«Коллективный способ обучения как способ активизации познавательной деятельности обучающихся
Опыт работы учителя математики МОУ Новоюрьевской СОШ – Братищевой Анны Серафимовны по проблеме «КСО как способ активизации познавательной деятельности учащихся на уроках».
Аннотация.
Опыт работы Братищевой А.С. направлен на развитие познавательной активности учащихся на уроках через коллективной способ обучения, ибо учитель считает, что ученик прочно и качественно усваивает лишь то, что может пересказать другому или применить на практике. Автором разработаны алгоритм работы с учащимися в ППС и ПСС по различным темам с 5 по 9 класс, по некоторым темам тестовые задания. Далее в работе даны примеры-разработки уроков в 9 классе по геометрии и 10-11 классах по алгебре и началам анализа. Приведены примеры карточек-образцов по изучению нового материала в ППС для 5-го класса и контроль знаний в форме деловой игры в ПСС как ответы на вопросы , так и тестирование.
В заключении даются авторские рекомендации работы малых групп по методике ВЗ в ПСС.
Список ИПМ.
Теоретическая интерпретация опыта.
Рекомендации автора по организации коллективного способа обучения по математике.
Алгоритм работы в ППС и алгоритм работы малой группы в ПСС.
Алгоритм зачета-деловой игры в ПСС.
Примеры карточек-путеводителей в ПСС.
Урок изучения нового материала в 5 классе на тему «Сложение и вычитание чисел, содержащих целые и дробные части» в ППС.
Урок изучения нового материала в 10 классе на тему: «Решение тригонометрических уравнений» в ПСС.
Урок обобщения пройденного в 11 классе по теме «Решение показательных уравнений» в ПСС.
Контроль знаний по геометрии в форме зачета-деловой игры в ПСС по теме: «Повторение пройденного».
Тестовый контроль знаний в 8 классе по теме: «Квадратные уравнения» в ПСС.
Литература.
Теоретическая интерпретация опыта.
Опыт работы автора направлен на повышение активности познавательной деятельности учащихся на уроках через организацию коллективного способа обучения, который развивает у школьников способность самостоятельно получать знания, перерабатывать их и применять при решении задач.
Научной базой опыта работы учителя является технология КСО, при которой используются различные методики: Ривина, Ривина-Баженова, методика взаимопередачи тем, Мурманская.
При организации такой формы работы учащиеся выполняют совершенно новые действия одновременно: - слушают объяснения соседа; - самостоятельно решая, обучаются без контроля со стороны учителя; - проговаривая соседу, повторяют сами, неся ответственность за обучение товарища. Т.о. объясняет, слушает, закрепляет, отвечает на вопросы товарищей, обучается самостоятельно, учитель перестает быть единственным источником знаний.
Элементы КСО автор применяет при изучении нового материала, при закреплении – решении задач, итоговом контроле знаний. А.С. наработаны дидактические материалы курсов 5 – 11 классов по алгебре и геометрии для работы в ПСС.
Результативность:
- расширяется общий кругозор знаний;
- формируются умения работать со справочной литературой, свободно ориентироваться в учебном материале;
улучшается техника чтения незнакомых текстов;
- улучшаются взаимоотношения друг с другом;
- исчезает ревностное отношение к оценке, каждый обучается в меру своих сил.
Условия и возможности реализации опыта:
- предметные МО, творческие группы;
- открытые уроки для педагогов школы и школ района;
- конференции, семинары;
- практикумы;
- панорамы методических идей.
2. Рекомендации автора по организации
коллективного способа обучения по математике.
Растущий объем информации, обрушивающийся на человека, делает актуальным не столько наличие знаний (возможности памяти все-таки ограничены), сколько умение эти знания приобретать, осмысливать и применять. Уроки, организованные по методикам коллективного способа обучения, развивают у учащихся способность получать, перерабатывать и применять знания.
Начинать работу надо в парах постоянного состава (ППС). Ученик лишь то усваивает быстро и качественно, что тут же применяется на деле или передается другому.
При работе в малой группе в парах сменного состава (ПСС) ученик выполняет 4 абсолютно новых действия: 1) слушает объяснение соседа; 2) решает самостоятельно, но при этом обучается, но не контролируется; 3) обучает сам, проговаривая соседу, при этом несет ответственность за обучение товарища, объясняет, закрепляет, отвечает на вопросы товарищей (от учителя на слух ученик усваивает примерно 10% информации, чтобы лучше усвоить, ему надо проговорить); 4) сверяет задания (задания № 2 в карточке не надо списывать друг у друга, т.к. никакая оценка ученику не грозит), работает самостоятельно.
При такой форме работы на уроках один ученик не «возвышается» над остальными, все работают в парах и по очереди друг с другом.
