Золотое сечение в современной науке

Муниципальное автономное нетиповое общеобразовательное учреждение «Лицей №4»
НОУ «Прорыв»
Золотое сечение в современной науке
Математика
Выполнили:
Чумина Ксения, 11Ф
Шагабудинова Ирина, 11Ф
Научный руководитель :Е.Н. Атапина, учитель математики
Ленинск-Кузнецкий
2015
Содержание
Введение ………………………………………………………………….3
История золотого сечения ……………………………………………….5
Математическая сущность золотого сечения …………………………..8
Золотое сечение в современной науке…………………………………..11
Математические задачи с применением золотого сечения…………….17
Заключение………………………………………………………………...19
Список литературы………………………………………………………..211.Введение
"Красота должна отвечать строгому числу"
Л.Б.Альберти«В геометрии существуют два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, они являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвященным «золотому сечению». Гениальный ученый поставил пропорцию золотого сечения на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой. Однако золотому сечению повезло меньше, чем теореме Пифагора – «классическая наука» и педагогика его игнорирует, а «официальная» математика не признает, несмотря на то, что феномен золотого сечения известен человечеству давно.
Его тайну пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса.
Классическими проявлениями золотого сечения являются предметы обихода, скульптура и архитектура, математика, музыка и эстетика. В предыдущем столетии с расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология, экономика, психология, кибернетика, теория сложных систем, и даже геология и астрономия.
Ежегодно издаются несколько книг посвященных этой проблеме, постоянно расширяя область приложения золотого сечения. Авторы этих исследований связывают золотое сечение с такими несовместимыми, на первый взгляд, понятиями, как красота, асимметрия, рекурсия, самоорганизация и пропорция. За последние годы появились интересные интернет-сайты, посвященные золотому сечению.
Живая природа построена на простых принципах и может быть описана элементарными моделями. В этой работе мы хотим сделать попытку анализа феномена золотого сечения и доказать предположение о том, что золотое сечение является отображением окружающего мира.
Целью работы является изучение феномена Золотого сечения в современной науке.
Данная цель должна быть достигнута при решении следующих задач:
Изучить понятие Золотого сечения и историю развития представлений о нем.
Рассмотреть феномен Золотого сечения в различных науках.
Показать практическое применение Золотого сечения при решении математических задач.
Объектом исследования является феномен Золотого сечения.
Предмет исследования – применение свойств Золотого сечения в различных науках, в частности, биологии и математике.
В нашей работе были использованы такие методы, как изучение литературы, наблюдение, практический метод.

2. История Золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в “Началах” Евклида. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам “Начал” Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи: «Пусть никто, не будучи математиком, не посмеет читать мои труды». Он, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. “Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать”.
Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя “Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности”.

3. Математическая сущность золотого сечения
Золотое сечение – гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b= c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части точкой С следующими способами:
- на две равные части – АВ : АС= АВ : ВС;
- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
Таким образом, когда АВ:АС=АС:ВС.Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всемуa : b= b : c или с : b= b : а.
152405080 Деление отрезка прямой по золотому сечению описано ниже: BC= 1/2 AB; CD= BC
152408255Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE= 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ= 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Алгебраически эту ситуацию можно описать следующим образом.
Решение задачи сводится к уравнению  , одно из решений которого равно = 0.6180339..,           обратная величина которого обычно обозначается как α ==1.6180339.., называемое основанием золотой пропорции.
Число α обладает уникальными математическими свойствами. Это единственное число, кроме нуля, удовлетворяющее рекуррентному соотношению:
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
Ряд Фибоначчи
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика, монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Это отношение обозначается символом Ф, в честь древнегреческого скульптора Фидия. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Фибоначчи также занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

4. Золотое сечение в современной науке
Числа – это строительный материал
божественного творения
Весь окружающий мир можно разделить с точки зрения формообразования на две группы - то, что создано руками человека и то, что мы называем природой.
Наличие золотой пропорции в формах объектов, созданных человечеством можно объяснить на основе анализа следующих исследований. Опыты Фехнера [9], в которых испытуемым было предложено выбрать самый "красивый" прямоугольник из серии от квадрата до двойного квадрата. Подавляющее большинство указало на прямоугольник с отношением сторон α. Это объясняется строением глазного дна человека. Поле ясного зрения имеет форму эллипса, оси которого относятся как α, поэтому предметы, в форме которых содержится золотая пропорция, воспринимаются «благоприятно».
Не напрасно всеми нами любимые экраны TV и кредитные карточки имеют соотношение длины и ширины равное золотой пропорции. 
При исследовании математических закономерностей электрических колебаний мозга А.А.Соколов и Я.А.Соколов [14], показали, что соотношение частот волн (ритмов) электрических колебаний мозга равно золотой пропорции.  В статье И.А Рыбина [20] "Психофизика: поиск новых подходов" на основании экспериментальных данных показано, что число α - инвариант психофизических законов, описывающих сенсорные восприятия человека. В исследованиях С.В. Петухова [13] показано наличие золотой пропорции в отношении частей тела человека, в частности руки.
Можно сказать, что человек всегда имеет эталон золотой пропорции "под рукой".
15240381000В произведениях человека (архитектурные сооружения, предметы искусства и быта) золотое сечение является отображением окружающего мира через цепочку глаз-мозг-рука.
Каждый из элементов этой цепочки содержит золотую пропорцию в своей внутренней структуре. В процессе созидания происходит трехкратный "резонанс" золотого сечения по цепочке глаз-мозг-рука. Очевидно, в результате будет создан объект содержащий золотую пропорцию.
Самоподобность и асимметрия
В основе организации живой материи лежат принципы устойчивости, самоорганизации и саморегулирования. В формообразовании эти принципы проявляются как самоподобность. Самоподобность мы будем понимать, как некоторую рекурсивную процедуру, порождающую связанную систему объектов. Ярким примером таких систем являются фракталы, получаемые как рекурсивные геометрические преобразования. Многие объекты живой природы имеют ярко выраженную фрактальную структуру. Например: деревья, морская капуста, легкие и кровеносные сосуды человека, и другие.
Рассмотрим геометрическую аналогию самоподобности – «динамический» прямоугольник с отношением сторон равным α. Самоподобность выражается в том, что присоединяя к большей стороне «динамического» прямоугольника ABCD квадрат DCFE со стороной, равной этой стороне, получим прямоугольник ABFE, подобный первоначальному. Аналогично, если отсечь от «динамического» прямоугольника ABCD квадрат AMND, то получим прямоугольник MBCN подобный «динамическому».
Нетрудно доказать, что «динамический» прямоугольник может иметь соотношение сторон только равное α.
Операцию отсечения или добавления квадрата можно производить многократно, и в результате всегда будет получаться прямоугольник с соотношением сторон равным α. «Динамический» прямоугольник также называют «живым». Присоединяя к "живому" прямоугольнику "неживую" фигуру квадрат, получим опять "живую". Это аналогия экспансии биологической жизни на окружающее пространство. Эта модель содержит в себе не только самоподобность, но и асимметрию. Под асимметрией, мы будем понимать не отсутствие симметрии, а некоторое нарушение ее.В квадрате, симметричной фигуре, все стороны равны, а в «динамическом» прямоугольнике стороны равны лишь попарно.По мнению основателя синергетики Г. Хагена [17], появление асимметрии вызывает понижение степени симметрии пространства, которое является необходимым условием самоорганизации, что приводит к появлению внутренних сил, являющихся основой саморегуляции.Так, «неживая» фигура квадрат имеет 4 оси симметрии, а “динамический” прямоугольник только две.
Пентагональная симметрия и асимметрия
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем золотая пропорция.
Если рассмотреть правильный пятиугольник, то увидим, что он буквально "заполнен" золотым сечением, так:  1524058483500Углы ABF, AFD и AED равны 108° или , а углы ADF, AFB, BFC равны 36° или , при этом: (3)
Пентагональная симметрия встречается только в живой природе и является отличительной чертой саморегулирующихся систем. Тогда как в кристаллах – «неживых структурах», согласно классической кристаллографии, возможны симметрии третьего, четвертого и шестого порядков . В отличии от классических кристаллов, квазикристаллы 5-го порядка, открытые Дэном Шехтманом являются "пограничными" объектами на стыке "живого" и "неживого". Чем глубже мы будем понимать разницу между "живым" и "неживым", тем больше мы будем находить "пограничных" объектов. Из всех правильных фигур только пятиугольником нельзя заполнить плоскость. То есть, из них нельзя выложить паркет. Нужно отметить, что в поперечном сечении двойная спираль ДНК - правильный пятиугольник [13].
Асинхронное деление клеток
В биологии существует понятие, называемое асинхронным делением (дроблением). В монографии К.Г. Газаряна и Л.В. Белоусова "Биология индивидуального развития животных" [23] говорится: "Начиная с 11-го деления, дробление становится повсеместно асинхронным", там же, "В яйцах многих групп животных - круглых червей, некоторых моллюсков, млекопитающих - периода синхронных делений нет: начиная со 2-го деления, дробление идет асинхронно".
При асинхронном делении каждая клетка делится на две клетки, одна из которых пропускает следующий такт деления. Для краткости, такой формообразующий процесс будем называть F-делением.
Рассмотрим количественные характеристики F-деления. После определенного количества синхронных делений происходят исключительно -381061722000F-деления. Так после первого такта F-деления образуются две клетки А и В, из которых только В будет делиться во втором такте. После двух тактов F-деления образуются три клетки, из которых только две будут делиться в третьем такте. После третьего такта суммарное количество клеток станет равным пяти, из которых три будут делиться в четвертом такте F-деления и т.д. Следовательно, в процессе F-деления из одной клетки будет образовываться 2,3,5,8,13,21,.. клеток (последовательность Фибоначчи).
Гипотеза о F-делении клеток позволяет объяснить наличие золотой пропорции в в линейных размерах тела человека, например руки (см. выше)Пусть на определенном этапе развития зародыша, после периода синхронных делений, выделится одна клетка из которой будет развиваться рука. После первого F-деления образуются две клетки А и В (рис 5). Клетка А пропустит следующий такт деления, следовательно, ее потомков будет в несколько раз меньше клеток потомков В. Действительно, как видно из рисунка выше, отношение длины кисти и локтя к предплечью есть золотое сечение. Принимая длину, пропорциональной количеству клеток, получаем, что из клетки А будет развиваться предплечье, а из В кисть и локоть. Аналогично, после деления В из образовавшихся дочерних клеток, будут развиваться локоть и кисть, и т.д. до фаланг пальцев на руке.Граф на рисунке не является оригинальным, похожие рисунки можно увидеть при решении задач о росте деревьев, размножении кроликов и пчел, а также на схеме прогрессивного назначения эмбриональных клеток [23].
Нетрудно заметить, что граф на рисунке является фрактальной структурой.
Таким образом, асимметричность морфологических процессов есть фундаментальный закон живой материи, а числа Фибоначчи, золотое сечение и пентагональная симметрия его количественное отображение.Приведенные выше рассуждения дают возможность качественно нового подхода к изучению живой материи.Становится возможным построение реальных математических моделей живых организмов и всевозможных самоорганизующихся систем.

5. Математические задачи с применением золотого сечения
Построение пятиугольника
Использование циркуля и линейки для геометрических построений, как это делали еще древние греки, является очень ограниченным методом. И некоторые ограничения представляются довольно причудливыми. Метод включает в себя рисование точек, прямых (или их отрезков) и частей окружности (или дуг) с использованием лишь циркуля и линейки неопределенной длины, без делений на ней. С помощью этих инструментов можно разделить отрезок пополам (провести перпендикуляр через его середину), построить биссектрису угла, найти точку, симметричную данной относительно другой, провести параллельную прямую или перпендикуляр в данной точке, а также найти проекцию точки на прямую линию. Также можно разделить любой отрезок на заданное число равных частей.
Однако существует ряд классических задач, известных тем, что они не могут быть решены лишь с помощью линейки и циркуля. Например, квадратура круга (построение квадрата с той же площадью, что и у данного круга), удвоение куба (построение куба, который имеет в два раза больший объем, чем данный куб с известной стороной) или деление угла на три равные части. Кроме того, невозможно построить некоторые правильные многоугольники, используя только циркуль и линейку, например, семиугольник и пятиугольник. Тем не менее, правильный пятиугольник может быть построен с помощью линейки и циркуля с использованием Ф. Таким образом, число Ф внесло свой вклад в решение классических задач эпохи.
«Золотой» треугольник
Как мы видели, пятиугольник и его диагонали образуют два типа равнобедренных треугольников. Первый имеет углы 36 ̊, 36 ̊ и 108 ̊, а второй 360, 720 и 720. В обоих случаях отношение длины большей стороны к меньшей равно Ф. Поэтому их называют «золотыми» треугольниками. Иногда название дается по типу: треугольник с углами 360, 720 и 720 называется «золотым» треугольником, а треугольник с углами 360,360 и 1080 называется «золотым» гномоном. Мы не будем выделять это различие.
При проведении диагоналей в правильном пятиугольнике получается еще один правильный пятиугольник в центре, окруженный «золотыми» треугольниками. Кроме того, лучи звезды также являются «золотыми» треугольниками. С помощью «золотого» треугольника можно построить правильный пятиугольник, используя только циркуль и линейку. Возьмем отрезок длиной 1, который разделим в золотой пропорции (как в предыдущей главе), выделив часть длиной х. Затем мы построим «золотой» треугольник со сторонами х и 1. Проведем окружность радиуса 1 с центром в вершине угла 360 (который лежит напротив стороны х). Десятиугольник, вписанный в окружность, имеет стороны длины х. После того как мы построили десятиугольник, мы соединим его вершины через одну. Таким образом, мы построим правильный пятиугольник.
Тот же метод может быть использован для построения правильного десятиугольника. Геометры Древней Греции таким образом упражнялись, демонстрируя математические возможности золотого сечения.
При таком построении стороны «золотого» треугольника равны стороне правильного десятиугольника, вписанного в круг, и радиусу этого круга.

Заключение
Подводя итог нашей работы, можно сказать следующее.
Целью работы было изучение феномена Золотого сечения в современной науке.
Мы изучили понятие Золотого сечения и историю развития представлений о нем. Рассмотрели феномен Золотого сечения в различных науках, показали практическое применение Золотого сечения при решении математических задач. Мы провели исследование, которое подтвердило предположение о том, что Золотое сечение – отображение окружающегося мира. В ходе изучения литературы, решения задач и наблюдений за окружающим миром мы пришли к следующим выводам.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.
Золотое сечение – это один из основополагающих принципов живой и неживой природы
Закономерности Золотого сечения заложены в подсознании человека, использовались и используются во многих науках, даже таких как биология, физика, психофизиология.
Асимметричность морфологических процессов есть фундаментальный закон живой материи, а числа Фибоначчи, золотое сечение и пентагональная симметрия есть количественное отображение реальных биологических процессов.
В настоящее время исследуются математические теории, связанные с принципами «золотого сечения»: новая теория гиперболических функций, новая теория чисел, новая теория измерения, теория матриц Фибоначчи и так называемых «золотых» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теория кодирования и новая теория криптографии. А поскольку «математика гармонии» существенно дополнит классическую математику, вполне возможно придется пересмотреть и всю систему современного математического образования.
Список литературы
Мессель Э. Пропорции в античности и в средние века.-М., 1936.
Гика М. Эстетика пропорций в природе и искустве.-М., 1936.
Корбюзье Л. Модулор.-М,. 1976.
Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.-М,. 1936.
Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.
Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи.-М., 1984.
Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения.-М., "Наука",1979.
Лосев А.Ф. Эстетика Возрожденния.-М., 1978.
Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи/ Учебное пособие.-К., 1986.
Мещеряков В.Т. Гармония и гармоническое отношение.-Л., 1976.
Петрович Д. Теоректики пропорций.-М., 1979.
Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория.-М,. 1973.
Петухов С.В. Биомеханика, бионика и симметрия.-М., 1984.
Соколов А.А., Соколов Я.А. Математические закономерности электрических колебаний мозга.-М., 1977.
Стахов А.П. Коды золотой пропорции.-М,. 1984.
Сороко Э.М. Структурная гармония систем.-Минск, 1984.
Хаген Г. Синергетика.-М., 1980.
Степанов И. Н. Формы в мире почв. - М., Наука. 1986
Васютинский Н.А. Золотая пропорция. Москва, Изд-во "Молодая Гвардия", 1990 г.
Рыбин И.А. "Психофизика: поиск новых подходов"//Природа  № 2, 1992.
Шапаренко П.Ф. Принцип пропорциональности в соматогенезе.-Винница, 1994.
Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.
Газарян К.Г., Белоусов Л.В. Биология индивидуального развития животных.-М., 1983
Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997.
Белинцев Б.Н. Физические основы биологического формообразования.-М., 1991.