Пифагоровы тройки чисел (Творческая работа обучающегося)

Содержание
Введение……………………………………………………………………………………3
Теоретическая часть работы
Нахождение основного Пифагорова треугольника
(формулы древних индусов)………………………………………………………………4
Практическая часть работы
Составление пифагоровых троек различными способами……………………........6
Важное свойство пифагоровых треугольников……………………………………...8
Заключение………………………………………………………………………………....9
Литература….……………………………………………………………………………...10
Введение
В этом учебном году на уроках математики мы изучили одну из самых популярных теорем геометрии – теорему Пифагора. Теорема Пифагора применяется в геометрии на каждом шагу, она нашла широкое применение в практике и обыденной жизни. Но, кроме самой теоремы, мы изучили также и теорему, обратную к теореме Пифагора. В связи с изучением уже этой теоремы, у нас состоялось знакомство с пифагоровыми тройками чисел, т.е. с наборами из 3-х натуральных чисел a, b и c, для которых справедливо соотношение: c2=a2+b2. К таким наборам относят, например, следующие тройки:
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37
У меня сразу возникли вопросы: а сколько пифагоровых троек можно придумать? А как их составлять?
В нашем учебнике геометрии после изложения теоремы, обратной теореме Пифагора, было сделано важное замечание: можно доказать, что катеты а и b и гипотенуза с прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражаются натуральными числами, можно находить по формулам:
а = 2kmn b = k(m2-n2) c = k(m2+n2), (1)
где k,m,n – любые натуральные числа, причем m>n.
Естественно, возникает вопрос – как доказать данные формулы? И только ли по этим формулам можно составлять пифагоровы тройки?
В своей работе я осуществил попытку ответить на возникшие у меня вопросы.
Теоретическая часть работы
Нахождение основного Пифагорова треугольника (формулы древних индусов)
Сначала докажем формулы (1):
Обозначим длины катетов через х и у, а длину гипотенузы через z. По теореме Пифагора имеем равенство:x2+y2=z2.(2)
Данное уравнение называют уравнением Пифагора. Исследование пифагоровых треугольников сводится к решению в натуральных числах уравнения (2).
Если каждую сторону некоторого пифагорова треугольника увеличить в одно и то же число раз, то получим новый прямоугольный треугольник, подобный данному со сторонами, выраженными натуральными числами, т.е. снова пифагоров треугольник.
Среди всех подобных треугольников существует наименьший, легко догадаться, что это будет треугольник, стороны которого х и у выражаются взаимно простыми числами
(НОД (х,у)=1).
Такой пифагоров треугольник назовем основным.
Отыскание основных пифагоровых треугольников.
Пусть треугольник (x,y,z) – основной пифагоров треугольник. Числа х и у – взаимно простые, и потому не могут быть оба четными. Докажем, что они не могут быть оба и нечетными. Для этого заметим, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1. В самом деле, любое нечетное натуральное число можно представить в виде 2k-1, где k принадлежит N.
Отсюда: (2k-1)2 = 4k2-4k +1 = 4k(k-1)+1.
Числа (k-1) и k – последовательные, одно из них обязательно четное. Тогда выражение k(k-1) делится на 2, 4k(k-1)делится на 8, а значит, число (2k-1)2 при делении на 8 дает в остатке 1.
Сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 8 в остатке 2, следовательно, сумма квадратов двух нечетных чисел есть число четное, но не кратное 4, а потому это число не может быть квадратом натурального числа.
Итак, равенство (2) не может иметь места, если x и у оба нечетны.
Таким образом, если пифагоров треугольник (х, у, z) - основной, то среди чисел х и у одно должно быть четным, а другое – нечетным. Пусть число у является четным. Числа х и z нечетны (нечетность z следует из равенства (2)).
Из уравнения x2+y2=z2 получаем, что y2 = (z+x)(z-x)(3).
Числа z+x и z-x как сумма и разность двух нечетных чисел – числа четные, а потому (4):
z+x = 2a, z-x = 2b, где а и b принадлежат N.
z+x =2a, z-x = 2b, откуда, складывая равенства и вычитая из одного другое, получаем:
z = a+b, x = a-b. (5)
Из этих равенств следует, что a и b – взаимно простые числа.
Докажем это, рассуждая от противного.
Пусть НОД (a,b)=d, где d>1.
Тогда d был бы общим делителем чисел z и x, а следовательно, и чисел z+x и z-x. Тогда на основании равенства (3) d2 было бы делителем числа y2. В таком случае d был бы общим делителем чисел у и х, но числа у и х должны быть взаимно простыми.
Число у, как известно, четное, поэтому у = 2с, где с – натуральное число. Равенство (3) на основании равенства (4) принимает следующий вид: 4c2=2а*2b, или c2=ab.
Из арифметики известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из этих чисел также является квадратом натурального числа.
Значит, а = m2 и b = n2, где m и n – взаимно простые числа, т.к. они являются делителями взаимно простых чисел а и b.
На основании равенства (5) имеем:
z = m2+n2, x = m2-n2, с2 = ab = m2*n2 = (mn)2; с = mnТогда у = 2mn.