Работая в парах сменного состава, нельзя сказать, что мы решим все проблемы разом, конечно нет.
Однако, если вы попробуете поработать в данной системе, то, наблюдая за детьми, отметите следующее: расширение границ общего кругозора, изменение отношений к знаниям, друг к другу; умение работать со справочной литературой; умение ориентироваться в учебном материале; исчезновение страха перед новым материалом и перед конспектом, который надо прочитать; улучшение навыка и техники чтения, и, что самое интересное, у ребенка появляется уверенность в себе – он все может, ему все доступно, хотя он по-прежнему будет продолжать учиться на удовлетворительно; исчезает ревностное стремление получить оценку; учитель перестает быть единственным источником в получении знаний.
При использовании элементов КСО:
- каждый учащийся работает с отдачей по способностям;
- прочность усвоения материала оказывается более глубокой при использовании элементов КСО;
- умения и навыки самостоятельной работы помогают ученику общаться, работать в группе, готовят учащихся к жизни в современном обществе.
3. Алгоритм работы (с чего и как начинать)
Работу надо начинать в ППС (парах постоянного состава), т.е. с учащимися, сидящими за одной партой. Ученик получает карточку и первое задание ему кто-то вводит, второе задание он выполняет самостоятельно, затем образует пару с другим учеником. Первый ученик вводит свою карточку второму, т.е. объясняет первое задание и вписывает его своей рукой в тетрадь второму ученику. Затем второй ученик объясняет первому первое задание своей карточки и вписывает его в тетрадь первого ученика, после чего каждый выполняет вторую часть своего задания, после этого сверяют вторые задания обеих карточек и, если задания выполнены неодинаково, то пара ищет ошибки и исправляет их, а в случае затруднения обращается к учителю.
Алгоритм работы в малой группе по методике ВЗ в ПСС.
1) получите карточку;
2) поставьте точку ( . ) в листке учета, точка – сигнал: «я изучаю эту карточку»;
3) внимательно прочитайте конспект по заданной теме, проверьте себя, задайте вопросы себе и ответьте на них;
4) если вы не нашли ответ или не уверены в правильности ответа, то запишите вопросы для обсуждения с товарищами ( на черновиках), чтобы не отвлекать соседей;
5) приступайте к выполнению второго задания;
6) если вы считаете, что 2 задание выполнено, ставьте + (я готов объединиться с товарищем этим заданием, и найдите партнера в своей малой группе;
7) обменяйтесь с партнером 1 заданием (та часть карточки, которая идет до горизонтальной черты), перескажите друг другу эти задания, сформулируйте свои вопросы, постарайтесь найти на них ответы совместно;
8) начинайте работать с новой карточкой самостоятельно, прочитайте по конспекту ту часть теории, которую вы услышали от партнера (если снова возникнут вопросы, запишите их, не мешайте товарищу работать самостоятельно), приступайте к выполнению второго задания в карточке;
9) после окончания этой работы сверьте или обсудите свои ответы (выводы, решения, проведенный анализ) с ответом товарища по обеим карточкам, постарайтесь найти или общее решение, или выделите варианты возможных ответов. В случае серьезных разногласий и невозможности придти к соглашению, обратитесь к учителю;
10) в листке учета обведите + кружочком, это знак: я один раз это задание передал товарищу, и ищите в своей малой группе нового партнера;
11) работайте так, как написано, начиная с пункта 6 или 7.
4. АЛГОРИТМ ПРОВЕДЕНИЯ ДЕЛОВОЙ ИГРЫ В ПСС:
1)получи карточку, установи очередность, правильно заполни карточку учета;
2) ответь на свои вопросы товарищам за каждым из столов А, В, С, Д;
3) внимательно выслушай мнение твоих товарищей по твоему ответу;
4) внимательно выслушай ответы товарищей на их вопросы;
5) если с ответом не согласен, то после разрешения ведущего выскажи свое мнение, т.е. дополни и исправь ошибки;
6) подай учетный лист координатору для выставления оценки за работу в группе;
7) по сигналу перехода, согласно карточке переходи за другой стол.
Учитель назначает координаторами наиболее подготовленных учеников в этом же классе, можно пригласить учащихся из старших классов, можно учителей этой же школы, а можно и присутствующих учителей из других школ.
Каждый координатор отвечает за работу за своим столом и оценивает ответы всех работавших по его проблеме.
Готовится карточка учета на каждого ученика и на каждую группу.
КАРТОЧКА УЧЕТА ДЛЯ ОДНОГО УЧЕНИКА
Ф.И.
