МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы по дисциплине «Элементы математической логики» для студентов 2 курса (специальность Программирование в компьютерных системах)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»












методические указания
по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы
по дисциплине «Элементы высшей математики»
для студентов 2 курса
(специальность 230115 Программирование в компьютерных системах)








Семилуки , 2014

Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
















Учебное пособие содержит указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по «Элементам высшей математики», являющейся естественно-научной дисциплиной. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Элементы высшей математики» и предназначены для студентов 2-го курса, обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.

















© Евдокимова М.Д., 2014
©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»
Оглавление

Введение
6

Раздел 1. Основы линейной алгебры
9

Тема 1.1. Матрицы и определители
9

Самостоятельная работа №1 Подготовка сообщения «Применение матриц в различных областях науки»
9

Самостоятельная работа №2 Выполнение операций над матрицами
9

Самостоятельная работа №3 Подготовка сообщения «Выполнение операций над матрицами с помощью Excel»
11

Самостоятельная работа №4 Вычисление определителей
11

Самостоятельная работа №5 Подготовка сообщения «Вычисление определителей с помощью Excel»
14

Самостоятельная работа №6 Нахождение обратной матрицы; Вычисление ранга матрицы
14

Тема 1.2 Системы линейных уравнений
18

Самостоятельная работа №7 Решение СЛУ по правилу Крамера
18

Самостоятельная работа №8 Решение СЛУ методом обратной матрицы; подготовка сообщений «Вклад Гаусса в развитие математики»
22

Самостоятельная работа №9 Решение СЛУ по методом Гаусса
26

Раздел 2. Основы аналитической геометрии
29

Тема 2.1. Уравнения прямых на плоскости
29

Самостоятельная работа №10 Подготовка сообщений «Уравнения прямых в различных областях науки»
29

Самостоятельная работа №11 Составление уравнений прямых, их построение
29

Тема 2.2.Кривые второго порядка на плоскости
39

Самостоятельная работа №12 Составление уравнений кривых, их построение
39

Самостоятельная работа №13 Составление уравнений кривых, их построение
42

Самостоятельная работа №14 Подготовка сообщений «Уравнения прямых в различных областях науки»
46

Самостоятельная работа №15 Составление уравнений кривых, их построение
47

Самостоятельная работа №16 Подготовка сообщений «Уравнения кривых в различных областях науки»
52

Самостоятельная работа №17 Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости
52

Основы математического анализа
55

Раздел 3. Основы теории комплексных чисел
55

Тема 3.1. Комплексные числа и действия над ними
55

Самостоятельная работа №18 Действия над комплексными числами; подготовка сообщений «Возникновение комплексных чисел»
55

Самостоятельная работа №19 Подготовка сообщений «Области применения комплексных чисел»
58

Самостоятельная работа №20 Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах; переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно
58

Раздел 4. Основы дифференциального исчисления
65

Тема 4.1. Производная и дифференциал
65

Самостоятельная работа №21 Подготовка сообщений «Возникновение понятия производной»
65

Самостоятельная работа №22 Вычисление производных функций
65

Самостоятельная работа №23 Вычисление производных функций
70

Самостоятельная работа №24 Подготовка сообщений «Приложение производной в производственных процессах»
78

Самостоятельная работа №25 Производные и дифференциалы высших порядков
78

Самостоятельная работа №26 Подготовка сообщений «Производная и ее применение»
79

Самостоятельная работа №27 Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
80

Самостоятельная работа №28 Полное исследование функции; построение графиков
86

Самостоятельная работа №29 Полное исследование функции; построение графиков
86

Тема 4.2. Производная и дифференциал функции двух переменных
92

Самостоятельная работа №30 Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных
92

Самостоятельная работа №31 Подготовка сообщений «Возникновение понятия интеграла»
97

Раздел 5. Основы интегрального исчисления
98

Тема 5.1. Неопределенный интеграл
98

Самостоятельная работа №32 Таблица интегралов
98

Самостоятельная работа №33 Интегрирование заменой переменной в неопределенном интеграле
100

Самостоятельная работа №34 Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
101

Самостоятельная работа №35 Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
104

Самостоятельная работа №36 Интегрирование рациональных и иррациональных. функций
105

Самостоятельная работа №37 Интегрирование тригонометрических функций
115

Самостоятельная работа №38 Универсальная подстановка
117

Тема 5.2. Определенный интеграл
120

Самостоятельная работа №39 Вычисление определенных интегралов
120

Самостоятельная работа №40 Подготовка сообщений «Практические приложения определенных интегралов»
123

Самостоятельная работа №41 Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов
124

Тема 5.3. Интегральное исчисление функции двух переменных
128

Самостоятельная работа №42 Вычисление двойных интегралов в случае области 1 и 2 типа; решение задач на приложения двойных интегралов
128

Самостоятельная работа №43 Подготовка сообщений «Возникновение дифференциальных уравнений»
134

Раздел 6. Дифференциальные уравнения
135

Тема 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
135

Самостоятельная работа №44 Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными
135

Самостоятельная работа №45 Решение однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка
137

Самостоятельная работа №46 Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка
140

Тема 6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка
143

Самостоятельная работа №47 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
143

Самостоятельная работа №48 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
145

Самостоятельная работа №49 Решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение степеней
148

Самостоятельная работа №50 Подготовка сообщений «Практические приложения дифференциальных уравнений»
150

Литература
151


Введение

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по естественно - научной дисциплине «Элементы высшей математики» предназначены для студентов, обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.
Объем самостоятельной работы студентов определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах базовой подготовки.
Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом Семилукского государственного технико-экономического колледжа по данной специальности.
Самостоятельная внеаудиторная работа проводится с целью:
- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;
- углубления и расширения теоретических знаний;
- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;
- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.
Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По математике используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:
для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;
для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;
для формирования умений: выполнение схем, анализ карт, подготовка к деловым играм.

Содержание заданий самостоятельной работы ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.
ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.
ПК 1.7.в Осуществлять разработку кода программного продукта для решения различных практических задач математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии
ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.
ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

В процессе выполнения работы у студентов должны формироваться общие компетенции (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен
уметь:
выполнять операции над матрицами;
решать системы линейных уравнений;
решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;
применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
решать дифференциальные уравнения;
пользоваться понятиями теории комплексных чисел;
знать:
основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
основы дифференциального и интегрального исчисления;
основы теории комплексных чисел.

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.
В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:
- уровень освоения студентом учебного материала;
- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;
- сформированность общеучебных умений;
- обоснованность и четкость изложения ответа;
- оформление материала в соответствии с требованиями.

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.



Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и определители


Самостоятельная работа №1 Подготовка сообщения «Применение матриц в различных областях науки»

Цель: получить представление о применении матриц в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №2 Выполнение операций над матрицами

Цель: отработать навыки по выполнению операций над матрицами.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Вычислить сумму, разность матриц
Вычислить произведение матриц
Вычислить значение матричного многочлена
Выполнить проверку с помощью программы MS Excel

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Операции над матрицами

1.Сложение и вычитание матриц определены только для матриц одинакового размера.
Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij.

2. Умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

3. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
AЧB = C;

Пример:


4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] (обозначение: AT) операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Пример: Даны матрицы А = 13 EMBED Equation.3 1415, В = 13 EMBED Equation.3 1415, С = 13 EMBED Equation.3 1415 и число ( = 2. Найти АТВ+(С.
Решение: AT = 13 EMBED Equation.3 1415; ATB = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415;
(C = 13 EMBED Equation.3 1415; АТВ+(С = 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Даны матрицы А = 13 EMBED Equation.3 1415 и В = 13 EMBED Equation.3 1415. Найти произведение матриц АВ и ВА.
Решение: АВ = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
ВА = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 = (2(1 + 4(4 + 1(3) = (2 + 16 + 3) = (21).

Варианты заданий:

Найти произведения матриц
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. Даны многочлен f(x) и матрица А. Требуется найти значение матричного многочлена 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №3 Подготовка сообщения «Выполнение операций над матрицами с помощью Excel»

Цель: получить представление о выполнение операций над матрицами с помощью Excel Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №4 Вычисление определителей

Цель: отработать навыки по вычислению определителей второго, третьего и высших порядков.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Вычислить определитель второго порядка
Вычислить определитель третьего порядка
Вычислить определитель высших порядков
Выполнить проверку с помощью программы MS Excel

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. Вычислить определитель второго порядка
Определителем второго порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов 13EMBED Equation.31415
по следующему правилу: произведение по главной диагонали берется со знаком плюс, по другой диагонали со знаком минус.
13EMBED Equation.31415 = a1b2 – a2b1
Пример: вычислить определитель второго порядка
1) 13EMBED Equation.31415
2) 13EMBED Equation.31415

2. Вычислить определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется число, которое поставлено в соответствие таблицы коэффициентов по следующему правилу:
13EMBED Equation.31415
Это определение определителя наглядно можно представить следующим образом:
13EMBED Equation.31415


Это правила называют еще «Правило треугольника»

Пример: Вычислить определитель третьего порядка
13 EMBED Equation.3 1415

3. Вычислить определитель высшего порядка

В общем виде определитель n-го порядка может быть представлен следующем виде:
13 EMBED Equation.3 1415
где aij – элемент определителя, i – номер строки, j – номер столбца.
Возьмем aij в определителе и вычеркнем i строку, j столбец. В результате останется определитель порядка на единицу ниже. Такой определитель называется минором элемента aij. Обозначается минор – Mij.
Пример: Найти минор элемента а12 определителя 13 EMBED Equation.3 1415
Для этого вычеркнем первую строку, второй столбец.
13 EMBED Equation.3 1415
В результате останется определитель порядка на единицу ниже и минор равен:
13 EMBED Equation.3 1415

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, в которой расположен элемент, четная и с обратным знаком, если нечетная.
13 EMBED Equation.3 1415 - алгебраическое дополнение

ТЕОРЕМА: Определитель n-го порядка равен сумме произведений какой либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Вычислить определитель четвертого порядка 13 EMBED Equation.3 1415
По теореме определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки и разложим определитель по первой строке:

13 EMBED Equation.3 1415



Варианты заданий:

Вычислить определители
а) D = 13 EMBED Equation.3 1415; б) D = 13 EMBED Equation.3 1415; в) D = 13 EMBED Equation.3 1415
а) D = 13 EMBED Equation.3 1415; б) D = 13 EMBED Equation.3 1415; в) D = 13 EMBED Equation.3 1415
а) D = 13 EMBED Equation.3 1415; б) D = 13 EMBED Equation.3 1415; в) D = 13 EMBED Equation.3 1415
а) D = 13 EMBED Equation.3 1415; б) D = 13 EMBED Equation.3 1415;в) D = 13 EMBED Equation.3 1415
а) D = 13 EMBED Equation.3 1415; б) D = 13 EMBED Equation.3 1415; в) D = 13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №5 Подготовка сообщения «Вычисление определителей с помощью Excel»

Цель: получить представление о вычислении определителей с помощью Excel Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №6 Нахождение обратной матрицы; Вычисление ранга матрицы

Цель: отработать навыки по нахождению обратной матрицы, вычислению ранга матрицы.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти обратную матрицу
Вычислить ранг матрицы
Выполнить проверку с помощью программы MS Excel



Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица 13 EMBED Equation.3 1415 называется обратной к квадратной матрице 13 EMBED Equation.3 1415 того же порядка, если 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- единичная матрица.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:
Вычислить определитель.
Транспонировать матрицу.
Вычислить алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы.
Выписываем обратную матрицу по формуле
13 EMBED Equation.3 1415)

Пример: Найти матрицу 13 EMBED Equation.3 1415обратную к 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Прежде всего, вычислим определитель матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, для 13 EMBED Equation.3 1415 существует обратная матрица.
Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для 13 EMBED Equation.3 1415имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим последовательно элементы 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
С учётом полученного, обратная к 13 EMBED Equation.3 1415 матрица имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.

