Тренировочные текстовые задачи на движения для подготовки к ЕГЭ (11 класса) части 2 задания 11.
Тренировочные текстовые задачи на движения для подготовки к ЕГЭ (11 класса) части 2 задания 11.
1.Моторная лодка прошла 80 км от пункта А до пункта В и после трёхчасовой стоянки вернулась обратно, затратив на весь путь 12 часов .Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х км/ч – скорость лодки в неподвижной воде
Скорость Время Путь
По течению х+2 км/ч 80/(х+2) 80 км
Против течения х-2 км/ч 80(х-2) 80 км
80/(х+2)+80/(х-2)=12-3
9х^2-160х-36=0
х=-2/9 – не удовлетворяет условию задачи
х=18 км/ч
Ответ: 18.
2. Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 45 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение: Легко понять, что плыла байдарка всего 16-10-11/3=42/3 (ч)
Составим по условию задачи уравнение и решаем 15/(х+3)+15/(х-3)=14/3
14х2-90х-56=0
х1=7 км/ч
х2= -4/7 км/ч – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 7
3. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый весь путь проехал с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение: Поскольку речь в задаче идёт о половинах пути, весь путь удобно принять за 2. Тогда половина пути 1 и х км/ч – скорость первого автомобиля.
2/х=1/(х-16)+1/96
х2-112х+32*96=0
х1=64 км/ч х2=48 км/ч
По условию подходит большее значение скорости, равное 64 км/ч.
Ответ: 64
4.Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше времени. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение: Примем скорость лодки в неподвижной (стоячей) воде за х км/ч, тогда её скорость по течению (х+1) км/ч, а против течения (х-1) км/ч.
120/(х-1)-120/(х+1)=2
120(х+1)-120(х-1)=2(х2-1)
2х2-2=240
х=11 Ответ: 11.
5.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 ч после попытки из него. Ответ дайте в км/ч.
Решение: Скорость течения х км/ч. Скорость теплохода по течению (18+х) км/ч, а против течения – (18-х) км/ч
315/(18+х) – время теплохода по течению
315/(18-х) – время теплохода против течения
315/(18+х)+315/(18-х)=42-6
36х2-324=0
х2=9
х=3 Ответ:
6.Теплоход отошёл от пристани одновременно с плотом и прошёл вниз по реке 42 км. Сделав остановку на 1 час, он двинулся обратно вверх по реке. Пройдя 12 км, он встретился с плотом. Во сколько раз собственная скорость теплохода больше скорости течения реки, если скорость течения реки равна 4 км/ч?
Решение: х – собственная скорость теплохода
Скорость Время Путь
По течению х+4 км/ч 42/(х+2) 42 км
Против течения х-4 км/ч 12/(х-2) 12 км
К моменту встречи теплохода с плотом плот прошёл 30 км за 30/4 =7,5 часов. Получаем уравнение: 42/(х+4)+1+12/(х-4)=7,5
13х2-108х+32=0
х1=2,75
х2 =8 По смыслу задачи скорость теплохода больше скорости течения, тогда скорость теплохода равна 8, то есть в 2 раза больше скорости течения.
Ответ: 2.
7.Теплоход проходит от пристани А до пристани В по течению реки за 3 ч, а против течения за 4 ч. За сколько часов проплывёт это расстояние плот?
Решение: Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, у км/ч – скорость течения реки, S км – расстояние от пристани А до пристани В.
По условию S=3(х+у), S=4(х-у), требуется найти S/у
3(х+у)=4(х-у), х=7у, S=3(х+у)=24у, тогда S/у=24
Ответ: 24
8.Расстояние между двумя городами 180 км. Рейсовый автобус проходит это расстояние на 27 минут медленнее маршрутного такси. Если скорость автобуса увеличить на 10 км/ч, а маршрутного такси уменьшить на 10 км/ч, то они будут проходить это расстояние за равное время. Определите первоначальную скорость автобуса.
Решение: х км/ч –первоначальная скорость автобуса, у км/ч – скорость маршрутного такси.180/х – время автобуса, 180/у – время такси. Из условия следует, что автобус был в пути на 27 мин дольше. 180/х-180/у=27/60=9/20
После изменения скорости автобус прошёл 180 км – за 180/(х+10) ч, а маршрутное такси – за 180/(у-10) Из условии следует, что 180/(х+10)=180/(у-10) Решаем систему уравнений. у=х+20 и 20/х – 20/(х+20)=1/20 отсюда: х+20-х=(х2+20х)/400; х2+20х-8000=0
х1=-100 х2=80 По смыслу задачи х>0, значит искомое значение скорости автобуса равно 80 км/ч. Ответ: 80.
9.Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всём участке?
Решение: Решим задачу с помощью «лишнего» неизвестного. Пусть – х км – расстояние от А до В, тогда х/15+х/10=х/6 ч затрачено на путь туда и обратно. Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь на время движения: 2х:х/6=2х*6/х=12 (км/ч)
Ответ: 12
10.Из пункта А и В навстречу друг другу в 11:00 вышли два поезда. Двигаясь с постоянными скоростями, они встретились в 12:00, после чего продолжили движение. В 13:15 первый поезд прибыл в пункт В. Сколько минут был в пути второй поезд? (ОтветJ11.Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 12 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах. (Ответ: 144)
12.Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.
13.Моторная лодка прошла путь от пункта А до пункта В и обратно без остановок за 9 часов. Найдите расстояние между пунктами А и В, если скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч, а скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в километрах. (Ответ; 80)
14.Товарный поезд, идущий со скоростью 30 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Определите длину поезда (в метрах) (Ответ:300)
15.Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую – со скоростью – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 72)
16.Велосипедист проехал с постоянной скоростью из города А в город В , расстояние до которого равно 120 км. Возвращался из пункта А на следующий день он со скоростью, на 2 км/ч большей прежней. По дороге он сделал остановку на 2 ч. В результате на обратный путь он затратил столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В, Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 10)
17.Два велосипедиста одновременно отправились в 96- километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. (Ответ:)
18.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 16)
19.Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 ч 40 мин, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч. (Ответ: 3)
20.Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. (Ответ: 21)
21.Два автомобиля отправляются в 420 – километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость автомобиля, пришедшего к финишу первым. (Ответ: 60)
22.Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. (Ответ: 57 )23.Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки до пункта назначения и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 13 часов после отплытия из него. Ответ дайте в километрах. (Ответ: 192.)
24.Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причём город В расположен между городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 28 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В равно 112 км? (Ответ: 4 )25.Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч (Ответ: 75)
26.Велосипедист отправился на дорогу и должен вернуться не позднее чем через 7 часов после выезда. На какое наибольшее от места старта он может удалиться, если его скорость 15 км/ч, а обратно его подвезут на машине, скорость которой равна 90 км/ч? Ответ дайте в километрах. (Ответ: 90)
27.Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 30 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/ч, скорость второго – 77 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг? (Ответ: 120)
28.Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю 1/7 часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка с выключенным мотором, её скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно. (Ответ: 4)