Различные методы решения иррациональных уравнений с параметрами
Различные методы решения иррациональных уравнений
с параметрами
Методы решения иррациональных уравнений с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами.
Далее в работе различные способы решения иррациональных уравнений с параметрами будем разбирать на конкретных примерах.
Способ 1.
Решить уравнение
х - = 1 (1)
Решение:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
= х – 1 (2)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое значение: а = 0,5.
Отсюда:
при а > 0,5 х1,2 = 0,5 (1 ± );
при а = 0,5 х = 0,5;
при а <0,5 уравнение не имеет решений.
Проверка:
при подстановке х = 0,5 в уравнение (2), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х=0,5 не является решением (2) и уравнения (1).
при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± ) в (2) получим:
-0,5 (1 + ) = – ( 0,5 ( 1 - ))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.
Подставим х2 в уравнение (2):
=
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (1) при а > 0,5, следовательно, х2 – корень уравнения при а ≥1.
Способ 2.
4x+a=2x-1;
4x2-8x+1-a=0x≥12;
a=4x2-8x+1x≥12;
x1=2-a+32;
x2=2+a+32;
Изобразим график: a=4x2-8x+1xв=1 aв=-3; x=12a=-2
Ответ:
Если a<-3, то нет решений;
Если a=-3, то x=1;Если -3<a≤-2, то x1=2-a+32, x2=2+a+32;
Если a>-2, то 1 – решение.
Способ 3.
24x+a = 2x - 1
4x²-8x+1-a=0x≥0.5x₁ = 2-2a+32x₂ = 2+2a+32Рассмотрим функцию f(x)=4x²-8x+1-a
Xв=1
D>0-b2a>0.5f12>0
a+3>01>0.52+a<0 уравнение имеет 2корня.
a>-3a<-2
D≥0-b2a>0.5f12≤0a+3≥01>0.52+a≥0 уравнение имеет 1 корень.
a≥-3a≥-2
D<0 уравнение не имеет корней.
Ответ:
Если a<-3 уравнение не имеет корней;
Если a=3 или a≥-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = 2+2a+32;
Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:
X1= 2+2a+32;
X2= 2-2a+32.
Способ 4.
= 2x – 1
4х+а = (2х-1)2
Х ≥ ½
4х²-8х+(1-а) = 0
Х ≥ ½
D/4 = 16 – 4(1 – а) = 16 – 4 + 4а
D/4 =4(3 + а)
Если а < -3, то D < 0, уравнение не имеет решений.
Если а = -3, то D = 0.
х1 = х2 = 4/4 = 1
Если а > -3, то D >0.
х1 = ½( 2 - );
х2 = ½( 2 + ).
Система имеет два решения:
½( 2 + ) ≥ ½
а > -3
а > -3
≤ 1
2 ≤ а <3
Единственное решение, если
х1 < ½ и х2 ≥ ½
½( 2 - ) < ½
½( 2 + ) ≥ ½
> 1
≥ -1
а > -2
а ≥ -3
а > -2
Ответ:
Если a<-3 уравнение не имеет корней;
Если a=3 или a≥-2 уравнение имеет 1 корень x = 1 или x = 2+2a+32;
Если -3 < a < -2 уравнение имеет 2 корня:
X1= 2+2a+32;
X2= 2-2a+32.