Стол
Роль
Оценка
Роспись
А
В
С
Д
КАРТОЧКА ДЛЯ ГРУППЫ:
Ф.И. координатора
1 группа
Оценка
за ответ
Оценка за дополнение
Общая оценка
2 группа
Оценка
за ответ
Оценка за дополнение
Общая оценка
3 группа
Оценка
за ответ
Оценка за дополнение
Общая оценка
4 группа
Оценка
за ответ
Оценка за дополнение
Общая оценка
Замечание. Каждый ученик получает карточку учета и путеводитель. Каждый из учащихся должен за каждым из столов А, В, С, Д ответить на один из четырех вопросов. За каким-то столом на 1 вопрос, за каким на 2 вопрос, и т.д. Кроме вопроса, за каждым столом сообща в оставшееся время решают задачу, ответы к задаче записывают на доске в таблицу.
5. КАРТОЧКИ - ПУТЕВОДИТЕЛИ:
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
1
А
4
1
А
3
1
В
2
1
С
1
2
С
1
2
В
4
2
А
3
2
А
2
3
Д
2
3
С
1
3
С
4
3
Д
3
4
В
3
4
Д
2
4
Д
1
4
В
4
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
1
Д
4
1
А
1
1
В
3
1
В
4
2
В
1
2
С
2
2
С
4
2
А
1
3
А
2
3
В
3
3
Д
1
3
С
2
4
С
3
4
Д
4
4
А
2
4
Д
3
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
1
С
3
1
Д
1
1
А
2
1
В
1
2
В
2
2
В
2
2
Д
3
2
Д
2
3
Д
4
3
С
3
3
В
4
3
А
3
4
А
1
4
А
4
4
С
1
4
С
4
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
П
С
Р
1
С
4
1
С
3
1
Д
2
1
Д
3
2
Д
1
2
Д
4
2
С
3
2
А
4
3
В
2
3
А
1
3
А
4
3
В
1
4
А
3
4
В
2
4
В
1
4
С
2
П - переход С - стол Р -роль
СТОЛ А
СТОЛ В
СТОЛ С
СТОЛ Д
1 переход
2 переход
3 переход
4 переход
Таблица, которая заполняется группой на доске.
Координаторам можно дать готовые ответы на вопросы за каждым столом. Решения 5 задания проверяются с помощью кодоскопа.
6. ОБРАЗЦЫ КАРТОЧЕК И УРОКОВ
КСО = индивидуальная форма обучения + парная форма обучения + групповая форма обучения + коллективная форма обучения. Коллективная форма организации учебных занятий – это не метод, а форма организации учебной деятельности. Начинать надо в ППС (парах постоянного состава), т.е. с учащимися, сидящими за одной партой. По вариантам им готовятся карточки. Например:
Математика 5 класс, п. 41
К –1
Тема: « Вычитание чисел, содержащих целую и дробную части».
Прочитайте задачу 3 на стр. 188-189 п.41
Рассмотрите рис. 199, 200 на стр.183
Разберите решение задачи 3, поясните соседу.
Попробуйте сформулировать правило вычитания дробей, содержащих целую и дробную части.
Вычислите: № 925 (б).
Дополнительно: 1. Разберите решение задачи 1 на стр.187.
2. Прочитайте из истории обыкновенных дробей на стр. 292 учебника 1 и 2 абзацы.
К - 2
Тема: «Сложение чисел, содержащих целую и дробную части»
Прочитайте задачу 3 на стр. 188 п. 41
Рассмотрите рис. 198 на стр. 188
Разберите решение задачи 2, поясните его соседу.
1.Попробуйте сформулировать правило сложения дробей, содержащих целую и дробную части.
2.Вычислите: № 925 (а).
Дополнительно: 1. Разберите решение задачи 1 на стр. 187
7. Блок: изучение нового материала А – 10 п.11, 3 параграф
Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений».
Цель: вооружить учащихся системой ЗУН; формировать у учащихся научное мировоззрение, нравственные качества личности, взгляды и убеждения; развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, воображение, восприятие.
К – 1 Тип №1 «Уравнения, приводимые к квадратным»
Прочтите: Уравнение вида P(sin x) = O, P(cos x) = O, P(tg x) = О,
P(ctg x) = О, где Р – многочлен указанных аргументов, решаются как алгебраические относительно указанных аргументов с последующим решением простейших тригонометрических уравнений, все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
2sin2 x + sin x – 1 = 0 (уравнение квадратное относительно sin x)
Обозначим sin x = t, тогда данное уравнение можно переписать в виде
2t2 + t – 1 = 0. t1 = - 1, t2 = Ѕ. Следовательно,
sin x = -1 х = - П/2 + 2 Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z
sin x = Ѕ. х = (-1) к arcsin Ѕ + 2Пк , к 13 EMBED Equation.3 1415Z
х = (-1) к П/6 + 2Пк , к 13 EMBED Equation.3 1415Z .