Ранг матрицы

Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора (наивысший порядок, отличных от нуля миноров).
Утверждение. Ранг матрицы не меняется
- при транспонировании матрицы.
- при перестановке её строк и столбцов.
- при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.
- при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).
- при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей.
- при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Пример. Найти ранг матрицы: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:
13 EMBED Equation.3 1415.
В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,
минор 13 EMBED Equation.3 1415. Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: 13 EMBED Equation.3 1415.

Варианты заданий:
Найти обратную матрицу для матрицы А:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
Вычислить ранг матрицы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Тема 1.2 Системы линейных уравнений


Самостоятельная работа №7 Решение СЛУ по правилу Крамера

Цель: отработать навыки по решению систем методом Крамера.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить систему методом Крамера
Выполнить проверку с помощью программы MS Excel

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

13 EMBED Equation.3 1415 Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х1 , х2 , , хn – неизвестные,
b1, b2, ., bn - столбец свободных членов.
Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных
13 EMBED Equation.3 1415
Составим вспомогательные определители системы следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда решением системы является:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415

Отметим следующее:
Если определитель системы D
· 0, то система определена, т.е. имеет единственное решение
Если D = Dx1 = Dx2 = =Dxn = 0, то система имеет бесконечно много решений, т.е. является неопределенной.
Если D = 0, но хотя бы один из Dx1, Dx2, , Dxn не равен нулю, то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Из – за арифметических трудностей формулы Крамера на практике используются для систем не выше третьего, четвертого порядка.

Пример: Решить по формулам Крамера систему уравнений:
2х + 3у = 1
х – у = 0

Вычислим все определители:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Пример: Решить по формулам Крамера систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим:
13 EMBED Equation.3 1415

Тогда:
13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: х1=2/3, х2=1, х3=0.


Решение систем линейных уравнений методом Крамера с помощью пакета Excel

Цель: Используя приведенные ниже рисунки, изучите способ решения систем линейных уравнений с помощью пакета Excel.

Теория
Функция МОПРЕД - Возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).
Синтаксис: МОПРЕД(диапазон ячеек)
Массив - это числовой массив с равным количеством строк и столбцов.
Определитель матрицы - это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Для массива A1:C3, состоящего из трех сток и трех столбцов, определитель вычисляется следующим образом:
МОПРЕД(A1:C3) равняется A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1)
Возможные ошибки
Если какая-либо ячейка в массиве пуста или содержит текст, то функция МОПРЕД возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
МОПРЕД также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если массив имеет неравное количество трок и столбцов.









Варианты заданий:
Вариант
Задание

1
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

2
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

3
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

4
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

5
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

6
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

7
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

8
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

9
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

10
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415



Самостоятельная работа №8 Решение СЛУ методом обратной матрицы; подготовка сообщений «Вклад Гаусса в развитие математики»

Цель: отработать навыки по решению систем методом обратной матрицы; получить представление о вкладе Гаусса в развитие математики
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа; работа с литературой
Форма контроля: проверка работы; сообщение на уроке
Виды заданий:
Решить систему методом обратной матрицы
Выполнить проверку с помощью программы MS Excel

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Метод обратной матрицы

Пусть имеется система линейных уравнений AХ=B и ее определитель не равен нулю.
Умножая слева обе части данного равенства на матрицу А-1, получим
.
Так как , то

- решение системы.

Пример:
Решить систему уравнений методом обратной матрицы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение: Система как и прошлом примере, но теперь ее решим методом обратной матрицы.
Запишем данную систему уравнений на языке матриц.
.
Найдем обратную матрицу А-1: (на экране алгоритм нахождения обратной матрицы)
.
Транспонируем матрицу

Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы:

Выписываем обратную матрицу:
.
Тогда
Посмотрите еще раз на оба метода. Все необходимые знания для их применения (вычисление определителей, нахождение обратной матрицы, умножение матриц) вы уже имели. И сегодня мы их повторили и научились практически применять для решения систем линейных уравнений.

Теперь рассмотрим, как можно облегчить решения систем, а именно как применять для их решения табличный процессор MS Excel.
Напомню еще раз, что изученные нами на сегодняшнем занятии методы основаны на вычислениях по готовым формулам. А в MS Excel они записываются как встроенные функции. Именно они и помогут нам.

Напомню, что функция в информатике – это имя, которое возвращает нам единственное значение.

Зачем мы учимся решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel?
Во-первых, если системы задана больших размеров (например, 4*4) ручные вычисления очень громоздкие.
Во-вторых, с их помощью можно проверять себя.

Какие же функции Excel нам необходимо знать для решения систем линейных уравнений?

Как правильно записать систему в MS Excel и как правильно записать применяемые функции, расписано у вас на листочках, которые я вам раздам.

Применяя метод обратной матрицы пользуемся функциями – МОБР(МАССИВ) и МУМНОЖ(массив1;массив2).
Функция МОБР - возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).
Функция МУМНОЖ - возвращает произведение матриц.
Запись формул начинается со знака «=».


Решение системы уравнений в Excel методом обратной матрицы

Найдем матрицу, обратную матрице А. Для этого в ячейку А9 введем формулу =МОБР(A2:C4). После этого выделим диапазон А9:С11, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставится как формула массива. =МОБР(A2:C4).
Найдем произведение матриц A-1 * b. В ячейки F9:F11 введем формулу: =МУМНОЖ(A9:C11;D2:D4) как формулу массива. Получим в ячейках F9:F11 корни уравнения:



Варианты заданий:

Вариант
Задание

1
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

2
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

3
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

4
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

5
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

6
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

7
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

8
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

9
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

10
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415



Самостоятельная работа №9 Решение СЛУ по методом Гаусса

Цель: закрепить навыки по решению систем методом Гаусса.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить систему методом Гаусса
Выполнить проверку с помощью программы MS Excel

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Решение СЛАУ методом Гаусса - это один из самых простых и быстрых способов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] систем алгебраических уравнений. В отличие от решения СЛАУ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] он не требует вычисления множества [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] и затем тяжелого деления, у Вас просто меньше мест для ошибок. По сравнению с методом обратных матриц, метод Гаусса гораздо быстрее и не требует выполнения такой сложной операции, как вычисление [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. По признанию многих студентов решении систем алгебраических уравнений методом Гаусса гораздо проще для понимания.
Наиболее распространенным точным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса.
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Будем производить над ней элементарные преобразования. Для этого выпишем матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1) с добавлением столбца свободных членов, другими словами расширенную матрицу
· для системы (1):
13 EMBED Equation.3 1415
Предположим, что с помощью таких преобразований удалось привести матрицу
· к треугольному виду.
13 EMBED Equation.3 1415
где все диагональные элементы
·11,
·22,...,
·nn отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже диагональных, равны нулю.

Из последней матрицы начиная с последней строки находят все переменные.

Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение переменных – обратным ходом.

Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
Составим расширенную матрицу системы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], откуда получаем:  x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Решение системы уравнений методом Гаусса - MS Office Excel

Для того чтобы решить данную систему уравнений в Excel, нужно выполнить следующие действия:
Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

В ячейку E1 ввести текст Контрольные суммы, а в F1 – Строчные суммы.
В ячейку E2 ввести формулу =СУММ(A2:D2) (для подсчета контрольных сумм) и методом протягивания заполнить ячейки E3, E4.
После этого необходимо выполнить "Прямой ход" - преобразование исходной системы к системе с треугольной матрицей, на главной диагонали которой стоят единицы. Для этого нужно выполнить следующие действия:
Чтобы коэффициент при x1 равнялся 1, нужно в ячейку A5 ввести формулу =A2/$A$2, затем методом протягивания скопировать ее в ячейки B5:D5.
Над столбцом контрольных сумм необходимо выполнить те же действия, что и над коэффициентами при неизвестных, следовательно в ячейку E5 нужно ввести формулу =E2/$A$2.
В ячейку F6 ввести формулу =СУММ(A5:D5) (для подсчета строчных сумм).
В ячейку A6 ввести формулу =A3-$A$3*A5 (для обнуления коэффициента при x1 во втором уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B6:E6.
В ячейку A7 ввести формулу =A4-A5*$A$4 (для обнуления коэффициента при x1 в третьем уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B7:E7.
В ячейку B8 ввести формулу =B6/$B$6, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C8:E8.
В ячейку B9 ввести формулу =B7-B8*$B$7, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C9:E9.
В ячейку C10 ввести формулу =C9/$C$9, скопировать эту формулу в диапазон ячеек D10:E10.
Формулой из ячейки F5 методом протягивания заполнить ячейки F6:F10 (следует обратить внимание на то, что значения в столбцах строчных и контрольных сумм попарно равны).
После этого необходимо выполнить "Обратный ход" - последовательное нахождение значений x3, x2, x1. Для этого нужно выполнить следующие действия:
В ячейки C11, B12, A13 ввести единицы.
В ячейку D11 ввести формулу =D10 и скопировать ее в ячейку E11.
В ячейку F11 ввести формулу =A11+B11+C11+D11.
В ячейку D12 ввести формулу =D8-C8*D11.
В ячейку E12 ввести формулу =E8-C8*E11.
В ячейку D13 ввести формулу =D5-C5*D11-B5*D12.
В ячейку E13 ввести формулу =E5-C5*E11-B5*E12.
Формулу из ячейки F11 скопировать диапазон ячеек F12:F13.
Таким образом, получены x3, x2, x1. Для проверки правильности решения задачи необходимо выполнить следующие действия:
Диапазон ячеек A15:A18 последовательно заполнить следующими словами: проверка, 1 уравнение, 2 уравнение, 3 уравнение.
В ячейку C16 ввести формулу =A2*$D$13+B2*$D$12+C2*$D$11, затем скопировать ее в диапазон ячеек C17:C18.
Нужно обратить внимание, что полученный результат в ячейках C17:C18 полностью совпадает с ячейками D2:D4, следовательно, задача решена верно.
Таким образом, получаем следующее:

Ответ: x1=3.333, x2 =3.561, x3 =3.782.

Варианты заданий:

Вариант
Задание

1
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

2
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

3
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

4
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

5
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

6
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

7
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

8
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

9
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

10
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415



Раздел 2. Основы аналитической геометрии

Тема 2.1. Уравнения прямых на плоскости


Самостоятельная работа №10 Подготовка сообщений «Уравнения прямых в различных областях науки»

Цель: получить представление о применении уравнений прямых в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №11 Составление уравнений прямых, их построение

Цель: отработать навыки составления уравнений прямых, их построения.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Составить уравнений прямой.
Найи взаимное расположение прямых.
Построить прямые в системе координат.


Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

1) Уравнение с угловым коэффициентом.
Дано:
( – угол с OX,
на OY отсекает b








- Уравнение с угловым коэффициентом

A (x; y) – любая точка прямой


2) Уравнение прямой, проходящей через точку A(x0; y0) под заданным углом (.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



– уравнение прямой, проходящей через точку под заданным углом.
– уравнение прямой, проходящей через O(0; 0) (начало координат).


3) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору
M (x; y) – произвольная точка прямой

– координаты вектора
- Уравнение прямой, проходящей через заданную точку A(x0; y0) перпендикулярно данному вектору


Пример:
Дан (ABC: A(3; 2), B(–1; 4), C(5; 6).
Написать уравнение hB.






4) Общее уравнение прямой.

– общее уравнение прямой


Частные случаи:
1) A = 0,
By + C = 0,

y = b
2) B = 0,
Ax + C = 0,

x = a

3) C = 0,
Ax + By = 0,
через начало координат
4) x = 0
– координатные оси
y = 0



5)Уравнение прямой в отрезках.


– уравнение прямой в отрезках.






6) Пучок прямых.
Совокупность прямых, проходящих через одну общую точку, называется пучком прямых; общая точка называется центром пучка.
– текущий параметр.






7) Уравнение прямой, проходящей через две точки

– уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пример: Записать уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины A, если A(–1: 3), B(3; 5), C(1; –3).
-


8) Условие принадлежности трех точек одной прямой.


– условие принадлежности


ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Условие параллельности двух прямых и имеет вид

Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти уравнение стороны AD.
Решение: , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид
.

Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид


Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD.

Решение: Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .

Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой

Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти длину высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD.

Решение: Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна =.

Тангенс угла между прямыми и определяется формулой


Пример: Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти тангенс угла между диагоналями и .

Решение: а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен .
б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент .
в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Следовательно, . Отсюда .

Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами

Пример: , . Найти координаты середины отрезка АС имеем: , . Следовательно .

Составление уравнений прямых

Пример:








Варианты заданий



№ варианта
Координаты точек
№ варианта
Координаты точек

1
А(–2; –3), В(2; 7), С(6; –1)
6
А(3; –3), В(–4; 1), С(–2; 5)

2
А(–5; 1), В(6; 3), С(–4; –7)
7
А(3; 5), В(–2; 2), С(2; –4)

3
А(4; 5), В(–3; 2), С(5; –4)
8
А(–2; 4), В(5; 6), С(3; –4)

4
А(7; –7), В(1; 2), С(–5; –4)
9
А(3; 7), В(–4; 1), С(–2; –5)

5
А(–3; 4), В(4; 5), С(8; –3)
10
А(4; 3), В(–3; –2), С(–7; 2)



Тема 2.2.Кривые второго порядка на плоскости


Самостоятельная работа №12 Составление уравнений кривых, их построение

Цель: отработать навыки составления уравнений кривых, их построения.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Составить уравнений кривой второго порядка.
Построить кривой второго порядка в системе координат.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Основные понятия аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии устанавливаются соответствия:
между множеством линий на плоскости и множеством уравнений с двумя переменными (уравнений вида );
между множеством поверхностей в пространстве и множеством уравнений с тремя переменными (уравнений вида ).

Уравнением линии на плоскости (уравнением поверхности в пространстве) называют уравнение, которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии (поверхности).
Каждому уравнению с двумя (тремя) переменными соответствует линия на плоскости (поверхность в пространстве), являющаяся геометрическим местом тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Определение: Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.

, где
А, В, С, D, Е, F – действительные числа.
В зависимости от значения коэффициентов А, В, С получаются различные виды кривых, причем коэффициенты А, В, С не могут одновременно равняться нулю.
К кривым второго порядка относятся:
окружность
эллипс
гипербола
парабола



Уравнения окружности и сферы


Пусть дана окружность на плоскости с центром в точке и радиусом R.
Для тех и только тех точек M, которые принадлежат окружности , или, в силу :
,
;
.
Откуда:

Последнее уравнение является общим уравнением окружности.

Аналогично для сферы в пространстве может быть получено уравнение:

где a,b,c – координаты центра сферы.

Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:





Пример: Составить уравнение окружности с центром в точке С(3;4) и радиусом R=5. Проверить, лежат ли на этой окружности точки О(0;0), А(7;1), В(2;3).

М (х; у)
СМ = R = 5
СМ=



Пример: Составить уравнение линии, каждая точка которой в два раза ближе к точке , чем к началу координат.

Решение: Пусть текущая точка искомой линии. Запишем уравнение линии в векторной форме (см. рис. №№) :
.
Перейдем к координатной форме :
,
.
Следовательно,
.
Избавимся от иррациональности, возведя обе части уравнения в квадрат,
, или
.
Преобразуем уравнение, как в задании 2 б),
, или
,
окончательно имеем
.
Полученное уравнение задает окружность с центром в точке радиуса .


Пример Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию:
х2 + у2 + 4x + 2у +1 = 0,

Решение: Уравнение х2 + у 2 + 4х + 2у +1 =0 определяет окружность, так как А=С= 1. Для получения канонического уравнения окружности выделим полные квадраты по переменным х и у:
,
.

Итак, получено каноническое уравнение окружности с центром в точке (-2,-1) и радиусом R = 2 .




Самостоятельная работа №13 Составление уравнений кривых, их построение

Цель: отработать навыки составления уравнений кривых, их построения.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Составить уравнений кривой второго порядка.
Построить кривой второго порядка в системе координат.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна.
Примем за ось абсцисс прямую, соединяющую фокусы F1 и F2, начало координат расположим в точке, делящей отрезок F1F2 пополам (рис. 3.10). Обозначим расстояние между двумя фокусами через 2с, тогда фокусы имеют координаты F1 (-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М(х, у) - произвольная точка эллипса. По определению эллипса для любой его точки М выполняется условие
(3.21)
2а - упомянутое в определении эллипса расстояние, причем 2а > 2с, то есть а >с. По формуле (2.14) имеем:


Подставим эти выражения в (3.21)

и выполним необходимые преобразования. В результате этих действий придем к уравнению

Так как а > с, то положим Тогда окончательно имеем


Последнее уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению:
так как уравнение эллипса содержит только квадраты текущих координат, то, если точка (х, у) принадлежит эллипсу, то и точки (-х, у),(-х, -у),(х, -у) тоже принадлежат эллипсу. Значит оси координат являются осями симметрии эллипса. Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса. Для эллипса, определяемого уравнением (3.22), центром является начало координат;
точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинамиэллипса. Для эллипса, определяемого уравнением, вершинами будутточки (рис. 3.11):

Отрезок А1 А2 называется большой осью эллипса, - большой полуосью эллипса, отрезок В1В2 называется малой осью эллипса, -малой полуосью эллипса,- полуфокусным расстоянием, причем или
3) из уравнения следует, что каждое слагаемое левой части не превосходит единицы, то есть и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми (рис. 3.11). Причем при возрастании одного слагаемого в левой части уравнения (3.22) другое слагаемое будет уменьшаться, то есть, если |х| возрастает, то уменьшается и наоборот. Таким образом, эллипс имеет вид, приведенный на рис. 3.11;

4) форма эллипса зависит от величины отношения . При b = а эллипс превращается в окружность. Но в качестве характеристики формы эллипса используют отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси a, которое называется эксцентриситетом эллипса Причем , а при получаем окружность.
Пусть М(х, у) - произвольная точка эллипса (рис. 3.12). Длины отрезков FхM =r1, F2M-r2 называются фокальными радиусами точки М и по определению эллипса .
Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра эллипса на расстоянии от него, называются директрисами эллипса, уравнения директрис (рис. 3.12). Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса:

Если а
Фокусы такого эллипса находятся в точках где

Пример: Построить линии по уравнениям в прямоугольной системе координат:



Пример:. Наименьшее расстояние Земли от Солнца 147,5 млн.км , наибольшее - 152,5 млн. км. Найти большую полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты Земли.
Решение: max = a + c , min = a – c a = 150 млн. км. , с = 2,5 млн. км.
b = = 149.98 млн. км. = c/a = 0.017 , a – b = 20 т. км.

Пример: Дано: расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось рана 3 . Написать уравнение эллипса.
Решение: т.к. 2с = 8 и b = 3, то c = 4, a == 5, = c/a = 0.8, x2/25 + y2/9 = 1

Пример: Установить вид линии второго порядка, привести уравнение к каноническому виду и построить эту линию:
Решение: 1) Уравнение определяет эллипс, так как А С = 5 9 > 0. Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, выделим полные квадраты по переменным х и у и поделим полученное уравнение на свободный член:
,
,
.

Итак, получено каноническое уравнение эллипса с центром в точке (3,-1) и полуосями а =3 (большая) и (малая) (рис. 3.23).


Пример:.





Самостоятельная работа №14 Подготовка сообщений «Уравнения прямых в различных областях науки»

Цель: получить представление о применении уравнений прямых в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №15 Составление уравнений кривых, их построение

Цель: отработать навыки составления уравнений кривых, их построения.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Составить уравнений кривой второго порядка.
Построить кривой второго порядка в системе координат.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Каноническое уравнение гиперболы

Определение 1. Множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний, которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а, называется гиперболой.
- каноническое уравнение гиперболы, где
а – действительная полуось; b - мнимая полуось.
- нормальное уравнение гиперболы,
- уравнение асимптот гиперболы.

. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c. где с2 = а2+ b2
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

Пример 1:



Пример 3:Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее.



Каноническое уравнение параболы

Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и одной прямой, называемой директрисой, называется параболой.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.



- каноническое уравнение параболы.
Парабола асимптот не имеет.
- директриса параболы.
– фокус параболы.
Эксцентриситет параболы считается равным 1

- нормальное уравнение параболы (уравнение параболы со смещенной вершиной)

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы,
Число p называется параметром параболы.
Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

Тогда получим для параболы уравнение y2 = –2px,
а для директрисы и фокуса: F(–0,5p;0) и : x – 0,5p = 0.

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

Тогда уравнение параболы будет иметь вид x2 = (2py, (6)
а для директрисы и фокуса получим: F(0; ( 0,5p) и : y ( 0,5p = 0.

Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее. 2х2 + 4х - у - 2 = 0
Чтобы получить каноническое уравнение, выделим полный квадрат по переменной х и поделим полученное уравнение на коэффициент перед полным квадратом:
,
,
.


Итак, получено каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (-1,-4) и параметром

Варианты заданий самостоятельных работ №12-15

Дано уравнение кривой 2-го порядка.

№ вар.
Уравнение кривой
№ вар.
Уравнение кривой

1
7x2 – 9y2 + 42x+ 18y – 9 = 0
6
9x2 + 4y2 – 54x
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.


Самостоятельная работа №16 Подготовка сообщений «Уравнения кривых в различных областях науки»

Цель: получить представление о применении уравнений кривых в различных областях науки
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №17 Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости

Цель: отработать навыки решения задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости.
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Составить уравнений кривой второго порядка.
Построить кривой второго порядка в системе координат.





Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Решение задач, используя уравнения кривых второго порядка на плоскости

Пример: Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки и прямой . Сделать чертеж.
Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую y. Тогда точка имеет координаты . Расстояние от точки М до прямой есть расстояние между точками М и N:
.
Теперь определим расстояние между точками М и :
.
По условию задачи . Следовательно, для любой точки справедливо равенство:

или
.
Окончательно,
.
Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке .

Пример: Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую (рис. 2). Тогда . По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи
.
Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где .
Определим фокусы эллипса и . Для эллипса справедливо равенство , откуда и . То есть и – фокусы эллипса (точки и А совпадают).
Эксцентриситет эллипса .


