Научно — исследовательская работа на тему Показательная функция в жизни человека

Районная научно - исследовательская конференция
«Шаг в будущее, Сибирь!»
Показательная функция в жизни человека
Работу выполнила:
Левина Ирина,
ученица 10 класса
МБОУ СОШ п. Усть-Уда
Руководитель:
Анциферова Ольга Владимировна,
учитель математики
МБОУ СОШ п. Усть-Уда
п. Усть – Уда, 2015год
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение PAGEREF _Toc437634848 \h 32. Теоретическая часть PAGEREF _Toc437634849 \h 52.1 История показательной функции: PAGEREF _Toc437634850 \h 52.2 Применение показательной функции. PAGEREF _Toc437634851 \h 8Показательная функция в жизни. PAGEREF _Toc437634852 \h 8Показательная функция в науке и технике. PAGEREF _Toc437634853 \h 10Заключение: PAGEREF _Toc437634854 \h 16Список используемой литературы PAGEREF _Toc437634855 \h 18

Районная научно - исследовательская конференция
«Шаг в будущее, Сибирь!»
Левина Ирина
Иркутская область, Усть-Удинский район, п. Усть – Уда,
МБОУ СОШ п. Усть-Уда
10 класс
Введение «Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый лёгкий
и путь опыта – это путь самый горький.
Конфуций »
Актуальность данной работы неоспорима. Вы все знаете, что для того чтобы совершить какой-нибудь поступок, прийти к какому либо решению необходим мотив, причина, т.е. то что побуждает человека к его активным действиям и поступкам, которые в результате идут на удовлетворение потребностей. Нам предстоит выяснить, что же побудило людей прийти к «Показательной функции», что вызвало её появление, с чем она связана. Показательная функция нужна была не только в древности, она нужна и сейчас, и будет нужна в будущем.
Меня заинтересовала эта тема, потому что она требует более глубокого и досконального исследования.
Цель исследования: установить картину возникновения показательной функции и показать связь функции в жизни человека с другими науками.
Задачи:
подобрать и проанализировать соответствующую литературу;
найти определение показательной функции в школьной программе;
рассмотреть применение функции в различных науках;
показать применение функции в жизни человека.
Объект исследования: показательная функция.
Предмет исследования: практическое применение показательной функции.
Методы исследования: 1) сбор информации; 2) систематизация и обобщение.
Гипотеза: функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека.
Научно-исследовательская конференция
«Шаг в будущее, Сибирь!»
Левина Ирина
Иркутская область, Усть-Удинский район, п. Усть – Уда,
МБОУ СОШ п. Усть-Уда
10 класс
Описание работы
2. Теоретическая часть2.1 История показательной функции:Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык. Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!

Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет.

Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.
В романе Жюля Верна «Матиас Шандор» силач Матифу совершил много подвигов, среди которых есть такой. Готовился спуск на воду трабоколо. Когда уже начали выбивать из-под киля клинья, удерживавшие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта. Спускавшееся судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей верфи яхты.

« Вдруг из толпы зрителей выскакивает какой-то человек. Он хватает трос, висящий на носу трабоколо. Но тщетно старается он, упираясь в землю ногами, удержать трос в руках…Поблизости врыта в землю швартовая пушка. В мгновение ока неизвестный набрасывает на неё трос, который начинает медленно разматываться, а храбрец, рискуя попасть под него и быть раздавленным, сдерживает его с нечеловеческой силой. Это длится секунд десять. Наконец-то, трос лопнул. Но этих десяти секунд оказалось достаточно. Трабоколо прошло за кормой яхты на расстоянии не более фута… . Яхта была спасена».
Но как вы думаете, нужна ли была его нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?
Мальчики, наверное, знают, как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами – небольшими тумбами, укрепленными на борту корабля. Сила трения между канатом и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто поддерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Что же позволяет удерживать одному человеку корабль? Это увеличение силы. Чем больше оборачиваем канат вокруг столба, тем больше увеличивается сила. Такое явление мы используем ежедневно, завязывая шнурки на ботинках, узлы на верёвках и т.д. Так как узел-это верёвка, обвитая вокруг другой верёвки, он тем крепче, чем больше раз одна часть верёвки сплетается с другой.
2.2 Применение показательной функции.
Особое внимание показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности.
Показательная функция в жизни.
Показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.
Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.
1. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой   , где  Nо  - число людей  в момент времени t=0, N -число людей в момент времени t, a k-константа.

