Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ дисциплины Математика специальности 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
-508635-3619500Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное образовательное
учреждение среднего профессионального образования
«Тольяттинский политехнический техникум»
(ГБОУ СПО «ТПТ»)
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по УР
___________ С.А.Гришина
___ ____________ 2014
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА
Специальность: 190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного
транспорта
Тольятти, 2014
ОДОБРЕНА
Протокол ПЦК ЕНД
от ___ _____20__ № ____
Председатель ПЦК ЕНД
________ Л.А. Гончарова
___ ______ 20___
СОГЛАСОВАНО
Старший методист
________ Н.В. Роменская
___ _______ 20___
Сборник методических рекомендаций разработан Лабгаевой Э.В. – преподавателем дисциплины «Математика» ГБОУ СПО «ТПТ»
Рецензент:
Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика», специальности 190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта для студентов второго курса
Содержание
Введение 4
Практическое занятие №1 Вычисление пределов функций 5
Практическое занятие №2 Исследование функции на непрерывность 13
Практическое занятие №3 Нахождение производных и дифференциалов функции,
приложения производных и дифференциалов 16
Практическое занятие №4 Исследование функции с помощью производной 25
Практическое занятие №5 Вычисление интегралов 34
Практическое занятие №6 Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла 41
Практическое занятие №7 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 48
Практическое занятие №8 Решение прикладных задач с применением дифференциальных уравнений 56
Практическое занятие №9 Определение сходимости рядов 61
Практическое занятие №10 Выполнение операции над множествами и графами 69
Практическое занятие №11 Нахождение вероятности событий 75
Практическое занятие №12 Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины 82
Практическое занятие №13 Обработка статистических данных 89
Практическое занятие №14 Вычисления интегралов численными методами 97
Практическое занятие №15 Нахождение производных численными методами 104
Практическое занятие №16 Решение дифференциальных уравнений численными методами 110
Введение
Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ дисциплины
«Математика» предназначен для студентов второго курса специальности 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».
Дисциплина «Математика» в соответствии с рабочей программой рассчитан на 64 часа, из них 32 часа отведено на проведение практических занятий. Практические занятия направлены на проверку усвоения и закрепление материала, изученного на теоретических занятиях.
Сборник методических указаний содержит 16 практических занятий, в каждом из которых
имеются:
краткие теоретические сведения
образец решений задач
задания для самостоятельного решения
контрольные вопросы
литература
Методическая разработка рекомендуется для использования преподавателями, ведущими данный предмет в средних специальных учебных заведениях.
Практическое занятие №1
«Вычисление пределов функций»
Цель занятия:
освоение знаний правил раскрытия неопределённостей и формул для вычисления пределов
последовательностей и функций, умений раскрывать неопределённости и вычислять пределы
При выполнении задания студент должен:
знать:
определение предела в точке и на бесконечности
теоремы о пределах
первый и второй замечательные пределы
правила раскрытия неопределённостей
эквивалентные бесконечно малые
уметь:
раскрывать неопределённости различных видов
вычислять пределы функций
Краткие теоретические сведения
Понятие предела функции в точке
Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х и пусть точка х0 є Х.
Составим из множества Х последовательность точек: х1, х2,…,хn,…сходящихся к х0. Значения
функции в этих точках также образуют последовательность: f(x1), f(x2),…,f(xn).
Число А называется пределом функции y = f () в точке =, если при любых
значениях , сколь угодно близких к числу (), значение функции f ()
становится сколь угодно близким к числу А, т.е.f () = f ()
Основные теоремы о пределах
Пусть существует f (), g (), тогда верны следующие теоремы:
Предел аргумента в точке равен значению аргумента в этой точке: =
Если с – постоянная величина, то предел постоянной равен самой постоянной: c= c, c – const
Если с – постоянная величина, то постоянный множитель выносится за знак предела:
cx = cx
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:
Предел степени равен степени пределов:= () Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Предел функции
на бесконечности
Функция - называется бесконечно малой при , если .
Функция- называется бесконечно большой при , если .
Если функция бесконечно большая, то функция- бесконечно малая и
наоборот.
Число А называется пределом функции на бесконечности, если при всех
достаточно больших значений х разность есть бесконечно малая функция.
Правила раскрытия неопределённостей при вычислении пределов
Часто встречаются случаи, когда непосредственно применить теоремы о пределах нельзя.
В этих случаях необходимо сначала раскрыть неопределенности и потом только вычислять
пределы.
В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, говорят, что имеет
место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо:
а) числитель и знаменатель дроби разложить на множители, а затем сократить на множитель, приведший к неопределенности, при этом можно использовать:
формулы сокращенного умножения,
вынесение общего множителя за скобки,
группировку,
преобразование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта или теоремы Виета;
т.к. ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2), где x1,x2 - корни уравнения ax2+bx+c=0,
преобразование многочлена с помощью деления многочлена на (x-x0),
умножение на сопряженное выражение, т.е. если предел содержит выражение то путем умножения на избавляемся от корней, т.к.
б) использовать первый замечательный предел, т.е. формулы ,
в) использовать эквивалентные бесконечно малые (при ), т.е. формулы
,,, ,,,, ,,,
Если числитель и знаменатель неограниченно возрастают при х→∞, то в таком случае
имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной х.
Если имеет место неопределённость и , то в этих случаях применяют второй
замечательный предел, т.е. формулы и
Если имеют место неопределённости [∞-∞], [0-0], то в этих случаях необходимо заданную функцию привести к дробно-линейному виду, а затем использовать предыдущие правила
Образец решения задач
Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия
неопределённостей
Задание 1
Решение: Имеем неопределённость вида. Используя правило раскрытия
неопределённостей разделим каждое слагаемое почленно на
Задание 2
Решение: Имеем неопределённость вида. Используя правило раскрытия
неопределённостей разделим каждое слагаемое почленно на , учитывая, что под знаком радикала
Задание 3
Решение: Имеем неопределённость вида. Применим формулы сокращённого умножения
Задание 4
Решение: Имеем неопределённость вида. Выделим целую часть, используя
арифметические преобразования. Далее воспользуемся формулой второго замечательного
предела, затем в показателе раскроем неопределённость, разделив почленно на х, ответ
приведём к стандартному виду
= == = =
= = = = = =
Задание 5 Вычислить предел
Решение: Имеем неопределённость вида. Заменим бесконечно малые функции на эквивалентные
Задание 6
Решение: Имеем неопределённость вида.Приведём к дробному виду. Домножим и числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов
=
Задание 7
Решение: Имеем неопределённость вида. Воспользуемся тригонометрическими формулами разности синусов, после преобразований применим формулы первого замечательного предела
Задание 8 Вычислить предел
Решение: Имеем неопределённость вида. Разделим числитель и знаменатель дроби на (х-2), затем сократим на множитель, приводящий к неопределённости
13506456858000 2952750196215001143001866900013696951765300042291001676400042291001524000 x3 - 5x2 + 8x – 4 x –2 x3 – 3x2 + 4 x – 2
33147002095500022860020955000 x3 – 2x2 x2 – 3x +2 x3 – 2x2 x2 – x –2
34747201365250016002013652500 -3x2 +8x - x2 + 4
36576002286000045720022860000 -3x2 +6x - x2 + 2x
35890201460500050292014605000 2x – 4 -2x +4
377190019050000 2x – 4 -2x +4
685800000 0 0
Задания для самостоятельного решения
Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия неопределённостей
Контрольные вопросы
Последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение предела функции в точке и на бесконечности
Основные теоремы о пределах
Правила раскрытия неопределённостей при вычислении пределов.
Первый и второй замечательные пределы
Эквивалентные бесконечно малые
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №2
«Исследование функции на непрерывность»
Цель занятия:
освоение знаний алгоритма исследования функции на непрерывность, умений исследовать
функции на непрерывность, находить точки разрыва функции и определять их тип
При выполнении задания студент должен:
знать:
условие непрерывности функции;
типы разрыва функции
уметь:
находить односторонние пределы функции;
классифицировать точки разрыва функции;
исследовать функцию на непрерывность, подтверждать аналитическое решение графически
Краткие теоретические сведения
Односторонние пределы
Предел слева - это односторонний предел функции, когда последовательность значений
аргумента хn→x0 слева от точки x0, т.е. хn < x0 , т.е. А =
Предел справа - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента хn→x0 справа от точки x0, т.е. хn > x0, т.е. В =
Теорема. Функция y=f(x) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой
точке существуют левый и правый пределы и они равны. В таком случае предел функции в точке равен односторонним пределам
Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке
Функция называется непрерывной в точке, если существует предел функции в этой точке, и он равен значению функции в этой точке, т.е. С =f(x) = f(x0)
Функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все основные элементарные функции – постоянная, показательная,
логарифмическая, степенная, тригонометрическая, обратные тригонометрические непрерывные
на своих областях определения.
Теорема. Пусть функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f1(x) + f2(x), f1(x) · f2(x) и f1(x)/f2(x) будут также непрерывны в точке х0 (для дроби при f2(x0) ≠ 0)
Классификация точек разрыва
Точки разрыва функции – это точки, в которых функция не является непрерывной.
Пусть А =- предел справа для функции у = f(x), В = - предел слева, С
f(x) = f(x0) – значение функции в точке x0 .
Точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если функция f(x) в этой точке имеет равные друг другу односторонние пределы, но в точке х0 функция f(x) не определена, либо ее значение в этой точке f(х0) не равно пределу функции в этой точке, т.е.А=В,АС,ВС
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет
конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы, т.е. АВ. Модуль разности (А-В)
называется скачком функции в точке х0.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке не
существует хотя бы одного из односторонних пределов функции f(x) или хотя бы один изодносторонних пределов бесконечен, т.е. либо
Точка х0 является точкой непрерывности, если функция f(x) определена в этой точке и если в этой точке функция f(x) имеет равные друг другу односторонние пределы, т.е. А=В=С
Классификация точек разрыва наглядно показана в таблице 1
Таблица 1
Точка
устранимого разрыва Точка
разрыва первого
рода (скачок) Точка
разрыва второгорода
(бесконечный разрыв) Точка
непрерывности
А = В,
А С, В С
А В.
скачок
на единиц либо А = В = С
27432025463500
73533014668500 y
71310514732000
1930401943100071310518542000
0 x0 x 8356601193800037147525463500
y
276225382905008001003556000080645014287500
0 x0 x 146051765300028511522606000
y
8020051022350070802552451000
0 x0 x 40830513398500
y3422656350006965954000500
82550020637500
0 x0 x
Образец решения задач
Задание 1 Исследовать функцию y = на непрерывность, найти точки разрыва и
определить их тип. Построить график функции.
Решение: Для функции y = точка подозреваемого разрыва x =1, т.к. в этой точке
272415022606000идет смена аналитических выражений. Найдём значения С для этой точки
А=
B=
C=
, по таблице классификации точек разрыва определяем:- точка разрыва
первого рода, скачок на == 6 единиц.
Строим графики функций y1 = -x3, y2 =2x + 3 табличным способом (см. таблицу 2)
Таблица 2
y1 = -x3 – кубическая парабола -2032025527000y = x3
x 1 2 -1 -2
y 1 8 -1 -8
функцию y1 = -x3 строим симметрично функции
y = x3 относительно оси Ох
y2 =2x + 3– прямая 398780825500170180825500-2032023685500 x 0 1
y 3 5
Примечание: у1 строим для x >1; y2 строим для x 1; по графику (рисунок 1) проверяем, что
скачок на 6 единиц.
132905520764500
1085856794500Рисунок 1 y
8788405778500
53784566040001144270762000012947656604000113601524257000 y
113601515557500
11322052501900011423656921500
1216660132715001033145144145001683385144145001518285139065001352550139065008807451441450072834514414500 x1368425495300013544555905500131826063500011360151860550011360153365500
11410957556500
Задание 2. Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Построить график функции.
Решение: Точки х=-3 и х=0 – подозреваеые на разрыв, т.к. в этих точках идет смена
аналитических выражений. Найдём значения С для каждой точки
240982514033500Исследуем точку х=-3
по таблице классификации точек разрыва определяем: точка разрыва II-го рода – бесконечный разрыв
170497520002500Исследуем точку х=0
по таблице классификации точек разрыва определяем:- точка непрерывности
Cтроим график функции (рисунок 2):
на промежутке (-∞;-3) строим график функции . Это гипербола смещенная влево на 3 ед, ветви которой расположены во второй и четвёртой четверти,
на промежутке [-3;0] строим график функции - окружность с центром в точке (0;0), R=3, II четверть, т.к. =>=>,
на промежутке (0;+∞) – график функции . Так как x>0, то |x|=x => - прямая параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)
Рисунок 2
Задания для самостоятельного решения
Исследовать функцию y=f(x) на непрерывность, найти точки разрыва и определить их тип. Построить график функции
1
2
3 у=-х-3х-3; х≤0 9-х2; 0<х≤31х-3; х>3 Контрольные вопросы
Определения односторонних пределов
Понятие непрерывности функции в точке и на промежутке
Классификация точек разрыва
Схема исследования функции на непрерывность
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №3
«Нахождение производных и дифференциалов функции, приложения производных и дифференциалов»
Цель занятия:
освоение знаний алгоритмов решения задач на нахождение производных и дифференциалов поправилам дифференцирования и формулам дифференцирования сложных функций, частных
производных и дифференциалов, умений находить производные сложных функций,
дифференциалы высших порядков, находить частные производные и дифференциалы
различных порядков, решать прикладные задачи на применение производной и
дифференциала
При выполнении задания студент должен:
знать:
понятие производной, ее физический смысл;
таблицу производных; формулы производных суммы, произведения, частного;
формулы нахождения производных сложных функций
понятие частной производной первого и второго порядков,
понятие дифференциала, формулу для его нахождения
формулу для нахождения приближённых значений с помощью дифференциала
уметь:
находить производную сложной функции
находить дифференциалы различных порядков.
