Методическое пособие Методы решения линейного уравнения с параметрами
260921512192000 260921512192000Министерство обороны Российской Федерации
Федеральное государственное общеобразовательное учреждение
«Оренбургское президентское кадетское училище»
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.
(Методические рекомендации для преподавателей и воспитанников)
Преподаватель
математики высшей категории
Зевина Елена Петровна
Оренбург
2011г.
УДК 372
Зевина Е.П.: Методы решения линейных уравнений с параметрами. Методическое пособие для воспитанников и преподавателей.
-Оренбург: ФГКОУ Оренбургское ПКУ,-20с.
Учебное пособие содержит линейные уравнения с параметрами, при решении которых возникают наибольшие затруднения во время изучения алгебры 7 класса. Методам решения таких уравнений в общеобразовательном учреждении уделяется мало внимания, и целью данного пособия является помочь воспитанникам в устранении этого пробела. Пособие может быть полезно преподавателям для работы на индивидуальных занятиях с воспитанниками.
Рассмотрено на заседании методического совета ФГКОУ Оренбургского ПКУ.
© ФГКОУ «Оренбургское президентское кадетское училище», 2012г.
Содержание
Введение…………………………………………………………... 4
Уравнения с параметром………………………………………….4
Простейшие уравнения с параметром…………………………….7
Графический способ решения линейного уравнения с параметром……………………………………………………… 10
Линейное уравнение, содержащее дробные коэффициенты…..13
Линейное уравнение, содержащее знак модуля……………… ..15
Алгоритм решения линейного уравнения с параметром………18
Примеры уравнений с параметрами из школьного учебника…18
Задачи для самостоятельного решения………………………….19
Литература ………………………………………………………..20
Введение
При изучении различных закономерностей часто приходим к решению уравнений. В школьном курсе математики в системе изучаются методы решения алгебраических уравнений, неравенств и их систем. Наибольшие затруднения вызывают уравнения с параметрами, поскольку наличие параметра предполагает решение не по аналогии и не по шаблону. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание логики решения, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Решение уравнений с параметрами требует исследования. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких уравнений. В учебном процессе решение уравнений с параметрами предусматривается, но крайне редко, не в системе, и поэтому у учащихся зачастую не сформированы навыки их решения. Один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. В данном пособии будут предложены рекомендации, которые помогут понять логику решения линейных уравнений с параметрами. Данная статья может быть использована для самостоятельной подготовки к экзаменам при наличии хороших знаний школьного курса 7 класса, а также может быть полезной учителям для индивидуальной работы с учащимися, для работы на факультативных занятиях.
Уравнения с параметром.
Линейное уравнение – это уравнение вида: ах = b , где a и b – некоторые постоянные. При решении линейных уравнений, получаем различное количество корней уравнения. Чтобы понять логику решения линейного уравнения с параметрами рассмотрим решение следующих частных уравнений.
Пример 1. Решить уравнение 3х = - 15 .
Решение: Т.к. а = 3, а b = - 15, то х = - 15 : 3(деление возможно, 3≠0);
х = -5.
Проверка: 3 ( -5) = - 15 0; - 15 = - 15(верное), то -5 является корнем исходного уравнения
Ответ: -5
Пример 2. Решить уравнение 0х = 0
Решение: 0 = 0(верное при любом значении переменной х ), то корнем уравнения является любое число.
Ответ: х - любое число
Пример 3. Решить уравнение 0х= 7
Решение: 0 = 7 (не верно при любом значении х), уравнение корней не имеет.
Ответ: хЄ∅Вывод: 1) Если а≠0, то уравнение имеет единственный корень: х = ba ( ах = b; ах = b; х = b : а; х= ba)
2) Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах= b является любое число.
3) Если а = 0, b≠0, то уравнение ах= b не имеет корней, хЄ∅.Если а и b не принимать конкретными значениями, то, говорят, что а и b – это параметры в уравнении ах=b, а само уравнение ах=b - уравнение с параметрами. Однако овладеть методикой решения уравнений с параметром мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на линейную зависимость, подробно анализируемую школьной программой.
Многие учащиеся воспринимают параметр, как «обычное» число. Действительно, в некоторых уравнениях параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать уравнение при всех возможных значениях этой постоянной.