Ответ: - П/2 + 2 Пп, (-1) к П/6 + 2Пк , где п, к 13 EMBED Equation.3 1415Z .
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Тип № 7. «Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноименных тригонометрических функций»
Пример: sin 3x = sin 5x.
На основании условий равенства двух синусов имеем:
1)5х – 3х = 2Пк, к 13 EMBED Equation.3 1415Z , 2х = 2Пк, к 13 EMBED Equation.3 1415Z, х = Пк, к 13 EMBED Equation.3 1415 Z
2)5х + 3х = (2к + 1) П, к 13 EMBED Equation.3 1415Z, 8х = (2к + 1) П, к 13 EMBED Equation.3 1415Z , х = (2к + 1) П/8, к 13 EMBED Equation.3 1415Z.
Ответ: Пк, (2к + 1) П/8, к 13 EMBED Equation.3 1415Z.
К – 2 Тип № 2 «Уравнения, решаемые методом разложения на множители»
1. Прочтите: Путем группировки слагаемых уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна 0. Пользуются всеми известными способами разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения и деления и искусственные приемы.
2. Разберите решение примера 6 стр. 79 учебника, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
sin2 x - sin2x = 0 , sin2 x - 2sin x cos x = 0 , sin x(sin x – 2 cos x) = 0,
sin x = 0 х = Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z или
sin x – 2 cos x = 0, tg x = 2, х = arctg 2 + Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z . Потери корня не произойдет, так как синус и косинус одновременно не могут быть равны 0.
Ответ: Пп, arctg 2 + Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z .
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Тип № 8. «Уравнения, решаемые с использованием ограниченности функций sin x и cos x»
Пример: sin 5/4х + cos x = 2.Т.к. функции sin 5/4х и cos x имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма будет равна 2, если sin 5/4х =1 и cos x = 1 одновременно, т.е.
sin 5/4х = 1 , х = 2/5 П + 8/5 Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z и cos x = 1 х = 2Пк, к 13 EMBED Equation.3 1415Z .
Имеем 2Пк = 2/5 П + 8/5 Пп, к = 0,2 + 0,8п, т.к. к 13 EMBED Equation.3 1415Z, то п=1 + 5m, х= 2П + 8Пm, m13 EMBED Equation.3 1415Z.
Ответ: 2П + 8Пm, m13 EMBED Equation.3 1415Z.
К – 3 Тип № 3 «Однородные уравнения»
1. Прочтите: Уравнения вида asinx + bcosx = 0,
asin 2 x + bsinxcosx + ccos2 x =0 называются однородными относительно sinx и cosx. Сумма показателей степеней при sinx и cosx. У всех членов такого уравнения одинакова и равна п. Такие уравнения при cosx
· 0 решаются делением на cosп х
· 0 с обязательной проверкой потери корня. Уравнения будут эквивалентны алгебраическому уравнению относительно
tg x.
2. Разберите решение примера №4 стр. 79 учебника, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
3sin2 x - 4sin xcosx + cos2 x = 0 , / : cos2 х
· 0 , получим 3tg2 x – 4 tgx + 1 = 0.
Обозначим tgx = у, тогда 2у2 -4у + 1 = 0. у1 = 1, у2 = . Следовательно,
tg x = -1 х = - П/4 + Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z
tgx = . х = arctg + Пк , к 13 EMBED Equation.3 1415Z , х = x0 +Пк , к 13 EMBED Equation.3 1415Z .
Ответ: - П/4 + Пп, х = x0 +Пк , где x0 = arctg , п , к 13 EMBED Equation.3 1415Z.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Тип № 9. «Универсальная подстановка»
Уравнение вида R(sinx + cosx, sinxcosx) = 0 (*) может быть сведено к уравнению относительно неизвестного у = sinx + cosx, если воспользоваться тригонометрическим тождеством (sinx + cosx)2 = 1 + 2 sinxcosx, из которого следует sinxcosx = 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение (*) приводится к виду R(у,13 EMBED Equation.3 1415)= 0.
Пример: sin x + cosx - 2
·2 sinxcosx = 0 . Обозначим у = sinx + cosx, тогда sinxcosx = 13 EMBED Equation.3 1415, получим
·2у2 – у -
·2 = 0, у1 =
·2 и у2 = - 1/
·2.
Переходим к обозначениям, решаем два уравнения:
sinx + cosx =
·2, sinx + cosx = - 1/
·2. Поделим обе части уравнений на их правые части, получим уравнения вида sin( х + П/4) = 1, х= П/4 + 2Пп, где п 13 EMBED Equation.3 1415Z
и sin( х + П / 4) = -1 , х = -3П/4 + 2Пп, где п 13 EMBED Equation.3 1415Z.