Варианты заданий

Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки 13 EMBED Equation.3 1415 и от оси 13 EMBED Equation.3 1415. Сделать чертеж.
Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равна 50. Сделать чертеж.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(х1; у1) и до прямой 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу
·. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую. А(4; 0), а = 9, 13 EMBED Equation.3 1415.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(х1; у1) равно расстоянию до прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую. А(2; 1), b = –1.
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(х,у) и данной прямой х=а равно числу k. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.
А(6 ,0) x =1,5; k=2
Основы математического анализа

Раздел 3. Основы теории комплексных чисел

Тема 3.1. Комплексные числа и действия над ними


Самостоятельная работа №18 Действия над комплексными числами; подготовка сообщений «Возникновение комплексных чисел»

Цель: отработать навыки действий с комплексными числами
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить уравнения.
Выполнить действия с комплексными числами.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом называется выражение вида
, (1)
где и ( действительные числа, ( мнимая единица.
Форма (1) называется алгебраической формой записи комплексного числа. Число называется действительной частью комплексного числа , а ( мнимой частью. Для этих чисел приняты обозначения: , .
Два комплексных числа и равны, если и ; , если и .
Комплексное число называется сопряженным для .
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действиительной осью, а ось ординат – мнимой осью (рис.1).
Число называется модулем комплексного числа и обозначается , т. е. . Угол , образованный вектором с положительным направлением оси Ox, называется аргументом числа и обозначается , т. е. .
Корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами, у которого , находятся по формулам
.
Если , ( корни квадратного трехчлена , то
.

Пример. Найти корни квадратного трехчлена и разложить его на множители.

Решение. По формуле корней квадратного уравнения
.
Тогда .

Алгебраическая форма комплексных чисел

Определение. Алгебраической формой компле5ксного числа z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.
Пусть - любое действительное число. Тогда становится действительным числом.
Пусть . Тогда - чисто мнимое число.
Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.
Два комплексных числа и называются сопряженными комплексными числами.
Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:
Два комплексных числа считаются равными, если .
Комплексное число равно нулю только тогда, когда одновременно.
Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть даны два комплексных числа и .

1) Сложение (вычитание):
.
Пример. , .
.


2) Умножение:
.
В частности,
, .
Пример. , .


3) Деление:
.
Пример. , .

Все арифметические операции над комплексными числами проводятся по правилам действий над многочленами и , при этом заменяется на .

Варианты заданий


1. Вычислить:
1) (3 – 2i) + (5 + 3i);
2) (1 + 2i) – (3 – i);
3) 3(2 – i)
·(1 – i);
4) (1 + 3i)(–7 + 2i);
5) (2 – i)2;
6) (1 + 2i)3.
2. Найти решение уравнений (x, y ( R):
1) (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i;
2) 2x + (1 + i)(x + y)=7 +i;
3) (3 – y + x)(1 + i) + (x – y)(2 + i) = 6 – 3i.
3. Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) .
4. Найти z-1, если:
1) z = 7 – 12i; 2) z = 3 + 4i; 3) z = –3 + 7i; 4) z = i.
Самостоятельная работа №19 Подготовка сообщений «Области применения комплексных чисел»

Цель: получить представление о применении комплексных чисел
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №20 Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах; переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно

Цель: отработать умения выполнять арифметические действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах; отработать умения переводить комплексные числа из одной формы в другую
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Выполнить действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.
Перейти от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно изобразить точкой плоскости xOy или ее радиус-вектором .
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действиительной осью, а ось ординат – мнимой осью.
Число называется модулем комплексного числа и обозначается , т. е. . Угол , образованный вектором с положительным направлением оси Ox, называется аргументом числа и обозначается , т. е. .
Всякое комплексное число может быть представлено
в тригонометрической форме , (1)
где , а ( решение системы удовлетворяющее условию или (называется главным значением аргумента и обозначается ).

Пример 1. Комплексные числа , , представить в тригонометрической форме.

Решение. Сначала следует найти модуль и аргумент данного комплексного числа, а после этого воспользоваться формулой (1):
, , следовательно , ;
, , следовательно ,
;
, , следовательно , .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа
, .
1) Умножение: .
2) Деление: .
3) Возведение в степень. Формула Муавра: , где ( целое число.
4) Извлечение корня n-й степени :
, (1.3) где .
Пример 2. Вычислить , если .

Решение. Комплексное число представим в тригонометрической форме:
.
По формуле Муавра находим
.
Вычисляя косинус и синус, окончательно получим.




Показательная форма комплексного числа

Получаем:

Это есть формула Эйлера.
Заменяя в формуле ( на -( и учитывая при этом что cos( - чётная, sin( - нечётная функции, получим:

Разрешив последние равенства относительно cos( и sin( получим ещё 2 формулы Эйлера:


Действия над комплексными числами в показательной форме

Пусть и ,
1)Умножение: ,
2) Деление:
3) Возведение в степень:
4) Извлечение корня: , где к=0,1,2,3,4,5...,n-1.

Пример 3.
Написать в показательной форме комплексные числа:
а) б) ; в) ; г) д)
Решение
а)
б)
в)
г)

Пример: Представить в показательной форме комплексное число .
Решение. Находим модуль числа и один из его аргументов ., откуда, .

Пример:.Найти все значения:
a) ; б) ; в) .
Решение: а) запишем число Z=-16 в тригонометрической форме
.
Согласно формуле (1) получаем
, где k=0,1,2,3.
Следовательно,
,
,
,
.
б) Модуль числа i равен единице, а аргумент равен , поэтому
, где k=0,1,2.
Получаем
;
;
.

Пример: Дано комплексное число Требуется:
1) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразить число a точкой на комплексной плоскости;
2) вычислить и записать ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах;

Решение.
1. Найдем алгебраическую форму числа a
. Числу a соответствует точка M(-1;), изображенная на рис.

Найдем модуль и аргумент числа а
. Тогда тригонометрическая и показательная формы числа а определяются равенствами

По формуле Муавра имеем.
. Из полученной показательной формы числа находим тригонометрическую и алгебраическую формы




Варианты заданий

1. Представьте в тригонометрической и показательной формах комплексные числа:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
2. Записать комплексное число в алгебраической и в тригонометрической формах:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
3. Представить в тригонометрической форме комплексное число Z:
1) ,
2) .
4 . Записать комплексное число Z в алгебраической форме:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
5. Записать комплексное число Z в тригонометрической форме:
1) ,
2) ,
6 . Представить Z в алгебраической форме:
1) ,
2) ,
3) .
7. Представить в показательной форме комплексное числа:
1) ,
2) .
8. Записать в показательной и алгебраической формах комплексное число:
1) ,
2) ,
3) ,
9. Записать в показательной форме все значения:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .


Раздел 4. Основы дифференциального исчисления

Тема 4.1. Производная и дифференциал


Самостоятельная работа №21 Подготовка сообщений «Возникновение понятия производной»

Цель: получить представление о возникновении понятия производной
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №22 Вычисление производных функций

Цель: отработать умения вычислять производные функций
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти производную функции.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Производная функции

Количественное описание сложных изменяющихся процессов жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку соответствующие математические величины, используемые для этой цели, должны сами обладать способностью к “движению” . Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и величинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам. Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, является производная функции.

Для пояснения этого понятия рассмотрим рис.1, где графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость y = f (x).
Приращением функции y = f(x) называется разность

где (x - приращение аргумента x. Из рис. 1 видно, что
(1)

Рис. 1

Определение производной

Пусть на множестве задана функция . Фиксируем точку и задаем приращение аргумента . Тогда точка соответствует и называется приращением функции.
Если существует предел
,
то он называется производной функции в точке .
Существуют и другие обозначения производной: , .
Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования, а если конечна, то функция называется дифференцируемой.

Геометрический смысл производной: тангенс угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и осью абсцисс, числено равен значению производной функции в данной точке.

Физический смысл производной: мгновенная скорость движения в данной точке представляет собой значение в данный момент времени производной от пути по времени.
Если за время (t тело проходит путь (S, то средняя за это время скорость движения: Но на пути ( S скорость может иметь различные мгновенные значения (vмгн), которые определяются как предел отношения (S к (t при (t(0 :

Если рассматривается ускорение (а) механического движения, то мгновенное ускорение представляет собой первую производную от скорости или вторую производную от пути:

Таким образом, вторая производная имеет физический смысл ускорения.

Дифференциал функции.

Дифференциал функции (dу) - это произведение производной функции на приращение (или дифференциал) аргумента:
dу = у( (х = у dx. (5)
Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал dу представляет собой главную часть приращения функции. При малых приращениях можно считать dу ( (у.
Из смысла дифференциала следует его важное практическое значение: нахождение дифференциала функции позволяет определить, насколько изменилась функция, если произошли небольшие изменения переменной, от которой она зависит.
Пример. Имеется куб с длиной ребра l=1м. На какую величину (V изменится объем куба, если длина ребра увеличилась на (l=1см?
Эту задачу можно, конечно, решить и методами элементарной математики:
(V= (l+(l) 3- l3.
Однако, даже в этом элементарном примере необходимо выполнять довольно значительные вычисления.
Учитывая, что приращение объема куба (функции) при малых изменениях длины его ребра (аргумента) примерно равно дифференциалу объема, получим:
(V ( dV =(l3)(( (l = 3l2(l = 3(1(0,01=0,03м3.

ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:







Все эти правила применяются к таблице производных

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Пример 1.
Решение.


Пример 2.
Решение.

Пример 3.
Решение.


Варианты задания:

Вариант 1

1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

Вариант 2
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

Вариант 3
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

Вариант 4
1. Найти производные
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,


Самостоятельная работа №23 Вычисление производных функций

Цель: отработать умения вычислять производные сложных функций
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти производную сложной функции.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Производная сложной функции»

Прежде чем воспользоваться таблицами производных, надо установить, является функция простой или сложной.
Функция называется сложной, если есть функция от : , т. е. .
Производная сложной функции вычисляется по формуле
,
т. е. сначала вычисляется производная функции по переменной , и затем она умножается на производную функции по переменной .

Таблица производных

1. () 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8. ()
9. () 10.
11. 12.()
13. 14.
15.

Пример . Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Функция – это сложная функция , . Тогда по формуле 1 таблицы производных , а по формуле 5 .Таким образом, .
б) Используем правило дифференцирования 3а: . Функция – сложная , . Поэтому
.
в)

=.

Варианты заданий

Домашняя контрольная работа

Задание. Найти первые производные функций.
1. а) у = 3х 5 – 13EMBED Equation.31415; е) у = ln tg(2x+1);
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = (х + 1)2 ( cos5x; з) у = 23х + 7х 7 + 13EMBED Equation.31415;
г) у = arctg(е2x + 3); и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = х arcsin x.


Задание. Найти первые производные функций.
2. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = x2 ( cos7x ;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = ( х + 2) ( 13EMBED Equation.31415; з) у = ln 5 sin x;
г) у = 13EMBED Equation.31415 + 8x; и) у = arcsin e 4x;
д) у =13EMBED Equation.31415+ 313EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.



Задание. Найти первые производные функций.
3. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = sin 4 х + cos 4 x;
б) у =13EMBED Equation.31415; ж) у = ln 13EMBED Equation.31415;
в) у = 3х ( arcsin 2x; з) у = (х2 + 2х + 2) ( е -х;
г) у = 13EMBED Equation.31415+13EMBED Equation.31415; и) у = sin(x+ 6) – x ( cos 4x;
д) у = 3 ctg x + 813EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.

Задание. Найти первые производные функций.
4. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = х ( arctg 3x;
б) у =13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 3 sin2 x ( cos 2x;
г) у = ln sin (2x + 5); и) у = 13EMBED Equation.31415 ;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.

