Методическая разработка для спецкурса по математике в 9 классе — Использование элементов теории множеств в решении задач

Методическая разработка для спецкурса по математике в 9-м классе на тему: «Использование элементов теории множеств в решении задач»
Цели:
формировать у учащихся знания основ теории множеств;
познакомить учащихся с различными случаями применения теории множеств при решении задач;
формировать у учащихся умения применять элементы теории множеств в решении задач;
развивать общую математическую культуру, интерес к предмету;
воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду.
Оборудование: плакаты с изображением основных отношений и операций между множествами.
Содержание:
1. Основные понятия множества.
2. Отношения между множествами.
3. Операции над множествами.
4. Решение задач.
5. Контрольные вопросы
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА
Одно из основных понятий современной математики — множество. Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.
Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое — множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) выразил эту мысль следующим образом: “Множество есть многое, мыслимое как единое, целое”.
Множество — это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.
Слово “множество” в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом “множество деревьев”.
Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и “множества”, содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже “множество”, не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения, до того как узнаем, сколько оно имеет решений (множество вещественных решений уравнения х2+1 = 0 — пустое множество).
Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А, В, С, … Пустое множество, т.е. множество, которое не имеет элементов, обозначается символом .
О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a, b, c, … или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а1, а2, … ,аn.
Предложение “предмет а принадлежит множеству А”, или “предмет а — элемент множества А”, обозначают символом а  А.
Способы задания множеств:
1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.
Например: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}— множество цифр десятичной системы счисления,
Необходимо различать объекты, обозначаемые символами a и {a}. Символом a означается предмет, символом {a} — множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество). Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N) или всех целых чисел (Z), нельзя задать таким способом, т.к. мы не можем перечислить все N и все Z — таких чисел бесконечное множество.
2) Имеется другой, универсальный, способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, т. е. такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.
Например: а) А = { х | sin x = 0}, б) А = {0, 1, 2, 3, 4}— множество всевозможных остатков от деления любого натурального числа на 5.
2. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ
Множество В включается в множество А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Множество В является подмножеством или частью множества А. Символическая запись: .
Отношение включения обозначается символом , т. е. предложение “множество В включается во множество А” записывается: ВА.
Поскольку множество можно изобразить в виде геометрических фигур, логические рассуждения тоже изображаются геометрически.
Метод геометрической иллюстрации логических рассуждений был предложен великим математиком 18 века петербургским академиком Леонардом Эйлером (1707–1783) и широко применялся английским математиком Джоном Венном (1834–1923), т.е. для наглядности множества и логические рассуждения изображаются в виде кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Эйлера-Венна.

Например:
1) N Z QRC.
2) Множество прямоугольников  во множество параллелограммов  множество четырёхугольников.
Частным случаем включения является равенство.
Два множества, состоящие из одних и тех же элементов называются равными (А = В).
Символическая запись: 

Как показывают приведённые выше примеры, если ВА, то возможны два случая:
1) Существует хотя бы один элемент множества А, не принадлежащий множеству В. В таком случае говорят, что В — собственная часть (или собственное подмножество) А, или что В строго включается в А. Отношение строгого включения обозначается : В  А.
2) Не существует ни одного элемента множества А, не принадлежащего В. Этот случай равносилен отношению , т. е. равенству А = В.
3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Объединением АВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из общих элементов этих множеств; т. е. множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Символическая запись: .
Например:

Пересечением АВ двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств, и не содержащее элементов других множеств; т. е. множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.
Символическая запись: 

Разностью А \ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А и не содержащее элементов множества В.
Символическая запись: 

Симметрической разностью АВ двух множеств А и В называется множество 

Пусть даны два множества А и В, В А, разность А \ В двух множеств А и В называется дополнением множества В до множества А (относительно множества А).

Сумма двух множеств является частным случаем объединения множеств.

Под парой будем всегда понимать упорядоченную пару элементов, т. е. два элемента, расположенных в определённом порядке. Элемент, занимающий первое место, называетсяпервой координатой пары, элемент, занимающий второе место, называется второй координатой пары.
Обозначают пару элементов круглыми скобками: (a,b).
Прямым произведением двух множеств называется множество всевозможных пар (a,b), таких, что: a А, b  В. Символическая запись: .
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
А. Задачи на прямое произведение множеств.
Задача №1


Задача №2
Изобразить на координатной плоскости множество М :M = N  R, где N — множество натуральных чисел, R — множество действительных чисел.
По определению прямого произведения: АВ = {(a,b) : aА, bВ}
М = {(1, х), (2, х), …| 1, 2, … N и х R}
Изобразим это на графике:

B. Задачи на доказательство, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Задача №1
Доказать: (АВ)\А = 
Доказательство:,
что и требовалось доказать.
Задача №2
Доказать: А\(ВС) = (А\В)(А\С)
Доказательство:
,
что и требовалось доказать.
Задача №3
Доказать: В(А\В) = АВ
Доказательство:,
что и требовалось доказать.
C. Логические задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Задача №1
В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык: 6 человек — английский язык, 7 человек — немецкий язык, 4 человека — оба языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только немецкий? Сколько человек знает только один язык?
Решение:
Пусть М1 — работники, знающие английский язык, М2 — работники, знающие немецкий язык.

1) | М1М2| = |М1| + |М2| - |М1М2| = 6 + 7 - 4 = 9 (человек) — работает в отделе.
2) |М1| - |М1М2| = 6 – 4 = 2 (человека) — знают только английский язык.
3) |М2| - |М1М2| = 7 – 4 = 3 (человека) — знают только немецкий язык.
4) 2 + 3 = 5 (человек) — знают только один язык.
Ответ: 9 человек, 2 человека, 3 человека, 5 человек.
Резервная задача
На пикник поехали 92 человека.
48 человек взяли бутерброды с колбасой,
38 человек взяли бутерброды с сыром,
42 человек взяли бутерброды с ветчиной,
28 человек взяли бутерброды с колбасой и с сыром,
21 человек взяли бутерброды с колбасой и с ветчиной,
26 человек взяли бутерброды с сыром и с ветчиной,
25 человек взяли бутерброды трёх видов.
А несколько человек взяли пирожки. Сколько человек взяли пирожки?
(Ответ: 14 человек взяли пирожки.)
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Назовите основателя теории множеств.
2. С чем связывают в обычном смысле слово “множество”?
3. Из чего состоит множество?
4. Как обозначают множества, элементы множества?
5. Что называю пустым множеством?
6. Перечислите способы задания множества.
7. Расскажите об отношениях между множествами. Приведите примеры.
8. Расскажите об операциях, которые можно осуществлять между двумя множествами. Приведите примеры.
9. Как для наглядности изображаются множества и логические рассуждения?
10*(для желающих). Составьте несколько задач и решите их, используя элементы теории множеств.