Проект научно-исследовательской работы. Способы решения квадратных уравнений.

Министерство образования и науки Республики Казахстан
Проект научно - исследовательской работы
ОШ с. Колхозное
Тема: СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Работу выполнила : ученица 8 класса
Жихарева Елена
Руководитель: Суворов Александр Сергеевич
учитель математики
с. Колхозное - 2014г.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность -
Квадратные уравнения представляют собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью нестандартных .способов.
В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.
Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно их решать устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться на экзамене ЕНТ , при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.
Таким образом возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения.
Цель -
Рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.
Задачи -
Произвести анализ учебно – методической литературы по решению квадратных уравнений.
Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.
Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Жихарева Е.
lenok_99_1999@mail.ru
8,основная школа с Колхозное, Осакаровского района
руководитель Суворов А.С.
Великий учёный Михаил Васильевич Ломоносов призывал:" Старайся дать уму как можно больше пищи..." К этому сегодня стремится каждый, кто хочет занять в современном обществе достойное место, кто хочет быть полезным обществу. Желание найти более простые способы решения квадратных уравнений, научиться решать более сложные задания, побудило меня искать ответы на вопросы. И вот получилась работа, которую предлагаю вашему вниманию и, которая будет полезна всем, кто интересуется вопросами математики.
Квадратные уравнения представляют собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью нестандартных способов .
В учебниках мы знакомимся с несколькими способами решения квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.
Целью моей работы есть рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.
В данной работе мною рассмотрены одиннадцать способов решения квадратных уравнений. Знание этих способов позволяет решать задачи , которые предлагаются на математических олимпиадах, в заданиях ЕНТ и в заданиях вступительных экзаменов в ВУЗы. Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения.
Основная часть работы состоит из пяти разделов.
Определение квадратного уравнения.
Виды квадратных уравнений.
Способы решения неполных квадратных уравнений.
Способы решения полных квадратных уравнений.
Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Раздел I. Определение квадратного уравнения.
Уравнение вида
ax2+bx+c=0, (1)
где a, b, и с - любые действительные числа, причём а≠0, а х переменная, называется квадратным уравнением.
В уравнении (1) а называют первым или старшим коэффициентом, b - вторым или коэффициентом при x и с -свободным членом.
Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.)
8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)
Квадратное уравнение также называют уравнением второго порядка, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Раздел II. Виды квадратных уравнений.
Если в уравнении (1) b≠0, c≠0, тогда его называют полным квадратным уравнением.
Так, например уравнения
-3+7х+8х²=0;
x2 - 2x-1=0,
являются полными квадратными уравнениями.
Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1;
х² + рх+q=0
– стандартный вид приведенного квадратного уравнения. Здесь p и q - заданные числа.
Квадратное уравнение называют неприведенным , если старший коэффициент отличен от 1.
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, или оба одновременно равны нулю.
Неполные квадратные уравнения могут быть только трех следующих видов:
1. ах2 + bx = 0, где с=0 .
2. ах2 + с = 0, где b=0
3. ax2 = 0, где b=0, c=0.
Раздел III. Способы решения неполных квадратных уравнений.
Рассмотрим способы нахождения корней каждого из этих уравнений:
1) ax2+bx=0(c=0).
x∙(ax+b)=0
x1=0 ax+b=0
ax= - b
x2 = - ba
Пример 1: Решим уравнение 5х2+4х=0.
Решение: Здесь а=5, b=4, c=0, .т.е свободный член квадратного уравнения равен нулю. Тогда данное уравнение имеет два корня: х1=0 , х2= -45 .
2) ах2 + с = 0, (b=0)
ax2= - c
x2= - ca , имеет решение только при c < 0 , a > 0 если a и c имеют разные
c > 0, a < 0 знаки, то уравнение имеет 2 корня.
x1;2= ±ca;
Пример 2:Решим уравнение -х2 + 3=0.
Решение: Здесь а=-1, b=0,c=3. Коэффициенты а и с имеют разные знаки, поэтому уравнение имеет два корня, определяемые выше указанной формулой, т.е х1=3 и х2= -3.
3) ax2 =0 (b=0, c=0)
имеет равные между собой два корня x1=x2=0.
Учащиеся могут решать квадратные уравнения не только указанными способами, но и разложением на множители по формуле разности квадратов.
а) x2-25=0 б) x2 -13=0
(x-5)(x+5)=0 (x - 13) (x+ 13)=0
в) (x-2)2 -49=0 г) 9(2x+3)-25=0
(x-2-7) (x-2+7)=0 (3(2x+3 -5) (3(2x+3+5)=0
Применение этого способа позволит решать на раннем этапе уравнения вида в) и г). Заменяя совокупностью уравнений, которая равносильна данному уравнению.
Раздел IV. Способы решения полных квадратных уравнений.
Не зная формул квадратного уравнения, можно решать уравнения:
- разложением на множители способом группировки.
x2-10x-24=0
x2- 12x+2x -24=0
(x2 +2x) +(-12x-24)=0
x(x+ 2) -12(x+2)=0
(x-12)(x+2)=0
Совокупность простых уравнений x-12=0 и x+2=0, равносильно данному уравнению, где х1= 12 и х2=-2 корни уравнения.
При замене второго слагаемого суммой обращаем внимание на то, что слагаемые должны иметь делители со свободным членом.
Выделение квадрата двучлена с разложением по формуле разности квадратов.
x2 -8x-84=0
x2 -8x +16-16-84=0
(x-4)2 -100=0
(x-4-10) (x-4+10)=0
x1=14 x2= -6
Знакомство с этим способом способствует выработке математической зоркости, когда учащиеся находят среди уравнений те, которые решаются устно.
4x2+4x+1=0
(2x+1)2=0
x= - 12
Учащиеся 7 класса могут решать квадратные уравнения не только указанными способами, но и графически, так как они знакомы функцией вида y=ax2:
ax2+bx+c=0
ax2 = - bx-c
Строим графики y=ax2 и y= - bx - c.
Пример 3:

Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями данного уравнения.
Теперь выведем формулу для определения корней квадратного уравнения общего вида. Для этого выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене
ax2+bx+c=0. (1)
ax2+bx+c=0 / :a
x2 + bax + ca = 0
x2 +2 b2ax +b24a2 +ca - b24a2 = 0
x+b2a2=b24a2 - cax+b2a2=b 2 -4ac4a2 , Тогда квадратное уравнение (1) записывается в виде:
x+b2a2=b 2 -4ac4a2.
Уравнения (1)и (2) равносильны. Так как 4а2 >0, то количество корней зависит от выражения числа D=b2-4ac. Итак, квадратное уравнение (1) записывается в виде:
x+b2a2= D2 4a2 (3)
а) Пусть D>0, тогда из уравнения (3) имеем
x+b2a=±D4a2.
Отсюда получим формулу:
x1;2= -b±D2a; D=b2-4ac. (4)
Следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет два корня:
x1= -b+D2a; D=b2-4aс ; x2= -b-D2a; D=b2-4ac. (5)
Пример 4: Решим уравнение: 4х2-5х-21=0.
Решение: Так как a=4, b=-5, c=-21, то
D=(-5)2-4∙4∙(-21)=25+336=361>0(2 корня)
x1;2= -b±D2a = 5±3618=5±198x1= 5+198=248=3;
x2= 5-198 =-148=-74 = -134.
б) Пусть D=0, тогда из уравнения x+b2a2=0 получим , что x= -b2a. В этом случае считается , сто уравнение имеет два равных корня
x1=x2= -b2a.
Пример 5: Решим уравнение 0,5х2 +6х-18=0.
D=36- 4∙0,5∙ (-18)=0=0( 1корень)
x1=x2= -b2a = - 61= - 6.
в) В случае, когда D<0 квадратное уравнение корней не имеет.
Пример 6: 3x2-2x+7=0.
Так как D=4- 4∙3∙7=4- 84= -80<0( корней нет)
Теперь выведем формулу для корней квадратного уравнения, когда b- является чётным числом. Действительно, если b=2k, то формулу D=b2-4ac можно упростить, тогда D=(2k)2-4ac=4k2-4ас. Поэтому из формулы (4) имеем:
x1;2= -2k±4k2-4ac2a = -2k±4(k2-ac)2a=-2k±2k2-ac2a = 2(-k±k2-ac) 2a = -k±k2-aca, т.е.
x1;2= -k±k2-aca (6)
или
D/= k2-ac, x1;2= -k±D/a.
Пример 7: Решим уравнение 9х2-14х+5=0.
Решение: Так как b=-14=-2∙7 тогда по формуле (6) имеем:
D/= k2-ac=(-7)2-9∙5=49-45=4>0( 2 корня)
x1;2= -k±D/a = 7±4 9 = 7±29;
х1= 7+29 =1
х2= 7-29 = 59Рассмотрим ещё один из способов решения квадратных уравнений.
Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство: Нам дано приведённое квадратное уравнение:
х² + рх+q=0.
Дискриминант этого уравнения D равен p2-4q. Пусть D>0, тогда уравнение имеет два корня:
x1= -p+D2; и x2= -p-D2;.
Найдём сумму и произведение корней:
х1 + х2 = -p+D2 + -p-D2 = -2р2 = -р
х1 ∙ х2 = -p+D2 ∙ -p-D2 = (-р)2- (D)24 = p2-(p2-4q)4 = 4q4 =q
Итак,
х1 + х2= - р и х1 ∙ х2= q.
Доказанная нами теорема называется теоремой Виета.
Справедливо также обратное утверждение, обратное теореме Виета.
Теорема 2: Если u+v=-p, u ∙ v=q,то u и v являются корнями квадратного уравнения х² + рх+q=0.
Доказательство: Пусть u+v=-p, u ∙ v=q, тогда из уравнения х² + рх+q=0 имеем:
u2+pu+q=u2 -u(u+v) +uv=u2-u2-uv +uv =0,
v2+pv+q=v2 -v(u+v) +uv=v2-v2-uv +uv =0, т.е числа u и v являются корнями уравнения х² + рх+q=0.
Решение по теореме обратной теореме Виета позволяет использовать связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения.
Пример 8: Решим уравнение х2-5х+6=0.
Решение: Так как х1+х2= - р, а х1∙х2= q, то корни уравнения соответственно равны x1= 2, x2 =3.
Теорема запоминается легко , если её выучить в стихотворной форме:
В приведённом уравнении
Будь ты школьник иль доцент,
Сложишь корни и получишь
С минусом второй коэффициент.
Для решений уравнений
Способ есть вполне пригодный.
Если корни ты умножишь,
То получишь член свободный.
Данный способ позволяет намного быстрее решить квадратное уравнение в устной форме.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней неприведённого квадратного уравнения
Пусть нам дано квадратное уравнение общего вида ax2+bx+c=0, где а≠0.
Корни уравнения ax2+bx+c=0, где а≠0, как известно вычисляются по формулам:
x1= -b+b2-4aс 2a; и x2= -b-b2-4aс2a;
Найдём сумму и произведение х1 и х2.:
х1 + х2 = -b+b2-4aс 2a + -b-b2-4aс2a = -2b2a =-ba,
a х1 ∙ х2 = -b+b2-4aс 2a ∙ -b-b2-4aс2a = (-b)2-(b2-4ac)4a2 = 4ac4a2 = ca .
Итак, х1 + х2 =-ba и х1 ∙ х2 = ca.
В общем случае уравнение общего вида ax2+bx+c=0, где а≠0 равносильно приведённому квадратному уравнению x2 + bax + ca = 0.
Формула о связи корней и коэффициентов неприведённого квадратного уравнения запоминается надолго, если её выучить в стихотворной форме:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова:
В числителе с в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь -эта,
Что за беда-
В числителе b в знаменателе а.
Теперь рассмотрим случай, когда a ± b + c =0. Мало кому известно такое свойство коэффициентов квадратного уравнения.
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c=0 (а≠0) коэффициенты удовлетворяют условию a+b+c=0 , то числа x1 = 1 и x2 = ca являются корнями этого уравнения.
Если же для квадратного уравнения верно равенство a - b + c = 0, то числа x1 = -1 и x2 = - ca являются корнями этого уравнения.
Пример 9: Решим уравнение "по коэффициентам" 7х2-13х+6=0.
Решение: Если a - b+c=0, то из этого следует, что 7-13+6=0⇒ х1=1; х2= 67Пример 10: Решим уравнение 12х2-7х-5=0.
Решение: 12-7-5=0⇒х1=1; х2= -512.
Данное свойство коэффициентов легко будет запомнить, если выучить его в стихотворной форме:
"а" плюс, минус "b" плюс "с"
Приравнялись вдруг к нулю.
Вот такие уравнения
Я решать очень люблю.
Единицу запишу,
А потом деление.
Букву "с" делю на "а" вот и всё решение.
Рассмотрим следующий способ решения квадратных уравнений - метод "переброски" . Данный метод предназначен для устного решения квадратных уравнений. С помощью метода "переброски" мы можем заменить уравнение вида ax2 + bx + c=0 (а≠0) **, уравнением y2 +by+ac=0***,что значительно упрощает решение. Чтобы найти x1 и x2 достаточно знать, что х1= y1a и x2 = y2a, где y1 и y2 корни уравнения ***.
Покажем справедливость этого решения, сформулировав предложение. Если y1 и y2корни уравнения y2 +by+ac=0, то y1a и = y2a являются корнями уравнения ax2 + bx + c=0.
Обоснуем это предложение, подставив х1 y1a= и x2 = y2a в уравнение**:
a y1a2 + b y1a2 +c=0, получим верное равенство
y2 +by+ac=0.
Пример 11: Решим уравнение методом "переброски" 6х2-7х-3=0.
Решение: Выполним "переброску" и решим новое уравнение с помощью теоремы обратной теореме Виета.
y2-7y-18=0
y1=9
y2=-2
Теперь вернёмся к переменной х . Для этого разделим полученные результаты у1 и у2 на первый коэффициент уравнения, т.е. на 6.Получим:
х1=1,5 , х2=- 13 .
Метод "переброски" легко будет запомнить, если выучить его в стихотворной форме:
Полезен "переброски" метод
В квадратном уравнении.
Запомни метод этот
Получишь облегчение.
Свободный член умножь на "а"
Вот уравнение приведённое,
А приведённое решить
Ведь дело не мудрённое.
А, чтоб уравнения данного
Корни получить,
Ты должен корни приведённого
На букву "а" вновь разделить!
Раздел V .Решение уравнений приводящихся к решению квадратных уравнений.
Теперь рассмотрим уравнения, приводящиеся к решению квадратных уравнений. Одним из таких видов уравнений является биквадратное уравнение.
Уравнение вида
ax4 + bx2 + c=0 (а≠0),*
называется биквадратным уравнением.
Пример 12: Решим уравнение х4 +8х2 -9 =0.
Введём обозначение х2=z. Подставив в уравнение *, получим квадратное уравнение: z2 +8z- 9=0.
Решив квадратное уравнение получим
z1 =-9, z2= 1.
Для нахождения значения x возвращаемся в равенство х2=z и вместо z подставим его значения. Тогда получим уравнения
х2=z1 и х2=z2 т.е
х2= -9 и х2=1
Уравнение х2= -9 корней не имеет, а уравнение х2=1 имеет два корня:
х1=1 и х2=- 1.
Из рассмотренного примера видно, что для приведения исходного уравнения четвёртой степени к квадратному ввели другую переменную - z. Такой метод решения уравнений называют методом введения новой переменной.
Из решения примера видно, что для решений уравнений приводящихся к решению квадратных уравнений методом введения новой переменной, нужно использовать следующий алгоритм:
1.Введём в уравнение новую переменную путём обозначения какого-то выражения из этого уравнения;
2.Вместо этого выражения подставляем новую переменную и получим квадратное уравнение относительно новой переменной;
3.Решаем полученное квадратное уравнение изученными ранее способами;
4.Способом подстановки находим значение исходной переменной;
5.Выполняем проверку корней данного уравнения.
Решение не только биквадратных , но и некоторых других видов уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Рассмотрим следующий пример.
Решим уравнение x2 +2x -6x2 +2x = - 5.
Решение: Введём новую переменную y= x2 +2x.
Подставляя новую переменную у вместо выражения x2 +2x в исходное уравнение, имеем: у -6у =-5. Это уравнение сводится к квадратному уравнению:y2+5y-6=0. Полученное квадратное уравнение решаем известными нам способами и находим его корни. Корнями уравнения будут числа у1=-6 и у2=1.
Полученные корни квадратного уравнения подставляем, используя алгоритм и получаем два уравнения:
x2 +2x=-6 и x2 +2x=1
Уравнение x2 + 2x = -6 корней не имеет так как D < 0. А уравнение x2 +2x=1 имеет два корня х1;2= -1 ± 2.
Ответ: х1;2= -1 ± 2.

Заключение.
В итоге, выполнив, работу я пришла к выводу, что приступая к решению любого квадратного уравнения, следует не спешить приступать к вычислению дискриминанта и применению формул корней квадратного уравнения, а сначала нужно проверить какой из способов решения квадратных уравнений будет рациональным и применить алгоритм.
Рассмотренные в моей работе способы решения квадратных уравнений были апробированы всеми учениками моего класса. Замечу , что ими овладели все одноклассники кто лучше, а кто хуже, но я знаю точно, что польза от того, что мы их знаем есть, хотя бы потому что мы выигрываем во времени.
Я считаю, что материалы, рассмотренные в моей работе, могут быть, полезны всем, кто любит математику и находится в поиске рациональных способов решения квадратных уравнений.
Список используемых источников
1.Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. шк../А.Н.Шыныбеков/ 3-е изд.- Алматы:Атамұра ,2012.-288с.
2.Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. шк./А. Абылкасымова,И.Бекбоев,А.Абдиев, З.Жумагулова. -Алматы: Изд-во "Мектеп",2008.-144с.
3.Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательной школы/Ю.Н Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков.-2-е издание - Алматы : Просвещение-Казахстан, 2004.-200с.
4.Бекаревич А.Б. Уравнения в школьном курсе математики. – М., 1968.– 196 с.
5.Научно - методический журнал "Математика и физика в школах Казахстана".№5 2011г.стр 2.
6. Научно - методический журнал "Математика и физика в школах Казахстана".№6 2011г.стр 2.