2. Процессы выравнивания  (именно так  называют процессы, изменяющиеся по законам показательной функции)  часто встречаются в жизни.
При испуге в кровь внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причем скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, еще остающемуся в крови. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.
Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.
При радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (соответственно восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунды, для веществ, выводимых почками, — минутами, а для   гемоглобина — днями.

По закону данной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;
Показательная функция в науке и технике.1.Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой T=(T1-T0)e-kt+T1 е=2.7

2.При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста.

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
3.Рассматривая колебания маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, я сделала вывод,что амплитуда колебаний становится все меньше, колебания  затухают. Это явление можно объяснить формулой: s=Ae-ktsin(ωt+ω).

4.Рассматривая трос равномерного сопротивления разрыва, заметила, что он имеет меньшую массу, чем трос постоянного сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться по следующему закону: S=S0e γ-1S0xP ,где
So — площадь его нижнего сечения,
S — площадь сечения на высоте х от нижнего сечения,
γ — удельный вес материала, из которого сделан трос,
Р — вес в воде опускаемого груза (нам пришлось написать в формуле γ — 1 вместо γ, так как и материал троса теряет в воде вес по закону Архимеда).
5.Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772 составил следующую таблицу:
№ Планета Расстояние (L) до солнца (в астрономических единицах)
1 Меркурий 0,4
2 Венера 0,7
3 Земля 1
4 Марс 1,5
5 6 Юпитер 5,2
7 Сатурн 9,5
К тому времени было открыто только шесть планет, поэтому все вычисления останавливаются на Сатурне. Эти вычисления произвел И.Э. по следующей формуле:
Она точна для Венеры, Земли и Юпитера.
6. Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если
следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое-либо
космическое тело. И действительно, после некоторых исследований
был открыт пояс астероидов.

Это было воистину торжеством науки и триумфом математики!
7. Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции. 
Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8 ∙1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомство парымух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Но так как, кроме мух существует множество других животных и растений, многие из которых являются естественными врагами мух их количество не достигает вышеуказанных значений.

8.Рост древесины происходит по закону   A=A0∙akt ,  где  A- изменение количества древесины во времени; A0- начальное количество древесины; t-время; k, a - некоторые постоянные.
9. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1кв.м суши.

Или вот ещё один пример: как измеряют высоту с помощью барометра.
Одного американского студента спросили на экзаменах: « Как измерить высоту небоскрёба с помощью барометра? Для этого есть целый ряд способов, - ответил студент. Например, можно привязать барометр к верёвке и опустить его с вершины небоскрёба на землю. А можно взять барометр и посчитать, сколько раз его диаметр укладывается вдоль стены небоскрёба. После этого достаточно измерить диаметр барометра, чтобы найти высоту небоскрёба». Но он, конечно же, шутил. Студент хорошо знал, о каком способе измерения шла речь.

Поставим себе задачу, о том что нам надо вычислить атмосферное давление р(h) на высоте h над поверхностью земли.
Обозначим через р0 давление воздуха у поверхности земли, т.е. вес вертикального столба воздуха с площадью основания равной единице. Тогда
р(h)= р0 – f(h), где f(h) – вес столба воздуха высотой h и площадью основания равной 1.
Очевидно, производная f/(h) равна плотности δ(h) воздуха на высоте h.
Таким образом, р/(h)= – f/(h)= - δ/(h) (1)
По закону Бойля – Мариотта, давление данной массы газа при постоянной температуре обратно пропорционально объему газа, а значит, прямо пропорционально его плотности р(h)=а δ(h) (2), где а – постоянная, зависящая от газа. Из равенств (1) и (2) следует, что скорость р/(h) изменения давления на данной высоте пропорциональна давлению на этой высоте.
Показательную функцию можно встретить и в физике, и в биологии, и в астрономии и в других науках и технике, а также в повседневной жизни. Примеров, где встречается показательная функция, можно привести много.
Заключение:При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.
Функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.
Я думаю, что моя исследовательская работа может послужить как справочное пособие по данному вопросу. Возможно, не всё подробно, но я попыталась отобразить основные положения данной темы.
Список используемой литературы
В презентации использовались картинки из интернета.
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Крамор В.С. М.: Просвещение, 1990.—416с
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В, «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 классов общеобразовательных, Просвещение 2014г.
Н.Я. Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса», М., «Просвещение», 1990
Использованные интернет - ресурсы:
ru.wikipedia.org
http://www.docme.ru/doc/860077
http://player.myshared.ru/88225/http://prmat.ru/