Теорема о трёх перпендикулярах.

Тема урока: Теорема о трёх перпендикулярах.
Цели урока:
Образовательная: изучить и доказать теорему о трех перпендикулярах; Развивающая: развивать пространственное воображение, познавательный интерес, умения обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений, учить делать выводы;
Воспитательная: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, эстетический вкус.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Методы обучения: репродуктивный и эвристический.
Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, презентация, набор чертежных инструментов.
Литература:
А. С. Атанасян. Геометрия для 10-11 кл./ А. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.
Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна и др. для 10 кл. 2010. – 304 с.
3. Ю. М. Колягин. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.
Саранцев Г.И. «Методика обучения математики в средней школе.: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-в» М.: Просвещение, 2005. – 224 с
План урока
Организационный момент (2 мин.).
Актуализация знаний (5 мин.).
Изучение нового материала (15 мин.).
Закрепление изученного материала (20 мин.).
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин.).

Ход урока:
Организационный момент (2мин)
Включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих.
(Слайд 1)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Учитель: Сегодня на уроке мы и попытаемся разгадать одну из загадок, о которых говорится в этом отрывке из стихотворения Пифагора. И для этого нам пригодятся те знания, которые вы получили на предыдущих уроках, а именно, о перпендикулярных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
Актуализация знаний (5 мин)
Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).
Учитель: Угол между прямыми равен 900. Как называются эти прямые? Как они могут располагаться в пространстве?


(Слайд 2)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: Перпендикулярные. Пересекаться, скрещиваться.
Учитель: Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости?»
(Слайд 3)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: Да
Учитель: Продолжите предложение: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то»
(Слайд 4)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: то она перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель: Что можно сказать о двух (3 – х, 4 – х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?
(Слайд 5)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: Они параллельны.
Учитель: Две прямые перпендикулярные третьей прямой,
(Слайд 6)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: параллельны.
Учитель: Как определяется расстояние от точки до прямой? (вспомнить как называются отрезки АН, АМ, т. Н ). Почему отрезок АН < АМ?
(Слайд 7)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: АН-перпендикуляр, проведенный к плоскости основания, АМ- наклонная, проведенная из точки А к плоскости основания, точка Н- основание перпендикуляра. АН катет, АМ гипотенуза в прямоугольном треугольнике АМН.
Учитель: А как же определить расстояние от точки до плоскости? (Дать определение отрезка МН, т. М)
Ученик: Это длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости основания, т.е. длина АН. МН- проекция наклонной на плоскость, точка М- основание наклонной.
Учитель: В пространстве нужно уметь находить расстояние не только от точки до плоскости, но и между параллельными плоскостями, прямой и параллельной ей плоскостью, скрещивающимися прямыми. Посмотрим, как же это сделать.
(Запись на доске и в тетрадях учащихся) (Слайд 8)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Учитель: Решите задачу.
(Слайд 9)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Учитель: Посчитаем, сколько и какие перпендикуляры участвуют в этой задаче?
Ученик: 3 - НС, МС, РК.
Учитель: Причём все перпендикуляры пересекаются в одной точке и два из них лежат в одной плоскости, а третий ей не принадлежит. Оказывается, что это не случайно и эта закономерность не что иное как теорема, о которой мы с вами будем говорить на уроке и которую мы практически доказали не зная её формулировки. Записываем тему урока.
(Слайд 10)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
(Запись на доске и в тетрадях) Теорема о трех перпендикулярах.
Изучение нового материала (15 мин)
(Запись на доске и в тетрадях)
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Доказательство.
Учитель: Постройте рисунок, приведенный на доске
(Слайд 11)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Обратимся к данному чертежу. Докажем, что 13 QUOTE 1415АМ. Для этого рассмотрим плоскость АМН.
(Запись на доске ): Рассмотрим плоскость АМН.
Учитель: Что можно сказать о прямой а?
Ученик: Прямая а перпендикулярна к этой плоскости, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, лежащим в плоскости АМН, (13 QUOTE 1415 по условию и 13 QUOTE 1415,т.к. АН13 QUOTE 1415).
(Запись на доске )
а13 QUOTE 1415,т.к. а13 QUOTE 1415АН и а13 QUOTE 1415, АН и МН13 QUOTE 1415АМН, АН и МН-скрещивающиеся.
Учитель: А отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности 13 QUOTE 1415АМ. Теорема доказана.
(Запись на доске)
Следовательно, 13 QUOTE 1415АМ.
(Запись на доске и в тетрадях)
Рассмотрим плоскость АМН.
а13 QUOTE 1415,т.к. а13 QUOTE 1415АН и а13 QUOTE 1415, АН и МН13 QUOTE 1415АМН, АН и МН-скрещивающиеся.
Следовательно, 13 QUOTE 1415АМ.
Учитель: Справедлива обратная теорема? (Слайд 12)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: Да, справедлива.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна и к ее проекции.
Учитель: Эту теорему докажите самостоятельно, по аналогии дома.
Закрепление изученного материала (20 мин)
Задача 1. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. (Слайд 13)
Учитель: Зарисуйте чертеж, изображенный на слайде.
(Запись на доске и в тетрадях учащихся):

