Урок Различные способы решения квадратных уравнений

Урок-исследование в 8 классе.
Различные способы решения квадратных уравнений.

Учитель высшей категории: Минайченко Н.С., гимназия №24

Цель урока:
Образовательно - обучающие цели:
обобщить и закрепить знания учащихся по теме;
обучить алгоритму нахождения корней квадратного уравнения новыми способами;
Развивающие цели:
обучить умению анализировать и обобщать изучаемый материал;
обучить умению самостоятельно выводить дополнительные формулы, облегчающие решение квадратных уравнений в некоторых особых случаях;
развивать исследовательские умения.
Воспитательные цели:
поддерживать активность и заинтересованность в процессе обучения за счет многовариантности предлагаемых заданий по теме;
подготовить учащихся к будущей учебной и практической деятельности путем разъяснения области применения получаемых знаний.
Ход урока
Организационный момент
Учитель Сегодня мы завершаем изучение темы «Квадратные уравнения». Цель этого урока вспомнить способы решения квадратных уравнений различных видов, систематизировать имеющиеся знания и самостоятельно получить некоторые дополнительные формулы, облегчающие решение квадратных уравнений в некоторых особых случаях.

Эпиграф урока: «Знания становятся прочными только тогда, когда они постоянно развиваются и обогащаются»
Василий Александрович Сухомлинский.

- великий педагог современности. Сухомлинский автор около 30 книг и свыше 500 статей, посвящённых воспитанию и обучению молодёжи. Книга его жизни «Сердце отдаю детям» отмечена Государственной премией УССР в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]г.
В.А. Сухомлинский о режиме труда и отдыха школьников
Лучше всего чувствуют себя те, кто рано ложится спать, спит достаточно времени, рано пробуждается и занимается интенсивным умственным трудом в первые пять-десять часов после пробуждения (в зависимости от возраста). В последующие часы бодрствования интенсивность труда должна ослабевать. Совершенно недопустим напряженный умственный труд, особенно заучивание, в последние 5-7 часов перед сном. На многих фактах мы убедились, что, если ребенок в течение нескольких часов перед сном сидит за уроками, он становится неуспевающим.

Повторение
1. Блиц-опрос
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Какие уравнения являются неполными квадратными уравнениями? Найдите их корни.
В каком случае полное квадратное уравнение будет неполным? (рассмотреть на выбранном уравнении)
Какие уравнения являются приведенными? Какую теорему можно применить для нахождения корней приведенного квадратного уравнения?
Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
Как определить знаки корней квадратного уравнения?
2. Даны два уравнения: а) 3x2 + 4x – 5 = 0; б) 3x2 – 4x + 5 = 0. Выясните, имеют ли они корни. [1-е уравнение: да, D = 76; 2-е уравнение: нет, D = –44.] по 1 ученику от команды
В каком случае, не находя дискриминанта, можно утверждать, что уравнение имеет корни? [Если первый и третий коэффициенты имеют противоположные знаки.]
3. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 1 ученик у доски.
Какую теорему применили?Теорема Виета для корней квадратного уравнения По праву достойна в стихах быть воспетаО свойствах корней теорема Виета.Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова:В числителе с, в знаменателе а,А сумма корней тоже дроби равна.Хоть с минусом дробь эта, что за беда В числителе Ь, в знаменателе а.
Учитель. Мы уже вспомнили имя Франсуа Виета одного из математиков, занимавшихся изучением уравнений и их классификацией.
( слово консультантам по истории)

Изучение нового материала
Учитель. Сегодня на уроке, применяя теорему Виета, мы исследуем некоторые особые случаи и выведем дополнительные формулы, облегчающие решение квадратных уравнений.
А) Исследование проводится под руководством учителя.
№
Рассмотрим полное квадратное уравнение

Умножим обе части уравнения на первый коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Запишем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Введем новую переменную  13 EMBED Equation.3 1415 и получим вспомогательное приведенное квадратное уравнение, корни которого  и
(при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета.

Из равенства 13 EMBED Equation.3 1415 найдите корни исходного уравнения

Сравните коэффициенты исходного и вспомогательного квадратного уравнения.
второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас.

Выполните предложенные действия на данном примере

Составьте вспомогательное уравнение

Найдите его корни по теореме Виета
.

Укажите корни заданного полного уравнения.
.

Задание. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.
По одному ученику от команды решают выбранные уравнения у доски. Команды предлагают друг другу любые 3 уравнения из оставшихся.
1.
6.
11.

2.
7.
12.

3.
8.
13.

4.
9.
14.

5.
10.
15.

Учитель. Не решая уравнения, найдите его корни: 13 EMBED Equation.3 1415
«Ум человеческий только тогда понимает обобщение, когда сам его сделал или проверил». Л.Н.Толстой.
Б) Исследование проводится учащимися самостоятельно по командам:
(по 2 ученика от команды решают у доски исследуемые уравнения)
Решите квадратные уравнения и заполните предложенную таблицу (частично заполненные бланки выдаются учащимся, они заполняют колонки, делают соответствующие выводы).
Вариант 1
Уравнение ax2 + bx + c = 0
a
b
c
x1
x2
Найдите a + b + c

x2 – 4x + 3 = 0
1
–4
3
3
1
+ + = \13 EMBED Equation.3 1415 a + c + b =

2x2 – 5x + 3 = 0
2
–5
3

1
+ + = \13 EMBED Equation.3 1415 a + c + b =

Проанализируйте полученные результаты. Какие закономерности прослеживаются в составленной таблице?
1) Все уравнения, имеют корень:
2) a + c + b =
3) Второй корень уравнения:
Вывод: Если a + c + b = ,
то x1 = . . . . . ; x2 = 13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 2
Уравнение ax2 + bx + c = 0
a
b
c
x1
x2
Сравните a + c и b

x2 + 4x + 3 = 0
1
4
3
–3
–1
+ = \13 EMBED Equation.3 1415 a + c b

3x2 – 2x – 5 = 0
3
–2
–5

–1
+ = \13 EMBED Equation.3 1415 a + c b

Проанализируйте полученные результаты. Какие закономерности прослеживаются в составленной таблице?
1) Все уравнения, имеют корень :...
2) a + c b \13 EMBED Equation.3 1415 a – b + c =
3) Второй корень уравнения :
Вывод: Если a + c b = 0,
то x1 = . . . . . . ; x2 = 13 EMBED Equation.3 1415

Проанализируйте полученные результаты. Какие закономерности прослеживаются в составленной таблице?
Возможные результаты анализа
Наблюдение 1.  Все уравнения, имеют корень 1 (или –1).
Гипо
·теза (с [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] предположение) или догадка;
По выражению немецкого философа Иммануи
·ла Канта: Гипо
·теза это не мечта, а мнение о действительном положении вещей, выработанное под строгим надзором разума.
Гипотеза. Возможно, наличие у уравнения корня 1 (или –1) зависит от его коэффициентов13 EMBED Equation.3 1415 второй корень тоже может иметь определенную зависимость от коэффициентов.
Наблюдение 2.  Второй корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415)
Вывод: Пусть дано квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0.
I
II

Если a + b + c = 0, то x1 = 1 и
Если a – b + c = 0, то x1 = –1 и

Задание. Решите квадратное уравнение с помощью свойства .
1.
5.
9.

2.
6.
10.

3.
7.
11.

4.
8.
12

Решение упражнений (дополнительное задание)Не решая уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, найдите:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Задание на дом (карточка-консультант). Решите любые 6 уравнений, где N – ваш порядковый номер в классном журнале.

13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215

13 EMBED Equation.3 1415

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 12