урок геометриии в 8 классе Формула площади треугольника

План-конспект урока математики по теме "Формулы площадей треугольников".
8-й класс
Цели урока: повторение и систематизация знаний и умений учащихся, необходимых для применения в практической деятельности по данной теме; формирование практических навыков вычисления площадей различных треугольников
Задачи:
1. Обучающая – расширить знания о формулах площади треугольников; учить применять формулы Герона и Пика при решение задач на площадь треугольника с опорой на готовые чертежи, изображенные на клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см или треугольника, заданного на координатной плоскости. 2. Развивающая – развивать логическое мышление, развивать навыки и умения работать в парах и группах; развивать навыков самоорганизации и участия в работе группы и творческие способности учащихся.3. Воспитательная – повышать интерес к изучению математики, сознательное отношение к учебе, уважительное отношение друг к другу, умение слушать ответы товарищей, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация, билеты для лото, задания для практической работы, карточки с рисунками к задачам, карточки с формулами площади треугольника и карточки с треугольниками и наглядности.
Тип урока: урок открытия новых знаний и совершенствования знаний, умений и навыков.
Формы работы учащихся: индивидуальная, групповая.
Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, презентация, билеты для лото, задания для практической работы, карточки с рисунками к задачам, карточки с формулами площади треугольника и карточки с треугольниками и наглядности.
Структура и ход урока
I. Мотивирование к учебной деятельности (1 мин).
Цель: создание положительного эмоционального настроя на работу, включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне.
Деятельность учителя Деятельность ученика УУД
Организационная минутка. Проверка готовности к уроку. Учащиеся разделены на три группы. В каждой группе по 8 человек разного уровня знаний.На каждом столе лежит пакет с материалами к уроку, три отрезка разной длины. Доска развешана разноцветными многоугольниками и разного вида треугольниками.
Приветствие гостей и учащихся.
Ребята, поздоровайтесь друг с другом за руки. Давайте возьмемся за руки и пожелаем друг другу взаимоуважения, поддержки и хороших знаний. Впереди нас ждут экзамены. Наша задача успешно сдать их. Каждый из вас должен уметь решать задачи базового уровня. Чтобы решить задачи надо учиться их решать различными способами. Определим, на какую тему будем решать задачи.
Давайте, ребята, послушаем математическую сказку, которую сочинила ученица 8 класса. Учащиеся стоя здороваются друг с другом за руки.
Учащиеся внимательно слушают сказку. Личностные – формирование положительного отношения к учебе и развитие мотивации к дальнейшему изучению математики.
II. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии (2 мин).
Цель: активизация изученного материала необходимого для “открытия нового знания”, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого ученика.
Устный рассказ сказки.
В математическом царстве, планиметрическом государстве,…(Приложение 1.)Личностные – развитие мотивации к дальнейшему изучению математики.
III. Постановка учебной задачи (4 мин)
Цель: обсуждение затруднения и развитие у учащихся умения самостоятельно сформулировать тему и цели урока.
Вот такая сказка. А вы догадались, о каком “простаке” сегодня на уроке пойдет речь?
А что вы знаете о треугольниках
Знания о треугольниках проверим, выполнив практическую работу (проверка д/з).
У вас на столах лежат три отрезка. Составьте из них треугольник. У третьей группы треугольник не существует. Значит, есть условия, когда три отрезка дают треугольник.
Учитель показывает произвольный треугольник, изображенный на рисунке (Приложение 2, 2а).
Ребята, помогите мне. Я хочу покрасить этот треугольник. Но не знаю сколько нужно краски. Что для этого нужно знать?
А как мы можем вычислить площадь треугольников?
Ребята, как бы назвали тему нашего урока?
Слайд 1. (Приложение 14)Да, сегодня у нас урок повторения и получения знаний на тему “Формулы площади треугольника”. Зная формулы для вычисления площади треугольника, можно посчитать площадь любого многоугольника, предварительно разбив его на треугольники. Эта тема является одной из важнейших тем геометрии.
Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
На магнитной доске даны формулы площади треугольника и треугольники. Установить соответствие. По рисунку найти формулу (Приложение 3, 4, 5, 6, 7).
Один треугольник остается без формулы.
А где же формула для площади моего треугольника? Какую цель мы поставим перед собой? Ответы детей о треугольнике.
Мы знаем много о треугольниках.
Дети составили треугольники.
Ученики дают правильные ответы (длина любой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон).
Дети дают совет вычислить площадь этого треугольника.
По различным формулам.
Каждый ряд дает свою формулировку темы урока (Решение задач на вычисления площади треугольника по формулам).
Учащиеся записывают в тетрадях число и тему урока.
Из каждой группы по одному ученику выбирают билет с номером рисунка, и находят формулу для вычисления площади по данным элементам треугольника. Вторые ученики читают формулу (что означает каждая буква формулы).
Найти формулу, для вычисления площади произвольного треугольника по трем сторонам. Регулятивные – уметь ставить цели, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
IV. Открытие нового знания (5 мин).
Цель: построение проекта выхода из затруднения и формирование первичных практических навыков.
Значит, приведенные формулы для площади треугольника не исчерпывают все формулы, с помощью которых можно эту площадь находить.
Слайд 2.
Да, ребята. Если разумно провести необходимые преобразования при вычислении длины высоты, то мы получим эту формулу. Эту задачу решил еще в I в.н.э. выдающийся древнегреческий математик – Герон Александрийский. Он не знал заранее, что открыл(!) формулу, выражающую площадь треугольника через его три стороны. Несмотря на то, что эта формула достаточно длинная, она является одной из самых красивых и древних формул геометрии.
На доске открываем таблицу с формулой Герона.(Приложение 8).Слайд 3.
Доказательство этой формулы очень громоздкое и мы не будем на нём подробно останавливаться. Если оно вас заинтересует, то можно разобрать его после урока или изучить самостоятельно по материалам факультатива электронном портале интернета.
Слайд 4. Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до нашей эры. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в “Метрике” Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник. Ученица. Во всех известных формулах есть высота треугольника. Поэтому проведем одну из трех высот. Вычислим длину высоты из двух прямоугольных треугольников по теореме Пифагора. Эту формулу я изучила по материалам виртуального факультатива “ГИА и ЕГЭ в математике” из интернета (автор учитель математики Горшкова Г.М.). И эта формула называется формулой Герона.
Прочитали формулу – что означает каждая буква формулы.
По этой формуле мы и сможем вычислить площадь вашего треугольника.
  Познавательные.
Коммуникативные.
V. Первичное закрепление (7 мин).
Цель: проговаривание нового знания и применение формулы Герона для вычисления площади треугольника.
1) Давайте решим одну замечательную задачу на применение формулы площади треугольника.
На доске изображен треугольник на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Вычислить площадь треугольника.