Задание. Найти первые производные функций.
5. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415 – 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = (ln x +1)2 ( cos 2x ; з) у = sin2 2x+ cos x ;
г) у = arcsin13EMBED Equation.31415; и) у = ln tg 5x ;
д) у = 5 tg x + 313EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.

Задание. Найти первые производные функций.
6. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = arctg x 2 + 7x6 + 2 ;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = (3 – sin 2 x) 3 ; з) у = х 2 ( ln(x 2 + 1);
г) у = 13EMBED Equation.31415 + sin (3x + 9) ; и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415+ 3; к) у = (sin x) tg x.

Задание. Найти первые производные функций.
7. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415+ 4x ( ln x; ж) у = ( х 2 +1) ( arctg 4x;
в) у =arcsin(3x2 + 2); з) у = ( 2х + 5) ( 13EMBED Equation.31415;
г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = ln13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.
Задание. Найти первые производные функций.
8. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = е х ( cos x;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 3 х 2 ( ln x 3;
в) у = arctg 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = х ( arccos13EMBED Equation.31415; и) у = (2х + 2 cos x) ( е –х ;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = ( sin 2x) cos x .


Задание. Найти первые производные функций.
9. а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = е13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415 – ln 4x ;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = 13EMBED Equation.31415 + 8x + 7; и) у = cos 100 x + sin 100x ;
д) у = ( х + х 2 ) х ; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = sin x ( cos (7x+ 5);
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = ( е cos x + 3) 2;
в) у = х 2 ( 13EMBED Equation.31415; з) у = ln sin (3x + 5);
г) у =arctg 13EMBED Equation.31415; и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = ( х 3 ) ln х.


Задание. Найти первые производные функций.
а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = (1 – х2 ) ( cos 2x;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = е –х ( sin 2x ;
г) у = arctg(ln x) +ln(sinx); и) у = ln 5( x 2 – 1);
д) у = 2 ( cos (4x+x2); к) у = 13EMBED Equation.31415.
Задание. Найти первые производные функций.
а) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = е ctg 3 x;
б) у = 13EMBED Equation.31415( arccos 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = arctg 2 x + 6x2; и) у = ( х 3 + х 2 ) ( е –х;
д) у = 13EMBED Equation.31415 + 713EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = ln( x 2 + 5);
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = х 5 ( е –х;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = arctg 13EMBED Equation.31415;
г) у = ln 3 sin (3x + 3); и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = 8х ( 13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = ( 3х +1) 5 ( cos3x;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = ln (2x3 +3x2 ); и) у = arctg 2 e x ;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = cos (10x+x3);
б) у = (5х + х 3 ) ( ln x 2; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415 +2sin 4x + 4; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = arccos 13EMBED Equation.31415; и) у = ln(4+sin4x);
д) у = 0,7 arctg х; к) у = 13EMBED Equation.31415.
Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у =(3х + 2) ( sin 3x;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = ln 2 tg 2x13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = х ( arccos x –13EMBED Equation.31415; и) у = arcsin( e 7x );
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = (sin2x) x.

Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = е х( sin 2x;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = arctg13EMBED Equation.31415;
в) у = (5 + х 3 ) 2 ( е –х; з) у = 13EMBED Equation.31415;

г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = cos (3x );
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.

Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у =( х 2 + 6 ) ( ln 3x;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415 + 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = е 3х ( cos 3x;
г) у = 2tg 3(x 3 + 2) ; и) у = arctg 2 13EMBED Equation.31415;
д) у = 2 sin 3x; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = sin 26x + 3x2;
б) у = ln ctg 3 x; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = arctg(tg 2 x + 2 ); и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415 + 713EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.
Задание. Найти первые производные функций.
20. a) у = x7 – 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415ctg13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415arctg13EMBED Equation.31415; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = arcsin (e –4x);
г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = 13EMBED Equation.31415 + 313EMBED Equation.31415;
д) у = ln 2 sin3x; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
21. a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415 + 13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415; ж) у = ln 2 arctg x ;
в) у = 13EMBED Equation.31415 + 513EMBED Equation.31415; з) у =13EMBED Equation.31415(tg13EMBED Equation.31415);
г) у = arctg(7sin3x); и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
22. а) y = 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415;
б) у = tg ( x 2 +3); ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 13EMBED Equation.31415;
г) у = ln tg13EMBED Equation.31415; и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = х 2 ( arcsin (9x + 2) ; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Задание. Найти первые производные функций.
a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = 13EMBED Equation.31415;
б) у = 13EMBED Equation.31415 ; ж) у =3 tg 6 x + 7;
в) у = 13EMBED Equation.31415; з) у = 4х ( arctg (2x+ 9);
г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = 13EMBED Equation.31415;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415.
Задание. Найти первые производные функций.
24. a) y = 13EMBED Equation.31415; е) у = tg (x 2 +cos x);
б) у = 13EMBED Equation.31415 ; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = 13EMBED Equation.31415 arctg x ; з) у = 13EMBED Equation.31415 ;
г) у = 13EMBED Equation.31415 ; и) у = 13EMBED Equation.31415 ;
д) у = 13EMBED Equation.31415; к) у = 13EMBED Equation.31415arctg x .


Задание. Найти первые производные функций.
25. a) у = 13EMBED Equation.31415 ; е) у = 13EMBED Equation.31415+ 513EMBED Equation.31415;
б) у = tg x +13EMBED Equation.31415tg 3 x +13EMBED Equation.31415tg 5 x; ж) у = ln 2 sin x;
в) у = х 3 ( ( х – 5 cos x ) 2 з) у = arccos 13EMBED Equation.31415;
г) у = 13EMBED Equation.31415; и) у = (1 + 9х ) ( 13EMBED Equation.31415;
д) у = 513EMBED Equation.31415; к) у = ( 1 + х ) cos x.

Задание. Найти первые производные функций.
26. a) у = 13EMBED Equation.31415; е) у = ln(2x – 3);
б) у = 13EMBED Equation.31415 ( x2; ж) у = 13EMBED Equation.31415;
в) у = arctg( x 2+e3x); з) у = (2х3 + 5)4 ( х 3;
г) у = ln tg (5x+1); и) у = sin 5x+cos 3x 3;
д) у = 3 ln3x; к) у = 13EMBED Equation.31415.


Самостоятельная работа №24 Подготовка сообщений «Приложение производной в производственных процессах»

Цель: получить представление о применении производной в производственных процессах
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №25 Производные и дифференциалы высших порядков

Цель: отработать умения вычислять производные и дифференциалы высших порядков
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти производные и дифференциалы высших порядков.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Производные и дифференциалы высших порядков»


Если производная функции определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную, то эта производная от называется второй производной (или производной второго порядка) функции в точке и обозначается одним из следующих символов:
, , , , , .
Третья производная определяется как производная от второй производной и т. д. Если уже введено понятие -й производной и если -я производная имеет производную в точке , то указанная производная называется -й производной (или производной -го порядка) и обозначается
, или , .
Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле:
.
Функция, имеющая -ю производную в точке , называется раз дифференцируемой в этой точке.

Пример. Найти функции .
Решение.



Варианты заданий

Найти производные функций указанных порядков:

Найти производную функции второго порядка в точке х0: , х0=0.
Найти производную функции второго порядка в точке х0: , х0=3.


Самостоятельная работа №26 Подготовка сообщений «Производная и ее применение»

Цель: получить представление о применении производной
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №27 Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Цель: отработать умения раскрывать неопределенности по правилу Лопиталя
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Вычислить пределы функций по правилу Лопиталя.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя

Предел функции в конечной точке x0

Определение. Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий точку x0:

.
Определение. ( - окрестностью точки x0 называется интервал (-; +), длина которого 2, симметричный относительно x0:


Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x ( x0, если для любого наперед заданного малого числа
· > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой
·-окрестности точки x0, то есть , выполняется неравенство: .
Итак: : .

Пример

Пример Найти пределы функций:
а) ; б)
в) г)




Предел функции на бесконечности

Определение. Окрестностью бесконечно удаленной точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству: , где N достаточно большое положительное число.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа
· >0 существует другое большое число N=N(
·)>0 такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство: .
Этот факт записывают: .
Пример
Пример. Найти пределы функций.
а) б)

Теоремы о пределах:

Теорема Если , где с – константа, то
Теорема Пусть и тогда а)
б)
в) , если ;
г)

Математические неопределенности

Если а так же, если , то вычисление предела приводит к отношениям вида и . Если при помощи различных преобразований удается вычислить пределы указанного вида или доказать, что они существуют, то говорят, что неопределенность раскрыта.
Пример Найти предел функций:
Решение: Так как и то имеет место неопределенность вида
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на множитель, стремящийся к нулю.

Пример Найти предел функций:
Решение:

Правило Лопиталя

При раскрытии неопределенностей , кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:
Eсли или и существует предел отношения их производных , то .
Это правило справедливо и в случае .

Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) ; б) ; в) .
Решение. Убедившись, что имеет место случай или , применяем правило Лопиталя.
а) ,
б) .

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.
в) .

При раскрытии неопределенностей для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.
Пример 2. Найти пределы:
а) ; б) .
Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:
.
б) Имеем неопределенность . Преобразуем к неопределенности , после чего применим правило Лопиталя:
.


Варианты заданий

Вариант 1

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 2

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 3

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 4

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 5

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 6

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 7

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 8

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 9

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 10

Найти пределы функции, используя правило Лопиталя:
13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №28 Полное исследование функции; построение графиков
Самостоятельная работа №29 Полное исследование функции; построение графиков

Цель: отработать умения исследовать функции и строить их графики
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Исследовать функции методами дифференциального исчисления, строить их графики.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Полное исследование функции

