Решение задачи на нахождение наибольшего значения функции разными способами по алгебре и началам математического анализа в 10 классе

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЕГЭ
Сложные функции являются основой некоторых задач ЕГЭ. Для примера рассмотрим одну из таких задач.
Задача: найдите наибольшее значение функции f(x)=18(0,5x-2)2-(0,5x-2)4 при |x-5|≤3.
I способ
Стандартное решение задачи с использованием производной.
f(x)=(0,5x-2)2·(18-(0,5x-2)2)=(0,25x2-2x+4)·(18-(0,25x2-2x+4))=(0,25x2-2x+4)·(-0,25x2+2x+14);
f '(x)=(0,5x-2)·(-0,25x2+2x+14)+(0,25x2-2x+4)·(-0,5x+2)=(0,5x-2)(-0,25x2+2x+14-0,25x2+2x-4)=(0,5x-2)·(-0,5x2+4x+10).
f '(x)=0;
0,5x-2=0 или -0,5x2+4x+10=0.
Первое уравнение имеет корень x=4, второе уравнение
x2-8x-20=0 имеет корни x=-2; x=10.
Проверим, удовлетворяют ли полученные корни -2; 4; 10 условию |x-5|≤3, т.е. 2≤x≤8. Из них только x=4 подчиняется заданному условию.
f(2)=17;
f(4)=0;
f(8)=56. Следовательно, наибольшее значение функции равно 56.
II способ
Решение с использованием монотонности функции.
Данная функция является композицией двух квадратичных функций – внутренней функции v(x)=(0,5x-2)2 и внешней функции f(v)=18v-v2. По условию первая функция рассматривается на отрезке 2≤x≤8. По графику этой квадратичной функции находим множество её значений на отрезке [2;8]. Множество значений функции v(x) - это отрезок 0≤v≤ 4. На этом отрезке теперь рассмотрим функцию f(v). Читая её график, устанавливаем, что на отрезке [0;4] эта функция монотонно возрастает, поэтому множество её значений – это отрезок [f(0); f(4)]= [0;56]. Отсюда получаем ответ: наибольшее значение заданной функции равно 56.
Этот способ вовсе не отменяет стандартное решение с помощью производной.
А теперь сделайте вывод, какой из способов решения является более рациональным.
Список использованной литературы:
Саакян, С.М., Гольдманн, А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа: пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений. [Текст] - М.: Просвещение, 2003. – 236 с. – ISBN: 5-08-001340-2
Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учебное пособие для 10-11 классов с углубленным изучением математики. [Текст] - М.: Просвещение, 2006. – 284 с. – ISBN:976-4-342-01962-8