К – 4 Тип №4 «Уравнения, решаемые понижением степени»
1.Прочтите: Если тригонометрическое уравнение содержит sinx, cosx в четной степени, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента sin2 x = Ѕ(1 – cos2x) , cos2 x = Ѕ(1 + cos2x).
sin2 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , cos2 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 ,
tg213 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
2 sin2 х + cos4x = 0, 2 (13 EMBED Equation.3 1415) + cos4x = 0, 1 – cos2x + cos4x = 0,
(1 + cos4x) – cos2x = 0, 2cos 2 2x – cos2x = 0, cos2x(2cos2x – 1) = 0,
1) cos2x = 0 2х = П/2 + Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z х = П/4 + П/2 п, п 13 EMBED Equation.3 1415Z
2) 2cos2x – 1 = 0 2x = ± П/6 + Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z
Ответ: П/4 + Пп, ±П/6 + Пп, где п 13 EMBED Equation.3 1415Z .
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Тип № 10 «Искусственные приемы»
1) Уравнение вида asinx + bcosx = c можно решить возведением обеих частей уравнения в квадрат и сведением его к однородному с последующей проверкой на посторонние корни.
2) Уравнение вида asinx + bcosx = c можно свести к однородному заменой sinx = 2sin 13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415, cosx = cos 2 13 EMBED Equation.3 1415 - sin 2 13 EMBED Equation.3 1415 , c =c * 1= c( sin 2 13 EMBED Equation.3 1415 + cos 2 13 EMBED Equation.3 1415).
3) Уравнение вида sinx +cosx =
·2 делением обеих частей уравнения на
·2 приводится к виду sin( х + П / 4) = 1 .
4) Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 sinx +13 EMBED Equation.3 1415cosx = 1 сводится к sin( х + П / 6 )= 1 .
К – 5 Тип №5 «Уравнения, решаемые с помощью формул суммы и разности тригонометрических функций»
1. Прочтите: Используются формулы суммы и разности синусов (косинусов), тангенсов:
sinx + sinу = 2sin13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415, sinx - sinу = 2 sin13 EMBED Equation.3 1415cos13 EMBED Equation.3 1415,
cosx + cosу = 2 cos13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415 cosx - cosу = -2 sin13 EMBED Equation.3 1415cos13 EMBED Equation.3 1415,
tgx + tgу = 13 EMBED Equation.3 1415 , tgx - tgу = 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
сos5х - cos3x = 0, -2sin13 EMBED Equation.3 14152sin13 EMBED Equation.3 1415 = 0, sin4x sinx = 0, х = П/4 п, Пп, п 13 EMBED Equation.3 1415Z или х = П/4 п, п 13 EMBED Equation.3 1415Z .
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Тип № 11. «Метод дополнительного угла»
Пример: Уравнения вида asinx + bcosx = c эквивалентны тригонометрическому уравнению sin(x + 13 EMBED Equation.3 1415.) = 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 находится из системы
sin 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 , cos13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
К – 6 Тип №6 «Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов»
1. Прочтите: При решении уравнений этого типа используются формулы сложения углов:
sin(x ± у) = sinxcosу ± cosxsinу и т.д.
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
cos3xcos2x = sin3xsin2x, cos3xcos2x - sin3xsin2x = 0,
cos5x = 0, 5x = П/2 + П к к 13 EMBED Equation.3 1415Z , /: 5
x = П/10 + П/5 к , к 13 EMBED Equation.3 1415Z .
Ответ: П/10 + П/5 к , к 13 EMBED Equation.3 1415Z .
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Тип № 12. «Универсальная подстановка»
При решении уравнения вида asinx + bcosx = c можно применять универсальную подстановку tg13 EMBED Equation.3 1415= у, тогда sinx = 13 EMBED Equation.3 1415, cosx = 13 EMBED Equation.3 1415 с последующей проверкой.
8. Блок: обобщение пройденного материала
Алгебра и начала анализа , 11 класс
Тема: «Решение показательных уравнений».
Цель: вооружить учащихся системой ЗУН; формировать у учащихся научное мировоззрение, нравственные качества личности, взгляды и убеждения; развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, воображение, восприятие.
Решение показательных уравнений сводится к решению простейших показательных уравнений вида:
1) ах =в (1) при а>0 и в>0, а
·1 х = loga в.
2) аf(x) = в (2) при а>0 и в>0, а
·1 , то логарифмируя обе части этого уравнения, приходим к эквивалентному уравнению f(x) = loga в.
К – 1 Тип №1 «Решение простейших показательных уравнений»
1. Прочтите: Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) или (2) с помощью равенств ах+у = ах ау , (ах)у = а ху , 13 EMBED Equation.3 1415=а х-у , (ав) х = а х в х ,
(13 EMBED Equation.3 1415) х =13 EMBED Equation.3 1415
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу.
