Методические рекомендации к практическим занятиям по математики для студентов 2 курса

БОУ Чувашской Республики СПО «ЧТСГХ» Минобразования Чувашии

СМК – 02/01 – 20/09




К ОПОП специальности
030912



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

по дисциплине
ЕН.01. Математика



для студентов
2
курса



специальности
030912 Право и организация социального обеспечения






РАССМОТРЕНО

СОСТАВИЛА
Скворцова Е.В.

на заседании цикловой комиссии

Физико-математических дисциплин и ИТ














Протокол
№






от «

»

2013 года



Председатель



Михопарова О.В.




















2013 г.Оглавление

Введение
3

Практическое занятие №1. Вычисление производных сложной функции.
4

Практическое занятие №2. Нахождение производных от неявных функций и заданных параметрически.
5

Практическое занятие №3. Составление уравнений касательных и нормалей. Нахождение углов между кривыми.
7

Практическое занятие №4. Вычисление производных и дифференциала высших порядков.
8

Практическое занятие №5 Нахождение полного дифференциала и градиента функции.
9

Практическое занятие №6 Нахождение интегралов методом интегрирования по частям.
11

Практическое занятие №7. Нахождение интегралов методом неопределенных коэффициентов.
12

Практическое занятие №8. Вычисление определенного интеграла и площадей плоских фигур. Контрольная работа.
15

Практическое занятие №9 Решение уравнений. Составление многочлена Лагранжа.
16

Практическое занятие №10 Используя метод Эйлера и Рунге – Кутта находить значения функции.
18


Список литературы
19


Введение
Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями разделов математики, которые обычно изучаются студентами на втором курсе.
Математические знания, которые студент должен приобрести в результате изучения настоящего курса, призваны сыграть важную роль в процессе его дальнейшего обучения. Они понадобятся ему для успешного изучения общетеоретических и специальных предметов специализации.
В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных технических и технологических задач. Поэтому студент должен предвидеть, что и после окончания учебного заведения он не раз столкнется с необходимостью применить свои математические знания в практической деятельности.
Курс математики призван создать у студента прочные навыки логического мышления, столь необходимые каждому специалисту.
Практическое занятие - это такой метод обучения, при котором обучающиеся под руководством преподавателя и по заранее намеченному плану выполняют определенные практические задания и в процессе их воспринимают и осмысливают новый учебный материал.
Проведение практических занятий с целью осмысления нового учебного материала включает в себя следующие методические приемы:
- постановку темы занятий и определение задач практических занятий;
- определение порядка практического занятия или отдельных ее этапов;
- непосредственное выполнение практических занятий учащимися и контроль преподавателя за ходом занятий и соблюдением техники безопасности;
- подведение итогов практических занятий и формулирование основных выводов.

Практическое занятие №1.
Вычисление производных сложной функции.
Цели занятия:
Образовательная: Научить вычислять производные сложной функции
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Задание№1.Применяя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функцию 13 EMBED Equation.3 1415
Данная функция является композицией двух имеющих производных функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, то с учетом правила дифференцирования сложной функции получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
Пользуясь основными правилами дифференцирования, вычислить производную функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти производную сложной функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Найти производную функцию:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415; 7) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найти производные функции f(x) в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: П.Е. Данко: гл.7 §1. №771-895 стр. 151-159.
Контрольные вопросы
Производная.
Основные правила дифференцирования.
Производные степени и корня.
Производная сложной функции.

Практическое занятие №2.
Нахождение производных от неявных функций и заданных параметрически.
Цели занятия:
Образовательная: Научить вычислять производные от неявных функций и заданных параметрически.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Задание №1. Найти производную неявно заданной функции 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415 - есть функция
от 13 EMBED Equation.3 1415, получим: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2.Найти производную 13 EMBED Equation.3 1415от следующей функции, заданной параметрически: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Производная функции 13 EMBED Equation.3 1415 находится по формуле (3.5) 13 EMBED Equation.3 1415, откуда в нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1.Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415, заданной неявно 13 EMBED Equation.3 1415
2.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 для заданной параметрически функции: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 для заданной параметрически функции: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415, заданной неявно 13 EMBED Equation.3 1415
5.Найти производную от функции, заданной неявно

6. .Найти 13 EMBED Equation.3 1415 для заданной параметрически функции

7. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 для заданной параметрически функции

8. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 для заданной параметрически функции

9. Найти производную от функции, заданной неявно

10. Найти производную от функции, заданной неявно


Задание на дом: П.Е. Данко: гл.7 §1. №898-907, 909-912 стр. 159-160.