Дано: в треугольник вписана окружность, А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, О- центр окружности, S- точка на перпендикуляре
Решение.
Ученик:
1)А,В,С- точки касания сторон треугольника с окружностью, О- центр окружности, S- точка на перпендикуляре.
2) Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах: SА- перпендикуляр к этой стороне.
3)По теореме Пифагора:

где r-радиус вписанной окружности
4)
5)
Т.е. расстояния от S до сторон треугольника равны .
(Слайд 14)
Задача 2. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС13 QUOTE 1415ВС, МD13 QUOTE 1415АВ. Найти MC.
Учитель: Зарисуйте чертеж, изображенный на слайде.
(Запись на доске и в тетрадях учащихся):
(Слайд 14)
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Ученик: Рассмотрим треугольник АВС. Угол С- прямой, АВ – гипотенуза, тогда по теореме Пифагора 13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415, АВ= 25.
(Запись на доске )
1)по теореме Пифагора 13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415, АВ= 25.
Ученик: По теореме о трех перпендикулярах CD перпендикулярно AB.
(Запись на доске ):
2)по теореме о трех перпендикулярах CD13 QUOTE 1415АВ. Следовательно,
AB:AC = AC:AD. Отсюда AD = 9.
Ученик: Из треугольника ADC найдем катет DC.
(Запись на доске ):
3)13 QUOTE 1415, DC=12.
Ученик: Из треугольника MDC по теореме Пифагора найдем МС.
(Запись на доске)
4)13 QUOTE 1415, MC=5.

(запись на доске и в тетрадях)
1)по теореме Пифагора 13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415, АВ= 25.
2)по теореме о трех перпендикулярах CD13 QUOTE 1415АВ. Следовательно,
AB:AC = AC:AD. Отсюда AD = 9.
3)13 QUOTE 1415, DC=12.
4)13 QUOTE 1415, MC=5.
Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин)
Учитель: Итак, что нового мы узнали на уроке?
Ученик: Сегодня на уроке мы изучили и доказали теорему о трех перпендикулярах, научились решать задачи на применение данной теоремы, сформулировали обратную теорему.
Учитель: Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
Ученик: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Учитель: Сформулируйте обратную теорему.
Ученик: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Учитель: Запишите домашнее задание: п. 19,20 № 145.

Решение домашнего задания №145.
Дано: 13 QUOTE 1415
Док-ть: CBD – прямоугольный.
Найти: BD.
Док-во: Если 13 QUOTE 1415 то 13 QUOTE 1415, т. е. прямая СВ перпендикулярна к проекции АС прямой DC, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах ВС перпендикулярна самой наклонной DC, т. е. 13 QUOTE 1415, т. е. 13 QUOTE 1415 – прямоугольный.
Решение: ВD – гипотенуза 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415









13 PAGE \* MERGEFORMAT 141215



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryTimes New Roman Да, путь познания не гладок.dTimes New RomanНо знаем мы со школьных лет,NTimes New RomanЗагадок больше, чем разгадок,Times New RomanИ поиска предела нет.Times New Roman