62х + 4 = 3 3х * 2 х+8 , (3*2) 2х + 4 = 3 3х * 2 х+8 , 3 2х + 4 * 2 2х + 4 = 3 3х * 2 х+8 , поделим обе части уравнения на 3 3х * 2 х+8
·0, получим 3 4 – х * 2 х -4 = 1, 13 EMBED Equation.3 1415 = 1, (13 EMBED Equation.3 1415) х – 4 = 1, (13 EMBED Equation.3 1415) х – 4 = (13 EMBED Equation.3 1415)0 , х – 4 = 0, х = 4.
Ответ: 4.
3. Решите самостоятельно: 2 3х * 5 х = 1600. Ответ: 2.
______________________________________________________________
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Разберите решение уравнения вида (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х + (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) х = 62.
Заметим, что (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) х = (16 – 15)х = 1, тогда (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) х = 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х = у (у>0), тогда (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) х = 13 EMBED Equation.3 1415. Получим у + 13 EMBED Equation.3 1415= 62, у 1 = 31 - 813 EMBED Equation.3 1415, у2 = 31 + 8.13 EMBED Equation.3 1415.
Переходим к обозначениям:
1) (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х = 31 + 813 EMBED Equation.3 1415, (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х = (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) 2 , х = 2.
2) (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х =31 - 813 EMBED Equation.3 1415, (4 + 13 EMBED Equation.3 1415) х = (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) 2 ,
13 EMBED Equation.3 1415= (4 -13 EMBED Equation.3 1415)2, (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) - х = (4 - 13 EMBED Equation.3 1415) 2 , х = -2.
Ответ: 2 и -2.
К – 2 Тип №2 «Решение показательных уравнений, сводящихся заменой переменных к алгебраическому уравнению»
1. Прочтите: Если показательное уравнение имеет вид g(аf(x))=0 , то заменой
у = аf(x) оно сводится к уравнениям вида аf(x) = уi ,
где уi – корни уравнения g(у)= 0.
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу. 3 13 EMBED Equation.3 1415 - 1013 EMBED Equation.3 1415+ 3 = 0, 3 *13 EMBED Equation.3 1415 - 10 * 13 EMBED Equation.3 1415 + 3 = 0. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 = у (у>0), имеем 3у2 - 10у + 3 =0, у 1 = 3, у2 = 13 EMBED Equation.3 1415. Переходим к обозначениям: 1) 13 EMBED Equation.3 1415 = 3, х = 2. 2) 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 , х = -2.
Ответ: 2 и -2.
3. Решите самостоятельно: 9 х – 1 – 4 * 3 х – 1 + 3 =0. Ответ: 1 и 2.
______________________________________________________________
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
Разберите решение уравнения вида
·х - 3
·10х – 2 = 1. ОДЗ: х
·3.
1)
·х - 3
·= 1, х – 3 = 1 и х – 3 = -1, т. е. х = 4 и х = 2.
2)10х – 2 = 0 и
·х - 3
·
·1 , отсюда х = 0,2.
Ответ: 0,2 , 2 и 4.
К –3 Тип №3 «Решение показательных уравнений, основания степеней которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а показатели степеней одинаковы.»
1. Прочтите: Решение показательных уравнений, основания степеней которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а показатели степеней одинаковы, приводятся к уравнениям вида g(аf(x))=0 делением на любой из крайних членов.
2. Разберите решение примера, запишите решение примера в тетрадь, расскажите соседу. 6* 4 х - 13*6 х + 6* 9 х = 0 / : 9 х
·0
6 (13 EMBED Equation.3 1415) х - 13 (13 EMBED Equation.3 1415) х + 6 =0, 6 (13 EMBED Equation.3 1415) 2х - 13(13 EMBED Equation.3 1415) х + 6 = 0. Обозначим (13 EMBED Equation.3 1415) х = у (у>0), получим 6у 2 – 13у + 6 = 0, у1 = 13 EMBED Equation.3 1415, у2 =13 EMBED Equation.3 1415. Переходим к обозначениям: 1) (13 EMBED Equation.3 1415) х =13 EMBED Equation.3 1415 , х = -1; 2) (13 EMBED Equation.3 1415) х =13 EMBED Equation.3 1415 , х = 1. Ответ: -1 и 1.
3. Решите самостоятельно: 8 х + 18 х = 2 * 27 х. Ответ: 0.
______________________________________________________________
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: Некоторые уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени, удается решить с помощью исследования функций, входящих в левую и правую часть уравнения. 7 6 – х = х + 2.
Корень х = 5 легко может быть найден подбором. Докажем, что других корней уравнение не имеет, т.к. функция f(x) = 7 6 – х монотонно убывает, а функция g(x) = х + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, графики этих функций могут пересекаться не более чем в одной точке и исходное уравнение имеет не более одного корня.