находить частные производные функции
находить приближённые значения величин с помощью дифференциала
решать прикладные задачи, используя физический смысл производной
Краткие теоретические сведения
Понятие производной функции.
Пусть дана функция у =f(x) (см. рисунок 3), где x0 – фиксированная точка,
x - произвольная точка, x = x-x0 – приращение аргумента функции в точке x0,
f(x0) – значение функции в точке x0, f(x) – значение функции в произвольной точке x,
f(x0) – значение функции в точке x0, ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = ∆y.
Тогда = - средняя скорость изменения функции, = - скорость
изменения функции в момент времени t = t0 (мгновенная скорость). Обозначают = .
Рисунок 3
9855201939290002995295169164000
Производная функции y = f(x) в точке х0 – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю, т.е.
Производная обозначается («игрек штрих») или(«эф штрих от икс») или («де игрек по де икс»).
Формулы для вычисления производной даны в таблице 3
Таблица 3
1 10 19
2 11 20
3 12 21
4 13 22
5 14 23
6 15 7 16 8 17 9 18 Нахождение производной функции называется дифференцированием данной функции.
Физический и геометрический смысл производной.
Физический смысл производной: производная есть мгновенная скорость изменения функции.
Геометрический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной k = tga к графику функции в этой точке.
Алгоритм решения задач на составления уравнения касательной:
Пусть дана функция у =f(x) в точке х=х0. Для составления уравнения касательной необходимо:
а) найти значение функции в точке х0:
б) найти производную
в) найти значение производной функции в точке х0:
г) записать уравнение касательной:
д) привести данное уравнение к стандартному виду y = ax+ b
Производная сложной функции
Если , где , т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то функция у называется сложной функцией от х.
Теорема. Производная сложной функции равна произведению ее производной попромежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной, т.е.:
Вторая производная и производные высших порядков.
Производная функции cама является некоторой функцией аргумента x, следовательно по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.
Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка.
Обозначается или , последнее читается «де два игрек по де икс
дважды».
Производные, начиная со второй называются производными высшего порядка
и обозначаются .
Производная n-го порядка – это производная от производной (n –1)-го порядка, т.е
Например, ускорение - это первая производная от скорости по времени или вторая от перемещения по времени: Линейная скорость - это первая производная от
перемещения по времени:.
Дифференциал функции
Дифференциал функции y=f(x) в точке х0 – это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента . Обозначается
Дифференциал аргумента х равен его приращению, т.е.
Из определений дифференциала получаем формулу (2.3), согласно которой дифференциал
функции равен ее производной, умноженной на дифференциал аргумента: При вычислении дифференциалов верны правила и свойства аналогичные правилам и
свойствам производных. Кроме того, существует понятие дифференциалов высших порядков:
если , аналогично из и
Приближенные вычисления
С помощью дифференциала производят приближенные вычисления. Эти приближенные
вычисления основаны на приближенной замене приращения функции в данной точке на ее
дифференциал dy: . При абсолютная погрешность от такой замены является бесконечной малой более высокого порядка по сравнению с . Если , а Получаем формулу применяемую в приближенных вычислениях:
Частные производные и дифференциал функции
Величина u называется функцией нескольких переменных величин x, y, если каждой
совокупности этих величин соответствует одно определенное значение величины u: u=f(x, y).
Частная производная функции u=f(x, y) нескольких переменных по аргументу х – это предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее приращение стремится к нулю, обозначают:
Приращение получает только один аргумент х. Остальные аргументы фиксируются. Таким образом, частная производная функции u =f(x, y) по х – это обыкновенная производная
функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у0. Аналогично
определяются частные производные трех и более переменных.
Частный дифференциал функции – это произведение частной производной по одной изнезависимых переменных на дифференциал этой переменной, обозначают:
Полный дифференциал du – это сумма частных дифференциалов функции u=f(x, y),
вычисляется по формуле:
Частные производные первого порядка от функции двух и боле переменных также
представляют собой функции нескольких переменных и их также можно
продифференцировать. Для функции двух переменных u=f(x, y) возможны четыре вида
частных производных второго порядка, которые находят по формулам:
Образец решения задач
Задание 1 Найти производную сложной функции
Решение: Здесь функция - сложная. Пусть согласно
формуле нахождения производной сложной функции имеем:
По таблице производных найдём производную каждой функции
Подставим исходные значения
Примечание: разумеется, нет необходимости в таких подробных записях. Обычно результат
следует писать сразу. Представляя последовательно в уме промежуточные аргументы
Задание 2 Найти дифференциал второго порядка для функции
Решение: по формуле. Используя формулы производной произведения найдём
сначала :
Дифференцируем второй раз, дважды используя формулы производной произведения:
Задание 3 Найти частные производные первого порядка и полный дифференциал функции
Решение: Находим частную производную, считая , учитывая что функция
u сложная
Находим частную производную, считая , получим:
Полный дифференциал найдем по формуле :
,
Задание 4 Для функции найти частные производные второго
порядка.
Решение: Сначала находим частные производные первого порядка:
Находим частные производные второго порядка:
Задание 5 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение
Решение: приближенные вычисления с помощью дифференциала основаны на приближенной
замене приращения функции в данной точке на ее дифференциал dy:
, а
По условию задачи
Поэтому
Пусть
Тогда
Подставим найденные значения в формулу для нахождения приближённых вычислений:
Проверим по калькулятору
Задание 6 Точка движется прямолинейно согласно уравнению S = 17t – 2t2 м. Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых пяти секунд движения.
Решение: Определим закон изменения скорости движения точки
υ = (17t-2t2)' = 17-4t, м/с
Определим ускорение точки
аt = (17 – 4t)' = -4 м/с2Поскольку ускорение постоянное, т.е. at = const, следовательно движение точки является равнопеременным (равнозамедленным).
Составим свободную таблицу значений S, υ, at, для первых пяти секунд движения
t, с 0 1 2 3 4 5
S=17t - 2t2, м 0 15 26 33 36 35
υ=17 - 4t, м/с 17 13 9 5 1 -3
аt=-4 м/с2от времени не зависит
Построим графики S ( рисунок 4), υ( рисунок 5), at( рисунок 6), выбрав масштаб
Рисунок 4
-81915387350
1
2
3
4
5
t,с
5
10
15
20
25
300
35
S,мS=17t-2t2
000
1
2
3
4
5
t,с
5
10
15
20
25
300
35
S,мS=17t-2t2
-2857501270000
1
2
3
4
5
t,с
5
10
15
20
υ, м/с
-5
υ=17-4t
000
1
2
3
4
5
t,с
5
10
15
20
υ, м/с
-5
υ=17-4t
Рисунок 5
Рисунок 6
-3581401162051
2
3
4
5
t,с
-5
аt, м/c2
а= -4
001
2
3
4
5
t,с
-5
аt, м/c2
а= -4
Если условно принять ускорение свободного падения g ≈ 10 м/с2 и пренебречь сопротивлением воздуха, то можно сказать, что графики описывают движение материальной точки (камня, например), брошенного вертикально вверх со скоростью υ0 = 17 м/с.
Задания для самостоятельного решения
Найти производную сложной функции
Найти дифференциал второго порядка для функции
Найти частные производные и полный дифференциал функции
Для функции найти частные производные второго порядка
Вычислить приближенно с помощью дифференциала
Точка движется прямолинейно согласно уравнению S= 16t-5t2м. Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых пяти секунд движения
Контрольные вопросы
Определение производной
Механический и геометрический смысл производной
Правила и формулы дифференцирования
Производная сложной функции
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы высших порядков
Приложения производной и дифференциала
Частные производные и дифференциалы различных порядков
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №4
«Исследование функции с помощью производной»
Цель занятия:
освоение знаний схемы исследования функции с помощью производной, умений исследовать
функции с помощью производной и строить графики заданных функций
При выполнении задания студент должен:
знать:
основные свойства функции
алгоритм исследования функции с помощью производной
что называется областью определения функции;
какая функция называется возрастающей (убывающей);
необходимое условие экстремума функции;
определение точки перегиба;
определение интервалов выпуклости графика функции;
определение асимптот графика функции
уметь:
находить область определения и нули функции
находить точки пересечения графика функции с осями координат;
находить точки экстремума и промежутки монотонности с помощью первой производной
находить точки точек перегиба и направление выпуклости графика функции с помощью второй производной;
находить асимптоты графика функции
строить график функции
Краткие теоретические сведения
Область определения функции
Область определения функции D(y) определяют следующим образом: если функция y= f(x) задана в виде многочлена, то , если дробно-рациональная функция f(x) = , то из условия что; если иррациональная f(x) = , то т.к.
; если логарифмическая f(x) = , то т.к.
Чётность, нечётность
Функция является чётной, если f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси Oy. Функция является нечётной, если f(-x) = - f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Точки пересечения с осями координат
Для того, чтобы найти точку пересечения с осью ординат необходимо в функцию y = f(x) подставить ноль вместо х и найти соответствующее значение y. Для того, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс нужно в функцию y = f(x) подставить ноль вместо y , т.е. решить уравнение f(x)=0 и найти соответствующие значения хn. Решения удобно записать в таблице 4
Таблица 4
Ox Oy
y=0 x=0
(x1;0), (x2;0),… (y;0)
Асимптоты
Асимптота - прямая, к которой график по направлению приближается,
но не пересекает её. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные. Виды
асимптот и формулы для их нахождения представлены в таблице (5)
Таблица 5
Вертикальные Горизонтальные Наклонные
1092201234440007759701238250011188701238250044259512382500120205522796500-19685671830007493022987000
187325105283000218440986790006946904914900037465144399000 67310131254500784860281940001181103867150070866038671500118110144399000
x = const y = const y = kx + b
из D(y)
Для нахождения горизонтальных и наклонных асимптот необходимо вычислять пределы
функций, используя теоретические положения практического занятия №1. Кроме того можно
использовать правило Лопиталя.
Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы внекоторой окрестности точки х0 за исключением быть может самой точки х0. Кроме того, пусть
, причем в указанной окрестности точки х0. Тогда если
существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел
причем справедлива формула:
Эта теорема верна и если . Правило Лопиталя можно применять повторно, если и
удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).
Промежутки монотонности и точки экстремума функции
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Т.о. если производная функции положительна на промежутке (a,b), то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на промежутке (a,b), то функция убывает на этом промежутке. Кроме того если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
Критические точки 1-го рода - точки, в которых первая производная равна 0 или не
существует. Они делят область определения функции на интервалы, внутри которых
производная сохраняет знак. Используя эти интервалы, находят интервалы монотонности
функций и определяют экстремумы (т.е. точки максимума и минимума).
Алгоритм нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:
а) найти производную
б) приравнять производную нулю: . Выяснить, при каких условиях производная не
существует: (с учётом D(y))
в) решив пункт (б) найти …- критические точки первого рода
г) на координатном луче отметить эти точки, используя метод интервалов определить знаки
промежутков.
д) используя свойства производной отметить на луче промежутки возрастания и убывания,
точки максимума, минимума, разрыва и перегиба.
Наглядно координатный луч изображён на рисунке (7)
Рисунок 7
5422907620006159516637000
33667703689350025717503879850069977034036000444534036000315722023050500144716524003000232854524003000504190240030006159529273500 - разрыв + max - перегиб - min +
1699895317500 х1 х2 х3 х4
е) вычислить соответствующие значения функции в критических точках:
;
Промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Функция f(x) называется выпуклой на интервале (a,b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f(x) в любой точке (x0, f(x0)), где x0 (a,b). Функция f(x) называется вогнутой на интервале (a,b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f(x) в любой точке (x0, f(x0)) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале (a,b), тогда: если вторая производная положительна, т.е. f ''(x)>0 для любого x(a,b), то функция f(x) является вогнутой на интервале (a,b); если f ''(x)<0 , то функция
является выпуклой на этом интервале.
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот,называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x0 существует вторая производная f ''(x0), то f ''(x0)=0.
Критические точки 2-го рода - точки, в которых вторая производная равна 0 или не
существует. Они делят область определения функции на интервалы, внутри которых вторая
производная сохраняет знак. Используя эти интервалы, находят интервалы выпуклости
функций и определяют точки перегиба (не все точки перегиба выявляются с помощью первой производной).
Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба:
а) найти вторую производную
б) приравнять производную нулю: . Выяснить, при каких условиях производная не
существует: (с учётом D(y))
в) решив пункт (б) найти …- критические точки второго рода
г) на координатном луче отметить эти точки, используя метод интервалов определить знаки
промежутков.
д) используя свойства второй производной отметить на луче промежутки выпуклости и
вогнутости, точки перегиба и разрыва.
Наглядно координатный луч изображён на рисунке (8).
Рисунок 8
5422907620006159516637000
315722023050500144716524003000232854524003000504190240030006159529273500 - разрыв - перегиб + + перегиб -
х1 х2 х3 х4
е) вычислить соответствующие значения функции в критических точках: ;
Построение графика
Строить график функции целесообразно в следующем порядке:
а) определить на координатной плоскости область определения функции, отметив
промежутки либо точки разрыва
б) отметить точки пересечения с осями координат из таблицы (4)
в) построить асимптоты, используя формулы таблицы (5)
г) отметить точки максимума, минимума и перегиба
д) с помощью отмеченных точек и рисунков (7), (8) сделать эскиз графика и
определить, какие дополнительные точки и сколько необходимо взять для более
точного построения графика, учитывая при этом чётность - нечетность функции
е) вычислить значения функции для дополнительных точек, отметить эти точки на
плоскости
ж) построить график функции
Образец решения задач
Провести полное исследование функции и построить ее график
Задание 1
Решение: Проведем исследование функции по общей схеме.