Найти область определения функции.
Определение. Областью определения функции 13 EMBED Equation.3 1415 называется совокупность всех значений независимой переменной 13 EMBED Equation.3 1415, для которых функция 13 EMBED Equation.3 1415определена.
Определить является функция четной, нечетной или общего вида.
Определение. Функция 13 EMBED Equation.3 1415, определенная на множестве 13 EMBED Equation.3 1415, называется четной, если 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, называется нечетной, если 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется условие 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
График четной функции симметричен относительно оси 13 EMBED Equation.3 1415, график нечетной – относительно начала координат.
Если функция13 EMBED Equation.3 1415 является четной или нечетной, то исследование можно провести только для 13 EMBED Equation.3 1415и при построении графика воспользоваться его симметричностью.
Определить координаты точек пересечения графика с осями координат.
Найти наклонные (в т.ч. горизонтальные) асимптоты и вертикальные асимптоты графика функции.
Определение. Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является вертикальной асимптотой графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- точка разрыва или граничная точка области определения функций.
Определение. Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 является горизонтальной асимптотой графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, если существует предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Прямая 13 EMBED Equation.3 1415является наклонной асимптотой графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, если существуют пределы 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти точки экстремума и интервалы возрастания (убывания) функции.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной 13 EMBED Equation.3 1415.
Достаточные условия возрастания (убывания) функции. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 для 13 EMBED Equation.3 1415, то эта функция возрастает (убывает) на 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Точка 13 EMBED Equation.3 1415называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая (-окрестность точки 13 EMBED Equation.3 1415, что для всех 13 EMBED Equation.3 1415из этой окрестности выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, (13 EMBED Equation.3 1415).
Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения функции и в которых первая производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточные условия экстремума
I Если непрерывная функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема в некоторой ( - окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415и при переходе через нее (слева направо) производная 13 EMBED Equation.3 1415меняет знак с плюса на минус, то 13 EMBED Equation.3 1415есть точка максимума, с минуса на плюс, то 13 EMBED Equation.3 1415- точка минимума.
II Если в точке 13 EMBED Equation.3 1415первая производная функции 13 EMBED Equation.3 1415равна нулю 13 EMBED Equation.3 1415, а вторая производная существует и отлична от нуля 13 EMBED Equation.3 1415, то в точке 13 EMBED Equation.3 1415функция имеет экстремум. Если 13 EMBED Equation.3 1415- максимум, если 13 EMBED Equation.3 1415- минимум.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.
Определение. График дифференцируемой функции 13 EMBED Equation.3 1415называется выпуклым (вогнутым) на интервале 13 EMBED Equation.3 1415, если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.
Теорема. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 во всех точках интервала 13 EMBED Equation.3 1415имеет отрицательную вторую производную 13 EMBED Equation.3 1415, то график функции в этом интервале выпуклый. Если же 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 - график вогнутый.
Точка графика непрерывной функции 13 EMBED Equation.3 1415, отделяющая его части выпуклости и вогнутости, является точкой перегиба.
Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная 13 EMBED Equation.3 1415при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 есть точка перегиба.
Результаты проведенного исследования функции рекомендуется свести в таблицу, в первой строке которой указываются все значения 13 EMBED Equation.3 1415, выделенные в результате исследования, как самой функции 13 EMBED Equation.3 1415, так и ее производных 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а также интервалы, на которые данными точками разбивается область определения. Во второй строке указываются значения функции на каждом из выделенных интервалов. В третьей строке выделяются критические точки функции и указывается знак первой производной на каждом интервале. В четвертой строке – знак второй производной на каждом интервале. В последней строке по знакам 13 EMBED Equation.3 1415 определяется характер монотонности функции, по знакам 13 EMBED Equation.3 1415выпуклость (вогнутость) графика функции, а также определяется характер выделенных точек (точки максимума, точки минимума, точки перегиба).
Построение графика функции рекомендуется начать с обозначения на координатной плоскости точек, выделенных в таблице и построения асимптот (если они есть). Для более точного построения можно вычислить значения функции в дополнительных точках.

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Найти область определения функции.
Исследовать четность и периодичность функции.
Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.
Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415. Определить точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415. Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости.
Построить график функции.

Пример: f(x)=3x5-5x3+2
Решение: 1) D(f)=R, так как f – многочлен
2) f(-x)=-3x5+5x3+2, значит f(x) ни чётная, ни нечётная; не периодическая
3),4) f’(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1)
D(f)=R, поэтому критических точек, для которых f’(x) не существует, нет
f’(x)=0, если х2(х2-1)=0, т.е. при х=0, х=-1, х=1

5) Пересечение с осью Оу: 3х5-5х3+2=0, отсюда х=1
6) Построение графика



Пример. Исследовать функцию y = (x+2)e-x и построить ее график.
1) D(y) = R.
2) Функция не периодическая.
3) Так как y(-x) ( y(x) и y(-x) ( -y(x), то функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной.
4) Точка пересечения графика
с Ox : (-2;0), с Oy : (0;2)
5) При x ( (-(;-2) функция отрицательная,
при x ( (-2;+() функция положительная.
6) Функция непрерывна при x ( R.
7) Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: y = kx + b.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 k=0 при x(+(
13 EMBED Equation.3 1415.
b=0 при x(+(.
Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при x(+(.

б) 13 EMBED Equation.3 1415
при x(-( наклонной асимптоты нет.
8) f’(x) = ((x+2)e-x)’ = 1(e-x+(x+2)((-e-x) = e-x(1-x-2) = -(x+1)e-x.
D(y’) = R.
y’ = 0: -(x+1)e-x = 0 ( x = -1, f(-1) = 1(e1 = e.



при x ( (-(;-1) f(x) возрастает,
при x ((-1;+() f(x) убывает,
при x = -1 fmax (-1) = (-1+2)e-(-1) = e.
9) E(f) = (-(;e), так как
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
и fmax (-1) = e.
10) f”(x) = (-(x+1)e-x)’ = -1e-x+(x+1)e-x = e-x(x+1-1) = xe-x.
D(f”) = R
f”(x) = 0 : xe-x = 0 ( x = 0, f(0) = 2.



при x ( (-(;0) график f(x) выпуклый
при x ( (-(0;+() график f(x) вогнутый
Точка (0;2) – точка перегиба графика.
11) Сведем результаты проведенного исследования в таблицу и построим график
x
-(;-1
-1
-1;0
0
0;+(

знак f’(x)
+
0
-
-
-

знак f”(x)
-
-
-
0
+

F(x)

e

2



13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415




Варианты заданий

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и, используя результаты исследования, построить ее график.


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Тема 4.2. Производная и дифференциал функции двух переменных


Самостоятельная работа №30 Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Цель: отработать умения вычислять частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти производные функций.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Понятие функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Частные производные

Определение: Частной производной от функции по переменной называется конечный предел
.
Частной производной от функции по переменной называется конечный предел
.

При вычислении частных производных необходимо помнить следующее:

1) Все правила вычисления производных и все табличные производные функций одной переменной сохраняют силу.
2) При нахождении частной производной функции по  переменную считают постоянной. Это приводит к тому, что перед нами возникает функция одной переменной , от которой надо взять обычную производную. Поэтому, в частности, любые выражения, зависящие только от , будут тоже постоянными и производная по  от них равна : .
В произведении любой множитель, зависящий только от , выполняет роль множителя-константы: .
3) Аналогичным образом находят частную производную функции по .

Пример 1.  Найти частные производные первого порядка функции
.
,
.

Пример 2. Найти частные производные первого порядка функции .
При дифференцировании по х, постоянный множитель можно вынести за знак производной


Пример 3.Найти и , если .
Решение.

Так как , и постоянны, то получим
.
Аналогично

.

Пример 4. Найти частные производные функции .
Решение.
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
,
.

Производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных

Определение: Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:
, ,
, .
Частные производные и называются смешанными. Если они непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования (они равны).
Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка.

Пример . Найти частные производные второго порядка функции .

Решение.
Воспользуемся результатами, полученными в примере 3.
,
,
,
.

Определение: Полным дифференциалом функции называется главная, линейная относительно и часть полного приращения этой функции .
Функция, обладающая непрерывными частными производными, заведомо имеет полный дифференциал. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. , .
Полный дифференциал функции вычисляется по формуле
.

Варианты заданий

Вариант 1

Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=2x2+y2 решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx -2u''yy=0.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 2

Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=2x2y2 решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx -2y2=0.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 3

Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=x2 -y решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx +u''yy=2.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 4

Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=2xy решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx +u''xy=1.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 5

Найти dz:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти d2z:
13 EMBED Equation.3 1415
Проверьте, является ли функция u=2xy2 решением дифференциального уравнения в частных производных u''xx -u''yy=4.
Найти 13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №31 Подготовка сообщений «Возникновение понятия интеграла»

Цель: получить представление о возникновении понятия интеграла
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Раздел 5. Основы интегрального исчисления

Тема 5.1. Неопределенный интеграл


Самостоятельная работа №32 Таблица интегралов

Цель: научиться вычислять интегралы, используя таблицу интегралов
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы.
Выучить таблицу интегралов.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Неопределенный интеграл

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C. Записывают: 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415- есть некоторая первообразная функции 13 QUOTE 1415 на этом промежутке, С – const. При этом знак называется знаком интеграла, 13 QUOTE 1415 - подынтегральной функцией, 13 QUOTE 1415 - подынтегральным выражением, 13 QUOTE 1415 - переменная интегрирования, С- постоянная интегрирования.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием данной функции.
Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Таблица неопределенных интегралов






















Свойства неопределенного интеграла:
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415;

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
13 QUOTE 1415.
Пример 2.
13 QUOTE 1415.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Пример: Найти интегралы:
а) ; б) .
Решение.
а) Применяя свойства (4) и (5) и формулы (6), (2), (1), получим цепочку равенств


.
Используем свойство (1) для проверки:

.
Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл найден правильно.
б) Преобразуем подынтегральное выражение и применим свойство (6), получим
.
Пример  Найти интеграл .
.
Пример :

Варианты заданий










Самостоятельная работа №33 Интегрирование заменой переменной в неопределенном интеграле

Цель: научиться вычислять интегралы методом заменой переменной
Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы методом заменой переменной.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Методы интегрирования
Метод замены переменных

Теорема: Если требуется найти интеграл 13 QUOTE 1415, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 получается:

13 QUOTE 1415 .

Пример. Найти неопределенный интеграл 13 QUOTE 1415.

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
13 QUOTE 1415.
Пример. 13 QUOTE 1415.

Замена 13 QUOTE 1415

Получаем:

13 QUOTE 1415.

Пример.

13 QUOTE 1415.

Варианты заданий

Найти неопределенные интегралы:




;
;





Самостоятельная работа №34 Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Цель: научиться вычислять интегралы методом интегрирования по частям
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы методом интегрирования по частям.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Методы интегрирования
Интегрирование по частям

Способ основан на известной формуле производной произведения:

где u и 13 QUOTE 1415 – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: 13 QUOTE 1415

Проинтегрировав, получаем:

а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:
.

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dV(x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям может быть разбита на следующие три группы.

1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:
Ln x; arcsin x; arcos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln((x); arcsin2x;
при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.
Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида
, ,
, ,
где a,b,(, ,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n ( N.
При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:
, , ,
, , ,
где (, (, A – постоянные числа, A > 0, A ( 1.
Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.
Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.



Пример.




13 QUOTE 1415.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример. 13 QUOTE 1415



13 QUOTE 1415.

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, учебник и ответьте на следующие вопросы:
Дайте определение неопределенного интеграла.
Чему равен неопределенный интеграл?
Как называется каждый элемент в обозначении неопределенного интеграла?
Что называется интегрированием функции?
Перечислить основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица неопределенных интегралов.
В чем заключается метод непосредственного интегрирования при отыскании неопределенного интеграла?
В чем заключается метод замены переменной (метод подстановки) при отыскании неопределенного интеграла?
В чем заключается метод интегрирования по частям при отыскании неопределенного интеграла?

Варианты заданий.

Найти неопределенные интегралы:

.


.



Самостоятельная работа №35 Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле

Цель: научиться вычислять интегралы методом интегрирования заменой переменной и по частям
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы методом интегрирования по частям.
Найти интегралы методом замены переменной.

Варианты заданий.

Вычислить неопределенные интегралы:

13 QUOTE 1415;

1.11. 13 QUOTE 1415;


13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415;


13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415;



13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415;


13 QUOTE 1415

1.16.13 QUOTE 1415;


13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415;


13 QUOTE 1415;

1.18.13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415;


13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415.



Самостоятельная работа №36 Интегрирование рациональных и иррациональных. функций

Цель: научиться вычислять интегралы от рациональных и иррациональных. функций
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы от рациональных. функций.
Найти интегралы от иррациональных. функций.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интегрирование рациональных дробей»

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать такие дроби.

I.

II.

III.


Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.

Пример.

(D = 16 – 52 < 0 ( дробь III типа.(


Ответ:

Пример.


Ответ:

Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие действия.

1) Если дробь является неправильной, выделить ее целую часть. То есть представить в виде:
,
где Tm-n(x) и Rr(x) – многочлены степени m-n и r соответственно (причем r
2) Разложить правильную рациональную дробь на сумму простых дробей

3) Вычислить интегралы от многочлена Tm-n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).

