Исследовательская работа на тему Математическая подготовка будущего бизнесмена

НАЦИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО-ТВОРЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ РОССИИ»
Конкурс исследовательских работ «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»





Секция: МАТЕМАТИКА



МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО БИЗНЕСМЕНА






ГУШТЕЙН КСЕНИЯ
МОУ СОШ № 46, 10 класс, г. Сургут





Научный руководитель:
КУЗНЕЦОВА ЕЛЕНА БОРИСОВНА, учитель математики высшей категории





г. Златоуст, 2009/2010 учебный год

ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение....................3

Основная часть: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО БИЗНЕСМЕНА
1.1. ПОНЯТИЯ «ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬ, ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВО» ......5
1.2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В БИЗНЕСЕ
1.2.1.Логические задачи.........6
1.2.2.Процентные вычисления..........7
1.2.3.Разумный перебор вариантов.......7
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И БИЗНЕС
1.3.1.Модели, выражаемые элементарными функциями............8
1.4. ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И БИЗНЕС
1.4.1. Некоторые сведения из теории вероятностей.....10
1.4.2. Практическое применение вероятностных и статистических моделей....12
1.5. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.......14

Заключение .....17

Библиографический список.......18

Приложения........20











ВВЕДЕНИЕ
Для того чтобы научиться уверенному плаванию в море рыночной экономики следует со школьных лет прикоснуться к идеям предпринимательского мышления. Этому процессу особенно содействует решение задач логического характера, на процентные вычисления, разумный перебор вариантов, составление простейших моделей маркетинга, а также составление оптимизационных и вероятностно-статистических моделей. Все вышеперечисленные классы прикладных задач помогают решать важнейшую проблему современных рыночных отношений – проблему принятия наилучших (оптимальных) решений.
Актуальность выбранной нами темы исследования очевидна: сегодня становится ясно, что предпринимателям не хватает теоретических знаний и умений применять математические методы на практике - в производственной и коммерческой деятельности, которые затем лишают их значительной доли возможных прибылей и ресурсов. И чем сложнее процесс, тем такие потери могут быть большими.
В школьном курсе математики рассматривается недостаточное количество задач, способствующих развитию предпринимательского мышления и умению использовать методы математического моделирования, применяемых в бизнесе.
Необходимость выделения данного аспекта определила цель исследования:
разработать математическое пособие, содержащее достаточное количество прикладных задач, формирующих предпринимательские способности, которое можно использовать на предпрофильных и профильных курсах, а также для самообразования учащихся 9-11 классов.
Исходя из цели, нами были поставлены следующие задачи:
рассмотреть понятия «предприниматель», «предпринимательство»;
ознакомиться с разделами прикладной математики финансового и экономического характера;
создать структуру ознакомления с материалом, включающую в себя алгоритмы решения задач;
подобрать анкеты для оценки предпринимательских способностей старшеклассников;
провести анкетирование среди сверстников;
изучить полученные результаты анкетирования и предложить данное пособие в качестве самоучителя, имеющим склонности к предпринимательской деятельности;
сделать вывод о качестве созданного пособия.

Объектом исследования выступает экономическая математика.
Предметом исследования являются основные математические методы, математические и вероятностно-статистические модели, применяемые в бизнесе.
Гипотеза исследования строится на предположении, что разработанное пособие дополнит школьный курс математики достаточным количеством прикладных задач различных классов, способствующих развитию логического мышления и предпринимательских способностей старшеклассников; кроме того, структура подачи материала и алгоритмизация решения задач позволит старшеклассникам успешно освоить данное пособие самостоятельно, а учителям применять как методическое пособие для элективного курса предпрофильной и профильной подготовки.
В процессе работы нами были использованы следующие методы исследования:
эмпирические (изучение литературы по теме исследования);
диагностические ( анкетирование и тестирование);
обобщения и систематизации математического материала прикладного характера;
опытно-экспериментальные (статистическая обработка и анализ экспериментальных данных по исследуемой теме, фиксирование полученных результатов).
Работа носит прикладной характер. Представленное пособие включает разделы, изучаемые в курсах «Математической логики», «Арифметики», «Алгебры», «Теории вероятностей», «Математической статистики».
Минимизирован теоретический материал, собранный из учебников известных в математике авторов, таких как: Демидович Б.П., Маркин Ю.П., Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф.; решены семь задач и они же предложены в качестве образца; подобраны дополнительные десять задач для самостоятельного решения – что в совокупности может составить основу для изучения финансовой и экономической математики.










МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО БИЗНЕСМЕНА
1.1. ПОНЯТИЯ «БИЗНЕСМЕН», «ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬ», «ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВО»
Прежде чем речь пойдет о математической подготовке будущего бизнесмена, стоит разобраться с понятиями «бизнесмен», «предприниматель», «предпринимательство».
Тема предпринимательства интересна и очень важна для настоящего времени. Все цивилизованные страны обязаны своим благополучием не командно- административной, а рыночной системе хозяйства, мощным двигателем экономического и социального развития которой является предпринимательство.
Обратимся к словарям:
По Владимиру Далю «Предприниматель это предприимчивый торговец, способный к предприятиям, крупным оборотам, смелый, решительный, отважный на дела этого рода человек». [1]
В энциклопедическом словаре Ф. А. Брокгауза и И. А. Эфрона под предприятием подразумевается «такое хозяйство, ведение которого рассчитано на извлечение дохода, путем сбыта продуктов, в форме продажи или обмена». [2]
В «Популярном словаре» (1991 г.) под редакцией Г. Я. Кипермана: «предпринимательство одно из действенных средств, которые помогают поддерживать стимулы к высокопроизводительному труду, хозяйскую мотивацию». [3]
Большой Экономический Словарь (под общ. ред. А. Н. Азримяна) указывает, что «предприниматель лицо, которое занимается предпринимательской деятельностью, изыскивает средства для организации предприятия и тем самым берет на себя предпринимательский риск». [4]
С. И. Ожегов в «Словаре русского языка» писал: «предприниматель капиталист, владелец предприятия, крупный деятель, предприимчивый и практичный человек». [5]
Таким образом, предприниматель, бизнесмен – это любой человек, лично осуществляющий хозяйственную деятельность и вступающий в рыночные отношения с другими хозяйствующими субъектами исключительно по своей воле, а, следовательно, грамотный и математически подкован.
Предпринимательство, бизнес самостоятельная, осуществляемая на свой риск деятельность, направленная на систематическое получение, кроме того, предпринимательство, бизнес важнейший атрибут рыночной экономики, пронизывающий все её институты.
Математика же, как основа теории принятия решений, широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами.
Известно, что существует большой разброс в математических знаниях, как среди студентов, так и среди экономистов, работающих на предприятиях. Поэтому при изучении или желании применить математические методы приходится обращаться к учебникам математики, статистики и эконометрики. Однако больший объем материала в них посвящен доказательствам теорем, что естественно с точки зрения науки математики, но затрудняет использование этих знаний в моделировании.
Мы решили остановиться на трёх блоках, которые, на наш взгляд, могут составить основу математической подготовки будущего бизнесмена.