Область определения функции:
D(y) = , т.к. знаменатель x -1, т.е. x
Чётность – нечётность:
, следовательно функция ни чётная, ни нечётная
3) Нули функции – точки пересечения с осями координат:
Ox Oy
y = 0 x = 0
нет пересечений
с осью Ох (0;-1)
4) Асимптоты:
а) x = const из D(y), следовательно вертикальная асимптота: x = 1
б) , следовательно
горизонтальных асимптот нет
в) y = kx + b
b = , следовательно
наклонная асимптота: y = x + 1
5) Промежутки монотонности и точки экстремума:
Решим числитель по дискриминанту:
Получим: , т.е. - критические точки
первого рода.237172524193500
70612014668500
1781175368935006997702927350033667703689350025717503879850069977034036000315722023050500144716524003000232854524003000 + max - * - min +
max =; min =
Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Сократим дробь на (х-1), получим , т.е. - критическая точка второго рода.
6159514668500542290762000
615952895600050419024003000 - +
1
2006600143510y00y2223770245110007) Построение графика функции:
250063022225000
26238204381500
850900212725002139951835785009569452023110002214245830580002118995205867000295719585915500210947018357850020891502033270002216150217043000223139020281900020840701816735002935605181673500247967518103850022047207981950029419557867650022237701510030001871980180911500
19558001816104,8
004,8
22053556223000
1709420165100-1
00-1
4163695165100x00x1929130146685-0,4
00-0,4
24218901517651
001
28251151612902,4
002,4
218757537465-0,8
00-0,8
2037080236855-1
00-1
Задание 2
Решение:
1)
2)
Функция не является ни чётной, ни нечётной, следовательно, симметрии нет.
3)
ОxОyу=0 х=0
Сгруппируем:
(1;0) (0;-1)
4) Асимптот нет, так как нет точек разрыва функции
5)
/:3
441960254635006413518224500 +
. Экстремумов нет
6)
2222510604500
50927021653500-2032025209500 - 1 +
, , , т.е. (1;0) - точка перегиба.
7)
Задания для самостоятельного решения
Провести полное исследование функции и построить ее график
Контрольные вопросы
Основные свойства функции
Область определения функции
Нули функции, промежутки знакопостоянства
Признаки монотонности и экстремума функции
Определение направления выпуклости и точек перегиба графика функции
Асимптоты графика функции
Схема исследование функции с помощью производной
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №5
«Вычисление интегралов»
Цель занятия:
освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять
неопределённые и определённые интегралы методом непосредственного интегрирования,
интегрирования подстановкой и методом интегрирования по частям
При выполнении задания студент должен:
знать:
основные методы интегрирования;
таблицу простейших интегралов;
формулу Ньютона-Лейбница;
свойства определенного и неопределенного интегралов.
уметь:
определять методы интегрирования;
находить неопределённые интегралы
вычислять определённые интегралы.
Краткие теоретические сведения
Понятие первообразной и неопределённого интеграла
Первообразная – это такая функция F(x) для функции y= f(x), что имеет место равенство: . Понятие первообразной возникает из задачи математического анализа, в которой по данной функции f(x) необходимо найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x). Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), потому что
Неопределенный интеграл функции y= f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом
где– знак интеграла; f(x) – подынтегральное выражение;
х – переменная интегрирования; С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение. Интегрирование – это отыскание первообразной функции по ее производной,
действие обратное дифференцированию.
Основные свойства неопределенного интеграла
Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс
произвольная постоянная:
Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен сумме интегралов этих
функций:
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:
Методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования. Метод непосредственного интегрирования
заключается либо в прямом использовании таблиц интегралов, либо сначала применяются
основные свойства неопределенного интеграла, а также производятся элементарные
тождественные преобразования, а затем данный интеграл приводится к одному или нескольким
табличным интегралам (таблица 7 )
1 9 17
2 10 18
3 11 19
4 12 20
5 13 21
6 14 22
7 15 8 16 Метод интегрирования подстановкой. Метод подстановки заключается в том, что интеграл вида приводится к интегралу вида, который в свою очередь
решается непосредственным интегрированием. Для этого в функции некоторое выражение, содержащее переменную х заменяют на t, т.е. , затем находят
Метод интегрирования по частям. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемы. Так как производная произведения двух функций вычисляется по формуле: , то интегрируя обе части этого равенства получим формулу:
Самое трудное в интегрирование по частям – это выбрать сомножитель dv в подынтегральном выражении: интеграл в правой части формулы должен быть проще исходного. Чаще всего формула (4.1) применяется к интегралам вида: , где Р(х) – многочлен,, в эти интегралах u=P(x); или к интегралам вида где R(x) – рациональная функция, здесь .
Определённый интеграл
Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) наотрезке [a,b]. Определенный интеграл обозначается где – произвольная точка существующего отрезка.
Если F(x) – первообразная для непрерывной функции , то имеет место формула формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом:
Правило вычисления определённого интеграла: для того, чтобы вычислить определённый интеграл необходимо сначала найти соответствующий неопределённый интеграл, а затем в полученное выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, и из первого результата вычесть второй. Основные свойства определенного интеграла
Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:
Отрезок интегрирования можно разбивать на части: , где
Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
Образец решения задач
Вычислить определённые и неопределённые интегралы, используя подходяшие методы интегрирования
Задание 1
Решение: используя свойства интегралов (интеграл суммы равен сумме интегралов,постоянный множитель выносится за знак интеграла) данный интеграл представим в виде
далее используем свойства дифференциала для первого и второго слагаемого и таблицу
интегралов
тогда
Задание 2
Решение: Используя метод интегрирования подстановкой, сделаем замену , тогда
, откуда . Подставим найденные значения в исходный
интеграл, получим , вынесем постоянный множитель за скобки и найдём табличный
интеграл , вернёмся к замене
Задание 3
Решение: используем метод интегрирования подстановкой
Задание 4
Решение: используем метод интегрирования подстановкой
Задание 5
Решение: используем метод интегрирования по частям
Пусть . Найдём значения :
;
Решим последний интеграл методом подстановки:
.
Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям, получим
, далее
Задание 6
Решение: здесь используется метод интегрирования по частям два раза:
=
==
Задание 7
Решение: имеем определённый интеграл, используем метод подстановки и формулу Ньютона-
Лейбница:
Задание 8 .
Решение: найдём определённый интеграл, используем метод подстановки и формулу
Ньютона-Лейбница:
.
Задания для самостоятельного решения
Вычислить определённые и неопределённые интегралы, используя подходяшие методы интегрирования
(2–3x)е–3xdx3xcosx3dxπ4π2sin2x-π2dx1еdxx(3-lnx)Контрольные вопросы
Первообразная и неопределённый интеграл.
Свойства неопределённого интеграла.
Таблица интегралов
Основные методы интегрирования: непосредственно, подстановкой и по частям
Определение и свойства определённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №6
«Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла»
Цель занятия:
освоение знаний алгоритма решения задач на нахождение площади фигур с помощью
интегралов, формул для нахождения физических и геометрических величин с помощью
интегралов, умений находить площади плоских фигур и объёмы тел вращения с помощью
интегралов, решать простейшие задачи на физические приложения интегралов
При выполнении задания студент должен:
знать:
свойства определенного и неопределенного интегралов.
геометрический смысл определённого интеграла;
формулы для вычисления площадей плоских фигур и объёмов тел вращения;
уметь:
вычислять площади плоских фигур и объёмы тел вращения
Краткие теоретические сведения
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ох и прямыми х=а; х=b, где на отрезке (рисунок 9). Получаем формулу:
Рисунок 9
19284951974850016808451974850014331951974850012236452451100027381206413500122364524511000509270121285009188456413500 y y=f(x)
1223645393700021856709652000242379560896500268097096520000
290195-254000 a b x
Алгоритм решения задач на нахождение площади плоской фигуры
Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной графиками некоторых функций, необходимо:
а) построить графики заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры
б) найти пределы интегрирования по чертежу (при необходимости решить уравнение )
в) вычислить площадь заданной фигуры по формуле
г) проверить результат вычислений по чертежу.
Объем тела вращения
80010108458000-20574001278890Рис. 19
00Рис. 19
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми , вращается вокруг оси , то объём тела вращения вычисляется по формуле:
Если фигура, ограниченная кривыми и , причём и прямыми ,вращается вокруг оси , то объём тела вращения вычисляется по формуле: .
Вычисление пути, пройденного точкой
Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле:
Вычисление работы силы
Пусть тело перемещается по оси Оx от точки А (x=a) до точки В (х=b) под действием переменной силы F, являющейся функцией от х (F=f(х)) и направленной вдоль оси Оx. Работа, произведённая переменной силой f(х) при перемещении по оси Оx материальной точки от х = а до х = b, находится по формуле:
При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:
где F – сила, H; х – абсолютное удлинение (сжатие) пружины, вызванное силой F,м; k – коэффициент пропорциональности, Н/м.
Сила давления жидкости
Из физики известно (закон Паскаля), что давление покоящейся жидкости на единицу площади ограничивающей ее поверхности сосуда направлено перпендикулярно к этой поверхности; величина этого давления не зависит ни от направления поверхности,
испытывающей давление, ни от формы остальной части сосуда, но меняется с глубиной погружения; давление на горизонтальную площадку равно весу вертикального столба жидкости, имеющего основанием эту площадку, а высотой – ее глубину под уровнем жидкости. Таким образом, вычисление давления жидкости на горизонтальную поверхность выполняется элементарно. Но для негоризонтальной поверхности элементарных средств недостаточно, ибо глубина площадки не остается постоянной. С помощью интегрального исчисления можно вычислить давление жидкости на вертикальную стенку любой формы. Сила давления Р жидкости плотности на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле:
где g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от a до b.
Образец решения задач
Задание 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:,
Решение: воспользуемся алгоритмом решения задач на нахождение площади плоской фигуры:
а) построим графики заданных функций.
кубическая парабола, полученная из (см. таблицу 7) смещением на 2
единицы вниз, - квадратичная парабола, для построения которой приведём ей
к стандартному виду
, т.о. получим
параболу со смещением на 2 единицы вправо, на 6 вверх, ветви которой направлены вниз,
полученную из стандартной параболы (см. таблицу 8)
Таблица 7
x -2 -1 0 1 2
y -8 -1 0 1 8
Таблица 8
x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
36639524130000Графики заданных функций изображены на рисунке 11
Рисунок 11
6051551460500909320146050060515554800500
325374010033000
8020058001000732155159385006711952501900013398537147500-1193804699000
-16256074422000497840744220004978406089650052832048323500555625386080005810252813050061023518351500642620654050029762452178050028238456540500
78486012827000
469265224155004692658255004692651193800021653519875500-18605522415500
-2
б) найдём пределы интегрирования по чертежу: а = -1, в = 2
в) для того, чтобы найти площадь заданной фигуры, необходимо из площади фигуры,
ограниченной графиком верхней функции вычесть площадь фигуры,
ограниченной нижней функцией: , т.е.
=
=
г) проверим результат вычислений по чертежу, получим ответ: 11,25 кв.ед.
Задание 2. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у = sinх, х = 0, , у = 0.
Решение: выполним чертеж
рисунок
Объем тела вращения вычисляется по формуле:
В нашем случае a = 0, , у(х) = sinх
По формуле вычисляем:
(куб.ед.)
Задание 3 Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = - 0,00625t² + 0,05t + 0,5 (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.
Решение: Функцию объема продукции найдем как первообразную функции производительности труда:
Значение объема продукции вычислим с помощью определенного интеграла функции производительности труда:
.
Итак, объем произведенной за рабочий день продукции составил 4,53 ден. ед.
Задание 4 Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией: Определите расходы на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км.
Решение: Транспортные расходы z вычисляются как определенный интеграл от 0 до s
(s - расстояние) функции f(x), задающей тариф перевозки по dx, где x – переменная пути:
Вычисляем затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км:
Итак, транспортные расходы составляют приблизительно 23,98 ден. ед.
Задание 5 Дано уравнение скорости движения тела. Найти уравнение пути,
если тело за первые 3с прошло путь 24м.
Решение: Уравнение пути s(t) находится интегрированием:
Найдем С из дополнительных условий при t=3c, s=24м:
,
решив данное линейное уравнение найдём С: С=30. Т.о. уравнение пути имеет вид
Задание 6 Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.
Решение: Работа, произведенная переменной силой при перемещении по оси Ох материальной точки от до , находится по формуле: При решении задач на вычисление работы силы используется закон Гука:,
где F - сила, H; x - абсолютное удлинение пружины (м), вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности (Н/м). Так как, м при Н получим откуда 1000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение k, находим , т. е. Искомую работу найдем интегрированием, полагая , :
(Дж)
Задания для самостоятельного решения
1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
2 Найти объем тела вращения вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = - 0,00325t² + 0,01t + 0,8 (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за вторую половину рабочего дня Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией Определите затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние S = 40 км
4 Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?
5 Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2+4t) м/с, второе – со скоростью v=(6t+12)м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?
Контрольные вопросы
Геометрический смысл определенного интеграла.
Алгоритм вычисления площади фигуры с помощью интеграла
Вычисление объёма тела вращения с помощью определённого интеграла.
Физический смысл определённого интеграла.
Приложения интеграла к решению прикладных задач
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №7
«Решение обыкновенных дифференциальных уравнений»
Цель занятия:
освоение знаний алгоритма решения дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными, однородных, линейных дифференциальные уравнения первого порядка,
линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, умений
определять вид и решать обыкновенные дифференциальные уравнения
При выполнении задания студент должен:
знать:
определение дифференциального уравнения;
определение общего и частного решений дифференциальных уравнений,
методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимисяпеременными, дифференциальных уравнений первого порядка, дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами;
уметь:
определять вид уравнения;
решать обыкновенные дифференциальные уравнения
Краткие теоретические сведения
Основные понятия дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции. - общий вид дифференциального уравнения, где x – независимая переменная, y – неизвестная функция, - её производная первого порядка и т.д.
Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это
уравнение обращает его тождество.
Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько
произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных
определенных значениях произвольных постоянных C. Для нахождения частных решений
задают начальные условия .
Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или
дифференциалов, входящих в это уравнение.
Интегральная кривая - график функции y=F(x), построенный на плоскости xOy,
являющийся решением дифференциального уравнения. Общему решению y=F(x,C)
соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.
Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную, то
решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и
единственно, т.е. через точку (x0,у0) проходит единственная интегральная кривая данного
уравнения.
Виды дифференциальных уравнений
Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения, в которых одна независимая переменная. Дифференциальные уравнения в частных производных – уравнения, в которых независимых переменных две и более.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными представлены в таблице 9
Таблица 9
Вид уравнения Способ решения
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной, т.е.
f(x)g(y)dx+(x)q(y)dy=0 (*)
или 1 разделить переменные в уравнении (*)
2 проинтегрировать
3 привести к стандартному виду
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка в таблице 10
Таблица 10
Вид уравнения Способ решения
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения,
т.е. если в функции заменить
x=tx, y=ty и преобразовать
вернемся исходному уравнению 1 замена ,
, выразить через дифференциалы , тогда
2 решить полученное уравнение с разделяющимися переменными
3 вернуться к замене, подставить
4 привести к стандартному виду
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в таблице 11
Таблица 11
Вид уравнения Способ решения
1 замена , тогда y’=u’v+v’u
2
сгруппировать первое и третье слагаемые, вынести за скобки
(**)
3 в уравнении (**) приравнять скобку к нулю
решить полученное уравнение c разделяющимися переменными,
найти u:
4 значение u подставить в уравнение (**)
решить полученное уравнение c разделяющимися переменными,
найти v:
5 вернуться к замене
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
Неполные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения
в таблице 12
Таблица 12
Вид уравнения Способ решения
дважды проинтегрировать
1
2
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами в таблице 13
Таблица 13
Вид уравнения Способ решения
где p, q – заданные числа
1 составить характеристическое уравнение
2 решить его, найти корни и
3 в зависимости от вида корней, найти общее решение, т.е. если корни
действительные и различные , тогда
действительные и равные ,
или
мнимые
комплексные
Образец решения задач
Задание 1 Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Решение: используем алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимисяпеременными
а) разделим переменные
- дифференциальное уравнение с разделёнными переменными
б) проинтегрируем
Левый интеграл решаем непосредственно: , правый методом подстановки:
,
Получим
в) т.к. С – произвольная постоянная, для удобства представим её как , тогда
уравнение примет вид , тогда ; используя
свойства логарифмов ; потенцируем последнее равенство ,
,, и окончательно - общее решение
Задание 2 Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение: воспользуемся алгоритмом решения однородного дифференциального уравнения
заменим , , получим
решим полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменным
- с разделёнными переменными,
проинтегрируем
в) вернёмся к замене, подставим
г) ; - общее решение
Задание 3 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
Решение: воспользуемся алгоритмом решения линейного дифференциального
уравнения
а) заменим ,
б) сгруппируем первое и третье слагаемое
вынесем за скобки
(*)
в) в уравнении (*) приравняем скобку к нулю
- д.у. c разделяющимися переменными
- с разделёнными переменными
, потенцируем по основанию e: , получим
г) найденное значение u подставим в уравнение (*) - д.у. с разделяющимися переменными
- с разделёнными переменными
д) вернёмся к замене
- общее решение
Задание 4 Решить дифференциальное уравнение второго порядка понижением: .
Решение: последовательно интегрируя, находим сначала первую производную:
,
а затем, интегрируя второй раз, и общее решение
Задание 5 Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
, при
Решение: для нахождения общего решения используем алгоритм решения ЛОДУ второго
порядка с постоянными коэффициентами:
а) составим характеристическое уравнение
б) решим его с помощью дискриминанта:
- комплексные корни
в) - общее решение
Для нахождения частного решения найдем значение первой производной
Подставим начальные условия в систему уравнений
Подставим значения С в общее решение
- частное решение (решение задачи Коши)
Задание 6 Дано ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: Найти общее решение
Решение: составим характеристическое уравнение
D = 0
- действительные равные корни, т.е. общее решение запишется в виде:
Задания для самостоятельного решения
1 Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
2 Решить однородное дифференциальное уравнение:
3 Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения:
4 Решить дифференциальное уравнение второго порядка понижением:
5 Дано ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: . Найти общее решение
6 Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
Контрольные вопросы
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения
Порядок дифференциального уравнения
Общее и частное решение дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка требующие понижения
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Практическое занятие №8
«Решение прикладных задач с применением дифференциальных уравнений»
Цель занятия:
развитие умений исследования математических моделей процессов, относящихся
к специальности, закрепление навыков решения дифференциальных уравнений
При выполнении задания студент должен:
знать:
типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям;
методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
уметь:
составлять дифференциальные уравнения в простейших задачах;
решать дифференциальные уравнения в прикладных задачах
Краткие теоретические сведения
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение – они широко используются в механике, астрономии, физике и других науках. С помощью дифференциальных уравнений количественно достаточно точно описываются многие явления и процессы, происходящие в природе.
При этом сначала составляется дифференциальное уравнение, которое затем решается, во многих случаях, по одному из указанных выше способов в зависимости от его типа. Составление дифференциальных уравнений по условию задачи напоминает составление алгебраических уравнений. При решении задач на составление дифференциальных уравнений широко используется геометрический и физический смысл производной, а также известные законы естественных и социальных наук.
В огромном большинстве задач естествознания и техники зависимости между исследуемыми величинами, если брать их в целом, не удается сразу обнаружить. Если же мы выделим из исследуемых величин бесконечно малые их части, то исследование чрезвычайно облегчается. Облегчение это обуславливается возможностью пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка, благодаря чему сложные соотношения между переменными величинами и их приращениями заменяются более простыми соотношениями, в которые входят вместо приращений дифференциалы . Мы получаем, таким образом, дифференциальное уравнение, и задача сводится к его решению.
Образец решения задач
Задание 1 Найти закон движения тела по оси Ох, если оно начало двигаться из мочки М (5;0),со скоростью Решение: При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначив путь через х, имеем; тогда или .
Проинтегрировав получим .
Использовав начальные условия найдём С. Так как х=5 при t=0,то подставив эти значения в общие решения находим С=5. И так закон движения тела имеет вид:
Задание 2 Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(0;1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 2х+1Решение: Согласно условию имеем или
Проинтергировав получим
Используя начальные условия х=0; у=1 находим C=1, следовательно искомое уравнение имеет вид.
Задание 3 Cкорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и
воздуха. Если температура воздуха 20°C, и тело в течении 10 минут охладилось от 100°C до
60°C, то через сколько времени температура тела станет равной 30°C?
Решение: Пусть - скорость охлаждения тела в воздухе, - температура воздуха, ,
- температура тела, зависящая от температуры воздуха. По условию задачи ,
тогда , используя физический смысл производной , т.о.
. Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными,
решим его
- с разделёнными переменными
- общее решение.
Найдём частное решение, подставив начальные условия :
, получим
, по свойству логарифмов , далее потенцируем
; - частное решение.
Найдём из дополнительных условий: за мин. температура тела уменьшилась до
:
; ;;;;;
Подставим в частное решение:
Вычислим теперь, через сколько времени температура тела станет равной 30°C:
; ; ; ;
; ; (мин).
Задание 4 Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счёт трения,
причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти:1)скорость вращения диска в
момент t=120 с,если при t=0 он вращался со скоростью 12 рад/с,а при t=10с его скорость стала
8рад/с; 2)момент времени, когда скорость вращения диска окажется равной 1рад/с.
Решение: Пусть - угловая скорость вращения диска в момент времени t, тогда замедление
вращения диска, под воздействием силы трения равно. Согласно условию ,где k-
коэффициент пропорциональности. Разделив переменные и интегрируя получим ,
,,откуда или
(*)
Найдём постоянную величину С1 при начальных условиях =12 рад/с при t=0. Подставив эти
значения в равенство (*) имеем ,то есть С1==12. Таким образом
(**)
Найдём числовое значение k по следующим данным t=10с и =8рад/с. Подставим эти
значения в равенство (**):, откуда , прологарифмируем
Подставив значение k в равенcтво (**) получим
(***)
Найдём скорость значения диска в момент времени t=120с, подставим в равенство (***) значение t=120с
Определим в какой момент времени диск будет вращаться со скорость 1рад/с . Подставив в
соотношение (***) значение =1 имеем
, ,прологарифмируем
Задание 5 Даны функции спроса q(p) и предложения s(p) на некоторый товар. Требуется:
1) найти функцию p(t) равновесной цены при заданном начальном условии;
2) определить, является ли равновесная цена устойчивой.
Решение. условие равновесной цены: q(p) = s(p) (спрос равен предложению). Составляем и решаем дифференциальное уравнение:
разделяем переменные p и t, после чего интегрируем левую часть уравнения по p,
а правую – по t:
Вносим под дифференциал выражение 2 - 0,4p, учитывая, что (2 - 0,4p)`= - 0,4:
Выражая p через t, получаем функцию зависимости цены от времени:
При t=0, p=7 имеем: откуда c=5-7=-2.
При этом получим функцию равновесной цены:
Вычислим предел на бесконечности функции равновесной цены от времени:
Так как предел на бесконечности равен числу, то равновесная цена является устойчивой
Задания для самостоятельного решения
Найти закон движения тела по оси Оy, если оно начало двигаться из точки М (0;6) со скоростью
Точка движется с начальной скоростью . Найти закон движения, если ускорение точки задаётся уравнением , причём t=1, s=0
Вода в открытом резервуаре с начала имела температуру 70°,а через 10 минут температура воды стала 65° ,температура окружающей резервуар среды 15°,определить температуру воды в резервуаре через 30 минут от начального момента
Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найти с какой скоростью будет вращаться диск в момент t=120с, если при t=0 он вращался со скоростью 12рад/c, а при t=10c его скорость стала равна 8рад/c
Имеется 50 литров раствора, содержащего 10кг соли, остальная часть воды. В резервуар, в котором помещается раствор втекает вода со скорость 2л/мин и смесь вытекает из него с такой же скоростью, причём концентрация поддерживается равномерной путём помешивания. Сколько соли будет содержать рассол по истечении двух часов?
Контрольные вопросы
Какие задачи, относящиеся к специальности, могут быть смоделированы и решены с помощью дифференциальных уравнений?
Какие физические и экономические закономерности могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений?
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Практическое занятие №9
«Определение сходимости рядов»
Цель занятия:
освоение знаний алгоритма исследования на сходимость числовых, функциональных и
степенных рядов, умений исследовать на сходимость указанные ряды
При выполнении задания студент должен:
знать:
определения числовых и функциональных рядов;
необходимый и достаточный признаки сходимости рядов, признак Даламбера; признак Коши
признаки знакопеременных рядов, признак Лейбница,
метод представления функций в степенные ряды с помощью ряда Маклорена;
уметь:
определять сходимость числовых и функциональных рядов по признакам сходимости;
применять признак Лейбница для знакопеременных рядов;
разлагать элементарные функции в ряд Маклорена.
Краткие теоретические сведения
Числовые ряды
Пусть - бесконечная последовательность чисел. Выражение
называется числовым рядом, числа - членами
ряда, - общим членом ряда.
Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой этого ряда:
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет
конечный предел: . Значение S называется суммой ряда. Если ряд не сходится, то
он называется расходящимся.
Основные свойства рядов
Пусть дан ряд . Ряд называется остатком данного ряда. Если сходится ряд , то сходится и n-й остаток этого ряда и наоборот.
Если сходится ряд , то сходится и ряд , причем сумма
последнего ряда равна aS.
Если сходятся ряд и ряд , имеющие
соответственно суммы S и T, то сходится и ряд ,
причем сумма последнего ряда равна S+T.
Признаки сходимости рядов с положительными членами
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то . Этот признак сходимости является необходимым, но не является достаточным.
Достаточный признак расходимости: если для ряда предел , то ряд
расходится.
Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда: и
, причем Тогда если сходится ряд , то будет сходиться и ряд
; если расходится ряд , то будет расходиться и ряд .
Второй признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда: и
. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда
и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
В качестве рядов сравнения часто выбирают:
а) геометрический ряд , который при - сходится (бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия) и имеет сумму при - расходится;
б) гармонический ряд , являющийся расходящимся;
в) обобщенный гармонический ряд , который при p>1- сходится, при p1- расходится
Признак Даламбера. Если для ряда (7.1) существует , то при p<1 ряд
сходится, а при p>1 ряд расходится (при p=1 вопрос остается нерешенным).
Признак Коши. Если для ряда (7.1) существует , то при q < 1 ряд
сходится, а при q > 1 ряд расходится (при q = 1 вопрос остается нерешенным).
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительныечисла произвольного знака.
Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный изабсолютных величин его членов: . В этом случае исходный ряд
называется абсолютно сходящимся. Если же знакопеременный ряд сходится, а составленный
из абсолютных величин его членов ряд расходится, то исходный ряд называют условно сходящимся.
Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют
различные знаки, т.е. где
Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются
следующие два условия:
- абсолютные величины его членов монотонно убывают: ; - .
Алгоритм исследования на сходимость знакопеременных рядов:
исследовать на сходимость ряд, составленный из модулей членов данного ряда, используя какой-либо признак сходимости;
cделать вывод об абсолютной или условной сходимости этого ряда;
выяснить, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница, для этого: проверить, выполняется ли равенство для абсолютных величин членов ряда; - найти предел общего члена ряда;
сделать вывод о сходимости данного исходного ряда.
Функциональные ряды
Выражение называется функциональным рядом относительно переменной x.
Степенной ряд – это функциональный ряд вида, где - действительные числа (коэффициенты ряда).
Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые
могут быть как сходящимися, так и расходящимися. Множество тех значений х, при которых
функциональный ряд сходится, называют областью сходимости ряда. Если значение
принадлежит области сходимости ряда , то говорят о сумме этого функционального
ряда в точке : .
Для любого степенного ряда существует такое неотрицательное число R, что этот ряд сходится абсолютно при и расходится при . Поведение ряда при подлежит
дальнейшему анализу. Число R называется радиусом сходимости данного степенного ряда.
Область значений переменной x: -R<x<R – интервалом сходимости.
Если R = 0, то ряд сходится лишь при x = 0, если же R=, то ряд сходится при любом
действительном x. Радиус сходимости ряда находят по формуле
Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки x = a непрерывные производные до (n + 1) – ого порядка включительно. Тогда для любого x из этой окрестности имеет место формула Тейлора:
Если , то ряд сходится и его суммой будет функция f(x).
Представление функции f(x) в виде ряда называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при a = 0 разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:
Алгоритм представления элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора (Маклорена)
Вычислить последовательные производные данной функции в точке х=х0.
Составить ряд Тейлора (Маклорена) для функции
Определить промежуток сходимости полученного ряда.
Образец решения задач
Задание 1 Исследовать числовой ряд на сходимость
Решение: используем необходимый признак сходимости
, следовательно ряд расходится
Задание 2 Исследовать числовой ряд на сходимость
Решение: по условию , сравним ряд с геометрическим рядом: ,
применим первый признак сравнения рядов:
Так как ряд сходится, то сходится и ряд
Задание 3 Исследовать числовой ряд на сходимость
Решение: имеем ряд вида Сравним с гармоническим рядом
Применим второй признак сравнения рядов: . Так как
предел конечен и отличен от нуля, а ряд расходится, то расходится и данный ряд.
Задание 4 Исследовать числовой ряд на сходимость
Решение: применим признак Даламбера; имеем тогда ,
Так как p=0<1, то ряд сходится
Задание 5 Исследовать на сходимость ряд
Решение: применим признак Коши:
.
Так как , ряд сходится.
Задание 6 Исследовать на сходимость ряд
Решение: Этот ряд знакочередующийся. Первое условие Лейбница не выполняется:
1,1 > 1,02 > 1,003 > …
Проверим выполнение второго условия:
Так как ряд расходится
Задание 7 Исследовать сходимость ряд
Решение: Имеем знакопеременный ряд. Составим ряд из абсолютных величин:
Этот ряд сходится как бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.
Задание 8 Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
Решение: данный ряд знакочередующийся. Проверяем условия Лейбница.
- верно
- верно
Условия Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.
Составим ряд из абсолютных величин: . Это ряд Дирихле, , следовательно он расходится. Значит, исходный данный ряд сходится условно
Задание 9 Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
Решение: данный ряд знакочередующийся. Проверяем условия Лейбница.
- верно
- верно.
Условия Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.
Составим ряд из абсолютных величин: . Исследуем его на сходимость, применив признак Даламбера:
ряд составленный из абсолютных величин сходится исходный ряд сходится абсолютно
Задание 10 Найдите интервал сходимости степенного ряда
Решение: Найдём радиус сходимости
Т.е. (-1;1) – интервал сходимости.
Проверим сходимость на концах интервала.
При - числовой знакоположительный ряд, ряд Дирихле, , значит, ряд расходится.
При - числовой знакочередующийся ряд. Проверяем условия Лейбница:
- верно
- верно
Условия Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится. А так как ряд , составленный из абсолютных величин расходится, то ряд ) сходится условно.Следовательно - интервал сходимости
Задание 11 Найдите интервал сходимости степенного ряда
Решение: найдём радиус сходимости.
- интервал сходимости.
Задание 12 Разложить функцию в ряд Маклорена
Решение: по формуле:
,
,
,
,
,
…
Задание 13 Разложить функцию в ряд Маклорена
Решение: используем разложение функции косинуса:
Умножим аргумент на 2:
Далее умножим всё на х, получим:
Задания для самостоятельного решения
Исследуйте числовые ряды на сходимость
Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость
Найдите интервал сходимости степенного ряда
Разложите функцию в ряд Маклорена
8
Контрольные вопросы
Числовые ряды: основные понятия и определения
Необходимый и достаточный признаки сходимости числовых рядов
Признаки сходимости Даламбера, Коши, признаки сравнения
Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость рядов
Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов
Функциональные ряды. Степенные ряды.
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №10
«Выполнение операции над множествами и графами»
Цель занятия:
освоение знаний и умений выполнения простейших операций над множествами и графами, решения задач с использованием диаграмм Эйлера-Венна
При выполнении задания студент должен:
знать:
определение множества
операции над множествами
понятие графа
уметь:
производить операции над множествами и изображать их в виде диаграмм Эйлера-Венна
находить гамильтонов путь в графе
Краткие теоретические сведения
Множество - совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
Множество состоит из элементов. Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, В, С.... Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а, b, с,
Принадлежность элемента а к множеству N записывают: а N
Способы задания множеств
Перечисление всех объектов, входящих в множество: N={а, в,с}.
Описание характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества.
Обозначается: N = {х| Р(х)} или N = {х: Р(х)}.
Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества A является элементом множества В. Обозначается АВ.
Среди всех множеств выделяется пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается знаком .
Если одновременно АВ и ВА, то говорят, что множества А и В равны (А = В).
Операции над множествами
Для наглядного представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его - кругов Эйлера, представляющих множества. Вместо кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые
фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна. Для рассуждений, связанных с множествами, используют язык диаграмм Эйлера-Венна.
Объединение множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее их всех тех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному их множеств А1, А2 (рис. 12а), обозначается: B = A1A2, или В= {х|х Al или х А2}.
Пересечение множеств А1 и А2 называется множество B, состоящее из тех и только тех
элементов, которые принадлежат и множеству и множеству А2 одновременно (рис. 12б), обозначается:В = А1А2 или В = {х| х Ах и х Аг }.
Разность множеств А1 и A2 называют множество B, состоящее только из тех элементов
множества А1 ,которые не содержатся в A2 (рис. 12в), обозначается: В=А1\А2, или В= {х\х€ Аъ х<£А2}.Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Дополнение (до U) множества A называется множество всех элементов, не
принадлежащих А, но принадлежащих универсальному множеству U(рис. 12г), обозначается:
=U\A.
Рисунок 12
1943105207000
1466859144000 24193513017500 29908512827000
а б в г
Основные понятия теории графов
Графические представления - удобный способ иллюстрации различных понятий, отображения исследуемого процесса. Мощными и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы.
Граф - конечная совокупность точек, называемых вершинами; некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа. Рёбра графа могут изображаться как прямыми, так и кривыми линиями.
Если вершина графа не соединена с другими вершинами отрезками, её можно назвать изолированной. Если каждая вершина графа соединена отрезками со всеми остальными, то граф будет называться полным.
Граф называется ориентированным, если указано направление дуг, неориентированным, если такое направление не указано. Граф называется петлей, если его начало и конец совпадают.
Две вершины называются смежными, если существует соединяющая их дуга.
Степенью (валентностью) вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина. Кратностью пары вершин называется число соединяющих их ребер
или дуг. Подграфом Ga графа G называется граф, в который входит лишь часть вершин графа G вместе с дугами их соединяющими. Частным графом Gb графа называется граф, в который входит лишь часть дуг графа G вместе с вершинами их соединяющими.
Путем в графе G называется такая последовательность дуг, в которой конец каждой последующей дуги совпадает с началом предыдущей. Длиной пути называют число входящих в этот путь дуг. Путь может быть конечным и бесконечным. Путь, в котором никакая дуга не встречается дважды, называется элементарным путём. Контур – это конечный путь, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Контур называется элементарным, если все его вершины различны (кроме начальной и конечной). Контур единичной дуги называется петлей.
В неориентированном графе понятие дуга, путь, контур заменяются соответственно на ребро, цепь, цикл. Ребро – отрезок, соединяющий две вершины, цепь – последовательность ребер. Цикл – конечная цепь, у которой начальная и конечная вершина совпадают.
Граф называется связанным, если любые его две вершины можно соединить цепью. Граф, который не является связанным, может быть разбит на конечное число связных графов, называемых компонентами, или частями. Ребро графа G называется мостом, если граф, полученный из G путем удаления этого ребра, имеет больше компонент связности, чем граф G.
Точкой сочленения графа называется вершина, удаление которой приводит к увеличению числа его компонент связности.
Гамильтонов путь на графе – путь, проходящий по одному разу через все вершины графа.
Образец решения задач
Задание 1 Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8, 16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти АUВ, СUD, В∩С, А∩D, А\С, D\В, АUВUС, А∩В∩С, ВUD∩С, А∩С\D.
Решение: Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность.
Получим АUВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16};
СUD={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20};
В∩С={16};
А∩D=Æ;
А\С={2, 3, 5, 8};
D\В={0, 20};
АUВUС={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16};
А∩В∩С=Æ;
ВUD∩С={1, 3, 4, 8, 16};
А∩С\D={13, 15}.
Задание 2 Изобразить следующие множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
1) (АUВ)\(С∩А), 2) А∩В∩С, 3) В\(АUС)
Решение:
1) (АUВ)\(С∩А):
а) (АUВ) б) (С∩А) в) (АUВ)\(С∩А)
2) А∩В∩С:
а) А∩В б) А∩В∩С
3) В\(АUС):
а) АUС б) В\(АUС)
Задание 3 Опрос 100 студентов, изучающих иностранные языки, показал: английский язык изучают 29 студентов, немецкий –30, французский –9, только французский - 1, английский и немецкий – 10, немецкий и французский – 4, все три языка – 3 студента. Сколько студентов не изучают ни одного языка? Сколько студентов изучают только немецкий язык? При решении использовать диаграммы Эйлера-Венна.
Решение: Введем обозначения (рисунок 14):
I – множество всех опрошенных студентов;
А – множество студентов, изучающих английский язык;
Н – множество студентов, изучающих немецкий язык;
Ф – множество студентов, изучающих французский язык
По условию задачи очевидно, что =3, тогда =4-3=1; 10-3=7. В таком случае только немецкий язык изучают 30-7-3-1=19 студентов.
Из условия задачи также следует, что 9-1-1-3=4, а поэтому только английский язык изучают 29-4-3-7=15 студентов.
Тогда число студентов, не изучающих ни одного языка, будет равно
100-(1+1+3+4+7+15+19)=50 студентов.
Рисунок 14
Задание 4 Найти Гамильтонов путь от вершины 1 к вершине 5 (рисунок 15
Рисунок 15
Решение:
"2"1) S = {1}2) S = {1, 2}3) S = {1, 2, 3} 4) S = {1, 2, 3, 4} 5) S = {1, 2, 3, 4, 5} - Г 4→3 4→56) S = {1, 2, 3, 4}7) S = {1, 2, 3} 3→1 3→2 3→48) S = {1, 2}9) S = {1}"3"10) S = {1, 3} 3→211) S = {1, 3, 2} 2→112) S = {1, 3} 2→313) S = {1, 3, 4} 3→4 4→514) S = {1, 3, 4, 5, 4} 5→нет15) S = {1, 3, 4}16) S = {1, 3}17) S = {1}"5"18) S = {1, 5}19) S = {1, 5, 4}20) S = {1, 5, 4, 3}21) S = {1, 5, 4, 3, 2} - Г22) S = {1, 5, 4, 3}23) S = {1, 5, 4}24) S = {1, 5}25) S = {1}26) S = Ш
Задания для самостоятельного решения
Дано универсальное множество, а также множества , , . Построить диаграммы Эйлера-Венна. Найти множества , , ,
Среди 100 деталей прошли обработку на первом станке 42 штуки, на втором – 30 штук, а на третьем – 28. Причем на первом и втором станках обработано 5 деталей, на первом и третьем – 10 деталей, на втором и третьем – 8 деталей, на всех трех станках обработано три детали. Сколько деталей обработано на первом станке и сколько деталей не обработано ни на одном из станков? Решить задачу с использованием диаграммы Эйлера-Венна
Найти Гамильтонов путь от вершины 1 к вершине 5 (рисунок 16)
Рисунок 16
Контрольные вопросы
Элементы и множества.
Способы задания множеств
Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.
Графы. Основные определения. Элементы графов
Виды графов.
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Практическое занятие №11
«Нахождение вероятности событий»
Цель занятия:
освоение знаний основных понятий по теории вероятностей, умений решать простейшие задачи
на определение вероятности событий
При выполнении задания студент должен:
знать:
понятия вероятности события,
понятия совместные и несовместные события;
теорему сложения вероятностей;
теорему умножения вероятностей;
формулу полной вероятности,
формулу Бернулли
формулу Байеса
уметь:
находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение
вероятностей и формулы комбинаторики;
решать задачи с применением теорем и формул
Краткие теоретические сведения
Основные понятия
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при неоднократном повторении каждый раз протекают по-разному.
Комбинаторика – это раздел теории вероятностей, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов, удовлетворяющих некоторым условиям и подсчета числа всех возможных комбинаций.
Существует три типа комбинаторных задач: 1) на составление перестановок, 2) на составление размещений, 3) на составление сочетаний
Перестановки - всевозможные упорядоченные комбинации, состоящие из n различных элементов. Число перестановок вычисляется по формуле:
Размещения - всевозможные упорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов, вычисляется по формуле:
Сочетания - всевозможные неупорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов, вычисляется по формуле:
При решении комбинаторных задач используют следующие правила:
Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов s способами, а другой объект B может быть выбран t способами, то выбрать объект A либо B можно (s+t) способами.
Правило произведения: если объект A можно выбрать из совокупности объектов s способами и после каждого такого выбора можно выбрать объект B t способами, то объект A и B можно выбрать способами.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В,С...
Виды событий:
Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно
произойти.
Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.
Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или не может
произойти.