Контрольные вопросы
Определение неявной функции.
Дифференцирование неявной функции.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Практическое занятие №3.
Составление уравнений касательных и нормалей. Нахождение углов между кривыми.
Цели занятия:
Образовательная: Научить составлять уравнение касательной и нормали.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Упражнения
Задание№1.Составить уравнение касательной и нормали к кривой 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Из уравнения кривой найдем производную: 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение касательной записывается в виде: 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415,
а уравнение нормали - в виде 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2.Показать, что касательная к параболе 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 пересекает ось 13 EMBED Equation.3 1415в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Находим уравнение касательной: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства 13 EMBED Equation.3 1415находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3. Найти угол между касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке (0;0) и осью Ox.
Найдем угловой коэффициент касательной к кривой 13 EMBED Equation.3 1415 в точке (0;0), т.е. значение производной этой функции при x=0. Производная функция 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415. По формуле 13 EMBED Equation.3 1415находим 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1.Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
2.Найти угол между касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ox:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415;
3)13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415.
3.Написать уравнение касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2)13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание на дом: П.Е. Данко: гл.7 §1. №917-934 стр. 160-162.
Контрольные вопросы
Уравнение касательной к кривой.
Нормаль к кривой.
Уравнение нормали.
Угол между двумя кривыми.

Практическое занятие №4.
Вычисление производных и дифференциала высших порядков.
Цели занятия:
Образовательная: Научить вычислять производные и дифференциалы высших порядков
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Задание№1. Найти 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1.Найти производную функции второго порядка:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.Найти производные третьего порядка:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3.Найти 13 EMBED Equation.3 1415,если:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Найти производную функции второго порядка:
1)13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
5..Найти 13 EMBED Equation.3 1415,если:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание на дом: П.Е. Данко: гл.7 §1. №950-974, 982-994 стр. 163-167.


Контрольные вопросы
Производная высших порядков.
Производная высших порядков от функций, заданных параметрически.
Определение и свойства дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.



Практическое занятие №5
Нахождение полного дифференциала и градиента функции.
Цели занятия:
Образовательная: Научить вычислять полный дифференциал и градиент функции.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Найдем градиент функции

Вычислим градиент функции в точке А(0,1,1)

Задание№2. Найти полный дифференциал функции Z=3x2y2-5x+3y, градиент функции в точке А(1; -1) и производную по направлению .
Найдем полный дифференциал функции

Найдем градиент функции
Вычислим градиент функции в точке А(0; 1)


Упражнение
1.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
2.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
3.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
4.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
6.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
7.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
8.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
9. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
10.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
11. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
12.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
13.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
14.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
15.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
16.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
17.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
18.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
19.Найти частные производные 13 EMBED Equation.3 1415 и от функции 13 EMBED Equation.3 1415.
20. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 от функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).
21.Найти 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке А(1;1).

Задание на дом: П.Е. Данко: гл.8 §1, 2. №1197-1294 стр. 192-203.

Контрольные вопросы
Частные производные первого порядка.
Полное приращение функции.
Полный дифференциал функции.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование сложных функций.
Градиент функции.

Практическое занятие №6
Нахождение интегралов методом интегрирования по частям.

Цели занятия:
Образовательная: Научить вычислять интегралы методом интегрирования по частям.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1.Найти интеграл, используя интегрирование по частям: 13 EMBED Equation.3 1415.
Положим 13 EMBED Equation.3 1415; тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2.Найти интеграл, используя интегрирование по частям: 13 EMBED Equation.3 1415.
Положим 13 EMBED Equation.3 1415; тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
К полученному в правой части равенства интегралу(отметим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим метод интегрирования по частям: 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда13 EMBED Equation.3 1415.
В итоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь окончательно 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
1. Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
5.Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
7.Вычислить (по частям) 13 EMBED Equation.3 1415.
8.Вычислить (по частям)13 EMBED Equation.3 1415.
Задание на дом: П.Е. Данко: гл.9 §2. №1392-1402 стр. 215-218.