1.2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В БИЗНЕСЕ
1.2.1. Логические задачи
Деловой человек постоянно оперирует коммерческой информацией, на основе которой он старается принять оптимальное решение. Он должен уметь, используя правила здравого смысла, провести простейшую обработку имеющихся в его распоряжении данных. [11]
Задача №1. [12] Коммивояжер должен пересечь пустынную местность, имея возможность проходить в день по 20 км и брать с собой в дорогу лишь трёхдневный запас продовольствия, причём только в начальной точке маршрута.
В конце дневных переходов он может устраивать склады с запасами продовольствия для их использования в будущем. За какое наименьшее количество дней при этих условиях коммивояжер сможет пересечь эту местность по маршруту длиной 80 км?
Алгоритм решения. Пусть длина маршрута равна 80 км и A, B, C, D, E – последовательные точки маршрута, отстоящие друг от друга на расстоянии 20 км, причём А – начальная, а Е – конечная точка маршрута (см. рис.).




Так как с трёхдневным запасом продовольствия коммивояжер может пройти только 60 км, то ему придётся хотя бы в одной из точек B, C или D устроить склад. Понятно, что
первый склад может быть устроен только в точке В. Оставить в точке В он может только однодневный запас продовольствия, так как на путь от А до В и обратно коммивояжер тратит два дня. Если после этого он снова выйдет из А с трёхдневным запасом продовольствия, то, дойдя до В и забрав находящийся там однодневный запас он дойдёт до конечной точки Е.
Ответ: наименьшее число дней равно шести.

1.2.2. Процентные вычисления
Математическая модель – это переложенное на математический язык описание изучаемого процесса или явления. При моделировании очень часто встречаются различные классы функций, так как ни одно из понятий математики не отражает явлений реальной действительности с такой конкретностью, как понятие – функция. [14]
Рассмотрим на примере задачи №2 построение простейших математических моделей.
Задача №2. [15] Банк выдал ссуду в 20 тысяч рублей со ставкой 5% в расчёте на 5 лет. Какую сумму необходимо оплатить получателю за предоставленный кредит?
Алгоритм решения.
Здесь мы имеем дело с так называемыми «сложными процентами».
1) Пусть p – ставка за кредит суммы N0.
2) Тогда через год сумма будет равна N1=N0·(1+p),
3) через 2 года N2=N0·(1+p)2,
4) через t лет Nt=N0·(1+p)t.
5) В нашем случае N13 EMBED Equation.3 1415=20000·(1+0,05)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415рублей,
6) N13 EMBED Equation.3 1415-N13 EMBED Equation.3 1415= 25526 – 20000 = 5526 рублей – сумма оплаты за предоставленный кредит.
Ответ: 5526 рублей.

1.2.3. Разумный перебор вариантов
Самые разные задачи практического содержания при их решении часто приводят к необходимости проведения разумного перебора вариантов. Так нередко происходит в тех случаях, когда неизвестные в полученных моделях по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения.
Задача №3. К животноводческой ферме необходимо проложить водопровод длиной 191 м. Вы располагаете трубами одинакового диаметра длиной 5 м и 7 м. Найти наиболее экономически целесообразное число труб той и другой длины, которое следует использовать для прокладки водопровода, учитывая, что разрезать трубы не рекомендуется. [16]
Терминология. Для количественного описания процесса необходимо вложить конкретный смысл в понятие «Экономически целесообразно». В данном случае это может означать стремление совершить возможно меньшее число соединений, что обеспечит большую прочность водопровода и наименьшие затраты труда на его прокладку.
Алгоритм решения.
Длина трубы, м
Число труб, шт.

5
x

7
y

1)



2) Так как 191 не кратно ни 5, ни 7 и учитывая требования задачи о нецелесообразности разрезать трубы, можно сделать вывод о том, что ограничиться трубами одного из двух заданных размеров нельзя.
3) Составим уравнение по условию задачи: 5x+7y=191. 5x=191-7y, воспользуемся признаком делимости на 5. Уравнению удовлетворяют пары чисел (34;3), (27;8), (20;13), (13;18), (6;23).
4) Но нами не использовано требование о необходимости сделать наименьшее число соединений: при х=34 и у=3 потребуется совершить 36 соединений; при х=27 и у=8 – 34 соединения; при х=20 и у=13 – 32 соединения; при х=13 и у=18 – 30 соединений; при х=6 и у=23 – 28 соединений.
Ответ: экономически целесообразно использовать 23 семиметровые и 6 пятиметровых труб.