Несовместные события - события, если в результате данного испытания появление одного
из них исключает появление другого.
Совместные события - события, если в результате данного испытания появление одного из
них не исключает появление другого.
Равновозможные события - события, если нет оснований считать, что одно из них
происходит чаще, чем другое.
События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно
произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
Противоположные события - два несовместных события А и Ā (читается «не А»), если в
результате испытания одно из них должно обязательно произойти.
Операции над событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Определение вероятности
Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.
Вероятность обозначается буквой Р (probability (англ.) – вероятность).
Классическое определение вероятности: Вероятностью Р(А) события А называется
отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу равновозможных
несовместных исходов n: Р(А)=m/n
Свойства вероятности:
Вероятность случайного события А находится между 0 и 1, т.е. 0<Р(А)<1
Вероятность достоверного события равна 1
Вероятность невозможного события равна 0
Условная вероятность – вероятность наступления событий, вычисленная в предположении, что событие уже произошло
Теоремы сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих
событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).
Теоремы умножения вероятностей
Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей
этих событий: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного
из них на условную вероятность второго при условии первого:
P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)
Формула полной вероятности
Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий Hi, i = 1,..., n. Предположим, что события Hi несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны. Такие события Hi называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:
Формулы Байеса
Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Нk, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Нk. Эти условные вероятности (т.е. при условии, что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:.
Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.
Формула Бернулли
Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления одного исхода при одном испытании обозначают p , а не появления его q, причём q=1-p. Вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по формуле:
Образец решения задач
Задание 1 Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 100 изделий. Проверку не выдерживают 5 изделий. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?
Решение:
n=100 - число всех исходов – количество всех изделий
m=100-5 - число благоприятных исходов – количество качественных изделий
Задание 2 Из 500 деталей, среди которых 100 бракованных, наугад берутся 2 детали. Какова вероятность того, что из двух взятых деталей одна бракованная?
Решение:
n - число всех исходов (взяли 2 детали из 500)
m - число благоприятных исходов (взяли 1 деталь из 100 бракованных и 1 деталь из 400 годных)
, т.е. 32%
Задание 3 Мастер обслуживает 5 станков. 30% рабочего времени он проводит у первого станка, 20 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 10 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у второго или пятого станка
Решение: пусть A,B,C,D,E - события, которые состоятся, если в наугад выбранный момент времени мастер находится соответственно у 1,2,3,4-го или 5 станка. Из условия задачи следует что A,B,C,D,E попарно несовместные события.
Р(А)=0,20, Р(В)=0,10, Р(С)=0,15, Р(D)=0,25, Р(Е)=0,30.
В+Е-событие, которое состоится, если мастер находится у 2-го или 5-го станка.
По теореме сложения вероятностей
Р(В+Е)=Р(В)+Р(Е)=0,10+0,30=0,40, т.е. 40%
Задание 4 В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.
Решение: А - событие, состоящее в том, что тока нет,
- событие, состоящее в том, что ток есть,
= В1*В2*В3, где Вi - событие, состоящее в том, что элемент исправен
Задание 5 С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го – по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно , и . Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.
Решение: по формуле полной вероятности: найдём вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная:
По формуле Байеса:
найдём вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах
Задание 6 Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём
Решение: искомую вероятность найдём по формуле Бернулли:
Из условия задачи n = 10, m = 3, p = 0,2, тогда q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8, следовательно
, т.е. 30%
Задание 7 В магазине покупателей обслуживают три кассовых аппарата А1, А2, А3, каждый из которых в течение рабочего дня может проработать безотказно с вероятностями 0,85, 0,9 и 0,95 соответственно. Найти вероятность того, что в течение дня выйдут из строя:
а) первый и третий аппарат;
б) только один аппарат;
в) хотя бы один аппарат.
Решение: Вычисляем вероятности противоположных событий, состоящих в том, что в течение дня кассовые аппараты выйдут из строя:
а) Вероятность того, что в течение дня выйдут из строя первый и третий аппарат, вычисляем по теореме вероятности произведения событий. Так как события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:
б) Вероятность того, что в течение дня выйдет из строя только один аппарат, вычисляем по теоремам вероятностей суммы и произведения событий:
в) Событие, состоящее в том, что в течение дня хотя бы один кассовый аппарат выйдет из строя, противоположно событию, состоящему в том, что в течение дня все аппараты проработают безотказно. Применяя формулу вероятности противоположного события и теорему вероятности произведения событий, получим:
Задания для самостоятельного решения
Среди 200 изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 180 высшего сорта. Найти вероятность извлечения не высокосортного изделия
В партии из 20 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 3 стандартных
Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 65% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта
Участок электрической цепи состоит из трёх элементов, каждый из которых работает незави- симо от двух других. Элементы не выходят из строя за определённый промежуток времени соответственно с вероятностью -0,8, 0,7, 0,9. Определить вероятность нормальной работы всего участка
Литьё на болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго, при этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха - 20% Найти вероятность того, что одна взятая на удачу болванка не имеет дефектов
Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём
Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, – высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник?
Контрольные вопросы
Задачи теории вероятностей.
Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
Понятие испытания и события. Виды событий.
Сумма и произведение событий
Определение вероятности события
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Формула Бернулли
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999.- 479с.: ил.
Практическое занятие №12
«Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»
Цель занятия:
освоение знаний построения закона распределения дискретной случайной величины,
нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной
величины
При выполнении задания студент должен:
знать:
способы задания случайной величины,
определения непрерывной и дискретной случайных величин;
закон распределения случайной величины,
определение математического ожидании, дисперсии и среднего квадратического отклонения
дискретной случайной величины;
уметь:
строить ряд распределения случайной величины;
находить функцию распределения случайной величины.
находить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины по заданному закону ее распределения
Краткие теоретические сведения
Случайная величина - величина, которая принимает в результате испытания то или иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.
Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.
Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счётное
множество значений
Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определённом интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал принципиально невозможно.
Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможное значение – соответствующими строчными буквами x, y, z.
При многократных испытаниях определённые значения случайной величины могут встречаться несколько раз. Поэтому, для задания случайной величины недостаточно перечислить лишь все
её возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытания при одних и тех же условиях, т.е. нужно задать вероятности их появления.
Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения случайной величины.
Распределением (законом распределения) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы, в графическом и аналитическом виде.
Пусть дискретная величина X принимает значения Х=х1, Х=х2,…, Х=хn. Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(Х = х1) = р1, Р(Х = х2) = р2,…, Р(Х = хn) = рn.
Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания распределения дискретной случайной величины:
Значение случайной величины х1х1х2… хnВероятности значений р1р1р2… рnТак как в результате испытания случайная величина Х всегда примет одно из своих возможных значений х1, х2, … хn, то эти случайные события образуют полную группу событий и
nр1 + р2 + …+ рn = ∑ pi = 1.
i =1
Табличную формулу задания называют также рядом распределения.
Для наглядности ряд распределения можно представить в графическом виде, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений.
Функция распределения
В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величина Х принимает некоторое определённое значение хi ,необходимо знать, что случайная величина Х меньше хi. Эта вероятность задаётся интегральной функцией распределения.
Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X < x).
Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше xi, т. е. F(xi) = P (X < xi) = ∑ P(xi), где неравенство x < xi под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на все значения х меньше xi.
Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причём при переходе слева к точкам разрыва функция сохраняет своё значение. На графике это отмечено чёрной точкой. Сумма величин всех скачков функции F(x) равна 1.
Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в сжатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математические ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:
Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Дисперсия случайной величины Х - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания М (Х), обозначают D(X), т.е. D(X) = M(X – M(X))2
Для дискретных случайных величин эту формулу можно записать в следующем виде:
Для вычислений удобно использовать формулу: D(Х) = М(Х2) –М2(Х)
Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представлять о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания: (Х) =
Образец решения задач
Задание 1 Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики
хi-1 2 6
pi 0,5 р0,2
Решение: Сначала найдём неизвестное р2 =1– р1 – р3 =1–0,5–0,2=0,3
Для нахождения функции распределения воспользуемся схемой:
Получим
Построим график функции распределения
Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой:
Получим M(X)=(-1).0,5+2.0,3+6.0,2=1,3
Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.
По определению:
В примере получим: D(X)=(-1-1,3)2 . 0,5+(2-1,3)2 . 0,3+(6-1,3)2 . 0,2=7,21
По формуле: D(Х) = М(Х2) –М2(Х)
M(X2) = (-1)2 . 0,5+22 . 0,3+62 . 0,2=8,9
М2(Х) = 1,32 = 1,69
D(X) = 8,9 – 1,69 =7,21
Проверяем: значения D(X) совпадают
Среднее квадратическое отклонение находим по формуле
(Х) =
(Х) =
Задание 2 Депозитный риск (вероятность досрочного отзыва депозита) для трех клиентов некоторого банка есть величина постоянная, равная p=0,2. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отозванных депозитов. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины
Решение: Имеем серию n=3 независимых испытаний, в каждом из которых событие A (отзыв депозита) происходит с вероятностью p=0,2. Так как описанная в условии случайная величина X распределена по закону Бернулли, то вероятности p(X=m) того, что событие A произойдет m раз, могут быть вычислены по формуле Бернулли:
где - количество сочетаний из n элементов по m, определяемое комбинаторной формулой:
В нашем случае: n=3, p=0,2, q=1-p=1-0,2=0,8, поэтому:
Контроль:
Составляем закон распределения случайной величины X:
xi 0 1 2 3
pi 0,512 0,384 0,096 0,008
Вычисляем числовые характеристики данной случайной величины, распределенной по закону Бернулли:
математическое ожидание: M(X)=np
M(X)=3·0,2=0,6.
дисперсия: D(X)=np(1-p)
D(X)=3∙0,2∙0,8=0,48.
среднее квадратическое отклонение: (Х) =
(Х) =
Задание 3 Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти закон распределения этой случайной величины, математическое ожидание и дисперсию
числа отказавших приборов. Решение: принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем – вероятность безотказной работы приборовРассмотрим все возможные варианты:
1) Не отказал ни один прибор2) Отказал один из приборов0,302.3) Отказали два прибора4) Отказали три прибора5) Отказали все приборыПолучаем закон распределения:
х 0 1 2 3 4
р 0,084 0,302 0,38 0,198 0,036
Контроль: р=0,084+0,302+0,38+0,196+0,036=1
Математическое ожидание:
x2 0 1 4 9 16
р 0,084 0,302 0,38 0,198 0,036
Дисперсия:
Задания для самостоятельного решения
Выход из строя коробки передач происходит по трем основным причинам: поломка зубьев шестерен, недопустимо большие контактные напряжения и излишняя жесткость конструкции. Каждая из причин приводит к поломке коробки передач с одной и той же вероятностью, равной 0,1. СВ X – число причин, приведших к поломке в одном испытании. Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X и её
функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х). Построить график функции распределения
В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. СВ X – число включенных электродвигателей. Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X и её функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х). Построить график функции распределения
Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики
Х 3,2 5,2 8,1 4.5
Рр0,3 0,2 0.1
Контрольные вопросы
Случайная величина. Способы задания случайной величины.
Определения непрерывной и дискретной случайных величин
Закон распределения случайной величины
Функция распределения случайной величины и её график
Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999.- 479с.: ил.
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Практическое занятие №13
«Обработка статистических данных»
Цель занятия: приобретение навыков записи выборки в виде вариационного ряда и в
виде статистического ряда, вычисления числовых характеристик выборки, закрепить навыки вычисления числовых характеристик выборки и обработки результатов исследования с помощью математической статистики
При выполнении задания студент должен:
знать:
основные понятия математической статистики
уметь:
определять объем и размах выборки, моду и медиану
составлять вариационный ряд и статистическое распределение
строить функцию распределения, полигон гистограмму
находить статистические оценки параметров распределения
Краткие теоретические сведения
Задачи математической статистики
Математическая статистика — раздел прикладной математики, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности, позволяющую оценить надежность и точность выводов. Этот раздел прикладной математики посвящен изучению случайных величин по результатам наблюдений.
В прикладных задачах вероятность исследуемого события обычно неизвестна. Она
определяется приближенно по статистическим данным. Дать оценку полученной на основе опытных данных, вероятности события - одна из основных задач математической статистики.
Разработать методы анализа статистических данных зависимости от целей исследования. определить ее распределение с точностью до некоторого неизвестного параметра. Дать оценку этого параметра в виде числа или интервала, в котором с заданной вероятностью заключено значение неизвестного параметра.
Методы математической статистики широко применяются в самых различных областях
знаний - в физике, звездной астрономии, экономике, геологии, гидрологии, климатологии, биологии, медицине и др. Также широко используется математическая статистика и в промышленности. Исходным материалом являются статистические данные.
Основные понятия
Статистические данные - сведения о числе объектов какой-либо более или менее
обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.
Генеральная совокупность - совокупность всех исследуемых объектов.
Выборочная совокупностью (или выборка) - совокупность случайно отобранных
объектов из генеральной совокупности.
Объём выборки -число объектов выборочной или генеральной совокупности
Размах выборки -разность между наибольшим значением числовой выборки и ее
наименьшим значением.
Медиана – это значение, занимающее середину упорядоченного ряда, а в случае четного количества равное среднему арифметическому двух средних значений ряда
Мода – это значение признака выборки, имеющее наибольшую частоту
Распределение выборки
Пусть для изучения количественного признака X из генеральной совокупности извлечена выборка x1, х2,...., хi. Наблюдавшиеся значения хi, признака X называют вариантами. Повторяемость признака хi называется частотой ni. Сумма всех частот равна п. Относительная частота — рi = ni /n — выборочный аналог вероятности pi появления значения xi случайной величины X. Тогда выборочным аналогом ряда распределения естественно считать вариационный ряд. Вариационный ряд - выборка, представляющая собой неубывающую последовательность чисел
Частота - число членов совокупности с данной вариацией.
