Разработка урока по теме Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора».
Тема: «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора».
Цель: Создать условия для формирования умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.
Задачи:
- развитие познавательной активности
-формирование умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам
- формировать умения находить координаты вектора и выполнять действия над векторами, заданными координатами
-развивать умение работать с текстовой, символьной информацией
-воспитывать интерес к изучению математических дисциплин
Планируемые результаты:
Личностные: положительная мотивация к обучению, умение преодолевать трудности, успешность каждого в открытии нового, активность, внимание
Предметные: формирование умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, доказывать теорему о разложении вектора, решать задачи разными способами, осуществлять выбор оптимального решения; формировать умение определять координаты вектора, выполнять операции с векторами с заданными координатами; формирование графической культуры; оперирование правилами сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, понятиями: абсолютная величина, вектор, коллинеарные векторы, равные векторыМетапредметные:
Познавательные: развитие логического и образного мышления, умение анализировать, делать выводы, проводить сравнение; формирование грамотного употребления математической терминологии в устной речи.
Коммуникативные: развитие умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками
Регулятивные: освоение действий по проверке, анализу и коррекции результатов своей деятельности; осознание качества и уровня усвоения; правильность выполнения учебной задачи
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, текстовая информация, учебник.
Ход урока.
Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока. Отчет старосты об отсутствующих.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Анализ контрольной работы. Разбор нерешенных заданий. Выявление типичных ошибок обучающихся.
Систематизация теоретического материала.
Устный опрос
1. Дайте определение вектора
[Вектором или направленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.]
3261360-3175002 Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это
[длина отрезка АВ]
3.Ненулевые вектора называются коллинеарными, если…
[они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых]
4.Сколько векторов равных данному можно отложить от точки
[один]
5. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются
[сонаправлеными]
6. Векторы называются равными, если…
[они сонаправлены и их длины равны]
Изучение нового материала.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
При решении задач часто возникает необходимость выразить какой-либо вектор через уже заданные векторы. Такая операция называется разложением вектора по неколлинеарным векторам.
022288500
Лемма о коллинеарных векторах.
Лемма - это вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывается следующая теорема или несколько теорем.
Теорема: Если векторы и коллинеарны и ā≠ō, то существует такое число k, что = k.
Так как рассматриваемые векторы, по условию коллинеарны, то они могут иметь одинаковые направления. Рассмотрим два случая, когда векторы и сонаправлены и противоположно направлены.
377190012573000Доказательство:
1) . Возьмем число . Так как k≥ 0, то векторы k и сонаправлены (рисунок 1). Кроме того, их длины равны: │kā│=│k│*│ā│= = *│ā│=││. Поэтому = k
-114300283845002) . Возьмем число . Так как k<0, то векторы k и снова сонаправлены (рисунок2). Их длины также равны: |k|=|k|*||= *||=||. Поэтому = k
Рис. 2
3. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
308610077025500Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Пусть и - данные неколлинеарные векторы, вектор представлен в виде
= х+у, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор разложен по векторам и . Числа х и у называются коэффициентами разложения.
Доказательство:
Возможны два случая:
0373380001) Вектор коллинеарен одному из векторов и , например, вектору (рисунок1). В этом случае по лемме о неколлинеарных векторах вектор можно представить в виде = у, где у - некоторое число, и, следовательно, =0+у, т.е. вектор разложении по векторам
и .
-139446018986500 2) Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы = , =, = (рис. 2).
Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через А1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника = + . Но векторы и коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существует числа х и у, такие, что = х, = у. Следовательно, = х+у, т.е. вектор разложен по векторам и .
Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением = х+у имеет место другое разложение = х1+у1. Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем =(х-х1) + (у-у1) . Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х-х1 и у-у1 равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-х1 ≠0, то из полученного равенства найдем = -, а значит векторы и коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х-х1=0 и у-у1=0, откуда х=х1 и у=у1. Это и означает, что коэффициенты вектора определяются единственным образом. Теорема доказана.
Координаты вектора.
423291091757500397573591757500114681091821000245173560452000579501028956000549592529845000Рассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат О единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора i совпало с направлением оси Ох, а направление вектора j – с направлением оси Oy. Векторы i и j назовем координатными векторами.
534733530162500500443532893000284607012433300034690059296400048520353238500Координатные векторы неколлинеарны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам , т.е. представить в виде p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора р по координатным векторам называются координатами вектора р в данной системе координат. Координатные векторы будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора. На рисунке вектор , и вектор .
784288534861500Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
и – данные векторы
1) ;
2) ;
3) .
Формирование знаний и умений обучающихся.
1. Решить задачи № 911 (а).
2. Решить задачи № 915 (по готовому чертежу) и № 916 (а).
3. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.
4. Устно решить задачи № 922–925, используя правила, записанные в тетрадях.
5. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства:
1) Если два вектора коллинеарные, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если коллинеарен вектору , то x1 : x2 = y1 : y2.
2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарные.
6. Решить задачу № 928.
Решение
Используем условие коллинеарности векторов: .
1) (3; 7) и (6; 14), так как ;
2) (–2; 1) и (2; –1), так как .
Подведение итогов урока.
Выводы по теме:
1.Лемма - это вспомогательное утверждение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.
2. Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы и коллинеарны и вектор ¹0, то существует такое число k, при котором = k
3. Пусть и - данные неколлинеарные векторы, вектор представлен в виде
= х+у, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор разложен по векторам и . Числа х и у называются коэффициентами разложения.
4. Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
5. 784288534861500Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
и – данные векторы
1) ;
2) ;
3) .
Домашнее задание: прочитать п. 86 – 87, выполнить № 912 (д - и), № 915