В уравнении 3 х – 1 + 5 х – 1 = 34 левая часть возрастающая функция, а правая постоянна, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, его легко найти подбором х = 3. Ответ: 3.
9. Наиболее результативной формой контроля являются зачеты в форме деловой игры в ПСС.
Зачеты такого вида провожу и по теории и по практике. В зависимости от количества учащихся в классе зачеты проводятся по 16 карточкам или по 25 карточкам. Их называют путеводители.
(образцы карточек см. в «Методике проведения деловой игры-зачет»).
Зачеты разработаны мною почти по каждой теме с 5-го по 11-ый классы. Их можно проводить как по теории, так и по практике. Учащимся зачеты такого вида больше нравятся, чем обычные зачеты по карточкам.
Сейчас аттестация учащихся проводится тестированием.
По алгебре для учащихся 7-х – 9-х классов зачеты подготовила в форме тестирования по каждой изучаемой теме.
Зачет в форме деловой игры в ПСС по геометрии в 9 классе по теме: «Повторение курса геометрии».
Цель: проверить знания учащихся; развивать математическую речь учащихся, самостоятельность; развивать навыки общения друг с другом.
СТОЛ А
1 вопрос. Треугольник (определение). Сумма углов треугольника.
2 вопрос. Теорема о свойстве внешнего угла треугольника.
3 вопрос. Теорема Пифагора.
4 вопрос. Признаки равенства треугольников.
Задача 5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона 17 см, а основание 16 см. Найдите высоту, опущенную на основание.
СТОЛ В
1.Какой треугольник называется равнобедренным?
2.Теорема об углах при основании равнобедренного треугольника.
3.Площадь треугольника.
4.Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Задача 5. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 10 см.
СТОЛ С
1.Средняя линия треугольника (определение).
2.Теорема о средней линии треугольника.
3.Синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике.
4.Сформулируйте признаки подобия треугольников.
Задача 5. У треугольников АВС и А1В1С1
· А =
· А1,
· В =
· В1, АВ = 5 см, ВС = 7 см, А1В1 = 10 см, А1С1 = 8 см. Найдите В1С1.
СТОЛ Д
1. Медиана треугольника (определение).
2.Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника.
3.Решение прямоугольных треугольников.
4. Теорема синусов, теорема косинусов.
Задача 5. В прямоугольном треугольнике катет равен 10 см, а синус противолежащего ему угла 0,8. Найдите гипотенузу.
10. Тестовый контроль знаний в форме
зачета-деловой игры в ПСС.
Зачет №5 в форме деловой игры в ПСС по теме « Квадратные уравнения»
Тестирование, алгебра 8 класс
Цель: проверить знания учащихся; развивать математическую речь учащихся, самостоятельность; развивать навыки общения друг с другом.
СТОЛ А
1. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?
А. 8х2 + 4-х3. Б.4х – 9 + 2х2. В. 2х4 - 5х2 + 1. Г. х2 +2/х - 2.
2. Какое из чисел -2, -1, 3, 5 является корнем уравнения 4х2 - 11х -3 = 0?
А.-2. Б.-1. В. 5. Г. 3.
3. Чему равна сумма корней уравнения 7х2 - 19х + 4 = 0?
А. 13 EMBED Equation.3 1415. Б. - 13 EMBED Equation.3 1415 . В. - 13 EMBED Equation.3 1415. Г. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. 4х2 – 3х - 4 = 0. В. 9х2 + 6х + 1 = 0.
Б. х2 + 4х + 3 = 0. Г. 5х2-х + 1 = 0.
Задача 5. 1) Чему равна сумма квадратов корней уравнения
х2(х - 4) - (х - 4) = 0? А. 4. Б. 18. В. 16. Г. 6.
\
При каких значениях параметра р квадратное уравнение
2х2 7х + 3р= 0 имеет только один корень?
А. Нет таких значений. Б. 49/12. В. 49/24. Г. - 49/24.
СТОЛ В
1. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?
А. х2 + 5-х3. Б. 4 - 9х+3х2. В. 7х2 - 4х – х3. Г. 3х4 + х2 +5.
Какое из чисел -2, -1, 3, 5 является корнем уравнения
2х2 -11х + 5 = 0? А.-2. Б.-1. В. 3. Г. 5.
3. Чему равно произведение корней уравнения 3х2 + 8х - 4 = 0?
А. 13 EMBED Equation.3 1415. Б. - 13 EMBED Equation.3 1415. В.- 13 EMBED Equation.3 1415 . Г. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. 4х2 + Зх - 4 = 0. В. 4х2 + 4х + 1 = 0.
Б. х2 + 4х + 7 = 0. Г. 5х2 - х-1 = 0.