Контрольные вопросы
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Метод интегрирования по частям.




Практическое занятие №7.
Нахождение интегралов методом неопределенных коэффициентов.

Цели занятия:
Образовательная: Научить вычислять интегралы методом неопределенных коэффициентов.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие самостоятельности и инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник.
Задание№1.Вычислить интеграл от простейших дробей первых трех типов 13 EMBED Equation.3 1415.
Подынтегральная дробь – правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей первого типа: 13 EMBED Equation.3 1415.
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю, откуда 13 EMBED Equation.3 1415т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В с помощью метода неопределенных коэффициентов. Раскроем скобки в правой части равенства 13 EMBED Equation.3 1415 и сгруппируем члены с одинаковыми степенями: 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. многочлен в обоих частях полученного равенства тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной 13 EMBED Equation.3 1415. Сравнивая эти коэффициенты, получаем следующую систему двух уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Решая эту систему, найдем А=5, В=2.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 и, стало быть, 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
1.Вычислить интеграл от простейших дробей первых трех типов 13 EMBED Equation.3 1415
2.Вычислить интеграл от простейших дробей первых трех типов 13 EMBED Equation.3 1415
3.Вычислить интеграл от простейших дробей первых трех типов

4.Найти неопределенный интеграл

5. Найти неопределенный интеграл

6 .Найти неопределенный интеграл

Задание на дом: П.Е. Данко: гл.9 §2. №1428-1437 стр. 222-228.

Контрольные вопросы
Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.
Нахождение интегралов методом неопределенных коэффициентов.

Практическое занятие №8.
Вычисление определенного интеграла и площадей плоских фигур. Контрольная работа.
Цели занятия:
Образовательная: Выработать навыки для вычисления первообразных и интегралов
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Задание№1.Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интеграл: 13 EMBED Equation.3 1415
Подынтегральная функция 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 имеет первообразную 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2.Оценить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то при 13 EMBED Equation.3 1415 получим неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Задание№3. Вычислить интеграл: 13 EMBED Equation.3 1415.
Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№4.Вычислить определенный интеграл методом замены переменной: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№6. Найти значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415.
Для нахождения первообразной (и использования формулы Ньютона - Лейбница) применим формулу понижения степени
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Задание№7. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.3 1415 и осью 13 EMBED Equation.3 1415
Парабола пересекает ось 13 EMBED Equation.3 1415 в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Задание№8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решим систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415 Искомую площадь находим по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
1.Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интеграл:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.Оценить интеграл:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3.Вычислить интеграл:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415
4.Вычислить определенный интеграл методом замены переменной:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415.
5.Найти значение интеграла13 EMBED Equation.3 1415.
6.Найти площадь фигуры, заключенный между параболой 13 EMBED Equation.3 1415, касательной к ней в т. (3;5) и осью 13 EMBED Equation.3 1415
7.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
8.Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:
1) графиком функции13 EMBED Equation.3 1415, осью Ox и прямой x=2;
2) графиком функции13 EMBED Equation.3 1415 и осью Ox;
3) графиком функции13 EMBED Equation.3 1415, осью Ox и прямыми x=1;x=4;
4) графиком функции13 EMBED Equation.3 1415, осью Ox и прямой x=4.
9.Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x=1,x=8, 13 EMBED Equation.3 1415.
10. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x=2, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой x=0.
12.. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
1) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
3)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
5)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §54-58 №993-998, 1002,1003, 1008-1012, 1023 стр. 287-305.

Контрольные вопросы
1. Криволинейной трапецией называют
2. Площадь криволинейной трапецией вычисляется по формуле
3.Разность F(a)-F(b) называют
4.Формула Ньютона – Лейбница.
5. Понятие определенного интеграла.
6. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Практическое занятие №9 .
Решение уравнений. Составление многочлена Лагранжа.
Цели занятия:
Образовательная: Выработать навыки для вычисления первообразных и интегралов
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Метод хорд
Это приближенное значение находится по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть, например, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда за новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Соединив точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получим в точке пересечения хорды с осью Ох второе приближение x2, которое вычислим по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,и т.д.
Метод касательных
Это приближенное значение корня находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Применив этот прием вторично в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найдем
13 EMBED Equation.3 1415и т. д.
Упражнения
1.Найти промежуток, внутри которого находится корень уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
2.Методом половинного деления решить уравнение:
1)13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,1.
3.Методом касательных найти первое приближение корня уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 на интервале [1;2].
4.Для функции, заданной таблично, найти разделённую разность первого порядка; найти интерполяционный многочлен Ньютона, Лагранжа.