1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И БИЗНЕС
1.3.1. Модели, выражаемые элементарными функциями
В коммерческой деятельности большую роль играют классы функций. Особое значение отводится линейной функции, так как во многих задачах практики «расходы» и «доходы» линейно зависят от количества израсходованных средств. Постараемся ответить на вопрос: как моделирование существенно помогает процессу поиска решения прикладных задач? [17]
Задача №4. [18] Перевозка груза от данного города в первый пункт, находящийся на расстоянии 100 км, стоит 200 рублей, а в другой, находящийся на расстоянии 400 км – 350 рублей. Смоделируйте данную ситуацию и дайте прогноз изменения стоимости перевозки в зависимости от расстояния.
Алгоритм решения. При обычных условиях стоимость перевозки пропорциональна расстоянию.
1) Пусть x – расстояние, y – стоимость перевозки, тогда математической моделью, описывающей данную ситуацию, будет линейная функция:
y=kx+b
Указанная модель абстрактна, так как пригодна для множества зависимостей, связанных с линейной функцией.
2) Для нахождения конкретной модели, переформулируем задачу: дана функция y=kx+b. Известно, что при x13 EMBED Equation.3 1415=100, y13 EMBED Equation.3 1415=200; при x13 EMBED Equation.3 1415=400, y13 EMBED Equation.3 1415=350.
3) Таким образом, для нахождения неизвестных параметров k и b получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
4) 200-100k=350-400k
-100k+400k=350-200
300k=150
k=0,5
b=200-100·0,5=150
5) y=0,5x+150 – искомая модель.
Ответ: y=0,5x+150.

Данная модель может служить для прогнозирования изменения стоимости перевозок грузов в зависимости от расстояния. Например:
x
50
500


y
175
400









Процесс решения задачи с использованием методов моделирования: [19]














Вывод: Математические модели широко применяются на всех этапах маркетинговой деятельности – при изучении и прогнозировании спроса, исследовании товародвижения и сбыта, раскрытии механизма маркетинговой деятельности и т.д.


1.4. ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И БИЗНЕС
1.4.1. Некоторые сведения из теории вероятностей
В бизнесе, имея только некоторые предположительные прогнозы, ситуации, нужно пойти на определённый риск и принять соответствующее решение. В этих случаях желательно применение вероятностных моделей.
Вероятность данного исхода событий эквивалентна относительной частоте этого конкретного исхода, наблюдаемого во всех событиях точно такого рода. Таким образом, вероятность события А – 13 EMBED Equation.3 1415(A) находится как отношение исходов К, благоприятствующих А, к общему числу исходов n, т.е. . [20]
Задача №5. [21] В «секретном» замке на общей оси находится 4 диска, каждый из которых разделён на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определённое четырёхзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
Алгоритм решения. Событие А – «при произвольной установке дисков замок будет открыт». Тогда этому событию благоприятствует только один из 513 EMBED Equation.3 1415исходов, т.е.

Ответ: p(A)=13 EMBED Equation.3 1415.

Алгебра событий:
Если два случайных события А и В взаимно исключают друг друга, то вероятность суммы этих событий (т.е. вероятность появления или события А, или В) равна сумме вероятностей каждого из событий:
Если события А и В между собой независимы, то вероятность совместного появления (или вероятность произведения) этих событий равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности:
В математическом смысле вероятность события измеряется в пределах от 0 до 1. Если вероятность события А равна 13 EMBED Equation.3 1415, то вероятность противоположного ему события13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, которое обычно обозначается через g.[22]

Задача №6. [23] Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии откажет первый сигнализатор, равна 0,1; для второго сигнализатора эта вероятность – 0,05. Найти вероятности:
а) при аварии сработает один из сигнализаторов
б) при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов
в) при аварии не сработает ни один из сигнализаторов.
Алгоритм решения. Введём два события:
13 EMBED Equation.3 1415 – «при аварии сработает первый сигнализатор»;
13 EMBED Equation.3 1415 – «при аварии сработает второй сигнализатор»;
тогда:
13 EMBED Equation.3 1415- «при аварии откажет первый сигнализатор»;
13 EMBED Equation.3 1415- «при аварии откажет второй сигнализатор».
13 EMBED Equation.3 1415
а) То, что при аварии сработает один сигнализатор, можно записать следующим образом:
Далее, воспользовавшись теоремами сложения и умножения событий, получаем:

б) То, что при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов, записывается так:

Вероятность этого события:

в) Событие: при аварии не сработает ни один из сигнализаторов является противоположным к событию - при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов. Поэтому его вероятность равна: 1-0,995=0,005

1.4.2. Практическое применение вероятностных и статистических моделей
В практической деятельности часто приходится давать прогноз изучаемого явления, зная только часть её объектов (так называемую выборку) и, исходя из полученных результатов, делать выводы обо всём явлении. Деловому человеку нередко приходится проводить статистический анализ изучаемого процесса. Как он производится на практике? Какие параметры нужно учитывать, а какие, второстепенные, можно опустить? [24]
Рассмотрим проблемную ситуацию, которая возникла в результате продажи газет.
Задача №7.[25] Продавец (назовём его А) закупает газеты, которые затем перепродаёт по рублю за номер, сам он платит за них 50 копеек, но когда у него остаётся нераспроданный товар, на следующий день у него берут эти газеты только за 20 копеек. Как организовать процесс продажи, чтобы А имел максимальную прибыль?
Анализ решения. Вначале А делает первый и большой шаг в познании своего ремесла – он решает завести баланс своей деятельности. Согласно ежедневным записям прихода-расхода, он никогда не продавал 50 газет или больше, ему редко удавалось продать 40 и более газет; зато не так уж редко 30 или более и часто 20 и более.
На следующем этапе А составляет таблицу возможных доходов, проставляя количество закупленных и проданных газет только в десятках. На пересечении строки, соответствующей определённому числу закупленных газет, и столбца, соответствующего заданному спросу, стоит возможная прибыль (такая таблица носит название платежной матрицы):
спрос
закупка
0
10
20
30
40
50