Пример.
1) Дробь - неправильная рациональная дробь. Выделим ее целую часть:

Поэтому можно записать:
2) Полученную правильную дробь разложим на сумму простых дробей:



Отсюда следует:
Значит, подынтегральная рациональная дробь представима в виде:

3) Найдем интеграл:

Ответ:

Пример.
Т.к. (, то

Приводим к общему знаменателю в правой части и из условия равенства дробей ,
приравниваем соответствующие числители
Выделяем в левой части коэффициенты при соответствующих степенях и из условия равенства многочленов

получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов А,В,С,D



Итого: =


Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших дробей. Поясним это на примерах.

Пример .
Дробь правильная, многочлен в знаменателе уже разложен на простые множители, корни действительные и различные. Каждому действительному некратному корню многочлена в знаменателе соответствует простейшая дробь I типа.

Пример .
Дробь правильная, многочлен в знаменателе имеет один корень кратности 4.

Пример
Дробь правильная, множители знаменателя неприводимые, т.к. многочлен 4-ой степени в знаменателе имеет две пары комплексно-сопряженных различных корней.

Пример Найти .
Решение. Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы целой части и правильной дроби. Предварительно поделим эту дробь «уголком»


х


Получим



Дроби с равными знаменателями будут равны, если равны и их числители.
Коэффициенты А, В, С, D найдем комбинированным методом: А и С ( методом подстановки, а В и D ( методом неопределенных коэффициентов.
Пусть , тогда или
; .
Пусть , тогда
или
; .
Преобразуем выражение


или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в последнем равенстве, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных А, В, С и D.



Учитывая, что , воспользуемся только первым и вторым уравнениями системы линейных уравнений
или
Далее найдем исходный интеграл



Интегрирование некоторых иррациональных функций»

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В дальнейшем будем стремиться отыскивать такие подстановки которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду. Если при этом функция выражается через элементарные функции, то интеграл представится в конечном виде и в функции от х.
Назовем этот прием методом рационализации подынтегрального выражения.

1) Интеграл вида

Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичным преобразованиям и замены для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа.

Пример.

Ответ:

2) Подынтегральная функция содержит .
Тогда надо выполнить замену:

Такая замена приводит интеграл от некоторого тригонометрического выражения.

Пример

3) Подынтегральная функция содержит .
Тогда надо выполнить замену:


Пример


4) Подынтегральная функция содержит .
Тогда надо выполнить замену:


Пример


5) Подынтегральная функция содержит :
Тогда надо выполнить замену:.

Пример



Пример




Варианты заданий

Вариант 1

Найдите интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415


Вариант 2

Найдите интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

Вариант 3

Найдите интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

Вариант 4

Найдите интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №37 Интегрирование тригонометрических функций

Цель: научиться вычислять интегралы от тригонометрических функций
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы от тригонометрических функций.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интегрирование тригонометрических функций»

1) Интегралы вида или .
а) приводится к с помощью подстановки
б) приводится к , если

2) Интегралы вида .
Если подынтегральная функция зависит только от tgx или только от sinх и cosх, входящих в четных степенях, то применяется подстановка


в результате которой получим интеграл от рациональной функции:

Пример.
Решение:


3) Интегралы вида
а) m и n таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Пусть для определенности n-нечетное. Тогда полагаем


б) m и n ( неотрицательные, четные числа. Полагаем ,



Возводя в степень и раскрывая скобки, получим интегралы, содержащие как в четных, так и нечетных степенях. Интегралы с нечетными степенями cos2x интегрируются как в случае а). Четные показатели степеней cos2x снова понижаем по выше указанным формулам. Продолжая так поступать, получим в конце концов слагаемые вида , которые легко интегрируются.

Пример. Найти интеграл .
Решение:
.

Пример. Найти интеграл .
Решение:


в) m и n ( четные числа, но хотя бы одно из них отрицательное.
В этом случае следует сделать замену ( или .

Пример. Найти интеграл .
Решение:


4) Интегралы вида .
Чтобы проинтегрировать данные функции, достаточно применить тригонометрические формулы:



Тогда


Аналогично вычисляются два других интеграла.

Пример. Найти интеграл .
Решение:


Варианты заданий

Найдите интегралы:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №38 Универсальная подстановка

Цель: научиться вычислять интегралы от тригонометрических функций, используя универсальную подстановку
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти интегралы от тригонометрических функций, используя универсальную подстановку

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интегралы вида
Применим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку
, ,
,
С помощью указанной подстановки интеграл сводится к интегралу от рациональной функции
.

Пример . Найти интеграл .
Решение:



Варианты заданий

Найдите интегралы:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тема 5.2. Определенный интеграл


Самостоятельная работа №39 Вычисление определенных интегралов

Цель: научиться вычислять определенные интегралы
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти определенные интегралы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть функция интегрируема на . Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на , то
.
Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.
Пример . Вычислить интеграл .
Решение.


Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
.
.
Постоянный множитель можно выносить за знак определен-ного интеграла:
,
где .
Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть
.
.
Если , то .
Теорема «о среднем». Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что
.
Число – среднее значение функции на отрезке .
Если функция на отрезке , то на этом отрезке.
Если на отрезке , то .
Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
.


Пример . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интеграл.
Решение.
.

Пример. Вычислить определенный интеграл[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример . Вычислить интеграл .
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле: .
.

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
I.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?

Пример . Вычислить определенный интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]



Варианты заданий

Вариант 1

Найти интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вариант 2

Найти интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Вариант 3

Найти интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;

13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Самостоятельная работа №40 Подготовка сообщений «Практические приложения определенных интегралов»

Цель: получить представление о применении определенного интеграла
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке


Самостоятельная работа №41 Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: научиться применять определенные интегралы для нахождения площадей плоских фигур и объемов тел
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями
Вычислить длину дуги кривой
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной заданными линиями:

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Геометрические приложения определенного интеграла»

Вычисление площади плоской фигуры




Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .
Решение: Найдем координаты точек пересечения линий:
; ; .

;






Нахождения длины дуги кривой


Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле .



Пример Вычислить длину дуги кривой от до .
Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем . Используя формулу, получим:
.

Нахождение объема тел вращения

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: .

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен: .

Пример: Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси .

Решение:
В условиях нашей задачи , , .

.


Варианты заданий

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой13 EMBED Equation.3 1415 , прямой x=2 и осью OX
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой13 EMBED Equation.3 1415 и осью OX
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415

Вариант 1
Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболами: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
б) длину дуги кривой: 13 EMBED Equation.3 1415 от точки с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной гиперболой 13 EMBED Equation.2 1415, осью ОY и прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

Вариант 2
Вычислить:
а) площадь фигуры, заключенной между кривой 13 EMBED Equation.3 1415 и осью 13 EMBED Equation.3 1415;
б) длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 в пределах от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми 13 EMBED Equation.2 1415.


Вариант 3
Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линией 13 EMBED Equation.3 1415, осью 13 EMBED Equation.3 1415 и осью 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
б) длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 между точками пересечения её с 13 EMBED Equation.3 1415;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 фигуры, ограниченной параболой 13 EMBED Equation.2 1415 и прямой 13 EMBED Equation.3 1415.

Вариант 4
Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линиями 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и осью 13 EMBED Equation.3 1415;
б) длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415 от 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси 13 EMBED Equation.3 1415 фигуры, ограниченной графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415 и прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Тема 5.3. Интегральное исчисление функции двух переменных


Самостоятельная работа №42 Вычисление двойных интегралов в случае области 1 и 2 типа; решение задач на приложения двойных интегралов

Цель: научиться вычислять двойные интегралы в случае области 1 и 2 типа; научиться решать задачи на приложения двойных интегралов
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.
Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области D плоскости xOy задана непрерывная функция . Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади , , , и диаметры , , ,  (под диаметром области понимается наибольшее расстояние между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку и умножим значение функции в точке на площадь этой области.

Определение: Выражение вида
(1)
называется интегральной суммой для функции по области D.
Пусть .

Определение: Двойным интегралом от функции по области D называется предел интегральной суммы (1) при , если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на элементарные области и от выбора в них точек .
Обозначение: .

Геометрический и физический смыслы двойного интеграла

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью z = 0 и сбоку цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси Oz), вырезающей на плоскости xOy область D, вычисляется по формуле
. (2)
Масса тонкой пластинки, занимающей область D, с непрерывно распределенной поверхностной плотностью определяется по формуле
. (3)

Основные свойства двойного интеграла:

1. .
2. , где c – постоянная.
3. Если , , то
.
4. , где – площадь области интегрирования D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной в направлении оси Oy (Ox), если любая прямая, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает ее границу в двух точках.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Граница области D, правильной в направлении оси Oy (рис. 1), может быть задана уравнениями: , , , и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле:
, (4)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором интегрирование ведется по переменной y, а переменная x считается постоянной (как и любое выражение p(x), зависящее только от x).
Граница области D, правильной в направлении оси Ox (рис. 2), может быть задана уравнениями: , , , и двойной интеграл в этом случае вычисляется по формуле:
. (5)

Определение: Правые части формул (4) и (5) называются повторными (или двукратными) интегралами.
Если область D правильная в направлении Ox и Oy (правильная область), то применимы обе формулы.
В общем случае область D разбивают на конечное число частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из частей интеграл по формуле (4) или (5). Интеграл по всей области (свойство 3) равен сумме полученных интегралов.

Пример 1. Вычислить , если область D ограничена линиями , , .
Решение.
Решение разбивается на три этапа: 1) построение области D; 2) переход к повторному интегралу, расстановка пределов интегрирования; 3) вычисление повторного интеграла.
Построим область D. Первая линия – ось Ox, вторая – парабола с вершиной в точке (0; 0), третья – прямая, проходящая через точки (0; 2) и (2; 0) (рис. 3). Решая систему находим точки пересечения параболы и прямой: (1; 1) и (–2; 4), (–2; 4)(D. Так как область правильная, то можно воспользоваться любой из формул (4) или (5).
При решении по формуле (4) область придется разбить на две: OAC и CAB, так как линия OAB задается разными уравнениями:
.
При вычислении по формуле (5) приходим к одному повторному интегралу:
.
Закончим решение, пользуясь последней формулой. Вычислим внутренний интеграл:
.
Тогда
.

Сведение двойных интегралов к повторным в случае областей 1-го и 2-го типов. Изменение порядка интегрирования»

Пример: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .
Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем, получившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].
Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).
При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:
FKE:
KACE:
ACB: .
Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:
+ +

Приложения двойных интегралов

1. Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]принимает в области [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]только положительные значения. Тогда двойной интеграл [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]численно равен объему [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]вертикального цилиндрического тела, построенного на основании [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

2.   Вычисление площадей
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Определим точки пересечения линий: 13 EMBED Equation.3 1415 Получим: A(–2; –2), B(1; 1) (рис.).
Тогда искомая площадь:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (кв. ед.).

3.   Вычисление объёмов тел
Пусть тело V ограничено сверху только одной поверхностью z = zв(x; y); снизу только одной поверхностью z = zн(x; y). Линия L пересечения этих поверхностей проектируется в границу Г области D, на которой заданы непрерывные функции
z = zв(x; y), z = zн(x; y).
При этих условиях:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Доказательство формулы (2.17) легко провести на основе геометрического смысла двойного интеграла.

Пример: Найти объем тела V, ограниченного поверхностями y = x2, y = 1, z = 0,
z = x2 + y2.
 Решение: Так как данное тело представляет собой цилиндрическое тело с основанием [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], ограниченное сверху параболоидом z = x2 + y2, то имеем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 Пример: Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] параболоидами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: Объем тела V находим как сумму объемов V1 и V2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью XOY. При этом
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

4. Площадь поверхности
   Площадь поверхности, заданной уравнением z = f(x, y):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Варианты заданий

Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.






Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
`13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Найти объем тела V, ограниченного поверхностями y = x2, y = 1, z = 0, z = x2 + y2.
Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] параболоидами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Самостоятельная работа №43 Подготовка сообщений «Возникновение дифференциальных уравнений»

Цель: получить представление о возникновении дифференциальных уравнений
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке
Раздел 6. Дифференциальные уравнения

Тема 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка


Самостоятельная работа №44 Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными

Цель: научиться решать дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое, кроме независимой переменной и искомой функции , входит либо производная :
,
либо дифференциалы и :
.
Удобнее рассматривать уравнение, разрешенное относительно :
. (1)
Функция называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т. е. ; график функции называется интегральной кривой уравнения (1).
Функция называется общим решением дифференциального уравнения, если она обращает уравнение в тождество и при соответствующем выборе константы из нее может быть получено любое (частное) решение исходного уравнения.

Пример.1. Доказать, что функция вида , где ( произвольная постоянная, является решением уравнения .
Решение. Найдем , подставим значения и в уравнение, получим тождество .

Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называют задачу, состоящую в отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего заданному начальному условию .
Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. В предыдущем примере было показано, что функция является решением данного уравнения.
Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение по начальному условию : , .
Следовательно, частное решение имеет вид .

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида
(2)
называется уравнением с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

1. Перепишем уравнение (2) в виде .
2. Разделим переменные, т. е. в правую часть уравнения «перенесем» все выражения, содержащие , а в левую часть ( содержащие .
3. В результате получим уравнение ,
где коэффициент при ( функция только от , при ( функция только от ).
4.Интегрируя обе части этого уравнения:
.
5.Получим его общее решение:

Пример 3. Решить задачу Коши: , .
Решение.
Запишем уравнение в виде . Умножив обе части уравнения на , получим
, .
Интегрируем:
, .
Общее решение уравнения: .
Подставим в общее решение начальные значения , получим значение :
, , .
Тогда частное решение уравнения: .

Варианты заданий

Решить дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.

Решить задачу Коши:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.


Самостоятельная работа №45 Решение однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Цель: научиться решать однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Однородные дифференциальные уравнения»

Дифференциальное уравнение называется однородным, если при любых , , .
Подстановка
, , (1)
где ( новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Приведем уравнение к виду , для этого разделим обе части уравнения на :
,
получим, что .
Покажем, что уравнение однородное. Очевидно,
.
Следовательно, уравнение однородное и для сведения его решения к решению уравнения с разделяющимися переменными надо сделать подстановку (1), после этого уравнение примет вид:
.
После приведения подобных членов получим
, .
Это уравнение с разделяющимися переменными: . Разделим переменные, умножая обе части на : .
Интегрируя, получим
.
Произвольную постоянную удобно записать в виде: . Тогда последнее уравнение примет вид:
, , .
Сделаем обратную замену: , .

Пример . Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение является однородным:
(
.
Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:



Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

Вернемся к первоначальной переменной: - общий интеграл исходного уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Приведем уравнение к виду , для этого разделим обе части уравнения на :
,
получим, что .
Покажем, что уравнение однородное. Очевидно,
.
Следовательно, уравнение однородное и для сведения его решения к решению уравнения с разделяющимися переменными надо сделать подстановку (2.3), после этого уравнение примет вид:
.
После приведения подобных членов получим
, .
Это уравнение с разделяющимися переменными: . Разделим переменные, умножая обе части на : .
Интегрируя, получим
.
Произвольную постоянную удобно записать в виде: . Тогда последнее уравнение примет вид:
, , .
Сделаем обратную замену: , .



Варианты заданий

Решить однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.


Самостоятельная работа №46 Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Цель: научиться решать линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Решить линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Линейные неоднородные уравнения первого порядка»

Уравнение вида
(2)
называется линейным.
Для нахождения его решения искомую функцию представляют в виде
,
тогда .
Подставим и в уравнение (2):
,
после группировки имеем
. (3)
Найдем такую функцию , чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т. е.
. (4)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть ( его решение (при вычислении не надо вводить произвольную постоянную). Тогда в силу (2.5) и (2.6) функция должна удовлетворять уравнению
.
Это уравнение с разделяющимися переменными: , , . Следовательно, общим решением уравнения (2) будет
.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение. Дано линейное уравнение, в котором , .
Подставляя в него , , получим
, .
Приравнивая нулю выражение, стоящее в скобках, получим:
, т. е. , , , , .
Если , то то функция должна удовлетворять уравнению , т. е. , , , , .
Следовательно, общим решением данного уравнения будет
.

Пример. Найти общее решение уравнения .
Это уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки u:
(5)
Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (5).
.
Т.к. y = uv, то - общее решение данного уравнения. #

Уравнение Бернулли, имеющее вид , где , , сводится к линейному. Для этого надо обе его части разделить на и сделать подстановку , где ( новая неизвестная функция.

Определение типа дифференциального уравнения первого порядка

Для выбора метода решения дифференциального уравнения сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, т. е. привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от , а второй – только от . Если это возможно, то данное уравнение – с разделяющимися переменными.
Если , то данное уравнение – однородное.
Если и это условие не выполняется, то следует проверить, не является ли данное уравнение линейным, т. е. не имеет ли функция вид .

Варианты заданий

Решить линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тема 6.2. Дифференциальные уравнения второго порядка


Самостоятельная работа №47 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Цель: научиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
2. Решить задачу Коши:

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Дифференциальные уравнения второго порядка»

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида или .
Его общим решением называется функция от и двух произвольных независимых постоянных , , обращающая данное уравнение в тождество.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка: найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: , .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида
, (1)
где и – некоторые действительные числа.
Заменив в нем на , – на и – на , получим

характеристическое уравнение для уравнения (2.7).
Вид общего решения уравнения (1) зависит от корней характеристического уравнения (см. табл.1).
Таблица 1
Корни

Общее решение


, – действительные
числа и


, – действительные числа и  (один корень кратности 2)


, – комплексные числа:
,




Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: а) ; б) ; в) .
Решение.
Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней записываем общее решение дифференциального уравнения (см. табл. 2.1):
а) , корни – действительные и равные, поэтому общее решение уравнения
;
б) , , корни , – действительные и различные, поэтому общее решение уравнения
;
в) , корни – комплексно-сопряженные, поэтому общее решение уравнения
.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид . Его корни k1 = -2, k2 = -3
Общее решение уравнения имеет вид
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни .
Общее решение уравнения
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , . Здесь
· = -2,
· = 3.
Общее решение уравнения:
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни
, .
Здесь
· = 0,
· =.
Общее решение уравнения


Варианты заданий

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Решить задачу Коши:

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


Самостоятельная работа №48 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Цель: научиться решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
Найти общее решение дифференциальных уравнений.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

Это уравнения вида
, (2)
Общее решение уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2.7) и частного решения неоднородного уравнения (2) :
.
Структура частного решения определяется правой частью уравнения (см. табл. 2).



Таблица 2
№
Вид
Структура

1.
,
– многочлен степени

,
где

2.

,
где

3.

,
где


В таблице , , , , – известные числа, , – корни характеристического уравнения, , , – неизвестные коэффициенты, которые находятся путем подстановки в уравнение (2) (метод неопределенных коэффициентов).

Пример. Определить и записать структуру частного решения уравнения по виду функции , если а) ; б) .
Решение.
Находим корни характеристического уравнения:
, .
а) Так как , где , (случай 2 в табл. 2.2), то частное решение имеет вид
.
, т. к. среди корней характеристического уравнения нет равных .
б) Поскольку (случай 3 в табл. 2.2): , , ), то
,
множитель появился потому, что является корнем характеристического уравнения.

Пример.  Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , .

Решение.
Характеристическое уравнение имеет корни , . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
По функции , (случай 1 в табл. 2.2), записываем структуру частного решения исходного уравнения:
,
множитель появился потому, что один из корней характеристического уравнения равен 0.
Коэффициенты и определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем
,
.
Подставим выражения для , и в исходное уравнение, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему, из которой найдем и :
,
,

откуда , . Тогда

и общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой
.
Используя начальные условия , и учитывая, что , составляем систему для вычисления значений и :

решение которой , . Подставив эти значения в общее решение , найдем частное решение исходного уравнения:
.

Варианты заданий

Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Найти общее решение дифференциальных уравнений.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Самостоятельная работа №49 Решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение степеней

Цель: научиться решать дифференциальные уравнения, допускающие понижение степеней
Форма контроля: проверка работы
Виды заданий:
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить полученное значение функции при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с точностью до двух знаков после запятой.
Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка»

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка (тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка).

1.Если дифференциальное уравнение имеет вид , то оно решается последовательным интегрированием.

2.Если в запись уравнения не входит искомая функция y(x), т.е. оно имеет вид

то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию
.

Пример: Решить уравнение .
Решение: Положим .
Исходное уравнение примет вид .
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение


3.Если в запись уравнения не входит переменная x, т.е. оно имеет вид

то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию
.

Пример: Решить уравнение .
Решение: Положим . Исходное уравнение примет вид .
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение


Варианты заданий

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить полученное значение функции при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с точностью до двух знаков после запятой.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Самостоятельная работа №50 Подготовка сообщений «Практические приложения дифференциальных уравнений»

Цель: получить представление о практических приложениях дифференциальных уравнений
Самостоятельная работа: работа с литературой
Форма контроля: сообщение на уроке

Литература

Основные источники


Григорьев В.П., Дубинский Ю. А. Элементы высшей математики : ”Москва, “Академия” – 2012.
Григорьев В. П., Сабурова Т. Н. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие: Рекомендовано ФГУ «ФИРО». 2-e изд., 2012.


Дополнительные источники


И.Д.Пехлецкий Математика:Учебник-М.: Мастерство,2010
Н.В.Богомолов Практические занятия по математике.-М.:Высшая школа, 2009
П.Е. Данко, А.Г. Попов Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2.- М.:Высшая школа 2008
В.С. Щипачев Основы высшей математики.-М.: Высшая школа, 2001
Л.А. Кузнецов Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) - электронная книга
Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности. Учебное пособие для учреждений начального и среднего профессионального образования

Периодические издания

Журнал «Математика и логика»
Журнал «Журнал вычислительной математики и математической физики»

Интернет-ресурсы

1.Информационно-справочная система «В помощь студентам». Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
2. Информационно-справочная система Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
3. Информационно-справочная система Форма доступа: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]   Математическая школа в Интернете.
5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Для учителей математики.
6..[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Методические рекомендации.
7..uztest.net/course/view.php?id=11 Олимпиады по математике
8. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] математические публикации
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика в школе
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математика
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Математическое образование: прошлое и настоящее
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Интернет- библиотека


Справочники

М. Я. Выгодский Справочник по высшей математике: Астрель, 2003
В. М. Брадис Четырехзначные математические таблицы: Дрофа, 1996











13PAGE 14715


13PAGE 14815



(

A (x; y)

x

y

b

O

B

C

x

y

(

(

( > 90(
k < 0

( < 90(
k > 0



y

x

O

M

A (x0; y0)

A

C

B

hB

y = b

b

x = a

a



O

b

a

A (x0; y0)

A

B

C

M

Рис. 1





Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3





Рисунок 4321a^T_{ij} = a_{ji}Рисунок 737a^T_{ij} = a_{ji}Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native