Методический материал для подготовки к олимпиадам, к государственной итоговой аттестации выпускников

…Математические сведения могут
применяться умело и с пользой только
в том случае, если они усвоены творчески,
так, что учащийся видит сам, как можно
было бы прийти к ним самостоятельно.
(А. Н. Колмогоров)
Методы решения рациональных уравнений.
В школьных учебниках на тему «Иррациональные уравнения» предлагается примерно следующие уравнения, которые без затруднения решит любой выпускник:
1) х + 2х+3=6;
2) х+2 - х-6 =2;
3) х -2 = 3 х2-8;
4) х-3 - 6 = 4 х-3
Рассмотрим более сложные уравнения, которые встречаются в олимпиадных задачах.
№1. х + 3 х-1 = 1
№2. х-1-2 х-2 + х+7-6 х-2 = 2
№3. 4 х∙(2-х) + 3 х4∙2-х 7∙х+3 5 + 6(х-2х+1 х2 + 5(х+2)(х+6) = 2№4. 3х+1 2 + 2 3 х2-1 =83х-1 2№5. 3(х+1)+3(3х+1)=3(х-1)№6. х2 - 5х -4х+ 13=0№7. 3 х2+6х+7 + 5 х2+10х+14 = 4 -2х – х2
№8. 4- х2 + 1+4х + х2+ у2-2у-3 = 4 х4-16 - у +5
№9. 63(х-3) +3х-2 = 5 6х-3(х-2)№10. х2(2х+15) + (2х+15) = 2 х
№11. (9-45) х + (9+45) х = 18
№12. 4 х2-1 + х = х-2Предлагаю вашему вниманию решения этих уравнений Уравнение №1. х + 3 х-1 = 1
Его можно решить несколькими способами, но самый рациональный метод решения следующий:
обозначим х = а , 3 х-1 = в; откуда х = а2, х = в3 +1
Составим систему уравнений: а + в = 1, а = 1 - в,
а2 = в3 +1 (1 - в) 2 = в3 +1

Решив второе уравнение системы получим 1 -2 в + в2 - в3 -1 = 0 , получим: в (в2 - в +2) = 0 , откуда в = 0
и находим х = в3 +1 т. е. х = 1
Ответ: 1

Уравнение №2. х-1-2 х-2 + х+7-6 х-2 = 2
Заменим выражение х-2 на переменную - а
х-2 = а, тогда х = а2 + 2; Тогда уравнение примет вид: а2+2-1-2а + а2+2+7-6а =2
(а-1) 2 + (а-3) 2 = 2
а-1 + а-3 = 2 , это уравнение с модулем решим на интервалах: (-∞; 1) , [1; 3) и [ 3; +∞).
На интервале (-∞; 1) получим: – (а –1) – (а – 3) = 2, – а +1 – а +3 = 2 –2 а = –2, а = 1, но значение 1 не принадлежит интервалу(-∞; 1).
На интервале [1; 3) получим: а –1 – а + 3 = 2, 0 ∙ а =0, т. е. а – любое число из [1; 3).
На интервале [ 3; +∞) получается: (а –1) + (а – 3) = 2; а –1 + а – 3 = 2, 2∙ а =6, а = 3, значение 3 принадлежит [ 3; +∞).
Значит: 1 ≤а≤3 , зная, что х = а2 + 2 получим 12 +2 ≤х≤ 32 +2
3≤х≤ 11. Ответ: [3; 11].
Уравнение № 3. 4 х∙(2-х) + 3 х4∙2-х 7∙х+3 5 + 6(х-2х+1 х2 + 5(х+2)(х+6) = 2 Найдем область допустимых значений переменной х из условия, что выражение, стоящее под корнем четной степени должно быть неотрицательным. х∙(2-х)≥ 0,
х-2х+1 х2 ≥ 0,
Методом интервалов решим первое неравенство системы:

- + - х2 х ∈ [ 0;2]
Решим второе неравенство системы:

