Урок по теме «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов». 7 класс

Урок алгебры в 7 классе по теме:
«Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов»
Цели урока:
Образовательные: систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители и их комбинации; Развивающие: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; Воспитательные: побуждать учеников к сомо- и взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.
Оборудование: магнитная доска, набор карточек для сбора задания №2 на магнитной доске. Бланки с тестовыми заданиями, индивидуальные оценочные листы, копировальная бумага, слайды презентации.
Работа учащихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:
Фамилия
Имя
Этапы Задания Количество баллов
I №1 №2 №3 II №4 №5 III №6 Итоговое количество баллов Оценка Оценка за урок от суммы n набранных баллов по всем заданиям. Если n ≥ 36, то оценка «5»;
Если 29 ≤n ≤ 35 - оценка «4»;
Если 20 ≤n ≤ 28 - оценка «3»;
Если n ≤ 20 - оценка «2».
Ход урока
Эта I. Начало урока посвящается повторению.
В парах выполняется задание №1 (3 мин):
Тест №1
Соединить соответствующие части определения.
185356534925Представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов
00Представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов

-21653566040Разложить многочлен на множители - это
00Разложить многочлен на множители - это

1853565199390Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов
00Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов

1853565631190Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов
00Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Оценка 2 балла.
Завершите утверждение. Оценка 2 балла.
Представление многочлена в виде произведения одночленов и многочлена называется _______________________________________________________
2463165529590Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки
00Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки
Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки. Оценка 2 балла.
219646516129000219646535179000-13335237490Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно
00Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно
17900651612901
001

-216535288671000-216535265811000-216535245491000-216535221361000219646584010500179006513608053
003
17900656115052
002
24631651322705Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки
00Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки
2463165306705Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель
00Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель
Оценка 2 балла. 4. Отметьте знаком «+» верные выражения.
а)а2 + с2 - 2ас = (а - с)2;
б) р2 + 2ра - а2 = (р - а)2; в) 2рс - р2 - с2 = (р - с)2; г) 2са + с2 + а2 = (с + а)2.
Оценки 4(по 1 баллу за каждое верное выбранное и верно невыбранное).
Учитель включает проектор, демонстрирует слайды (1, 2, 3) с ответами к заданиям теста. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Учитывается коэффициент участия в работе, ученики распределяют между собой заработанное количество баллов, выставляют их в оценочные листы. Затем на магнитной доске двое учеников выполняют задание № 2.(5 мин).
Провести классификация данных многочленов по способу разложения на множители. В результате заполняют таблицу:
116776553340Метод разложения на множители
00Метод разложения на множители

272986510414000964565104140002729865104140002298065343154049у4 – 25х2
0049у4 – 25х2
22980652898140Х2 + 6х + 9
00Х2 + 6х + 9
2298065235204027в3 + а60027в3 + а622980651780540а4 – в4
00а4 – в4
430466517805402вх - 3ау – 6ву + ах002вх - 3ау – 6ву + ах430466533299403а2 + 3ав – 7а - 7в
003а2 + 3ав – 7а - 7в
43046652352040а2 + ав – 5в
00а2 + ав – 5в
430466528092402ах–5вх–10вх+ах002ах–5вх–10вх+ах10096534315402у(х – 5) + х(х – 5)
002у(х – 5) + х(х – 5)
1009652352040в(а + 5) – с(а + 5)
00в(а + 5) – с(а + 5)
100965289814015а3в + 3а2в2
0015а3в + 3а2в2
100965178054020х3у2 + 4х2у2
0020х3у2 + 4х2у2
2145665548640Формулы сокращенного умножения
00Формулы сокращенного умножения
4304665485140Способ группировки
00Способ группировки
100965485140Вынесение общего множителя за скобки
00Вынесение общего множителя за скобки