Относительная частота - отношение частоты к объему выборки
Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная (расположенная в порядке возрастания или убывания) совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами пi или относительными частотами рi.
Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.
Функция распределения - функцию F(x) ,определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)=Р(Х>x)
Графические изображения выборки
Для наглядного представления выборки часто используют различные графические
изображения. Простейшими графическими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. Пусть выборка задана статическим рядом: (x1, п1), (х2, п2), ..., (хi, ni).
Полигон частот - ломанная, отрезки которой соединяют точки(xi ;ni).
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат соответствующие им частоты ni. Точки (xi ;ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Аналогично полигону распределения строится полигон относительных частот. Нецелесообразно построение дискретного ряда для непрерывной случайной величины или для дискретной, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный ряд.
Полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi; Wi).
Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты Xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты Wj Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями
которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n,/h (плотность частоты). При большом объеме выборки более наглядное представление дает гистограмма
Статистические оценки распределения
Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить
первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в ряду наблюдений. Однако на практике зачастую этого недостаточно. Поэтому для дальнейшего изучения изменения значений случайной величины используют числовые характеристики вариационных рядов. Их обычно называют статистическими характеристиками или оценками.
Статистическое распределение – это таблица, в первой строке которой записаны все различные значения выборки в порядке возрастания, а во второй строке указаны соответствующие им частоты
Выборочной средней (выборочным математическим ожиданием) называют среднее
арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения признака выборки объема различны, то:Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то или .
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения
наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Если все значения признака выборки объема различны, то
164782516383000Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то
1800225127635000Выборочное среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из
выборочной дисперсии
Образец решения задач
Задание 1 В опыте было получено 30 наблюдений над случайной величиной X, составляющих выборочную совокупность. Они приведены в таблице.
89 83 94 90 95 90 98 82 89 87
92 92 94 98 95 94 88 86 80 90
82 92 84 99 86 92 91 81 86 82
По выборочным данным: 1) составить ряд распределения; найти размах выборки; 2) построить эмпирическую функцию распределения; 3) найти числовые характеристики выборки: в- выборочное среднее, Dв- выборочную дисперсию; в- выборочное среднее квадратическое отклонение;
Решение: 1) Составим ряд распределения: расположим наблюдения в порядке возрастания в верхней строке таблицы, в нижней строке nί - количество наблюдений в общем ряду наблюдений.
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
n.ί 1 1 3 1 1 0 3 1 1 2 3 1 4 0 3 2 0 0 2 1
Из этих наблюдений определим наибольшее Хмах = 99 и наименьшее Хмin = 80.
Вычислим размах варьирования d=Xmax – Xmin = 99-80=19.
2) Эмпирическая функция распределения определяет для каждого значения х относительную частоту события Х < x. Она принимает значения причем при >Таким образом, имеем
Построим график эмпирической функции распределения
22860011430000
400050018224500422910067945004000500182245002286006794500422910067945001
320040019177000342900077470002286007747000342900079375009/10
2857500201295002857500201295002286008699500320040086995008/10
22860096520007/10
262890010604500228600106045002628900106045006/10
24003001270002266951155700024003001270002171700115570005/10
1943100107950022669510795001714500125095001943100125095004/10
1143000134620001371600134620002266952032000171450020320003/10
914400298450022669529845006858001441450091440014414500114109529845002/10
2286001536700068389539370002266953937000457200153670001/10
22860048895000
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
3) Найдем числовые характеристики выборочной совокупности
Оценка математического ожидания признака Х
Выборочная дисперсия
=
Среднеквадратическое отклонение
Задание 2 В результате измерения получена выборка: 121, 115, 125, 125, 117, 124, 120, 120, 119, 121, 122, 127, 118, 120, 123, 130, 123, 116, 124, 127,122. Постройте гистограмму, если число частичных промежутков равно 5.
Решение: Наименьшее значение выборки: 115. Наибольшее значение выборки: 130.
Число попаданий выборки в частичные промежутки соответственно равно:
[115, 118)— 3, [118, 121)— 8, [121, 124)— 6, [124, 127) — 4, [127, 130] — 3.Составим интервальный вариационный ряд:
Для контроля правильности находим
Строим гистограмму:
Задание 3 Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
Решение: Объем выборки n=10; ее размах равен Δx=х-x=8-(-1)=9.
Записав значения выборки в виде неубывающей последовательности, получим вариационный ряд: -1, -1, 0, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 8.
Составим статистический ряд
xi -1 0 3 5 8
ni 2 1 4 2 1
Для контроля находим сумму частот 2+1+4+2+1=10 и убедимся в том, что она равна объему выборки. Вычислив относительные частоты, найдем выборочное распределение
xi -1 0 3 5 8
wi 2
10 1
10 4
10 2
10 1
10
Для контроля убедимся в том, что сумма относительных частот равна 1:
Задание 4 Постройте полигон относительных частот для статистического распределения выборки, заданной таблицей:
xi 1 2 3 4 5 6
ni 4 6 12 16 44 18
Решение: находим объем выборки как сумму частот всех вариант: n=4+6+12+16+44+18=100.
Находим относительные частоты всех вариант как отношения соответствующих частот к объему выборки:
xi 1 2 3 4 5 6
wi 0,04 0,06 0,12 0,16 0,44 0,18
Строим полигон относительных частот:
Задания для самостоятельного решения
В результате эксперимента была получена последовательность данных, составляющих выборочную совокупность наблюдений над случайной величиной X
88 94 91 98 87 88 86 89 86 82 93 86 81 83 84 87 88 86 89 86
По выборочным данным требуется:
определить объем и размах выборки
определить моду и медиану
составить вариационный ряд
составить статистическое распределение частот и относительных частот
построить эмпирическую функцию распределения
построить полигон частот и относительных частот
построить гистограмму частот и относи тельных частот
найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю; выборочную дисперсию;
выборочное среднее квадратическое отклонение
Контрольные вопросы
Предмет математической статистики, основные задачи статистики. Область применения статистических методов
Понятие о генеральной совокупности и выборки
Вариационный ряд
Объём, размах, мода, медиана выборки
Частота и относительная частота
Статистическое распределение.
Гистограмма. Полигон
Характеристики положения и рассеяния статистического распределения
Статистические оценки параметров распределения
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999.- 479с.: ил.
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Практическое занятие №14
«Вычисления интегралов численными методами»
Цель занятия:
освоение знаний вычисления интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле
Симпсона и оценке погрешностей, умений вычислять интегралы численными методами
При выполнении задания студент должен:
знать:
способы представления функции в виде прямоугольников и трапеций
формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона;
уметь:
вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона.
находить погрешности при численном интегрировании
Краткие теоретические сведения
Не все, даже сравнительно простые функции, могут быть проинтегрированы с помощью
элементарных функций. С другой стороны, определенный интеграл от непрерывной функции y
= ƒ(x) обязательно существует. Поэтому важное значение имеют методы приближенного
вычисления определенного интеграла, основанные на том, что определенный интеграл
, где a < b вычисляется как площадь криволинейной трапеции.
Формула прямоугольников
Площадь криволинейной трапеции заменяется суммарной площадью прямоугольников,
интервал разбивается на n равных частей длины h= и для точек деления x0, x1, x2…x n
вычисляются значения интегрируемой функции y=ƒ(x), считая, что x0 = a и x n = b. Интеграл
считается по формуле:
Вычисленное значение тем точнее, чем больше n. Оценка погрешности при вычислении по формуле прямоугольников определяется выражением: R
где - максимальная величина абсолютного значения первой производной во
всем интервале интегрирования, причем
Формула трапеций
В данном методе приближенного вычисления определенного интеграла площадь
криволинейной трапеции заменяется площадью прямолинейной трапеции. Интеграл находят по формуле:
Абсолютное значение остаточного члена не превышает значения
Формула Симпсона
Значительно более точные результаты получаются, если площадь криволинейной трапеции заменяют площадью полосы, ограниченной сверху не прямой линией, а дугой параболы, проходящей через три точки кривой с абсциссами a, x1= a+h и b=a+2h
Определённый интеграл равен:
Абсолютное значение остаточного члена: .
Образец решения задач
Задание 1 Вычислите : 1) точно по формуле Ньютона-Лейбница; 2) приближенно по одной из формул прямоугольников (n=5); 3) приближенно по формуле трапеций (n=5). Все приближенные результаты округлите до десятитысячных. Сравните полученные результаты, вычислив абсолютную и относительную погрешности.
Решение: Составим таблицу значений подынтегральной функции f(x)= в точках xi (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) разбиения отрезка интегрирования, приняв :
i xi 1+xi2 y=
0 0 1 1
1 0,2 1,04 0,9615
2 0,4 1,16 0,8621
3 0,6 1,36 0,7353
4 0,8 1,64 0,6098
5 1 2 0,5
1) По формуле Ньютона-Лейбница: =F(b)-F(a) вычисляем:
2) По формуле прямоугольников: вычисляем:
=(1+0,9615+0,8621+0,7353+0,6098)= 4,1687=0,8337.
Находим абсолютную погрешность вычисления по формуле прямоугольников:
Находим относительную погрешность вычисления по формуле прямоугольников:
3) По формуле трапеций: вычисляем:
=(+0,9615+0,8621+0,7353+0,6098+)=0,2*3,9187=0,7837
Находим абсолютную погрешность вычисления по формуле трапеций:
Находим относительную погрешность вычисления по формуле трапеций:
Видим, что при вычислении по формуле трапеций погрешность меньше, чем при вычислении по формуле прямоугольников, т.е. данные вычисления точнее
Задание 2 Вычислить определенный интеграл : 1) по формуле прямоугольников; 2) по формуле трапеций; 3) по формуле Симпсона. Оценить погрешность каждого вычисления. Сделать вывод о наиболее точном приближении
Решение: Положим n=10, т.е. разбиваем интеграл интегрирования от 1 до 2 на десять равных
частей:
Вычислим значение функции в точках разбиения:
i x
0 x0=1
1 x1=1,1
2 x2=1,2
3 x3=1,3
4 x4=1,4
5 x5=1,5
6 x6=1,6
7 x7=1,7
8 x8=1,8
9 x9=1,9
10 x10=2
По формуле прямоугольников получаем:
Полученное значение больше истинного, т.к. кривая обращена к оси x свое выпуклостью.
Вычислим остаточный член по формуле: R. Для этого определяем первую
производную подынтегральной функции:
Она представляет собой убывающую функцию и следовательно максимальное значение
принимает при меньшем x из заданного интервала , т.е. при x=1:
Подставляя в формулу, окончательно получаем:
Ошибка округления существенно меньше полученного R и, следовательно, её можно не
учитывать. Окончательно получаем:
.
По формуле трапеций получаем:
=0,1(+0,90909+0,83333+0,76923+0,71429+0,66667+0,625+0,55556+0,58824+0,52632+=0,69377
Оценим погрешность вычислений. Полная погрешность R0 складывается из погрешности
арифметических действий и остаточного члена R. , где -коэффициенты
формулы трапеции и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной
функции: .
Остаточный член оценим по формуле: , предварительно определив
максимальное значение второй производной функции на заданном интервале интегрирования.
;
.
- убывающая функция, на интервале наибольшее значение имеет в точке
x =1, т.е. .
По формуле остаточного члена получаем:
.
существенно меньше R, поэтому можно считать . С учетом точного решения
заданного определенного интеграла, абсолютная погрешность численного интегрирования
методом трапеций: 0,69377-0,69315=0,00062<R.
Окончательно получаем:
По формуле Симпсона
Получаем
Оценим погрешность вычислений. Остаточный член по формуле равен
В данном примере . Определим модуль максимального значения четвертой
производной: , , , ,
,
.
Погрешность арифметических действий не превышает
, .
Окончательно получаем:
Таким образом, вычисление по формуле Симпсона значение определенного интеграла имеет
наиболее точное приближение
Задания для самостоятельного решения
1 Вычислите определённый интеграл:
точно по формуле Ньютона-Лейбница
приближенно по формуле прямоугольников
приближенно по формуле трапеций
приближенно по формуле Симпсона
Приближёнными методами считать при n=10. Результаты округлите до тысячных. Сравнить полученные результаты, вычислив абсолютную и относительную погрешности. Сделать вывод о наиболее точном приближении
2 Вычислить определенный интеграл:
по формуле прямоугольников. Оценить погрешность вычислений
по формуле трапеций. Оценить погрешность вычислений
по формуле Симпсона с точностью до тысячных
Сделать вывод о наиболее точном приближении
Контрольные вопросы
Численное интегрирование
Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона,
Оценка погрешностей при численном интегрировании
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.
Практическое занятие №15
«Нахождение производных численными методами»
Цель занятия:
освоение знаний вычисления производных функции в точке по заданной функции методом
численного дифференцирования, умений вычислять производные численными методами
При выполнении задания студент должен:
знать:
интерполяционные формулы Ньютона;
таблицу конечных разностей;
уметь:
находить таблицу конечных разностей
по табличным данным находить аналитическое выражение производной.
Краткие теоретические сведения
В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции , заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции. В этих случаях прибегают к приближенному дифференцированию. Для вывода формулы приближенного дифференцирования данную функцию заменяют интерполяционным полиномом , и полагают: на отрезке
Интерполяционный полином Ньютона:
где - шаг интерполяции
- первая конечная разность:.
- вторая конечная разность: .
- конечные разности высших порядков:.
Производя перемножение и раскрывая факториал, получаем:
Учитывая, что , получаем формулу приближенного
дифференцирования:
Аналогично для второй производной:
Таким же способом можно вычислить производную любого порядка.
Если функция задана таблично, и значение производной нужно вычислить в узловых точках ,
то каждое табличное значение принимают за начальное и тогда и формулы численного дифференцирования существенно упрощаются:
.
Для второй производной:
.
Погрешности для вычисления производной определяются по формуле:
где - это максимальный порядок конечной разности, входящий в интерполяционный полином
Ньютона .