+ - + - +
- 1 0 2 х х ∈ (- ∞;-1] ∪0∪ [2;+∞) Значит, решение системы неравенств: х = 0, х =2. Подставив в исходное уравнение, убеждаемся, что х = 0 не является решением, а х = 2 удовлетворяет. Ответ: 2
Уравнение № 4. 3х+1 2 + 23 х2-1 =83х-1 2Это однородное иррациональное уравнение, которое решается методом деления на одно из слагаемых:3х+1 2 3х+1 2 + 2∙3 х2-13х+1 2 = 8∙ 3х-1 23х+1 2 1 + 2∙3 х-1 х+1 = 8∙ (3 х-1 х+1 )2 ; Пусть 3 х-1 х+1 = t, тогда (3 х-1 х+1 )2 = t2
Решив уравнение 1 + 2 t = 8 t2, получим 2 корня: t = 0,5 и t = -0,25. Вернемся к переменной х, 3 х-1 х+1 = 0,5 или 3 х-1 х+1 = -0,25. Возведя каждое из этих уравнений в куб, получим:
(3 х-1 х+1 )3 = 0,53 или (3 х-1 х+1 )3 = (-0,25)3
х-1 х+1 = 18 или х-1 х+1 = -164 8 ∙ (х – 1) = х +1 или 64 ∙ (х – 1) = - (х +1)
х = 97 или х = 6365 Ответ: 97; 6365
Уравнение №5. 3(х+1)+3(3х+1)=3(х-1) Возведем обе части уравнения в куб. В левой части уравнения куб суммы: (а+в)3 = а3 + 3 а2 в + 3 а в2 +в3; Получим:
( 3х+1)3 + 3 (3х+1)2 (3(3х+1) +3 (3х+1) (33х+1)2 = (3х-1)3, х +1 + 3 3х+13х+1 (3х+1+33х+1)+ 3х +1 = х-1, 3(х-1) - дано
3 3х+13х+1(х-1) = х-1 -1 –х-1-3х ,3 3х+13х+1(х-1) = -3х -3 , 3х+13х+1(х-1) = -х -1, х+13х+1(х-1) = -(х +1)3,
(х 2 -1 )3х+1 = - (х 3 + 3 х 2 + 3 х + 1),
3 х 3 - 3 х + х 2 -1 = - х 3 - 3 х 2 - 3х-1, 4 х 3 + 4 х 2 = 0, откуда х = 0 или х = - 1 Проверкой убеждаемся, что х = 0 не является корнем уравнения. Ответ: - 1
Уравнение № 6. х 2 - 5х -4х+ 13=0, перепишем уравнение в виде: х 2 - 6х +9+х-4х + 4=0, (х – 3)2 + (х-2)2 = 0, сумма неотрицательных чисел равна 0, если одновременно равны нулю оба слагаемых, т. е. х - 3 = 0, х = 3,
х-2 = 0; х = 4; но эта система уравнений противоречива.
Ответ: уравнение не имеет корней.
Уравнение № 7. 3 х2+6х+7 + 5 х2+10х+14 = 4 -2х – х2 Решим это уравнение методом оценки левой и правой частей уравнения:
3х+1 2+4 + 5х+1 2+9 = 5 – х+1 2Заметим что, левая часть уравнения больше или равно 5, так как 3х+1 2+4 ≥ 4 = 2 и 5х+1 2+9 ≥ 9 = 3
А правая часть 5 – х+1 2, при любом значении х наоборот меньше или равно (не больше) 5, причем наибольшее значение, равное 5 достигается при х = – 1. Таким образом, равенство возможно при таком значении х, при котором обе части уравнения будут равны 5. Значит, х = – 1. Ответ: – 1
Уравнение № 8. 4- х2 + 1+4х + х2+ у2-2у-3 = 4 х4-16 - у +5.
Это уравнение с двумя переменными, найдем область допустимых значений переменных х и у . 4 - х 2 ≥ 0,
1+ 4 х ≥ 0,
х 4 -16 ≥ 0,
х 2 + у 2 -2у -3≥ 0.
Первое и третье неравенства этой системы дают решение х =± 2. число х = -2 не удовлетворяет второму неравенству системы. Годится х = 2. Тогда, подставив в исходное уравнение х = 2, получим уравнение вида: 0 - 9+ (4+ у2-2у-3) = 0 + 5 – у, откуда получим: у-1 = 2 – у, если у ≥1, у -1 = 2- у, у = 1,5. Если у < 1, то 1- у=2 –у, получим уравнение 0 ∙ у = 1, которое не имеет решения. Ответ: х = 2, у = 1,5.
Уравнение № 9. . 63х-3 +3х-2 = 5 6х-3х-2, прежде всего, заметим, что х-3х-2≥0, т.е. х∈ (- ∞;-3]∪ [2;+∞) Считая, что х ≥3, перепишем уравнение в виде: 66х- 3 2 +6х- 2 2= 5 6х-3х-2. Это однородное уравнение, метод решения однородных уравнений мы рассмотрели в примере 4. Разделим обе части уравнения на выражение 6х- 3 2, при 6х- 3 2≠ 0 получим 6 +6х- 2 2х- 3 2 = 5(6х- 2х- 3)
Пусть 6х- 2х- 3 = t, t ≥0, тогда 6 + t2 = 5 t, откуда t = 2 или t = 3
Значит 6х- 2х- 3=2 или 6х- 2х- 3=3Решая эти уравнения, находим х = 19063 или х = 2186728 Ответ: 19063; 2186728.
Уравнение № 10. х2(2х+15) + (2х+15) = 2 х
Решим методом « искусства». Обе части уравнения разделим на х, х≠ 0.
х(2х+15) + (2х+15) х = 2, пусть х(2х+15)= t, тогда (2х+15) х = 1t, t ≠ 0
t+1t = 2, t2 - 2 t+1=0, находим t=1. Значит (2х+15) х =1,
(2х+15) = х, 2х+15= х2,,
х ≥0; откуда получим х =5. Ответ: 5
Уравнение № 11.
(9-45) х + (9+45) х = 18
Преобразуем выражение (9-45) = 9-459+45 9+45 = 19+45(19+45) х + (9+45) х = 18, пусть (9+45) х = у, тогда уравнение примет вид: 1 у + у = 18, решив это уравнение получим у = 9 + 80 или у = 9 - 80 (9+45) х = 9 + 80 или (9+45) х = 9 - 80 х = 2 или х = - 2 Ответ: - 2; 2
Уравнение № 12. 4 х2-1 + х = х-2 Рассмотрим два случая: х ≥2 и х <2Если х ≥2, то уравнение примет вид 4 х2-1 + х = х – 2, 4 х2-1= –2, что невозможно. 2) Если х <2, то уравнение примет вид 4 х2-1 + х = – (х – 2);4 х2-1= 2-2х; решив, получим х = 0,625
Ответ: 0, 625
Гафарова Рузиля Талгатовна , учитель математики.