10
-3
5
5
5
5
5

20
-6
2
10
10
10
10

30
-9
-1
7
15
15
15

40
-12
-4
4
12
20
20

50
-15
-7
1
9
17
25

Как составлена эта матрица? Например, первый элемент в первой строке получен из таких соображений: так как спроса не было, а А закупил 10 газет, то он теряет 0,3·10=3 рубля, т.е. 0,2·10-0,5·10=2-5= -3. Или же проследим за четвёртым элементом в четвёртой строке: спрос был 30 газет, А закупил 40 газет, значит, его прибыль составит 12 рублей, т.е. 30·1-40·0,5+0,2·10= 30-20+2=12. Аналогично получены и другие элементы матрицы.
Дальнейшие размышления А следующие: для него важен заработок не за один день, а за месяц или больше. Можно ли предвидеть заработок за длительный период, если ему закупать ежедневно одно и то же количество газет? Но каким должно быть это количество и как предугадать поведение клиентов?
А решил изучить, что будет происходить в течении 100 дней нормальной продажи. Он обнаружил следующее:
Объём спроса на газеты
0
10
20
30
40
50

Число дней, когда имеет место такой спрос
3
17
37
29
12
2

Как А составил эту таблицу? Он ежедневно учитывал спрос; затем он образовал класс 0, группируя дни, когда спрос был от 0 до 4; класс 10, когда спрос был от 5 до 14 и т.д.
Отсюда А смог подсчитать с помощью своей таблицы частот средний доход за один день, превратив частоты в соответствующие вероятности. После этого можно уже составить таблицу, в которой приведены математические ожидания прибыли, т.е. фактически средняя прибыль:

Если А закупит газет
Математическое ожидание прибыли

0
0

10
(-3)·0,03+5+0,17+5·0,37+50,29+5·0,12+5·0,02=4,76

20
(-6) ·0,03+2·0,17++0·0,02=8,16

30
(-9) ·0,03+(-1) ·0,17++15·0,02=8,6

40
(-12) ·0,03+(-4) ·0,17+20·0,02=6,72

50
(-15) ·0,03+(-7) ·0,17+25·0,02=3.83

Итак, А пришёл к заключению: чтобы получить максимальную прибыль, необходимо закупать ежедневно 30 газет.
Ответ: следует закупать по 30 газет в день.


1.5. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Перед тем, как апробировать созданное пособие, мы провели опрос среди учащихся 10 класса, с целью выявления у них предрасположенности к предпринимательской деятельности и способности идти на риск. Для этого были подобраны и запущены тесты:
Тест 1. «Можете ли вы быть предпринимателем?»
Тест 2. Для оценки своих предпринимательских способностей, склонности к индивидуальной трудовой деятельности. [27]
В тестировании приняли участие 19 человек, учащихся математического класса.
В процессе интерпретации данных тестов мы получили следующие результаты:
Оценка личного потенциала владения и управления собственным делом может быть:
- отличной (25-28 баллов)
- очень хорошей (21-24 балла)
- хорошей (17-20 баллов)
- средней (13-16 баллов)
- плохой (12 и меньше)






Из диаграммы видно, что большинство моих одноклассников оценили свой потенциал уровнем «очень хорошо».
Оценка своих предпринимательских способностей характеризуется наличием склонности к предпринимательскому риску и к индивидуальной трудовой деятельности или отсутствием таковых.








Из диаграммы видно, что из числа опрошенных, по всей вероятности, только два человека имеют склонность к предпринимательскому риску и к индивидуальной трудовой деятельности; большинство же такой склонности не имеют.
Далее мы предложили ученикам, которые желают связать свою будущую профессию с предпринимательской деятельностью, самостоятельно ознакомиться с разработанным нами пособием. Этим предложением заинтересовались 11 учащихся. Апробации пособия проводилась следующими блоками:
Основные математические методы, применяемые в бизнесе;
Математические модели и бизнес;
Основные вероятностно-статистические модели и бизнес,
ключевыми элементами которых являлись образцы решения задач. Затем поэтапно предлагались задачи для самостоятельного решения с указанием сроков исполнения.










Диаграммой продемонстрировано, что семь человек легко и в срок справились с предложенными заданиями, трое ребят из-за ограничения времени частично справились с решением десяти задач, и один человек не предъявил свою работу, будем считать его несправившимся.
По результатам проведённого исследования, мы видим, что показатели ребят,
которые хорошо сами оценили свои способности к предпринимательству, и ребят, которые успешно справились с предложенными заданиями, – различны.
О чём это может говорить? Лишь о том, что решают психологический тест все с большой заинтересованностью, а вот за трудовую деятельность берутся единицы. И те, кто не побоялся работы, показали довольно хорошие результаты. Кроме того, так как 91% участников эксперимента справились с предложенными заданиями самостоятельно, то можно сделать вывод о доступности изложения данного пособия.





















ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современный предприниматель должен хорошо разбираться в сути экономических процессов, ориентироваться в изменяющейся обстановке, прогнозировать, рассчитывать вероятность тех или иных потерь, то есть идти на риск сознательно. Комбинируя факторы производства, предприниматель должен выбирать наиболее оптимальный вариант, чтобы при минимальных издержках получить максимально возможную прибыль.
Все эти качества составляют суть предпринимательского дела, направленного, в конечном счете, на приумножение общественного достояния, процветания рыночной экономики.
Мы считаем, что нам удалось справиться с поставленной целью: создать эффективное математическое пособие, которое включает в себя основные математические методы, применяемые в бизнесе, и нацеленное на желающих самостоятельно познать азы математики «бизнеса».
Изучив литературу по данной теме, мы собрали в одном пособии различные виды задач, которые могут способствовать, на наш взгляд, должной математической подготовке будущего предпринимателя – это и основные математические методы, применяемые в бизнесе, и математические модели для бизнеса, и основные вероятностно-статистические методы. Для освоения этих задач достаточно знаний основных сведений из курса элементарной математики. В то же время решение многих заданий потребует смекалки и сообразительности. Так, например, в задаче №7 рассматривается «теория управления запасами», которая очень полезна для ведения хозяйственной деятельности. Ведь работа баз, складов, магазинов не должна быть убыточной!
Бизнес отчасти напоминает азартную игру. Поэтому наибольших успехов достигает тот, кто трезво просчитывает степень риска и, несмотря на возможность неудачи, идёт на оправданный риск. Таким образом, математическая подготовка предпринимателя имеет свои особенности, связанные со спецификой задач и широким разнообразием подходов к их решению.
Стать бизнесменом может любой желающий. Но положительного результата добьётся лишь тот, который будет обладать необходимым набором качеств, умений, способностей, позволяющих ему находить и использовать лучшее сочетание ресурсов для производства, продажи товаров, принимать разумные последовательные




БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Даль В.И. Толковый словарь русского языка. АСТ, 2008, 992с.
Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона.
Киперман Г.Я., Сурганов Б.С. Популярный экономический словарь. М.: Экономика, 1993, 255 с.
Большой экономический словарь. / Под ред. Азримяна А.Н. - Институт новой экономики, 2004, 598с.
Ожегов С.И. Словарь русского языка. Оникс, 2008, 1200с.
Демидович Б.П. Численные методы анализа. М., Физматгиз, 1968, 305с.
Маркин Ю.П. Математические методы и модели в экономике, 2007
Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10-11 классы. Дрофа, 2003, 144с.
Шарыгин И.Ф, Голубев В.И. Факультативный курс по математике. М.: Просвещение, 1990, 383с.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. М.: Просвещение, 1988, 416 с.
Краюхин Г.А., Минаева Э.С. Книга делового человека. М.: Высшая школа, 1993, 350 с.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. Дело и Сервис, 2009, 384 с.
Иванов В.В., Одинцов В.В., Смолицкая Г.П. Школьный словарь иностранных слов. Просвещение, 2005, 343 с.
Первозванский А.А. и Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994, 192с.
Когович Е. Финансовая математика: теория и практика финансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1982.
Лысенкер Л.Ш. Практическая математика для начинающих бизнесменов. Березники, 1991, 55с.
Иванова Н.Ю., Орлов А.И. О подходах к экономико-математическому моделированию малого бизнеса. - Журнал "Бизнес, прибыль, право". 2000.
Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М.: Знание, 1991, 156 с.
Джиоева В. А. Основы экономических знаний: рынок и предпринимательство: Учеб. для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1997
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1979, 474 с.
Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В.. Теория вероятностей и математическая статистика. Дашков и К, 2008, 472 с.
Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. Теория вероятностей и статистика. МЦНМО, 2004, 256 с.
Кочетков Е.С. , Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. Форум, 2008, 480 с.
Райзберг Г.А. Предпринимательство и риск. М.: Знание, 1992, с.43
Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. М.: Просвещение, 1930, 221с.
Шестаков А.В. Экономика и право: Энциклопедический словарь. - М.: Дашков и К, 2000, 568 с.
Хорошев С.И. Психологические тесты: Учеб. пособие. Чебоксары, 1995, 63 с.
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1985, 352с.
Шумпетер Й. Теория экономического развития. М.:Прогресс, 1982
Хизрич Р., Питерс М. Экономический образ мышления. М.:Прогресс, 1992
Беляев Ю.А. Энциклопедия начинающего предпринимателя. М.: Издательство Российского университета дружбы народов,1992, 159 с.
Райзберг Б.Г. Азбука предпринимательства. М.: Экономика,1995
Жизнин С.Г., Крупанов В.Л. Как стать предпринимателем. Минск: Полифакт, 1990, 156с.













Приложение.




Пособие «Математическая подготовка будущего бизнесмена»























под общей редакцией
Кузнецовой Е.Б. и Гуштейн К.В.




1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В БИЗНЕСЕ
1.1. Логические задачи
Деловой человек постоянно оперирует коммерческой информацией, на основе которой он старается принять оптимальное решение. Он должен уметь, используя правила здравого смысла, провести простейшую обработку имеющихся в его распоряжении данных.
Задача №1. Коммивояжер должен пересечь пустынную местность, имея возможность проходить в день по 20 км и брать с собой в дорогу лишь трёхдневный запас продовольствия, причём только в начальной точке маршрута.
В конце дневных переходов он может устраивать склады с запасами продовольствия для их использования в будущем. За какое наименьшее количество дней при этих условиях коммивояжер сможет пересечь эту местность по маршруту длиной 80 км?
Алгоритм решения. Пусть длина маршрута равна 80 км и A, B, C, D, E – последовательные точки маршрута, отстоящие друг от друга на расстоянии 20 км, причём А – начальная, а Е – конечная точка маршрута (см. рис.).




Так как с трёхдневным запасом продовольствия коммивояжер может пройти только 60 км, то ему придётся хотя бы в одной из точек B, C или D устроить склад. Понятно, что
первый склад может быть устроен только в точке В. Оставить в точке В он может только однодневный запас продовольствия, так как на путь от А до В и обратно коммивояжер тратит два дня. Если после этого он снова выйдет из А с трёхдневным запасом продовольствия, то, дойдя до В и забрав находящийся там однодневный запас он дойдёт до конечной точки Е.
Ответ: наименьшее число дней равно шести.

1.2.2. Процентные вычисления
Математическая модель – это переложенное на математический язык описание изучаемого процесса или явления. При моделировании очень часто встречаются различные классы функций, так как ни одно из понятий математики не отражает явлений реальной действительности с такой конкретностью, как понятие – функция.
Рассмотрим на примере задачи №2 построение простейших математических моделей.
Задача №2. Банк выдал ссуду в 20 тысяч рублей со ставкой 5% в расчёте на 5 лет. Какую сумму необходимо оплатить получателю за предоставленный кредит?
Алгоритм решения.
Здесь мы имеем дело с так называемыми «сложными процентами».
1) Пусть p – ставка за кредит суммы N0.
2) Тогда через год сумма будет равна N1=N0·(1+p),
3) через 2 года N2=N0·(1+p)2,
4) через t лет Nt=N0·(1+p)t.
5) В нашем случае N13 EMBED Equation.3 1415=20000·(1+0,05)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415рублей,
6) N13 EMBED Equation.3 1415-N13 EMBED Equation.3 1415= 25526 – 20000 = 5526 рублей – сумма «переплаты» за предоставленный кредит.
Ответ: получатель переплатит на 5526 рублей.