С параметрами семиклассники встречаются уже при введении некоторых понятий. В качестве примеров рассмотрим следующие объекты:
- функция прямая пропорциональность: y = kx (x и y переменные, k – параметр, k≠0);
- линейная функция: y = kx+b (x и y – переменная, k и b – параметры);
- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная, a и b – параметры, a≠0).
К уравнениям с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров. Этот небольшой класс задач, конечно, многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойную природу. С одной стороны, с параметром работаем как с числом, с другой – это неизвестное. Так, деление на выражение, содержащее параметр, без предварительных исследований невозможно. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Определение уравнения с параметром: «Пусть дано равенство с переменными х, а: f (x; а) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f (х; а) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а. Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющие этому уравнению». Назовем контрольными значения параметра те значения, при которых обращается в нуль коэффициент при х в линейном уравнении. Рассмотрим алгебраический способ решения линейного уравнения.
Простейшие уравнения с параметром.
Простейшие уравнения с параметром.
Рассмотрим решение линейных уравнений, если параметр является свободным членом.
Пример 4. Решить уравнение x – a = 0.
Ответ: x = a, при любом a
Пример 5. Решить уравнение 5x = a . Ответ: x = а5, при любом a.
х2= a Ответ: x = 2a, при любом a.
Вывод: если параметр является свободным членом в уравнении, то уравнение всегда имеет один корень.
Подобные упражнения помогают учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений. Замечу, что даже такие, казалось бы, совершенно элементарные уравнения часто требуют от учителя подробных комментариев и терпеливых объяснений.
2. В качестве второго шага, рассмотрим уравнения с параметром, где выделим уравнения с небольшим числом легко угадываемых ветвлений.
Пример 6. Решить уравнение 0•х = а.
Ответ: при а ≠ 0, корней нет,
при а = 0, х – любое из множества R.
Пример 7. Решить уравнение. |x| = a.
Ответ: при а < 0, корней нет,
при а = 0, х = 0,
при а > 0, х = ±а.
3.Рассмотрим уравнения с параметром, где параметр – это коэффициент линейного уравнения, и, он может имеет вид алгебраического выражения.
Пример 8. Решить уравнение ах = 1.
Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, а=0. Решение данного уравнения сведем к одному из случаев примеры 1-3.
Если а=0, то уравнение примет вид: 0х=1, а это уравнение не имеет корней.
Если а≠0, то деление на а возможно и х = 1а Ответ: Ø при а =0; 1а при а≠ 0.
Пример 9. Решить уравнение (а -3)х=1.
Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, т.е. а-3=0, то а=3. Решение данного уравнения сведем к одному из трех случаев. (примеры 1-3).
1)Если а=3, то а -3=0, и уравнение (а -3)х=1 примет вид 0х=1, а это уравнение корней не имеет.
2)Если а ≠3, то то деление на а возможно и х=1а-3
Ответ: Ø, при а =3; 1а-3, при а ≠3.
Рассмотрим уравнения с параметром, где коэффициент линейного уравнения и свободный член содержат параметр.
Пример 10. Решить уравнение (а -2)х= а -2.
Решение: Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х , т.е. а -2=0, то а =2.
Если а =2, то а -2=0, и уравнение (а -2)х= а -2 примет вид 0х=0, х – любое число.
Если а ≠2, то деление на а возможно х=а-2а-2=1
Ответ: любое число, при а =2; 1, при а ≠2
Пример 11. Решить уравнение b х + 1=2b + х.
Решение: Приведем данное уравнение b х + 1=2b + х к виду ах = b.
b х – x=2b - 1
(b – 1)х=2b - 1
Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,
b – 1=0, b=1.
Если b=1,то b – 1=0, то уравнение (b – 1)х=2b - 1 примет вид 0х=1, корней нет
Если b≠1, то b – 1≠0 деление возможно на b – 1 и х= 2b-1b-1
Ответ: Ø, при b=1; 2b-1b-1 , при b≠1.
Пример 12. Решить уравнение (b2-b)х= b2 – 1.
Решение: (b2-b)х= b2 – 1
Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, т.е.
b2-b=0, b(b-1)=0, b=0 или b=1
1)Если b=1,то b2-b=0, уравнение(b2-b)х= b2 – 1 примет вид 0х=0, то х – любое.