Остальные учащиеся выполняют задание теста №2 на карточках. После выполнения работы пары обмениваются вариантами, производят взаимопроверку, сличают работу соседа с тем, что собрано двумя учениками намагнитнойдоске. Оценивают работу товарищи. Оценка – 8 баллов (по 1 баллу за каждое верное соединение).
Тест № 2
28695652143760Формула сокращенного умножения
00Формула сокращенного умножения
28695651280160Вынесение общего множителя за скобки
00Вынесение общего множителя за скобки
28695652987040Не раскладывается на множители
00Не раскладывается на множители
28695653749040Способ группировки
00Способ группировки
7556548793402у(х-5)-х(х-5)
002у(х-5)-х(х-5)
7556543281603а2+3ас-7с-7а
003а2+3ас-7с-7а
75565374904049р425у2
0049р425у2
7556531775404х4+25с2
004х4+25с2
755652631440х2+6х+9
00х2+6х+9
7556520802602ас-5уx-10ус+ax
002ас-5уx-10ус+ax
7556515265409а2+5а+4
009а2+5а+4
7556591694015а3у2+3а2у
0015а3у2+3а2у
Вариант 2. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.
Тест № 2
Вариант 1
Задание 1. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.
-6354055110х(а+5)-с(а+5)
00х(а+5)-с(а+5)
-6353496310а2+ау-5а-5у
00а2+ау-5а-5у
26282653496310Способ группировки
00Способ группировки
26155652594610Не раскладывается на множители
00Не раскладывается на множители
26155651515110Формула сокращенного умножения
00Формула сокращенного умножения
2615565511810Вынесение общего множителя за скобки
00Вынесение общего множителя за скобки
-63514351020х3у2+4х2у
0020х3у2+4х2у
-6356769104а2-5а+9
004а2-5а+9
-63512484102bx-3ax-6bу+ax
002bx-3ax-6bу+ax
-6351794510а4-х8
00а4-х8
-63523914109х2+у4009х2+у4-635296291027с3+а60027с3+а6
Даем характеристику каждому перечисленному приему, демонстрируем слайды 4, 5, 6.
-2419357620Вынесение общего множителя
Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен. Входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.
00Вынесение общего множителя
Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен. Входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.
-2800351179195Применение формул сокращенного умножения
Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.
00Применение формул сокращенного умножения
Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

-32766070485Группировка
Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.
00Группировка
Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