1)13 EMBED Equation.3 1415.
x
-1
0
1

y
1
2
4

2)13 EMBED Equation.3 1415.
x
-1
0
2

y
0
1
5


3)13 EMBED Equation.3 1415.
x
-1
0
2

y
1
2
6

4)13 EMBED Equation.3 1415.
x
-1
0
1

y
1
3
4

.

Задание на дом: П.Е. Данко Ч2: гл.9§1,2. №1171-1175,1194 стр. 325,331.

Контрольные вопросы
Метод хорд.
Метод Касательных.
Метод итераций.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.


Практическое занятие №10
Используя метод Эйлера и Рунге – Кутта находить значения функции.

Цели занятия:
Образовательная: Выработать навыки для вычисления функций методами Эйлера и Рунге – Кутта.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Суть метода Эйлера состоит в том, что в формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вместо значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 берется среднее арифметическое значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда уточненное значение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Затем находится значение производной в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Заменяя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 средним арифметическим значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, находят второе уточненное значение у1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 затем третье: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и т.д.
В методе Рунге-Кутта приращения (yi предлагается вычислять по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где коэффициенты ki вычисляются по формулам:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Упражнения
1.Методом Эйлера найти первое значение функции 13EMBED Equation.DSMT41415, определяемой уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
2.Методом Рунге-Кутта найти значение 13 EMBED Equation.3 1415 (для первого приближения функции 13EMBED Equation.DSMT41415), определяемого уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
3.Методом Эйлера найти первое значение функции 13EMBED Equation.DSMT41415, определяемой уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
4.Методом Рунге-Кутта найти значение 13 EMBED Equation.3 1415 (для первого приближения функции 13EMBED Equation.DSMT41415), определяемого уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
5.Методом Эйлера найти первое значение функции 13EMBED Equation.DSMT41415, определяемой уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
6.Методом Рунге-Кутта найти значение 13 EMBED Equation.3 1415 (для первого приближения функции 13EMBED Equation.DSMT41415), определяемого уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
7.Методом Эйлера найти первое значение функции 13EMBED Equation.DSMT41415, определяемой уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
8.Методом Рунге-Кутта найти значение 13 EMBED Equation.3 1415 (для первого приближения функции 13EMBED Equation.DSMT41415), определяемого уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
9.Методом Эйлера найти первое значение функции 13EMBED Equation.DSMT41415, определяемой уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.
10.Методом Рунге-Кутта найти значение 13 EMBED Equation.3 1415 (для первого приближения функции 13EMBED Equation.DSMT41415), определяемого уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, при начальном условии 13EMBED Equation.DSMT41415, полагая 13EMBED Equation.DSMT41415.

Задание на дом: П.Е. Данко Ч2: гл.9§6. №1229-1232,1236 стр. 363-366.

Контрольные вопросы
Метод Эйлера.
Метод Рунге – Кутта.

Список литературы

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Учеб. заведений, 10-е изд.перераб[Текст] – М.: «Высшая школа», 2008.-495с.
Данко П.е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.Ч.1., Ч.2.: Учеб. Пособие для вузов/ П.Е Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко.- 7-е изд., испр.[Текст]-М.: Оникс, 2009.-368с.
Дадаян А. А. .Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013. -544 с.: 60x90 1/16. - (Профессиональное образование).
Березина Н. А. .Математика: Учебное пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.:ИЦ РИОР: НИЦ Инфра-М, 2013. - 175 с.: 70x100 1/32. - (ВПО: Бакалавриат).Режимдоступа:// Znanium.com
Григорьев С. Г. Математика : Учебник / С. Г. Григорьев, С. В. Задулина; под ред. В. А. Гусева. - 4-е изд.,стер. - М. : Академия, 2009. - 383 с. - (Среднее профессиональное образование. Экономикаи управление)










13PAGE \* MERGEFORMAT14215




Эмблема ЧТСГХРисунок 6Описание: Эмблема ЧТСГХRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native