Рис. 1
У каждого ученика на столе есть карточка с условием задачи. (Приложение 9, 9а).
  Ученики в тетрадях записывают число, классная работа и тему урока. Записывают формулу Герона.
Ученики предлагают вычислить площадь этого треугольника различными способами.
1. Способом вычитания (дополнить до прямоугольника, из площади прямоугольника вычесть площади лишних прямоугольных треугольников).
2. Способ сложения (треугольник разбить на два прямоугольных треугольника и сложить площади этих треугольников).
3. По формуле 
4. По формуле Герона.
Один ученик работает у доски, а все остальные решают на местах. Цветными карандашами выполняют дополнительные построения.
Каждая группа получает задание. Вычислить площадь данного треугольника различными способами.
Записывают вычисления в тетради.
Сравнивают ответы. Ответ один и тот же.
У доски работает ученик по желанию.
Вычислить длины сторон треугольника. Каждая группа объясняет, как можно вычислить длины сторон треугольника. Регулятивные.
Коммуникативные.
Познавательные.
Личностные. 
2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона.
З. Слайд 5. Задачи из ГИА.
А как посчитать площадь треугольника, изображенного в системе координат?
 
  а) Задача 1. Длины катетов равны: 9 – 1 = 8; 9 – 6 = 3;
Длина гипотенузы равна квадратный корень из 73.
б) Задача 2. Длину каждой стороны вычисляем как длину гипотенузы из прямоугольных треугольников или по правилу вычисления расстояния между двумя точками.
Учащиеся записывают правила в тетради.
Каждая группа вычисляет длину определенной стороны данного треугольника. Стороны этого треугольника выражены не целочисленными числами, поэтому вычисления получаются громоздкими и без калькулятора не обойтись.  
А нет ли еще какой-нибудь формулы для вычисления площади треугольника?
Т. е. как посчитать площадь треугольника, если хотя бы одна сторона выражена квадратным корнем?
Да, есть такая формула. Эта II формула Герона.
Слайд 6. Ученики записывают эту формулу в тетради.  
На доске появляется еще одна формула площади треугольника (Приложение 10).
Рассмотрим решение задачи на применение этой формулы
Правильность выполнения вычислений проверяем поСлайдам 7и 8.
Слайд 9. Итак, теперь мы знаем 7 формул для нахождения площади треугольника.
Но оказывается это не все формулы.
Существуют ещё формулы и следствия из предыдущих формул.
Слайд 10. Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Итак, мы теперь знаем 9 формул. Но это ещё не предел. С таким же успехом можно получить ещё новые формулы, например, через тригонометрические формулы половинного угла, двойного угла. Такие исследования могут стать стартовой площадкой для написания научно-исследовательской работы. Ученики замечают, что в этой формуле нет полупериметра.
Текст задачи есть у каждого ученика.
Один ученик выполняет задание у доски.
Учащиеся получают оценки за работу у доски и ученики, принимавшие активное участие в разборе решения задач по различным способам.
Учащиеся записывают эти формулы в тетради. Отмечают, что это темы проектных работ.
Ученики приводят свои рабочие места в порядок.  
Динамическая пауза (1 мин).
Физкультминутка. Ученики встают, хлопают в ладошки, пожимают друг другу руки и благодарят друг друга за дружную работу, взаимопомощь. Группы меняются местами, перемещаясь по кругу. Регулятивные.
Познавательные.
Личностные.
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу (5 мин).
Цель: создание ситуации успеха, мотивирующей его к включению в дальнейшую познавательную деятельность
Игра-лотерея, посвященная ко дню Космонавтики
(Приложение 11,11а ).
Ребята, обратите внимание на номера ваших билетов. Постарайтесь найти, по каким правилам эти номера составлены.
На доске вывешивается таблица с правильными ответами. Каждый ученик получает билет-лотерею на удачу, карточки вопросы с четырьмя ответами и рисунки чертежи. Ученики, отвечая на вопросы, вычеркивают номера правильных ответов. Выписывают номера не вычеркнутых ответов, считают их количество и заполняют линейку успешности. Если остались номеров: 8 – “5”; 9 – 11 – “4”; 12 – 13 – “3”. Ученики билеты подписывают и записывают результаты успешности на обратной стороне билета.
Ученики довольно быстро нашли секреты номеров. Эти числа выражают: арифметическую или геометрическую прогрессии, число, месяц и год дня Космонавтики, продолжительность полета космического корабля “Восток-1” вокруг Земли. Каждый ученик получает оценку за ответы на вопросы и плюс за секреты номера билета.
Ученики обмениваются билетами с соседними группами и выполняют взаимопроверку. Сравниваются ответы. Регулятивные. Личностные. Познавательные.
 
 
VII. Включение нового знания в систему знаний и повторение (10 мин).
Цель: выявление границ применимости нового знания.
Ребята, а так ли уж важно изучать формулы треугольника и знать их для применения? В каких житейских ситуациях можно встретиться с треугольниками?
Слайды 11и 12.
Ребята, я хочу вам дать еще одну полезную информацию для успешной сдачи ГИА, а потом и ЕГЭ.
На помощь приходит еще один практически полезный, красивый и точный прием, основанный на использовании формулы Пика.
Формула Пика позволяет найти площадь любого многоугольника, вершинами которого являются узлы клеток. Часть узлов он содержит на своих сторонах (мы обозначим их количество буквой Г), а часть внутри себя (это количество обозначим буквой В). Тогда площадь такого многоугольника можно вычислить по формуле S= Г + В/2 – 1. Ее и называют формулой Пика.
  Учащиеся считают, что важно знать формулы площади треугольников, так как треугольники встречаются очень часто в швейном деле, в столярном деле, в строительном деле и т. д.
Ребята перечисляют еще, где нужны знания о треугольниках.
А самое главное задачи на вычисления площади включены в задания ГИА и ЕГЭ.
Ученики записывают эту формулу в тетради.
 
  Коммуникативные Познавательные Личностные
Усиление мотивации обучения и практической значимости знаний, воспитание устойчивого интереса к геометрии.
 
Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…
Формулу Пика открываю и на доске (Приложение 12).
Презентация. Формула Пика. (Приложение 15)
Посмотрим, как применить формулу для вычисления площади.
Устная практическая работа по группам. Вычислить площадь по формуле Пика. Ученики внимательно наблюдают за тем, как правильно считать узловые точки.
От каждой группы по два ученика работают у доски. Один считает узловые точки на границе, а другой внутренние точки. Остальные ученики подсчитывают площадь. Так и загорелись, глаза учеников, увидев практическую пользу формулы Пика.  
VIII. Информация о домашнем задании и инструкция по его выполнению (2 мин).
А дома я предлагаю вам выполнить творческий эксперимент. Проверить формулу Пика на задачах по чертежу. Ученики записывают домашнее задание в дневник. Карточка – задачи на формулу Пика (Приложение 9,9а). Задачи для подготовки к ГИА (варианты 1-7) Регулятивные
IX. Рефлексия учебной деятельности на уроке. (2 мин)
Цель: осознание обучающимися своей учебной деятельности, самооценка результатов своей деятельности и всего класса
Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.
Надеюсь, что вся эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит правильно решить задачи на площади.
Ребята, какой прием на ваш взгляд самый простой, практичный и полезный? Ученики заполняют таблицу -рефлексия. Оценивают уровень своих знаний по данной теме. Какие цели были поставлены в начале урока? Что узнали нового? Что было интересного? Что не поняли? (Приложение 13) Коммуникативные.
Регулятивные.
Личностные.
Познавательные.
Итоги урока (1 мин).
Спасибо за работу на уроке. Составьте памятки по новым формулам. Посещайте факультативы, пользуйтесь дополнительной информацией и применяйте знания на практике. Сдают билеты, отзыв об уроке. Выставляют оценки за урок. Личностные