«Математическая эстафета» (7 мин).
Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями. Ученики, получившие листок выполняют первые два задания (разрешается совместная работая) и передают листок вперед сидящим ребятам, после чего подключаются к работе всего класса.
Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка (по количеству рядов) с выполненными 8 заданиями.
Проверка итогов работы осуществляется с помощью проектора (слайд 8).
В этой работе оценивается коэффициент участия в решении.
Оценка – 8 баллов (по 1 баллу за каждй1 верно выполненный пример).
Задания
1-й ряд 2-й ряд 3-й ряд
Разложить на множители
1. 3а + 12в; 2. 2а + 2в а2 + ав; 3. 9а2 – 16в2; 4. 7а2в – 14ав2 + 7ав; 5. m2+mn–m–mg-ng+g; 6. 4a2 – 4ab+b2; 7. 2(3а2+bc)+a(4b+3c); 8. 25a2+70ab+49b2;
1. 16a2+8ab+b2; 2. 3m-3n+mn-n2; 3. 5a-25b; 4. 4a2-3ab+a-ag+3bg-g; 5. 9a2-30ab+25b2; 6. 2(a2+3bc)+a(3b+4c); 7. 144a2-25b2; 8. 9a3b-18ab2-9ab; 1. 10a+15c; 2. 4a2-9b2; 3. 6xy-ab-2bx-3ay; 4. 4a2+28ab+49b2; 5. b(a+c)+2a+2c; 6. 5a3c-20acb-10ac; 7. x2-3x-5x+15; 8. 9a2-6ac+c2.
Ответы
1. 3(a+4b); 2. (2+a)(a+b); 3. (3a-4b)(3a+4b); 4. 7ab(a-2b+1); 5.(m-g)(m+n-1); 6. (2a-b)2; 7. (2a+c)(3a+2b); 8. (5a+7b)2. 1. (a+b)2; 2.(3+n)(m-b); 3.5(a-5b); 4. (a-g)(a-3b+1); 5.(3a-5b)2; 6.(2a+3b)(a+2c); 7.(12a+5b)(12a+5b); 8. 9ab(a2-2b-1). 1. 5(2a+3c); 2.(2a-3b)(2a+3b); 3.(3y-b)(2x-a); 4. (2a+4b)2; 5.(a+c)(b+2); 6. 5ac(a2-4b-2); 7. (x-3)(x-5); 8. (3a-c).
Этап II. На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных примеров. Поэтому, чтобы успешно решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательности применения. Иными словами, здесь нужны не только задания, но и опыт.
Задание № 4. Разложите на множители и укажите, какие приемы использовалисьприэтом: 4а2b3
6а6b3 – 96a4b4 + 64a2b5,
Решение: 6а6b3 – 96a4b4 + 64a2b5=4а2b3(9a4-24a2b+16b2) = 4а2b3(3a2-4b)2. Комбинировали два приема: - вынесение общего множителя за скобки; - использование формула сокращенного умножения;
2) а2 + 2аb + b2 – c2, Решение: а2 + 2аb + b2 – c2= (a2+2ab+b2)-c2 = (a+b)2-c2 = (a+b-c)(a+b-c). Комбинировали два приема: - группировку; - использование формула сокращенного умножения;
152401668145 Порядок разложения на множители
1. Вынесите общий множитель за скобку (если он есть). 2. Попробовать разложить многочлен на множители по формуле сокращенного умножения. 3. Попытайтесь применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).
00 Порядок разложения на множители
1. Вынесите общий множитель за скобку (если он есть). 2. Попробовать разложить многочлен на множители по формуле сокращенного умножения. 3. Попытайтесь применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).
3) у3 – 3у2 + 6у – 8. Решение: у3–3у2+6у–8=(у3-8)-(3у2-6у)=(у-2)(у2+2у+4)-3у(у-2)=(у-2)(у2+2у+4 -3у) = (у-2)(у2-у+4). Комбинировали три приема: - группировку; - формулы сокращенного умножения; - вынесение общего множителя за скобки. Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок: (слайд 9)
4) х3 + 3х3 + 2х. Решение: х3 + 3х3 + 2х=х(х2+3х+2)= х(х2+2х+2) =х((х2+2х+2)+(х+2)) = =х(х(х+2)+х+2) = х(х+1)(х+2). Комбинировали три приема: - вынесение общего множителя за скобки; - предварительное преобразование; - группировку. Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один пример разложения на множители – предварительное преобразование. Даем ему характеристику. (Слайд 10)
-381097790Предварительное преобразование
Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.
00Предварительное преобразование
Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Оценка – 4 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример самостоятельно).
№5. Решить уравнения: (7мин). Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида: ах2 +bx +с = 0 (а≠0). ( Такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе), решать задачи на делимость, доказывать тождества. 1)х2 – 15х + 56 = 0; (x2-7x)-(8x-56)=0; x(x-7)-8(x-7)=0; ( x-7)(x-8=0; x-7=0 или x-8=0; x=7 или x=8 Ответ: 7; 8.
2) х2 + 10х + 21 = 0. X2+10x+25-4=0; (x+5)2-4=0; (x+5-2)(x+5+2)=0; (x+3)(x+7)=0; x+3или х+7=0; x= -3 или x=-7.Ответ:-3;-7. Отмечаем, что при разложении многочлена х2 + 10х + 21 на множители мы «увидели» полный квадрат (X2+10x+25-4=(x+5)2 ) и таким образом применили еще один прием разложения на множители: метод выделения полного квадрата. Этап III.
№6 Самостоятельная работа. На листочках под копирку. Разложите на множители, используя различные способы. Вариант I Вариант II: 1)5а3 – 125ab2; 1) 63ab3 – 7a2b; 2) a2 – 2ab + b2 – ac + bc; 2) m2 + 6mn + 9n2 – m – 3n; 3) (c – a)(c + a) – b(b – 2a); 3) (b – c)(b + c) – a(a + 2c); 4) х2 – 3х + 2; 4) х2 + 4х + 4; 5) х4 + 5х2 + 9. 5) х3 + 3х2 + 4. (Слайд 10 – ответы). Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью проектора. Копии решения сдают учителю, осуществляют самопроверку и самооценку знаний. Отметка за работу равна числу верно выполненных заданий. Слайд с ответами к заданиям.
Вариант 1 Вариант 2
1. 5a(a - 5b)(a + 5b); 2.(a - b)(a – b - c); 3.(c – a + b)(c + a - b); 4. (x - 2)(x - 1); 5.(x2 + 3 - x)(x2 + 3 - x). 1. 7ab(9b - a); 2.(m + 3n)(m + 3n - 1); 3.(b + a + c)(b – a - c); 4. (x + 3)(x + 1); 5.(x2 + 2 - x)(x2 + 2 + x).
Подведение итогов. (2мин). Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что, кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесение множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения, учащиеся познакомились еще с двумя способами: метод выделения полного квадрата, предварительное преобразование. Оценивает работу учащихся и ориентирует их в домашнем задании.
Задание на дом (слайд 11)
2348865179705№1089(а,б)
00№1089(а,б)

6470651600200064706576200018986576205
005
.
1091565130937000109156586487000647065521970006470651917700018986511442703 или 2
003 или 2
24123651385570№ 998(а,в), 1002, 1004
00№ 998(а,в), 1002, 1004
2412365699770№ 1007
00№ 1007
234886513970№1083(а,б), 1085(а-в), 1090(а)
00№1083(а,б), 1085(а-в), 1090(а)
1898653568704
004
Дополнительное задание: составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока.