Методическое пособие учителю по теме Элементы теории вероятности

В помощь учителю
Алгебра и начала математического анализа
11 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений
Базовый и профильный уровни
Авторы:Ю.М.Колягин,М.В.Ткачева,Н.Е.Федорова,М.И.ШабунинПод редакцией А.Б.Жижченко
Глава 6.Элементы теории вероятностей
Вероятность события. Сложение вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли.
Основная цель-сформировать понятие вероятности случайного независимого события; научить решать задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и на нахождение вероятности произведения двух независимых событий.
В программу включено изучение (частично на интуитивном уровне) лишь отдельных элементов теории вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует неформальное объяснение, раскрывающее сущность данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных событий, связанных с некоторым испытанием; определяются и иллюстрируются операции над событиями.
Классическое определение вероятности события с равновозможными элементарными исходами формулируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбинаторики) решается большинство задач. Понятия геометрической вероятности и статистической вероятности вводились на интуитивном уровне в основной школе.
Независимость событий вводится достаточно строго (после определения понятия условной вероятности) Разбирается решение задачи на нахождение вероятности события. В, состоящего в том, что при n испытаниях наблюдаемое событие А произойдет ровно kраз, после чего обосновывается формула Бернулли.
При изложения материала данного раздела подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.
Глава VI Элементы теории вероятностей
§1
№1.
1)невозможное
2)случайное
3)достоверное
№2.
1)несовместными являются
2)не являются несовместными(так как они могут наступить одновременно:можно вытащить туз бубновой масти)
3)не являются несовместными (так как они могут наступить одновременно:четыре очка-это четное число)
4)являются несовместными
№3
1)Сегодня первый урок –не физика
2)экзамен сдан не на отлично
3)на игральной кости выпало не меньше пяти очков
4)ни одна пуля не попала в цель
№4
1)AB2)A+B
3)AḂ+ĀB
4)ĀḂ5)ĀB№5
Событие А-выпало число,кратное 3
Р(А)=26=13 (всего 2 числа:3,6)
№6
Событие А- выпало 5 число на високосный год
Р(А)=12366=261 (в високосном году 366 дней,12 раз в году выпадает 5 число)
№7
1)А-вынутый шар черный
Р(А)=312=142)А-вынутый шар белый
Р(А)=412=133) А-вынутый шар красный
Р(А)=5124)А-вынутый шар черный или белый
Р(А)=7125)А-вынутый шар черный или красный
р(А)=812=236)А-вынутый шар красный или белый
р(А)=912=347)А-вынутый шар или черный,или белый,или красный
р(А)=1
8) А-вынутый шар зеленый
р(А)=0
№8
Событие А-наудачу выбранные 3 лампы исправные
р(А)=С953С50С1003=93· 94 ·9598·99·100=2768332340≈0,86
№9
1)Общее число исходов при бросании трех игральных костей 6·6·6=216
Событие А-на трех костях выпало одинаковое количество очков.
Количество благоприятствующих исходов 6:1,1,1;2,2,2;3,3,3;4,4,4;5,5,5;6,6,6
р(А)=6216=1362)Общее число исходов при бросании трех игральных костей 6·6·6=216
А-сумма выпавших очков равна 4
Набор,дающий в сумме 4:2,1,1 .Он допускает 3 перестановки
Р(А)=3216=1723)Событие А-сумма очков на всех костях равна 5
Наборы,дающи в сумме 5:3,11;2,2,1.Каждый набор допускает по 3 перестановки ,следовательно,3+3=6
Р(А)=6216=136№10
Событие А-сумма очков ,выпавших на обеих костях ,есть число нечетное
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
Р(А)=1836=122)Событие А-произведение очков,выпавших на обеих костях,есть число четное
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
р(А)=2736=343)Событие А-сумма выпавших очков больше 6
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
Р(А)=2136=712№11
1)Событие А-оба вынутых билета выигрышные
Р(А)=С32С152=3!·2!·13!2!·15!=1352)Событие А-только один билет выигрышный
р(А)=С3··1С121С152=3·12105=12353)Событие А-выигрышного билета не оказалось
Р(А)=С122С152=12!·2!·13!2!·10!·15!=2235№12
Событие А-на первой кости очков больше ,чем на второй
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
Р(А)=1536=512№13
В обеих урнах по 8 шаров.
Событие А-достанут два белых шара
Р(А)=18 ·38=364Событие В-достанут два черных шара
Р(В)=38·28=664Событие С-достанут два красных шара
Р(С)=4838=1264Вороятность,что шары одного цвета р(А+В+С)=р(А)+р(В)+р(С)=2164§2
№14
Событие А-вынутая карта туз
Событие В-вынутая карта дама
А+В-наугад вынутая карта либо туз,либо дама
Р(А)=436=19Р(В)=436=19Так как события Аи В несовместные ,к ним применима теорема сложения вероятностей
Р(А+В)=19+19=29№15
А-наудачу вынутый билет будет билетом денежно-вещевой лотереи
В-наудачу вынутый билет будет билетом художественной лотереи
А+В-один наудачу вынутый билет будет билетом либо денежно-вещевой ,либо худождественной лотереи
Очевидно р(А)= 1248Р(В)=2048Так как события Аи В несовместны,к ним применима теорема сложения вероятностей
Р(А+В)=1248+2048=3248=23№16
1 способ
Событие А-вынутый шар белый
Р(А)=530=16Событие Ā-вынутый шар не белый
Р(Ā)=1-16=562способ
Событие А-появление черного шара
Событие В-появление красного шара
А+В-появление цветного шара (не белого)
Р(А)=1030=13Р(В)=1530=12Р(А+В)=р(А)+р(В)=13+12=562способ
Событие А-наугад вынутый шар не белый
Р(А)=2530=56№17
Событие А-выигрыш главного приза
По условию р(А)=10-8Не выиграть главный приз –противоположное выигрышу событие,и его вероятность:
Р(Ā)=1-10-8=0,99999999
№18
Событие А-наугад вынутая из полного набора кость домино будет «дублем»
Р(А)=728=14Событие Ā-наугад вынутая из полного набора кость домино не будет «дублем»
Р(Ā)=1-р(А)=1-14=34№19
Событие А-среди отобранных цветков нет белой астры
Р(А)=С73С113=7!·3!·8!3!·4!·11!=733Ā-среди отобранных студентов по крайней белая астра
Р(Ā)=1-733=2633№20
Событие А-среди отобранных студентов нет девушки
Р(А)=С183С223=18!·3!·19!3!·15!·22!=204385Ā-среди отобранных студентов по крайней мере одна девушка
Р(Ā)=1-204385=181385№21
Событие А-поражение цели из первого орудия
По условию,р(А)=0,7
Событие В-поражение цели из второго орудия.
По условию ,р(В)=0,6
А и В-независимые события
Р(А·В)=р(А)·р(В)=0,7·0,6=0,42
№22
р(АВ)=р(А)+р(В)-р(А+В)
р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ)
р(А+В)=0,3+0,8-0,1
р(А+В)=1
А+В=U
§3 Условная вероятность.Независимость событий
№23
способ
Событие А-первым вынут синий карандаш
В-вторым был взят красный карандаш
После извлечения со стола первым синего карандаша (произошло событие А)там останутся 3 синих и 3 красных карандаша.Появлению красного карандаша из 6 оставшихся благоприятствуют 3 события,поэтомуР(В/А)=36=12Р(В/А)-вторым был взят красный карандаш при условии ,что первым был синий
способ
р(А)=47Всего исходов 7,т.к.на столе первоначально 4+3=7 карандаша.Исходов,благоприятствующих наступлению события А,всего 4: синих 4 карандаша.
А·В-последовательно извлечены синий,затем красный карандаш
Число всех возможных вариантов извлечения двух шаров со стола с 7 карандашами( с учетом порядка их появления)равно А72=7·6=42
Благоприятствующими событию А·В будут всевозможные упорядоченные пары синий,красный карандаш,составленные из имеющихся 4 синих и 3 красных карандашей.Таких соединений ,согласно правилу умножения будет 4·3=12
Таким образом,р(А·В)=1242=27Р(В/А)=2747=122)Событие А-первым вынут синий карандаш
В-вторым вынут синий карандаш
После извлечения со стола первым синего карандаша (произошло событие А)там останутся три синих и три красных карандаша.Появлению синего карандаша из 6 оставшихся благоприятствуют 3 события
Р(В/А)=36=123)А-первым вынут красный карандаш
В-вторым вынут синий карандаш
После извлечения со стола красного карандаша (произошло событие А) там останется 4 синих и 2 красных карандаша.Появлению синего карандаша вторым из 6 оставшихс благоприятствует 4 события,поэтому р(В/А)=46=234)А-первым вынут красный карандаш
В-вторым вынут красный карандаш
После извлечения со стола первым красного карандаша (произошло событии А)там останутся 4 синих и 2 красных карандаша.
Появлению красного карандаша вторым из 6 оставшихся благоприятствует 2 события,поэтому р(В/А)=26=13№24
1)А-первым вынут выигрышный билет
В-вторым извлечен билет без выигрыша
После извлечения из барабана первым выигрышного билета(произошло событие А)там останутся 1 выигрышный и 8 билетов без выигрыша.Появлению билета без выигрыша из 9 оставшихся благоприятствует 8 событий,поэтомуР(В/А)=892)Событие А-первым вынут выигрышный билет
В-второй вынут билет без выигрыша
Вероятность того,что сначала вынут выигрышный билет
Р(А)=210=15Вероятность того,что вторым вынут билет без выигрыша (произошло событие В)вычисляется при условии,что первым уже вынули выигрышный билет
Р(В/А)=89Р(А·В)=р(А)·р(В/А)=210·89=845№25
1)А-первым вынут красный шар
В-вторым вынут красный шар
После извлечения из ящика первым красного шара(произошло событие А)там останутся 4 белых и 4 красных шара
Появлению красного шара вторым из 8 оставшихся благоприятствуют 4 события ,поэтому
Р(В/А)=48=122)А-первым вынут красный шар
В-вторым вынут красный шар
Вероятность того,что первым вынут красный шар р(А)=59Вероятность того,что вторым вынут красный шар (произошло событие В) вычисляется при условии,что первым уже вынут красный шар
Р(В/А)=12Р(А·В)=р(А)·р(В/А)=59·48=518№26
1)А-первой извлекли карту красной масти
В-второй извлекли карту красной масти
Р(А)=1836=12Р(В/А)=1735 (после извлечения из колоды карты красной масти(произошло событие А)там останутся 18 карт черной масти и 17 карт красной масти.Появлению карты красной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 17 событий)
Р(А·В)=р(А)·р(В/А)=1·172·35=17702)А-первым извлекли карту красной масти
В-второй извлекли карту черной масти
Р(А)=1836=12Р(В/А)=1835После извлечения из колоды карты красной масти (произошло событие А)там останутся 18 карт черной масти и 17 карт красной масти.Появлению карты черной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 18 исходов)
Р(А·В)=р(А)·р(В/А)=1·182·35=9353)А-первой вынута карта красной масти
В-вынута карта черной масти
В/А-второй вынута карта черной масти при условии,что первой была карта красной масти.
После извлечения из колоды первой карты красной масти(произошло событие А) там останутся 18 черных и 17 красных карт.Появлению карты черной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 18 исходов,поэтому р(В/А)=1835№27
1,2,3)наступление события А не оказывает влияния на вероятность события В.Следовательно,события А и В –независимые события
4)события Аи В не являются независимыми событиями,так как наступление события А оказывает влияние на вероятность события В(карту не возвращают в колоду)
№28
А-Оля вынула гвоздику
В-Таня вынула нарцисс
АВ-последовательно вынули гвоздику,а затем нарцисс
В/А-вторым вынут нарцисс при условии,что первым вынули гвоздику
Р(А)=1015=23
Р(В/А)=514Р(АВ)=р(А)р(В/А)=23514=521способ
число всех возможных вариантов извлечения двух цветов из букета с 15 цветами(с учетом порядка их появления)равно А152=15·14=210
Благоприятствующими событию АВ будут все возможные упорядоченные пары «гвоздика,нарциис»,составленные из имеющихся 10 гвоздик и 5 нарциссов.Таких соединений согласно правилу умножения 10·5=50
Р(АВ)=50210=521№29
А-первому контролеру досталась бракованная деталь
В- второму контролеру досталась не бракованная деталь
АВ-последовательно пкрвый достал бракованную деталь,а второй небракованнуюВ/А-второй достал небракованную деталь при условии,что первый достал бракованную
Р(А)=2100=150Р(В/А)=9899Р(АВ)=р(А)р(В/А)=150·9899=492475№30
Студент знал ответы на 70 вопросов ,и на 20 вопросов не знал
1)А-верно ответит на первый вопрос
В-верно ответит на второй вопрос
АВ-верно ответит на два вопроса
Р(А)=7090=79(всего исходов 90,т.к. всего 90 билетов.Исходов ,благоприятствующих наступлению события А,равно 70,т.к. студент знал ответы на 70 вопросов)
Р(В/А)-=6989(после вытягивания 1 билета (произошло событие А)останется 69 вопросов,на которые он знал ответы и 20 вопросов ,на которые он не знал ответы.Вытягивание билета,на который он знал
ответ,вторым благоприятствует 69 исхода
АВ-верно ответит на два вопроса
Р(АВ)=р(А)р(В/А)=7·699·89=1612672)Событие А-не ответит на первый вопрос
Событие В-ответит на второй вопрос
После того,как студент вытащил один билет и не ответил на него (произошло событие А) там останутся 70 вопросов,на которые он знал ответ,на 19 вопросов не знал ответ.
В/А-ответит на второй вопрос при условии ,что он не знал ответа на первый вопрос
Р(В/А)=7089
§4 Вероятность произведения независимых событий
№31
Событие А-попадание в мишень при первом выстреле ,по условию ,р(А)=0,6
Событие В-попадание в мишень при втором выстреле,по условию ,р(В)=0,6
АиВ-независимые события
Р(АВ)=р(А)р(В)=0,6·0,6=0,36
№32
Событие А-поражение цели из первого орудия .По условию р(А)=0,7
Событие В-поражение цели из второго орудия.По условию р(В)=0,6
А и В –независимые события
Р(АВ)=р(А)р(В)=0,7·0,6=0,42
№33
1)Событие А-первым вынут красный шар
Событие В-вторым вынут черный шар
А и В-независимые события(шары возвращают в урну)
Р(АВ)=310·510=3202)Событие А-первым вынут черный шар
Событие В-вторым вынут белый шар
А и В –независимые события
Р(АВ)=р(А)р(В)=0,5·0,2=0,1
№34
Событие А-выпадение четного числа на 1 кости
Р(А)=36=12Событие В-выпадение четного числа на 2 кости
Р(В)=12Событие С-выпадение четного числа на 3 кости
Р(С)=12А,В,С-независимые события
Р(АВС)=р(А)р(В)р(С)=18№35
Событие А-при первом бросании появилось 6 очков
Событие В-при втором бросании появилось число очков,кратное трем.
Событие Ḃ-при втором бросании появилось очков,не кратное трем
Р(А)=16Р(В)=26=13Р(Ḃ)=1-р(В)=23А и Ḃ-независимые события
Р(АḂ)=р(А)р(Ḃ)=19№36
Событие А-первый раз выпало четное число очков
Событие В-второй раз выпало число очков ,меньшее трех
Событие Ḃ-второй раз выпало число очков ,не меньшее трех
Р(В)=26=13Р(Ḃ)=1-р(В)=23А и Ḃ-независимые события
р(АḂ)=р(А)р(Ḃ)=36·23=13№37
Событие А-хотя бы однажды попадет по мишени
Событие Ā-ни одного попадания
Событие А1-первый раз стрелок попал в мишень ,по условию р(А1)=0,7
Событие А2-второй раз стрелок попал в мишень ,по условию р(А2)=0,7
Р(Ā)=0,3·0,3=0,09
Р(А)=1-0,09=0,91
№38
Событие А-хотя бы один стрелок попал в мишень
Событие Ā-ни одного попадания
Событие А1-первый стрелок попал в мишень р(А1)=0,2
Событие А2-второй стрелок попал в мишень р(А2)=0,3
р(Ā1)=0,8
р(Ā2)=0,7
Ā=Ā1Ā2Р(Ā)=р(Ā1Ā2)=р(Ā1)р(Ā2)=0,8·0,7=0,56
Р(А)=1- Р(Ā)=1-0,56=0,44
№39
Событие А-появление бракованных деталей.По условию р(А)=2100=150Появление небракованных деталей р(Ā)=1-р(А)=4950Событие В-появление деталей зеленого цвета.По условию р(В)=310Появление неокрашенных деталей
Р(Ḃ)=1-р(А)=1-0,3=0,7
Задача сводится к нахождению вероятности совместного появления независимых событий Āи Ḃ ,т.е.к нахождению вероятности событий ĀḂР(ĀḂ)=р(Ā)р(Ḃ)=49·750·10=343500=68,6%
№40
А-попадание в мишень первым стрелком р(А)=0,6
В-попадание в мишень вторым стрелком р(В)=0,7
С-попадание в мишень третьим стрелком р(С)=0,8
АḂС-мишень поразят первый и третий стрелки
Р(АḂС)=0,6·0,3·0,8=0,144
№41
Событие А-из списка сотрудников выбран мужчина
Р(А)=80120=23Событие В-выигрышный билет денежно-вещевой лотереи
Р(В)=0,2
Событие С-выигрышный билет спортивной лотереи
Р(С)=0,1
АВС-выбранный человек мужчина ,выигравший в обеих лотереях
Р(АВС)=р(А)р(В)р(С)=23·0,2·0,1=175§5.Формула Бернулли
№42
А-появление орла
Р(А)=121)10Р(4)=С1040,540,56=10!4!6!·1210=1055122)10Р(5)=С1050,550,55=252210=63256№43
Событие А-появление 6 очков
Р(А)=161)5Р(2)=С52162563=10·12536·36·3=62538882)5Р(4)=С54164561=5·536·36·6=257776№44
Событие А-появление 6 очков,р(А)=164Р(3)=С43163561=53244(Р4)=164=112965324+11296=7432№45
Событие А-попадания в кольцо
Р(А)=0,7
3р(1)+3р(2)+3р(3)=С310,7·0,32+С32·0,72·0,3+0,73=0,973
Упражнения к главе VI
№46
Событие А-появление пяти очков на игральной кости при одном бросании
Событие В-появление шести очков
А+В-появление при одном бросании либо пяти,либо шести очков
Р(А+В)=р(А)+р(В)=16+16=13№47
Событие А-появление белого шара
Р(А)=1530=12№48
Событие А-сумма выпавших очков равна 8
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
Р(А)=536№49
Событие А-набрана первая цифра
Р(А)=110Событие В-набрана вторая цифра
АВ-набрана первая цифра,а затем вторая
,отличная от первой
Р(АВ)=110·19=190№50
Событие А-выпадут 3 очка
Событие Ā-не выпадут 3 очка
Р(А)=16Р(Ā)=56№51
Событие А-выпадет герб при бросании монеты
Событие В –появятся 6 очков при бросании кости
События А и В –независимые
Р(АВ)=р(А)р(В)=12·16=112№52
Событие А1-попадание в мишень при первом выстреле,по условию р(А1)=0,8
Событие А2-попадание в мишень при втором выстреле,по условию р(А2)=0,9
Событие Ā1-промах в мишень при первом выстреле р(Ā1)=0,2
Событие Ā2-промах в мишень при втором выстреле р(Ā2)=0,1
А-мишень не будет поражена ни одним выстрелом
А=Ā1Ā2Р(А)=р(Ā1Ā2)=р(Ā1) р(Ā2)=0,02
№53
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
Событие А-оба раза появится одинаковое число очков
Р(А)=636=16№54
Событие А-вынутый шар черный
1)Р(А)=312=142)Событие А-вынутый шар черный ,р(А)=312=14В-вынутый шар белый,р(В)=412=13А+В-вынутый шар черный или белый
Р(А+В)=р(А)+р(В)=14+13-=712№55
Событие А- ни на одной из костей нет 3-х очков
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
Р(А)=2536Событие Ā-3 очка появятся хотя бы на одной из костей
Р(Ā)=1136№56
1)Событие А-первым вынут туз
Событие В-вторым вынут туз
АВ-вынуты два туза
Р(АВ)=р(А)р(В/А)=4·336·35=11052)Событие А-первым извлечен туз
Событие В –второй извлечена дама
АВ-сначала извлечен туз,затем дама
Р(АВ)=р(А)р(В/А)=4·436·35=43153)Событие А-первой вынута карта бубновой масти
Событие В-второй вынута карта бубновой масти
Р(АВ)=р(А)р(В/А)=9·836·35=2354)Событие А-первой была вынута дама
После извлечения из колоды дамы (произошло событие А)в колоде останется 35 карт
Событие В-вторым извлечен туз
В/А-вторым извлечен туз при условии,что первой была вынута дама
Появлению туза вторым из 35 оставшихся благоприятствует 4 события,поэтому р(В/А)=435№57
1)А-первым извлекли шар черного цвета
В-вторым извлекли шары черного цвета
Р(А)=1020=12Р(В/А)=919АВ-последовательно извлечены черный шар,затем опять черный шар
Р(АВ)=р(А)·р(В/А)=9382)А-первым вынут белый шар
В-вторым извлекли шар черного цвета
Р(А)=1020=12Р(В/А)=1019АВ-первым вынут белый шар,а вторым –черный
Р(АВ)=р(а)р(В/А)=5193)А-первым вынут белый шар
В –вторым извлечен черный шар
В/А-вторым извлечен черный шар при условии ,что первым был вынут белый шар.
После извлечения из урны первого шара белого цвета (произошло событие А)там останутся 9 белых и 10 черных шаров.Появлению шара черного цвета вторым из 19 оставшихся благоприятствует 10 исходов ,поэтому
Р(В/А)=1019№58
1бросок 2бросок 3бросок
1 о о о
2 о рр3 ро Р4 рро
5 о о р6 о ро
7 ро о
8 рррА-выпадет не более двух орлоа
Ā-выпадет более 2-х орлов
Р(Ā)=18Р(А)=1-18=78№59
Всего 28 костей домино :7 дублей и 21 с разными числами.Числа от 0 до 6
Количество вариантов выбора 2 костей равно 28·27=756.Порядок имеет значение.
Количество благоприятных случаев :Если первая кость дубль Если первая кость «не дубль»
7 вариантов и к ней подходит 6 «не дублей»
Всего 7·6=42 21 вариантов и к первому числу подходит 6 костей и ко второму числу 6 костей.Всего 21·12=252
Всего 42+252=294
А-вторую кость можно приставить к первой
Р(А)=294756=718№60
А- ни на один из трех купленных билетов не выпадет выигрыш
Р(А)=С903С1003№61
А-хотя бы один билет выигрышный
Ā-нет выигрышного билета
Р(Ā)=Сn-mkCnkР(А)=1-Сn-mkCnk№62
А-среди k деталей pбракованных
Р(А)=Сn Cm-nk-p·pCmk№ 63
Cобытие А-в каждой стопке по два туза
Р(А)=С4 С48242С5226=4!48!26!26!2!2!24!24!52!=325833№64
Событие А-все команды высшего класса попадут в одну и ту же группу
Число способов составления группы в 9 команд из 18 команд равно С189Для благоприятного исхода мы должны выбрать 5 команд из 5 команд высшего класса и 4 команды из 13 команд не высшего класса С55С134 способами
Так как формируется 2 группы,то
Р(А)=2 С134С55С189=2·13!9!9!4!9!18!=134№65
А-орел выпадет при бросании монеты
Р(А)=121)8P(2)=C82 0,52 0,56=7642)8P(6)=С86 0,56 0,52=7643)8P(6)+8P(7)+8P(8)=C860,560,52+С870,570,5+0,58=764+132+1256=372564)8P(1)+8P(2)=C810,5·0,57+С820,52·0,56=132+764=964№66
А- выпадет одно очко на кубике
Р(А)=161)5P(2)=C52(16)2(56)3=62538882)5P(3)=C53(16)3(56)2=12538883)5P(1)+5P(2)=C51(16)(56)4+C52(16)2(56)3=31257776+12507776=437577764)5P(4)+5P(5)=C54(16)4(56)+(16)5=133888№67
А-насекомое будет жить более 100 дней
Р(А)=0,5
10P(10)+10P(8)+10P(9)=C1080,58 ·0,52+С1090,59 0,5+0,510=7128Проверь себя!
1.Событие А-на обеих монетах выпадет «орел»
орел решкаорел оорорешкаор ррР(А)=142) Событие А-появление в партии бракованной детали,по условию р(А)=0,05
Событие Ā-наугад извлеченная деталь окажется небракованнойР(Ā)=0,95
3)Событие А-наугад вынутый шар черного цвета
Событие В-наугад вынутый шар белого цвета
А+В-наугад вынутый один шар окажется или черного или белого цвета
Р(А+В)=р(А)+р(В)=215+315=134)Событие А-первым взят апельсин
Событие В-вторым взято яблоко
АВ-первым взят апельсин,а вторым –яблоко
Р(АВ)=р(А)р(В/А)=3·58·7=15565)Событие А1-попадание по мишени в первом выстреле.По условию р(А1)=0,8
Событие А2-попадание по мишени во втором выстреле,по условию р(А2)=0,8
А1и А2-независимые события
Р(А1А2 )= р(А1)р(А2)=0,8·0,8=0,64
6)После того,как ученик на первый на зачете вопрос не знал ответа,то там осталось 15 вопросов,на которые он знал ответ, и 4 вопроса,на которые он не знал ответ.
Событие А-ученик ответит на второй из предложенных ему вопросов
Р(А)=15191) А-попадание в мишень при первом выстреле р(А)=0,9
В- попадание в мишень при втором выстреле р(А)=0,9
Ā-промах в мишень при первом выстреле р(Ā)=0,1
Ḃ-промах в мишень при втором выстреле р(Ḃ)=0,1
Р(АḂ)+р(ĀВ)=0,9·0,1+0,1·0,9=0,09+0,09=0,18
2)А-попадание в мишень при первом выстреле р(А)=0,8
В- попадание в мишень при втором выстреле р(А)=0,8
D- попадание в мишень при третьем выстреле р(А)=0,8
ĀḂḊ-мишень не будет поражена
Р(ĀḂḊ)=0,2·0,2·0,2=0,008
1-0,008=0,992
3)А-вынутый шар не красный,но легкий
Р(А)=1520·820=0,3
4)Событие А-вынутые по одному из каждой коробки шары окажутся разных цветов
Р(А)=29·26+29·36+39·16+39·36+49·16+49·26=1727