Задача 5. 1) Чему равна сумма квадратов корней уравнения
х2(х + 1) (х + 1) = 0? А. 4. Б. 18. В. 9. Г.1.
2)При каких значениях параметра р квадратное уравнение
2х2 + 7х +2р = 0 имеет только один корень?
А. Нет таких значений. Б. 49/32. В. – 49/16. Г. 49/16.
СТОЛ С
1. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?
А. 8х2 + 5х-х3. Б. 4/х – 1 + х2. В. 7х2 + 2х + 1. Г. 5х4 + 2х2 -2.
2. Какое из чисел -2, -1, 1, 3 является корнем уравнения 3х2 - 5х + 2 = 0?
А.-2. Б.-1. В. 1. Г. 3.
3. Чему равна сумма корней уравнения 5х2 - 7х + 1 = 0?
А. 13 EMBED Equation.3 1415. Б. - 13 EMBED Equation.3 1415. В. 13 EMBED Equation.3 1415. Г. - 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. Зх2 - 2х - 1 = 0. В. х2 + 2х + 1 = 0.
Б. 5х2 + х-1 = 0. Г. х2 + 2х + 8 = 0.
Задача 5. 1) Чему равна сумма квадратов корней уравнения
х2(х - 5) - (х - 5) =0? А. 5. Б. 25. В. 26. Г. 27.
\
При каких значениях параметра р квадратное уравнение
3х2 5х + 2р= 0 имеет только один корень?
А. Нет таких значений. Б. 25/24. В. 24/25. Г. - 25/24.
СТОЛ Д
1. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?
А. 3х2 -2х+ 1. Б. 5 - 4/х + х2. В. 7х2 - 2х3 + 1. Г. 5х2 + 2х3 -2.
2. Какое из чисел -2, -1, 1, 2 является корнем уравнения 2х2 - 5х + 3 = 0?
А.-2. Б.-1. В. 1. Г. 2.
3. Чему равно произведение корней уравнения 3х2 + 2х - 1 = 0?
А. 13 EMBED Equation.3 1415. Б. - 13 EMBED Equation.3 1415. В. - 13 EMBED Equation.3 1415. Г. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?
А. 5х2 - 2х + 1 = 0. В. х2 +14х +49 = 0.
Б. 2х2 - х-1 = 0. Г. х2 + 5х +1 = 0.
Задача 5. 1) Чему равна сумма квадратов корней уравнения
х2(х+2) - 9(х +2) =0? А. 18. Б. 13. В. -2. Г. 22.
2) При каких значениях параметра р квадратное уравнение
2х2 - 5х + 3р= 0 имеет только один корень?
А. Нет таких значений. Б. 25/24. В. 24/25. Г. - 25/24.
11. Список использованной литературы
А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. М.,»Просвещение», 1983.
Л.О. Денищева. Алгебра и начала анализа. Тематические тесты и зачеты. 10-11 класс. Мнемозина, Москва, 2003.
А.Г. Мордкович. Тесты. Алгебра. 7-9 классы. Мнемозина. М., 2004.
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Контрольные работы. 10-11 класс. Мнемозина, М., 2004.
И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. М., «Просвещение», 1991.
А.Г. Цыпкин. Справочник по методам решения задач по математике. М., «Наука», 1989.
А.В. Самусенко. Типовые ошибки абитуриентов. Минск «Вышэйшая школа», 1991.
М.В. Волович. Математика без перегрузок. М. Педагогика, 1991.
В.Ю. Гуревич. Изучение сложных тем школьного курса математики. Минск. «Народная асвета», 1985.
И.Т. Бородуля. Тригонометрические уравнения и неравенства. М., «Просвещение», 1989.
З.Н. Альхова. Внеклассная работа по математике. Саратов, ОАО Изд-во «Лицей» , 2001.
Предметные недели в школе. Изд-во «Учитель». Волгоград, 2002.
Ю.Д. Кабалевская. Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике. М., «Просвещение2, 1988.
В.В. Кривоногов. Нестандартные задания по математике. 5-11 классы. М., «Первое сентября», 2003.
Л.Ф. Пучурин. Воспитание учащихся при обучении математике. М., «Просвещение», 1987.
В.Г. Коваленко. Дидактические игры на уроках математики. М., «Просвещение», 1990.
В.Н. Березин. Сборник задач для факультативов и внеклассных занятий по математике. М., «Просвещение», 1985.
И.С. Петраков. Математические олимпиады школьников. М., «Просвещение», 1981.
И.Л. Никольская. Задания для программированного опроса по алгебре и началам анализа. М., «Высшая школа», 1978.
Н.А. Терешин. Прикладная направленность школьного курса математики. М., «Просвещение», 1990.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native