Числа m и n, т.к. являются взаимно простыми, не могут быть одновременно четными. Но и нечетными одновременно быть не могут, т.к. в этом случае х = m2- n2 было бы четным, что невозможно. Итак, одно из чисел, m или n четно, а другое нечетно. Очевидно, у = 2mn делится на 4. Следовательно, в каждом основном пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4. Отсюда следует, что нет пифагоровых треугольников, все стороны которого были бы простыми числами.
Полученные результаты можно выразить в виде следующей теоремы:
Все основные треугольники, в которых у является четным числом, получаются из формулы
х = m2-n2, y =2mn, z = m2+n2 (m>n), где m и n – все пары взаимно простых чисел, из которых одно является четным, а другое нечетным (безразлично, какое). Каждая основная пифагорова тройка (х, у, z), где у – четное,- определяется этим способом однозначно.
Числа m и n не могут быть оба четными или оба нечетными, т.к. в этих случаях
х = m2+n2 были бы четными, что невозможно. Итак, одно из чисел m или n четно, а другое нечетно (y = 2mn делится на 4).
Практическая часть работы
Составление пифагоровых троек различными способами
В формулах индусов m и n – взаимно простые, но могут быть числами произвольной четности и составлять пифагоровы тройки по ним достаточно тяжело. Поэтому попробуем найти другой подход к составлению пифагоровых троек.
x2 = z2-y2 = (z-y)(z+y), где х – нечетное, y – четное, z – нечетное
v = z-y, u = z+y
x2 = uv, где u – нечетное, v – нечетное (взаимно простые)
Т.к. произведение двух нечетных взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то u = k2, v = l2, где k и l – взаимно простые, нечетные числа.
z-y = l2, z+y = k2 , откуда, складывая равенства и вычитая из одного другое, получаем:
2z = k2+l2, 2y = k2-l2, то есть
z = k2+l22 y = k2-l22 x = kl k l x y z
3 1 3 4 5
5 1 5 12 13
5 3 15 8 17
7 1 7 24 25
7 3 21 20 29
7 5 35 12 37
9 1 9 40 41
Обратим внимание, что в таблице есть много случаев, когда y иz – последующие натуральные числа.
z-y = 1
k2+l22 – k2-l22 = 1 k2+l2-k2+l22 = 1 2l22 = 1
l2=1, l – натуральное число, значит, l = 1
y = k2-12 , z = k2+12, x = k
Существует способ почти механически выписывать сколько угодно пифагоровых треугольников, у которых z = y+1.
х = 2n+1 y = (2n+1)2-12 = 2n(n+1) z = (2n+1)2+12 = 2n(n+1)+1
n = 10sn = 100…0(s нулей)
x = 2n+1 = 200….0(s нулей)+1 = 200….0(s-1 нулей)1
y = 2*10s*(10s+1) = 200…..0(s нулей)*(100…..0(s нулей)+1) = 200…0(s-1 нулей)200…0(s нулей)
z = 2*10s*(10s+1)+1 = 200…0(s нулей)*(100…0(s нулей)+1)+1 =200…0(s-1 нулей)200…0(s-1 нулей)1
Важное свойство пифагоровых треугольников
Теорема
В основном пифагоровом треугольнике один из катетов обязательно делится на 4, один из катетов обязательно делится на 3 и площадь пифагорова треугольника обязательно кратна 6.
Доказательство
Как нам известно, во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4.
Докажем, что один из катетов делится и на 3.
Для доказательства предположим, что в пифагоровом треугольнике (x, y, z) ни одно из чисел xи y не делится на 3. Тогда имеем:
х = 3k±1, y = 3l±1, где k и l являются целыми числами и
x2+y2=33k2+3l2±2k±2l+2Полученное выражение не может быть квадратом целого числа. Действительно, так как это число не делится на 3, то оно не может быть квадратом числа, кратного трем, оно не может быть и квадратом числа, некратного трем,так как квадрат числа 3t±1равен
(3t±1)2=33t2±2t+1и при делении на 3 дает в остатке 1, тогда как z2=x2+y2при делении на 3 дает в остатке 2.
Итак, предположение, что ни один из катетов не делится на 3, приводит к противоречию.
Следовательно, одно из чисел x или y кратно 3.
Теперь докажем, что площадь пифагорова треугольника делится на 6.
Всякий пифагоров треугольник имеет площадь, выражаемую натуральным числом, кратным 6. Это следует из того, что хотя бы один из катетов делится на 3 и хотя бы один из катетов делится на 4. Площадь треугольника, определяемая полупроизведением катетов, должна выражаться числом, кратным 6.
Заключение
В работе
- доказаны формулы древних индусов
-проведено исследование на количество пифагоровых троек (их бесконечно много)
-указаны способы нахождения пифагоровых троек
-изучены некоторые свойства пифагоровых треугольников
Для меня это была очень интересная тема и находить ответы на мои вопросы стало очень интересным занятием. В дальнейшем я планирую рассмотреть связь пифагоровых троек с последовательностью Фибоначчи и теоремой Ферма и узнать еще много свойств пифагоровых треугольников.
Литература
Л.С. Атанасян “Геометрия.7-9 классы” М.: Просвещение, 2012.
В. Серпинский “Пифагоровы треугольники” М.:Учпедгиз, 1959.
http://ru.wikipedia.orghttp://hijos.ruhttp://ppt4web.ru