2)Если b=0,то b2-b=0, уравнение примет вид 0х= - 1, корней нет
3)Если b≠1 и b≠0, то деление на b(b-1) возможно и х=b2 – 1 b2-b= b-1bОтвет: любое число, при b=1;
∅, при b=0;
b-1b, при b≠1 и b≠0.
Пример 13. Решить уравнение а2х=а(х+2) – 2
Решение: Приведем данное уравнение а 2х=а(х+2) – 2 к виду ах = b.
а2х=а(х+2) – 2
а2х=ах+2а-2
а2х-ах=2а-2
(а2-а)х=2а-2
Найдем контрольные значения параметра для коэффициента при х,
а2-а=0, а(а-1)=0, а=0 или а=1
Если а=0, то а2-а=0, и уравнение (а2-а)х=2а-2примет вид ох= - 2, корней нет
Если а=1, то а2-а=0, и уравнение примет вид 0х=0, х – любое число
Если а≠0 и а≠1, то х=2а-2а2-а =2а+1Ответ: ∅, при а=0;
любое число, при а=1;
2а+1, при а≠0 и а≠1.
Данные выше примеры позволили увидеть, как изменяется вид рассматриваемого линейного уравнения с изменением значения параметра и влияние параметра как переменной на значение корней и их количество.
Графический способ решения линейного уравнения с параметром.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения линейного уравнения с параметрами kx+b=0. Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический. Количество корней линейного уравнения kx+b=0 зависит от расположения прямых у= kx+b и у=0, но второе уравнение можно записать в виде у= 0x+0, где k=0, b=0. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться (только в одной точке), либо быть параллельными, либо совпадать, а соответственно уравнение kx+b=0 может иметь 1 корень, не иметь корней, или иметь бесчисленное множество корней.
Решением уравнения kx+b=0 являются абсциссы точек пересечения прямых, заданных уравнениями у= kx+b и у= 0x+0.
Рассмотрим эти случаи расположения прямых, и подтвердим, от чего зависит решение уравнения.
1 случай:
Пусть в уравнении у= kx+b, параметр b – некоторое фиксированное число, k – любое, k≠0. Это уравнение на плоскости задает множество прямых, проходящих через точку (0; b). k – угловой коэффициент прямой и он один и тот же для данного множество прямых. Т.к. k≠0, то прямые, заданные уравнениями у= kx+b и у= 0x+0, пересекаются.
1282065508635001510665508635001672590394335038671555626000102870055372000 Вывод: уравнение kx+b=0 при k≠0 имеет один корень. ( рис.1)
Рис.1
b
168148041719500183451541846500
809625-635002063115635000128206511430003860809525 0 у=0х+0 x
2 случай:
Пусть в уравнении у= kx+b, k – некоторое фиксированное число, k≠0, b – любое. Графиком данного уравнения является множество параллельных прямых, имеющих один и тот же угловой коэффициент. Построим в одной системе координат графики функций y=kx+b y=0x+0 (y=0) и найдем координаты точек пересечения: (х;0). Абсциссы этих точек являются решением уравнения kx+b=0.
Вывод: уравнение kx+b=0 при k≠0 имеет один корень.(рис. 2 и рис.3 )
8191421717040919403124201091565312420Если k>0. Если k<0
3939540131445 Y Y
2533651117603634740235584
653415330200003377564330835
2976880140335 0 у=0х+0 x 0 81914121285 x
3случай:
1529715121031000Пусть в уравнении kx+b=0 k=0, b≠0. Найдем координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями у= kx+b и у=0. Учитывая условия, уравнения примут вид у= 0x+b и у=0х+0. Так как угловые коэффициенты (k=0) равны, то прямые параллельны. (рис.4)
152209529527500386715312420 У у=0х+b
386715226060 b 0 х
Вывод: уравнение kx+b=0 корней не имеет.
4случай:
14319251458595Если в уравнении kx+b=0, k=0 и b=0, то уравнение примет вид 0х+0=0. Найдем координаты точек пересечения прямых, заданных уравнениями у=0х+0 и у=0 (что то же самое у=0х+0). Угловые коэффициенты прямых и свободные члены соответственно равны, то прямые совпадают (ось 0х). (рис.5)
у
138684031496000234315324485 у=0х+0
0 у=0 х
Вывод: уравнение kx+b=0, при k=0 и b=0 имеет бесчисленное множество корней.
Линейное уравнение, содержащее дробные коэффициенты.
Пример 14. Решить относительно х уравнение x+b1+b=x -b2+b.
Решение: уравнение x+b1+b=x -b2+b запишем в виде ах=в, для этого перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю. Получим:
x+b1+b- x -b2+b=0x+b2+b-(x -b)(1+b) (1+b)(2+b)=0, выполним алгебраические преобразования числителя полученной дроби и сгруппируем слагаемые относительно х. х2+b+2b+b2-1+bx+b2+b(1+b)(2+b) = 0
х+3b+2b2(1+b)(2+b) = 0
В числителе полученной дроби выражение линейное относительно х. найдем контрольные значения параметра для знаменателя дроби, т.е. 1+b=0, 2+b = 0; b = - 1, b = - 2.
Если b = - 1, b = - 2, то знаменатель дроби обращается в нуль, а следовательно уравнение корней не имеет.
Если b≠ - 1 и b≠ - 2, то х+3b+2b2=0, х = - 3b- 2b2Ответ:1) ∅, при b = - 1, b = - 2;
- 3b- 2b2, при b≠ - 1 и b≠ - 2.
Пример 15. Решить относительно х уравнение х+а2+а+ ха+ а2 = 1.
Решение: уравнение х+а2+а+ ха+ а2 = 1 запишем в виде ах=в, для этого перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю. Получим:
2ах+а+2х2+а+а22+а-2а(2+а)2а(2+а)=0
2ах+2а2+4х+2ах+2а3-4а-2а22а(2+а)=04ах+4х+2а3-4а2а(2+а) = 0
4а+4х+2а3-4а2а(2+а) = 0
В числителе полученной дроби выражение линейное относительно х. Контрольными значениями параметра для знаменателя дроби, а = 0 и а=-2.
Если а = 0 и а = -2, то х Є ∅.
Если а ≠ 0 и а ≠ -2, то 4а+4х+2а3-4а = 0
4а+4х= - 2а3+4аНайдем контрольные значения параметра для коэффициента при х, а = - 1
а) если а = - 1, то уравнение примет вид 0х = - 2, хЄ ∅.
б) если а ≠ - 1, то х = - 2а3+4а4а+4, х = 2а- а32а+2.
Ответ: 1) х Є ∅, при а = 0, а = -2, а = - 1;
2) 2а- а32а+2, при а ≠ 0, а ≠ -2 и а ≠ - 1.
Линейное уравнение, содержащее знак модуля.
Пример 16. Найти число решений уравнения 2x-4 =a2x-4 =aРешение: Запишем уравнение в виде системы
753110254000 у = | 2x – 4|
у = а
Изобразим графически (рис.6)
169164031178500
141478015684500201676015621000 у
16440154762500 4
202501524193500824865335915009340853048000 а >0
84391539687500 0 2 а=0 х
а <0
(рис. 6)
Ответ: если а<0 , то n=0;если a = 0, то n=1;если а >0, то n=2.Пример 17.| х | = х – а
-11811039624000Решение: запишем данное уравнение в виде системы
у = | x |
y = x – a
у = х – а даёт множество прямых, параллельных биссектрисе I и II координатного угла. Изобразим графически (рис.9)
21678906985000175831525082500129159011747500 у
196786515113000148209015113000216789015113000 а <0111061538671500 а = 0 а >0 (рис. 9)
Ответ: если а <0 , то n=1; если а = 0, то n= ∞;
если а > 0, то n=0.Рассмотрим более сложное задание.
Пример 18. Для каждого значения параметра решить уравнение.
| x+3|-а| x-1 |=4
Точки перегиба: х+3=0 и х-1=0
х=-3 х=1
Точки -3 и 1 разбивают всю числовую прямую на части
21526524828514820901841502567940184150 -3 1 х
х<-3, -3≤х≤1, х>1
Рассмотрим каждый из случаев.
Пусть х<-3, тогда х+3<0 и х-1<0, то уравнение примет вид
-х-3+ах-а=4
(а-1)х=4+а+3
(а-1)х=7+а
Найдем контрольные значения параметра для старшего коэффициента
а=1
Если а=1, то уравнение примет вид 0х=8, х – любое число.
