Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
"Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции"
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], учитель математики высшей квалификационной категории
Цели урока:
Создание условий, при которых ученики -
образовательные: открывают и осваивают методы решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции развивающие: учатся логически мыслить, критически оценивать свои знания воспитательные:формируют эмоционально-ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведет к развитию качеств личности: нравственным, этическим, познавательным, трудовым.
(Две последние цели решаются не одним уроком, а системой уроков)
Ход урока
1. Приветствие учеников, постановка целей урока.
2. Проверка домашнего задания
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Один ученик готовит у доски решение примера, с остальными в это время проводится фронтальная работа. У каждого ученика сигнальные карточки с буквами а, б, в, г. Учитель называет задание, ученик поднимает карточку с верным ответом.
Ответы: 1 - а, 2 - г, 3 - б, 4 - в, 5 – б, 6 - а, 7 - а, 8 - нет верного ответа, 9 -
Проверяется решение уравнения домашнего задания.
3.
На одном из прошлых уроков мы с вами изучали уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Какие типы уравнений вы знаете? (Учащиеся перечисляют:
1) уравнения, левая и правая части которых являются одноименными тригонометрическими функциями,
2) уравнения, левая и правая части которых являются разноименными тригонометрическими функциями,
3) метод замены,
4) уравнения, сводимые к алгебраическим).
На стенде к уроку напоминаются формулы решения уравнений.
Давайте, ребята вспомним, какими методами мы с вами решали тригонометрические неравенства (учащиеся перечисляют). В чем заключается метод интервалов? Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции (их классификация), схожи с методами неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Рассмотрим их.
Неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями.
Вывешивается плакат
Учащиеся записывают формулы в тетрадь.
Рассмотрим пример: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Неравенства, левая и правая части которых, являются разноименными обратными тригонометрическими функциями.
Рассмотрим пример: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Замена переменной.
Рассмотрим пример: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.
Давайте, ребята, вспомним, какие теоремы мы с вами использовали при решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции этим методом? (Учащиеся отвечают).
Рассмотрим пример: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Неравенства, сводимые к алгебраическим.
Рассмотрим неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. Постановка домашнего дифференцированного задания.
Раздаются листочки с примерами домашнего задания каждому ученику. Нужно определить метод решения неравенства. На «3» нужно решить 3 неравенства на первые 3 метода, рассмотренные на уроке, на «4» - 4 неравенства на любые 4 метода, рассмотренные на уроке, на «5»- 5 неравенств всеми методами, рассмотренными на уроке. На следующем уроке тетради собираются учителем на проверку.
5. Итоги урока, объявление оценок.
Использованная литература: Газета «Первое сентября. Математика», № 13\2000г.
Приложение 1
Решите уравнение: arcsin 2x + arcсos (6x-2) - 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
Решение:
Пусть arcsin 2x = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, sin13 EMBED Equation.3 1415x
arcсos (6x-2) = 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415
013 EMBED Equation.3 141513 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то cos 13 EMBED Equation.3 1415. При условии, что -10x+413 EMBED Equation.3 1415, то есть x13 EMBED Equation.3 1415, возведем обе части равенства 13 EMBED Equation.3 1415в квадрат: 3cos2 13 EMBED Equation.3 1415= 16 – 80x + 100x
·2.
cos2 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415x + 13 EMBED Equation.3 1415x2.
cos2 13 EMBED Equation.3 1415+ sin2 13 EMBED Equation.3 1415=1
13 EMBED Equation.3 1415
16 – 80x + 100x2 + 12x2=3
112x2 – 80x + 13=0
Уравнение имеет 2 корня, один из которых x =13 EMBED Equation.3 1415не удовлетворяет условию x13 EMBED Equation.3 1415. Значит, x=13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: x=13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение 2
Решить неравенство: arcos (x2 - 3) 13 EMBED Equation.3 1415 arcos (x + 3)
Решение:
arcos (x2 - 3) 13 EMBED Equation.3 1415 arcos (x + 3) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решением системы является 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение 3
Решить неравенство: arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 arccos 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Рассмотрим функцию f(x) = arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 - arccos 13 EMBED Equation.3 1415.
Решим неравенство методом интервалов.
Найдем область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415 Откуда получаем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем нули функции. Для этого вспомним уравнение, которое решали на прошлом уроке arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 = arccos 13 EMBED Equation.3 1415. Корень x=1.
13 EMBED Equation.3 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(13 EMBED Equation.3 1415)=arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 - arccos 13 EMBED Equation.3 1415= arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 - arccos 13 EMBED Equation.3 1415= arcsin 13 EMBED Equation.3 1415>0 (показать по грфику фнкции y = arcsin x)
f(-2) = arcsin 0 – arccos (-1) = 0 – (13 EMBED Equation.3 1415-arccos 1) = - 13 EMBED Equation.3 1415<0.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Приложение 4
Решить неравенство: arccos2 x – 3 arccos x + 2 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Произведем замену: arccos x =t, t 13 EMBED Equation.3 1415
t2 – 3t + 2 13 EMBED Equation.3 14150
(t-1)(t-2)13 EMBED Equation.3 14150
Учитывая условие t 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Приложение 5
Решить неравенство: arccos x + arcos x13 EMBED Equation.3 1415 + arcos x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на 13 EMBED Equation.3 1415 функцию f(x) = arccos x + arcos x13 EMBED Equation.3 1415 + arcos x13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, уравнение f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415 имеет не более одного корня: x=13 EMBED Equation.3 1415 (решали на прошлом уроке).
Значит, решением неравенства arccos x + arcos x13 EMBED Equation.3 1415 + arcos x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 будет промежуток 13 EMBED Equation.3 1415
Можно дать примерную графическую иллюстрацию:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Приложение6
Решить неравенство: arcsin 2x + arcсos (6x-2) 13 EMBED Equation.3 1415 13EMBED Equation.31415
Решение:
Рассмотрим функцию f(x) = arcsin 2x + arcсos (6x-2) - 13EMBED Equation.31415 и решим неравенство
f(x) 13 EMBED Equation.3 1415методом интервалов.
Найдем область определения функции f(x) = arcsin 2x + arcсos (6x-2) - 13EMBED Equation.31415:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем нули функции f(x), для этого вспомним пример из домашнего задания, разобранного на доске в начале урока. x = 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
f(13 EMBED Equation.3 1415)=arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + arccos (-1) - 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415>0
f(13 EMBED Equation.3 1415) = arcsin 1 + arccos 1 - 13 EMBED Equation.3 1415 = - 13 EMBED Equation.3 1415 <0.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
x
-2 1 13 EMBED Equation.3 1415
-
+
x
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
y=f(x)-13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
+
-
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native—Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native