1.2.3. Разумный перебор вариантов
Самые разные задачи практического содержания при их решении часто приводят к необходимости проведения разумного перебора вариантов. Так нередко происходит в тех случаях, когда неизвестные в полученных моделях по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения.
Задача №3. К животноводческой ферме необходимо проложить водопровод длиной 191 м. Вы располагаете трубами одинакового диаметра длиной 5 м и 7 м. Найти наиболее экономически целесообразное число труб той и другой длины, которое следует использовать для прокладки водопровода, учитывая, что разрезать трубы не рекомендуется.
Терминология. Для количественного описания процесса необходимо вложить конкретный смысл в понятие «Экономически целесообразно». В данном случае это может означать стремление совершить возможно меньшее число соединений, что обеспечит большую прочность водопровода и наименьшие затраты труда на его прокладку.
Алгоритм решения.
Длина трубы, м
Число труб,шт.

5
x

7
y

1)



2) Так как 191 не кратно ни 5, ни 7 и учитывая требования задачи о нецелесообразности разрезать трубы, можно сделать вывод о том, что ограничиться трубами одного из двух заданных размеров нельзя.
3) Составим уравнение по условию задачи: 5x+7y=191. 5x=191-7y, воспользуемся признаком делимости на 5. Уравнению удовлетворяют пары чисел (34;3), (27;8), (20;13), (13;18), (6;23).
4) Но нами не использовано требование о необходимости сделать наименьшее число соединений: при х=34 и у=3 потребуется совершить 36 соединений; при х=27 и у=8 – 34 соединения; при х=20 и у=13 – 32 соединения; при х=13 и у=18 – 30 соединений; при х=6 и у=23 – 28 соединений.
Ответ: экономически целесообразно использовать 23 семиметровые и 6 пятиметровых труб.


1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И БИЗНЕС
1.3.1. Модели, выражаемые элементарными функциями
В коммерческой деятельности большую роль играют классы функций. Особое значение отводится линейной функции, так как во многих задачах практики «расходы» и «доходы» линейно зависят от количества израсходованных средств. Постараемся ответить на вопрос: как моделирование существенно помогает процессу поиска решения прикладных задач?
Задача №4. Перевозка груза от данного города в первый пункт, находящийся на расстоянии 100 км, стоит 200 рублей, а в другой, находящийся на расстоянии 400 км – 350 рублей. Смоделируйте данную ситуацию и дайте прогноз изменения стоимости перевозки в зависимости от расстояния.
Алгоритм решения. При обычных условиях стоимость перевозки пропорциональна расстоянию.
1) Пусть x – расстояние, y – стоимость перевозки, тогда математической моделью, описывающей данную ситуацию, будет линейная функция:
y=kx+b
Указанная модель абстрактна, так как пригодна для множества зависимостей, связанных с линейной функцией.
2) Для нахождения конкретной модели, переформулируем задачу: дана функция y=kx+b. Известно, что при x13 EMBED Equation.3 1415=100, y13 EMBED Equation.3 1415=200; при x13 EMBED Equation.3 1415=400, y13 EMBED Equation.3 1415=350.
3) Таким образом, для нахождения неизвестных параметров k и b получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
4) 200-100k=350-400k
-100k+400k=350-200
300k=150
k=0,5
b=200-100·0,5=150
5) y=0,5x+150 – искомая модель.
Ответ: y=0,5x+150.

Данная модель может служить для прогнозирования изменения стоимости перевозок грузов в зависимости от расстояния. Например:
x
50
500


y
175
400







Процесс решения задачи с использованием методов моделирования:














Вывод: Математические модели широко применяются на всех этапах маркетинговой деятельности – при изучении и прогнозировании спроса, исследовании товародвижения и сбыта, раскрытии механизма маркетинговой деятельности и т.д.
1.4. ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И БИЗНЕС
1.4.1. Некоторые сведения из теории вероятностей
В бизнесе, имея только некоторые предположительные прогнозы, ситуации, нужно пойти на определённый риск и принять соответствующее решение. В этих случаях желательно применение вероятностных моделей.
Вероятность данного исхода событий эквивалентна относительной частоте этого конкретного исхода, наблюдаемого во всех событиях точно такого рода. Таким образом, вероятность события А – 13 EMBED Equation.3 1415(A) находится как отношение исходов К, благоприятствующих А, к общему числу исходов n, т.е. .
Задача №5. В «секретном» замке на общей оси находится 4 диска, каждый из которых разделён на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определённое четырёхзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.
Алгоритм решения. Событие А – «при произвольной установке дисков замок будет открыт». Тогда этому событию благоприятствует только один из 513 EMBED Equation.3 1415исходов, т.е.

Ответ: вероятность равна13 EMBED Equation.3 1415.

Алгебра событий:
Если два случайных события А и В взаимно исключают друг друга, то вероятность суммы этих событий (т.е. вероятность появления или события А, или В) равна сумме вероятностей каждого из событий:
Если события А и В между собой независимы, то вероятность совместного появления (или вероятность произведения) этих событий равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности:
В математическом смысле вероятность события измеряется в пределах от 0 до 1. Если вероятность события А равна 13 EMBED Equation.3 1415, то вероятность противоположного ему события13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, которое обычно обозначается через g.