Если а≠1, то х=7+аа-1Проверим , при каких значениях параметра а выполняется условие 7+аа-1<-3, аЄ(-1;1)=>при х<-3 уравнение имеет корень х=7+аа-1, при аЄ(-1;1).
Если -3≤х≤1, то х+3≥0 и х-1≤0, и уравнение примет вид:
х+3+ах-а=4
(а+1)х=4-3+а
(а+1)х=1+а
Найдем контрольные значения параметра для старшего коэффициента
а=-1
а) если а=-1, то уравнение примет вид: 0х=0, -3≤х≤1
б) если а≠-1, то х=1, -3≤1≤1
3) х>1, то х+3≥0 и х-1>0, и уравнение примет вид:
х+3-ах+а=4
(1-а)х=1-а
Найдем контрольные значения параметра для старшего коэффициента
а=1.
а) если а=1, то 0х=0, х – любое, х>1
б) если а≠1, то х=1, 1 не является решением неравенства х>1, хЄØ
Изобразим решение уравнения на числовой прямой.
1 -3≤х≤1 7+аа-1 ; 1 х≥1 1 а
349186545085137731545085-137160102235
-1 1
Ответ: 1) х=1, при а<-1 и а>1
2) х= 7+аа-1, х=1 при -1<а<1
3) -3≤х≤1, при а=-1
4) х≥1, при а=1
Алгоритм решения линейного уравнения с параметром.
Рассмотрев решение линейных уравнений с параметром можно предложить следующий алгоритм решения.
1. Определить «контрольные» значения параметра при х в уравнении вида ах = b .
2. Рассмотреть случаи решения уравнения относительно х, при контрольных значениях параметра и отличных от «контрольных».
3. Записать ответ в виде:
1) уравнение корней не имеет, при значениях параметра ... .
2) уравнение имеет корни ... ; при значениях параметра ...
3) уравнение имеет корни ... ; при значениях параметра ... .
Примеры уравнений с параметрами из школьного учебника.
При каких значениях а корнем уравнения х(6 - а)+а(х+2)=26 является число 4? (А.Г. Мордкович Алгебра 7 класс. Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений, стр. 33 домашняя контрольная работа №1, задание 8)
Решение: выполним алгебраические преобразования данного уравнения х(6 - а)+а(х+2)=26
6х – ах+ах+2а = 26
6х+2а = 26
6х = 26 – 2а число корней данного уравнения не зависит от значения │параметра а. По условию число 4 – корень уравнения, поэтому 26 - 2а=6•4, 26 - 2а=24, 2а = 2, а = 1.
Ответ: при а=1 число 4 – корень уравнения.
Задачи для самостоятельного решения
Решить относительно х уравнения:
ах = 5
ах = х+5
а2х = 4х+2+а
(а - 1)х+2 = а+1
сх+2 = 2х+1
│x - 2│ = a
│x - a│ = a
│x - a│ = x - a
Ответы для самоконтроля:
5а, при а≠0; Ø при а = 0
5а-1, при а≠ 1; Ø при а = 1
1а-2, при а≠2, а≠ -2; Ø при а = 2; х – любое при а = - 2
х – любое, при а = 1; 1, при а≠ 1.
хЄ ∅, при с = 2; 32-с, при а ≠ 2.
а+2 и 2 – а, при а˃0; 2, при а = 0; Ø, при а˂0.
0 и 2а, при а ˃0; 0, при а = 0; Ø, при а˂0.
х≥а, при любом а.
Литература
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра – 8 с углубленным изучением математики. М.Просвещение, 1995
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра –9 с углубленным изучением математики. М.Просвещение, 1995
Галицкий М.Л, Гольфман А.М., Звавич Л.И. сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов с углубленным изучением математики. М «Просвещение», 1994.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б.. Задачи с параметрами, М: Илекса, Харьков, 1998.
Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. Алгебра. Москва «Просвещение, 2009г.
Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов. Просвещение, 1995.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Просвещение, 1990.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. М.Просвещение, 2004.
Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно – методические материалы по математике /Под ред. Л.Я.Фалько. Изд. 3 – е.-М.: Народное образование, Илекса, 2005.