 8=(1/2)* log88=0.5*1=0,5, 64=82, logаа= log85=1.
log(a)px=logax1/p
8)
Например:
1. 1= log625625=log(5)454= log5(54)1/4= log55=1, т.к. (аm)n=amn , logаа=1.
2. log625625=log(5)454=4*(1/4) log55= 1*1=1, т.к. logаа= log55=1.
logax=logmx/logma
9) -формула перехода от
одного основания логарифма
к другому основанию.
Например:
1. log2 16 =log4 16/ log4 4 =2/1, так как 42=16, logаа= log4 4 =1.
2. log225/ log25 = log525= 2, т.к. 52=25.
logax=1/logxa

10)
Например:
1. log162=1/log2 16= ¼=0,25, так как24=16.
2. 1/log100010= log101000=3, так как103=1000.
logax*logxa=1

11)
Например:
1. log162*log2 16= 1.
2. log495*log5 49=1.
logax*logxb=logab

12)
Например:
1. log162*log2 256= log16 256=2, так как162=256.
2. log162*log2 256=(1/4)*(8)=2, log162=1/4, log2 256=8.
alogab=b

13) - основное логарифмическое
тождество
Например:
1. 7log7 2=2, 17log1728=28, elne= elogee=eилиelne=e1=e,lne=1.
2. 49log7 2=72log7 2=7log74=4, так как 22=4.
3. 49log7 2=72log7 2 =(7log7 2)2=22=4, так как (аm)n=amn.
4. 7log4925=7(1/2)log7 25=7log75=5, так как 251/2=5.
alogmb= blogma

14)
Например:
1. 7log5 2=2log57, 17log1328=28 log1317, elgП=Пlgе.
Рефлексия. Что нужно знать, чтобы вычислить логарифм?
Что нужно знать, чтобы выполнить действия с логарифмами? С какими еще свойствами неразрывно связаны свойства логарифмов?Так зачем нужны логарифмы?

Домашняя работа.
Выучить определение логарифма и свойства логарифмов.
На каждое свойство придумать свой пример(можно использовать Интернет и открытый банк заданий ЕГЭ-2016) и занести его в карточку для парной работы на следующий урок.
Само решение оформить в тетради.
Доклад или презентация «Изобретение логарифмов» (2 -3 человека по желанию).