Задача №6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии откажет первый сигнализатор, равна 0,1; для второго сигнализатора эта вероятность – 0,05. Найти вероятности:
а) при аварии сработает один из сигнализаторов
б) при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов
в) при аварии не сработает ни один из сигнализаторов.
Алгоритм решения. Введём два события:
13 EMBED Equation.3 1415 – «при аварии сработает первый сигнализатор»;
13 EMBED Equation.3 1415 – «при аварии сработает второй сигнализатор»;
тогда:
13 EMBED Equation.3 1415- «при аварии откажет первый сигнализатор»;
13 EMBED Equation.3 1415- «при аварии откажет второй сигнализатор».
13 EMBED Equation.3 1415
а) То, что при аварии сработает один сигнализатор, можно записать следующим образом:
Далее, воспользовавшись теоремами сложения и умножения событий, получаем:

б) То, что при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов, записывается так:

Вероятность этого события:

в) Событие: при аварии не сработает ни один из сигнализаторов является противоположным к событию - при аварии сработает хотя бы один из сигнализаторов. Поэтому его вероятность равна: 1-0,995=0,005

1.4.2. Практическое применение вероятностных и статистических моделей
В практической деятельности часто приходится давать прогноз изучаемого явления, зная только часть её объектов (так называемую выборку) и, исходя из полученных результатов, делать выводы обо всём явлении. Деловому человеку нередко приходится проводить статистический анализ изучаемого процесса. Как он производится на практике? Какие параметры нужно учитывать, а какие, второстепенные, можно опустить?
Рассмотрим проблемную ситуацию, которая возникла в результате продажи газет.
Задача №7. Продавец (назовём его А) закупает газеты, которые затем перепродаёт по рублю за номер, сам он платит за них 50 копеек, но когда у него остаётся нераспроданный товар, на следующий день у него берут эти газеты только за 20 копеек. Как организовать процесс продажи, чтобы А имел максимальную прибыль?
Анализ решения. Вначале А делает первый и большой шаг в познании своего ремесла – он решает завести баланс своей деятельности. Согласно ежедневным записям прихода-расхода, он никогда не продавал 50 газет или больше, ему редко удавалось продать 40 и более газет; зато не так уж редко 30 или более и часто 20 и более.
На следующем этапе А составляет таблицу возможных доходов, проставляя количество закупленных и проданных газет только в десятках. На пересечении строки, соответствующей определённому числу закупленных газет, и столбца, соответствующего заданному спросу, стоит возможная прибыль (такая таблица носит название платежной матрицы):
спрос
закупка
0
10
20
30
40
50

10
-3
5
5
5
5
5

20
-6
2
10
10
10
10

30
-9
-1
7
15
15
15

40
-12
-4
4
12
20
20

50
-15
-7
1
9
17
25

Как составлена эта матрица? Например, первый элемент в первой строке получен из таких соображений: так как спроса не было, а А закупил 10 газет, то он теряет 0,3·10=3 рубля, т.е. 0,2·10-0,5·10=2-5= -3. Или же проследим за четвёртым элементом в четвёртой строке: спрос был 30 газет, А закупил 40 газет, значит, его прибыль составит 12 рублей, т.е. 30·1-40·0,5+0,2·10= 30-20+2=12. Аналогично получены и другие элементы матрицы.
Дальнейшие размышления А следующие: для него важен заработок не за один день, а за месяц или больше. Можно ли предвидеть заработок за длительный период, если ему закупать ежедневно одно и то же количество газет? Но каким должно быть это количество и как предугадать поведение клиентов?
А решил изучить, что будет происходить в течении 100 дней нормальной продажи. Он обнаружил следующее:
Объём спроса на газеты
0
10
20
30
40
50

Число дней, когда имеет место такой спрос
3
17
37
29
12
2

Как А составил эту таблицу? Он ежедневно учитывал спрос; затем он образовал класс 0, группируя дни, когда спрос был от 0 до 4; класс 10, когда спрос был от 5 до 14 и т.д.
Отсюда А смог подсчитать с помощью своей таблицы частот средний доход за один день, превратив частоты в соответствующие вероятности. После этого можно уже составить таблицу, в которой приведены математические ожидания прибыли, т.е. фактически средняя прибыль:

Если А закупит газет
Математическое ожидание прибыли

0
0

10
(-3)·0,03+5+0,17+5·0,37+50,29+5·0,12+5·0,02=4,76

20
(-6) ·0,03+2·0,17++0·0,02=8,16

30
(-9) ·0,03+(-1) ·0,17++15·0,02=8,6

40
(-12) ·0,03+(-4) ·0,17+20·0,02=6,72

50
(-15) ·0,03+(-7) ·0,17+25·0,02=3.83

Итак, А пришёл к заключению: чтобы получить максимальную прибыль, необходимо закупать ежедневно 30 газет.
Ответ: следует закупать по 30 газет в день.









Задания для самостоятельной работы:
Три туриста хотят добраться до селения, имея только два одноместных велосипеда. Как туристам нужно организовать движение, чтобы как можно быстрее троим добраться до селения?
Перед началом бегов на ипподроме четыре знатока из числа зрителей обсуждали шансы фаворитов А, В и С.
(1): Заезд выиграет А или С.
(2): Если А будет вторым, то выиграет B.
(3):Если А придёт третьим, то С не выиграет.
(4): Вторым придёт А или В.
После заезда выяснилось, что три фаворита А, В и С действительно заняли первые три места и все четыре утверждения оказались истинными. Как фавориты поделили между собой три первых места?
В банке берётся кредит в 10000руб. со ставкой 4% на 5 лет. Какова плата за полученный кредит?
На станцию привезли 420 т угля в вагонах вместимостью 15, 20 и 25 т. Сколько каких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?
Требуется разлить 20,5 л сока в банки по 0,7 и 0,9 л так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?
Имеется запас некоторого материала, равный В тоннам, которого должно хватить на А дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно следует расходовать одинаковое количество материала. Составить модель, позволяющую учитывать наличный запас через любое число дней.
При откорме каждое животное должно ежедневно получать не менее 9 единиц питательного вещества 13 EMBED Equation.3 1415, не менее 8 единиц питательного вещества 13 EMBED Equation.3 1415и не менее 12 единиц питательного вещества 13 EMBED Equation.3 1415. Для составления рациона используют два вида корма. В 1 кг первого корма находится 3 единицы питательного вещества 13 EMBED Equation.3 1415, по единице веществ 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415; в 1 кг второго корма – единица вещества 13 EMBED Equation.3 1415, 2 единицы вещества 13 EMBED Equation.3 1415 и 6 единиц вещества 13 EMBED Equation.3 1415.
Стоимость 1 кг первого корма – 40 рублей, второго – 60 рублей. Определить наиболее дешёвый рацион питания с тем, чтобы он содержал необходимое количество питательных веществ.
Прибор содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Рабочий обслуживает 6 станков одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 1/3. Найдите вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимания рабочего.
Радист трижды вызывает корреспондента, причём последующий вызов производится при условии, что предыдущий не принят. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4 и третий – 0,5. Найти вероятность вызова корреспондента.