В формулы численного дифференцирования входят конечные разности разных порядков
функции . Справедливо общее утверждение: если полином
Px=a0xn+a1xn-1+...+anявляется полиномом -ой степени, то конечная разность n-го порядка – постоянная величина:∆nPx=const=n!a0hn. Конечные разности порядка выше, чем n, равны нулю.
В случае табличного задания функции y=f(x) для системы равноотстоящих точек
xii=0, 1, 2, 3,…, где ∆xi=xi+1-xi=h=const конечные разности определяются по формулам:
∆yi=∆yi+1-yi∆2yi=∆∆yi=∆yi+1-∆yi…………….∆nyi=∆∆n-1yi=∆n-1yi+1-∆n-1) Вычисленные конечные разности различных порядков располагают в форме таблицы, которую называют горизонтальной таблицей разностей или просто таблицей конечных разностей.
ixy∆y∆2y∆3y…0x0y0∆y0∆2y0∆3y0…1x1y1∆y1∆2y1∆3y1…2x2y2∆y2∆2y2∆3y2………………………………………Образец решения задач
Задание 1 Составить горизонтальную таблицу разностей функции y=x3-x2+6x-4.
Начальное значение принять равным нулю до конечного значения х5, шаг равен единице
Решение: Вычислим значения функции в точках х0 - х5
xiyix0=0y0=03-02+6∙0-4=-4x1=1y1=13-12+6∙1-4=2x2=2y2=23-22+6∙2-4=12x3=3y3=33-32+6∙3-4=32x4=4y4=43-42+6∙4-4=68x5=5y5=53-52+6∙5-4=126Вычислим конечные разности различных порядков и занесем их в таблицу
∆y0=y1-y0=2—4=6∆y1=y2-y1=12-2=10 ∆2y0=∆y1-∆y0=10-6=4xiyi∆yi∆2yi0-46412102123324685126Данная функция y=f(x) является полиномом третьей степени, поэтому третья разность ее постоянна и вычисляется по формуле: ∆nPx=const=n!a0hn∆3yi=3!∙1∙13=6xiyi∆yi∆2yi∆3yi0-464612102123324685126Дальнейшее заполнение таблицы удобно производить при помощи суммирования уже вычисленных значений величин. Согласно формулам: ∆3yi=∆2yi+1-∆2yi. Отсюда: ∆2yi+1=∆2yi+∆3yi, т.е. ∆2yi+1=∆2yi+6Таким образом, столбец ∆2y получается добавлением значения третьей разности (числа 6) к каждому вышестоящему элементу.
Для формирования столбца ∆y получаем формулу:∆yi+1=∆yi+∆2yiКаждый элемент столбца ∆y представляет собой сумму вышестоящего числа в этом столбце и соседнего с ним в столбце ∆2y. (См. стрелку в таблице). Используя формулы, для элементов столбца y получаем выражение, существенно облегчающее вычисление значений в узловых точках: yi+1=yi+∆yi. Правило заполнения столбца y такое же, как столбца ∆y
Ступенчатой ломаной отмечены исходные данные, необходимые для заполнения таблицы по указанным правилам
xiyi∆yi∆2yi∆3yi0 -4 6 4 6
1 2 10 10 +6
2 12 20 +16 3 32 +36 4 68 5 126 В итоге, проводя аналогичные вычисления получаем таблицу разностей заданной функции
xiyi∆yi∆2yi∆3yi0 -4 6 4 6
1 2 10 10 6
2 12 20 16 6
3 32 36 22 6
4 68 58 28 6
5 126 86 34 6
Задание 2 Построить таблицу разностей функции y=fx, заданной таблично:
xi0 1 2 3 4 5
yi1 5 15 35 70 140
Решение: Вычислим конечные разности первого порядка:
∆y0=y1-y0=5-1=4,∆y1=y2-y1=15-5=10,∆y2=y3-y2=35-15=20,∆y3=y4-y3=70-35=35,∆y4=y5-y4=140-70=70.Полученные значения разностей первого порядка занесем в столбец ∆y таблицы разностей.
Определим конечные разности второго порядка:
∆2y0=∆y1-∆y0=10-4=6,∆2y1=∆y2-∆y1=20-10=10,∆2y2=∆y3-∆y2=35-20=15,∆2y3=∆y4-∆y3=70-35=35Результаты заносим в столбец ∆2y.Конечные разности третьего порядка:
∆3y0=∆2y1-∆2y0=10-6=4,∆3y1=∆2y2-∆2y1=15-10=5,∆3y2=∆2y3-∆2y2=35-15=20.Результаты заносим в столбец ∆3y.Конечные разности четвертого порядка:
∆4y0=∆3y1-∆3y0=5-4=1,∆4y1=∆3y2-∆3y1=20-5=15.Результаты заносим в столбец ∆4y.Конечные разности пятого порядка:
∆5y0=∆4y1-∆4y0=15-1=14.Таким образом, таблица разностей для заданной функции имеет вид:
ixy∆y∆2y∆3y∆4y∆5y0 0 1 4 6 4 1 14
1 1 5 10 10 5 15 2 2 15 20 15 20 3 3 35 35 35 4 4 70 70 5 5 140 Задание 3 Для функции, заданной таблично, найти аналитическое выражение производной.
x1 2 3 4 5 6 7 8
y11 40 99 200 355 576 875 1264
Решение: Определим в точках задания аргумента значения производной функции.
Таблица конечных разностей для заданной функции:
ixy∆y∆2y∆3y∆4y0 1 11 29 30 12 0
1 2 40 59 42 12 0
2 3 99 101 54 12 0
3 4 200 155 66 12 0
4 5 355 221 78 12 5 6 576 299 90 6 7 875 389 7 8 1294 По формуле численного интегрирования:y'=1h∆y0-∆2y02+∆3y03-∆4y04+... имея шаг h=1 найдём значения первой производной:y'1=11∙29-302+123=18y'2=11∙59-422+123=42y'3=11∙101-542+123=78y'4=11∙155-662+123=126y'5=11∙221-782+123=186Составим таблицу конечных разностей для y'x:ixy'∆y'∆2y'∆3y'0 1 18 24 12 0
1 2 42 36 12 0
2 3 78 48 12 3 4 126 60 4 5 186 Используя данные последней таблицы и интерполяционную формулу Ньютона: y=y0 + q∆y0 + qq-12!∆2y0 + qq-1q-23!∆3y0 + qq-1q-2(q-3)4!∆4y0 + ...с учетом q=x-11 получаем:
y'x=18+x-1∙24+x-1(x-2)2∙12y'x=6x2+x+1Задания для самостоятельного решения
Составить таблицу конечных разностей функции y=10x3+5x+10, заданной аналитически от начального значения x0=0 до конечного значения х7, приняв шаг h=0,2
Для функции заданной таблично найти аналитическое выражение первой производной
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 4 22 56 106 172 254 252 466 596
Контрольные вопросы
Численное дифференцирование.
Таблица конечных разностей
Интерполяционные формулы Ньютона.
Погрешность в определении производной.
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.
Практическое занятие №16
«Решение дифференциальных уравнений численными методами»
Цель занятия:
освоение знаний нахождения значения функции с использованием метода Эйлера, умений
находить значения функции, определяемые заданным дифференциальным уравнением и
начальными условиями с использованием метода Эйлера
При выполнении задания студент должен:
знать:
метод Эйлера для решения задачи Коши;
уметь:
находить значение функции, определяемое заданным дифференциальным уравнением и
начальными условиями с использованием метода Эйлера
Краткие теоретические сведения
Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Однако, задание начальных условий позволяет получить вполне определенное решение
дифференциального уравнения. Нахождение частного решения дифференциального уравнения
n-ого порядка, удовлетворяющего заданным начальным условиям называют задачей Коши.
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии): если функция fx,y непрерывна в некоторой области около точки x0,y0, т.е. при x-x0<a и y-y0<b, то существует по крайней мере одно решение уравнения y'=fx,y, принимающее при x=x0 значение y0, определенное непрерывное в некотором интервале около x0. Если кроме того fx,y имеет в рассматриваемой области ограниченную частную производную ∂f(x,y)∂y<∞, то существует единственное решение y(x) обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Метод Эйлера для решения задачи Коши
Пусть интегральная кривая при начальном условии yx=x0=y0 задана уравнением:y'=fx,y. Тогда:
y1-y0=fx0,y0∙x1-x0 y2-y1=fx1,y1∙x2-x1… y-yn-1=fxn-1,yn-1∙x-xn-1Если шаг разбиения области непрерывного изменения аргумента сделать постоянным
xi+1-xi=∆x=h, то:
yi+1=yi+h∙fxi,yiили yi+1=yi+h∙y'(x)Очевидно, что чем меньше шаг разбиения h, тем точнее вычисляются координаты интегральной кривой.
Абсолютная погрешность вычисления следует из разложения:yx+h=yx+h1∙y'x+h22∙y''maxx при x0≤x≤xnR≤h22∙y''maxx Из формулы последней формулы определяют шаг разбиения h, если он не задан в условии задачи
Образец решения задач
Задание 1 Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y'=y-2x, где 0≤x≤0,5 , если при x0=0, y0=3. Вычисления произвести с абсолютной погрешностью ε=0,01.Решение: Проверим выполнение условий теоремы Коши:
1) fx,y=y-2x – непрерывная функция
2)∂fx,y∂y=∂y-2x∂y=1-частная производная по y является ограниченной функциейТаким образом, условия теоремы Коши выполнены.
Сделаем предварительную оценку шага разбиения h, вычислив y''x0. Согласно формуле R≤h22∙y''maxx, т.е. h22y''x≤ε, следовательно h2≤2εy''x0 Определим модуль значения второй производной функции в точке x=x0:ddxy'x=ddxy-2x=y'-2.По условию задачи y'=y-2x. Окончательно получаем: y''x=y-2x-2.Согласно начальным условиям при x0=0, y0=3y''x0=3-2∙0-2=1.Подставим полученное значение в формулу h2:h2≤2∙0,011=0,02;h≤0,02≈0,14.Выберем h=0,1 и произведем предварительный расчет. Учтем, что fx,y=y-2xx0=0y1=y0+h∙fx0,y0=3+0,1∙3-0=3,3x1=0,1y2=y1+h∙fx1,y1=3,3+0,1∙3,3-2∙0,1=3,61x2=0,2y3=y2+h∙fx2,y2=3,61+0,1∙3,61-2∙0,2=3,931x3=0,3y4=y3+h∙fx3,y3=3,931+0,1∙3,931-2∙0,3=4,2641x4=0,4y5=y4+h∙fx4,y4=4,2641+0,1∙4,2641-2∙0,4=4,6105x5=0,5y6=y5+h∙fx5,y5=4,6105+0,1∙4,6105-2∙0,5=4,9716
Значение вторых производных в точках разбиения:
x0=0y0=3,3y''x0=y0-2x0-2=3,3-2∙0-2=1,3x1=0,1y1=3,61y''x1=y1-2x1-2=3,61-2∙0,1-2=1,41x2=0,2y2=3,931y''x2=y2-2x2-2=3,931-2∙0,2-2=1,531x3=0,3y3=4,2641y''x3=y3-2x3-2=4,2641-2∙0,3-2=1,6641x4=0,4y4=4,6105y''x4=y4-2x4-2=4,6105-2∙0,4-2=1,8105x5=0,5y5=4,9716y''x5=y5-2x5-2=4,9716-2∙0,5-2=1,9716Модуль максимального значения второй производной функции на интервале 0≤x≤0,5 равен 1,9716. Пересчитываем h по формуле: R≤h22∙y''maxx, h2≤2εy''(0,5)=2∙0,011,9716≤0,0101;h≤0,1007.Таким образом, расчеты ординат интегральной кривой, выполненные выше при h=0,1, сделаны с абсолютной погрешностью не превышающей ε=0,01.Задание 2 Найти методом Эйлера численное решение дифференциального уравнения y'=y-xy+x при начальных условиях y0=1, принимая h=0,1. Ограничиться отысканием первых десяти значений.
Решение: Используя метод Эйлера по формуле: yi+1=yi+h∙y'(x) , т.е. yi+1=yi+h∙fxi,yi произведем расчет
xyx0=0y0=1x1=0,1y1=y0+h∙fx0,y0=1+0,1∙1-01+0=1,1x2=0,2y2=y1+h∙fx1,y1=1,1+0,1∙1,1-0,11,1+0,1≈1,183x3=0,3y3=y2+h∙fx2,y2=1,183+0,1∙1,183-0,21,183+0,2≈1,254x4=0,4y4=y3+h∙fx3,y3=1,254+0,1∙1,254-0,31,254+0,3≈1,315x5=0,5y5=y4+h∙fx4,y4=1,315+0,1∙1,315-0,41,315+0,4≈1,368x6=0,6y6=y5+h∙fx5,y5=1,368+0,1∙1,368-0,51,368+0,5≈1,414x7=0,7y7=y6+h∙fx6,y6=1,414+0,1∙1,414-0,61,414+0,6≈1,454x8=0,8y8=y7+h∙fx7,y7=1,454+0,1∙1,454-0,71,454+0,7≈1,489x9=0,9y9=y8+h∙fx8,y8=1,489+0,1∙1,489-0,81,489+0,8≈1,519x10=1y10=y9+h∙fx9,y9=1,519+0,1∙1,519-0,91,519+0,9≈1,545Получаем таблицу:
x0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
y1 1,1 1,183 1,254 1,315 1,368 1,414 1,454 1,489 1,519 1,545
Задания для самостоятельного решения
1 Применяя метод Эйлера численно решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями с шагом если
2 Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение . Вычисления провести с абсолютной погрешностью, не превышающую =0,01, если
Контрольные вопросы
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Теорема Коши
Метод Эйлера
Оценка погрешности при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений
Литература
Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)
Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.