Ответы, некоторые решения:
Решение. Два туриста отправляются на велосипедах, а третий пешком одновременно с ними. Первый турист проезжает две трети пути до селения, оставляет велосипед и далее идёт до селения пешком. Второй турист проезжает треть пути, оставляет велосипед, далее проходит ещё треть пути пешком и затем едет на велосипеде, оставленном первым туристом. Наконец, третий турист проходит треть пути пешком, а затем садится на велосипед, оставленный вторым туристом, и едет на нём до селения. Быстрее туристы никак не смогут добраться до селения.
А пришёл первым, В вторым, С третьим.
Ответ: 2167 рублей.
25 вагонов по 15 т, 1 вагон в 20 т и 1 вагон в 25 т.
Наименьшее количество банок, которое может понадобиться - 23. 1 банка по 0,7 л, и 22 банки по 0,9 л.
B(k)=B-kB/A, запас через k дней.
x1=2; x2=3. Стоимость 62 копейки.
Вероятность равна 0,13.
Вероятность равна 0,32.
Вероятность равна 0,79.





Тест 1. «Можете ли вы быть предпринимателем?»
Данный тест разработан на основе одного из американских руководств по малому бизнесу. Хотя тест не является строго научным, может иметь практическое значение.
Как пользоваться тестом: в каждой из горизонтальных граф найдите то определение ваших качеств, которое на ваш взгляд, более всего вам подходит; в первом столбце рядом с каждым качеством укажите соответствующую цифру.
Качества
4
3
2
1

Инициатива
Ищет дополнительные задания, очень искренний
Находчив, смекалист при выполнении заданий
Выполняет необходимый объём работ без указаний руководства
Безынициативный ждёт указаний

Отношение к другим
Позитивное начало, дружелюбное отношение к людям
Приятный в обхождении, вежливый
Иногда с ним трудно работать
Сварливый и некоммуникабель-ный

Лидерство
Сильный, внушает уверенность и доверие
Умело отдаёт эффективные приказы
Ведущий
Ведомый

Ответственность
Проявляет ответственность при выполнении поручений
Соглашается с поручениями (хотя и не без протеста)
Неохотно соглашается с поручениями
Уклоняется от любых поручений

Организаторские способности
Очень способный в убеждении людей и выстраивании фактов в логическом порядке
Способный организатор
Средние организаторские способности
Плохой организатор

Решительность
Быстрый и точный
Основательный и осторожный, осмотрительный
Быстрый, но часто делает ошибки
Сомневающийся, боязливый

Упорство
Целеустремлён-ный, его нелегко обескуражить трудностями
Предпринимает постоянные усилия
Средний уровень упорства и решительности
Почти никакого упорства


Тест 2. Для оценки своих предпринимательских способностей, склонности к индивидуальной трудовой деятельности. [30]
Отвечайте «да» или «нет» на поставленные вопросы.
Я бы рискнул начать собственное дело, нежели работать на кого-то ещё _____
Я никогда не пойду на работу, где много поездок _____
Мне нравится улучшать свою жизнь с помощью идей _____
Если бы я стал играть, то никогда не делал бы малых ставок _____
Никогда не брошу работу, не будучи уверен, что есть другая _____
Я не склонен пойти на риск, чтобы расширить свой кругозор _____
Зная, что какое-то конкретное новое дело может кончиться неудачей, я не стал бы вкладывать в него средств, даже зная, что прибыль может быть велика _____
Хотел бы испытать в жизни как можно больше _____
Не ощущаю в себе особой потребности в возбуждающих событиях _____
Я не обладаю большой энергией _____
Я могу без труда порождать множество прибыльных идей _____
Я бы никогда не стал спорить на сумму, которой в данное время не располагаю _____
Мне нравится предлагать новые идеи или концепции, когда реакция на них – например, моего начальника – непредсказуемы и неясны _____
Я готов участвовать лишь в таких сделках, которые достаточно ясны и определенны _____
Менее надёжная работа с большим доходом меня привлекает больше, чем надёжная со средним _____
По характеру я не очень независим _____

 коммивояжер (франц. commis voyageur) странствующий агент по торговым делам. [13]

1 баланс - отчетный документ о производственно-финансовой деятельности организации за определенный период времени[26]

 коммивояжер (франц. commis voyageur) странствующий агент по торговым делам.
 баланс - отчетный документ о производственно-финансовой деятельности организации за определенный период времени










13PAGE 15


13PAGE 143215



В

E

D

С

А

ЗАДАЧА

АНАЛИЗ ЗАДАЧИ

СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ

ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ ПЕРЕФОРМУЛИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415

13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415

13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415

В

E

D

С

А

ЗАДАЧА

АНАЛИЗ ЗАДАЧИ

СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ

ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ ПЕРЕФОРМУЛИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeArial Cyr отличная оценкаочень хорошая оценка.хорошая оценка*средняя оценка*плохая оценка_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-1" 
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1"Г
·
·Arial Cyr1"ґ
·
·Arial Cyr1"ґ
·
·Arial Cyr1"И
·
·Arial Cyr=
·
·
·
·отличная оценка
·
·очень хорошая оценка
·
·хорошая оценка
·
·средняя оценка
·
·плохая оценка
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-1" 
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1"Г
·
·Arial Cyr1"Т
·
·Arial Cyr1"б
·
·Arial Cyr1"И
·
·Arial Cyr=
·
·
·
·Не склонны