Разработка урока по математики на тему«Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений и систем уравнений»

Урок математики в 11 классе.  
     Тема: «Применение скалярного произведения векторов для решения уравнений и систем уравнений».
     Цель: ознакомиться с данным методом и показать его эффективность при решении уравнений, систем уравнений.   
обучающая: Научиться узнавать задачи, решаемые векторным методом.
Использовать знания программного материала о векторах, научиться переводить данные и требования задачи с языка алгебры на язык векторов, а именно: найти координаты векторов, их длины и скалярное произведение, выполнять преобразования векторных выражений, переводить полученные результаты с языка векторов на алгебраический язык. Научиться исследовать полученное задание.
развивающая: формирование умений выполнять обобщение и конкретизацию; развитие качеств мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность; развитие интереса учащихся к изучению математики.
воспитывающая: развитие взаимовыручки и взаимопомощи; творческого отношения к делу; самостоятельности.
Тип урока: обобщающий урок-практикум.
Ход урока.
Организационный момент.
В знании величие и красота,
Знание дороже, чем клад жемчужин:
Время любой уничтожает клад,
Мудрый и знающий вечно нужен.
Ас- Самарканди.
Актуализация знаний учащихся.
Как мы знаем, величины, которые характеризуются не только численным значением (скаляром), но и направлением называются векторными величинами или просто векторами.
Название вектора произошло от латинского слова vector (везущий, несущий). Геометрическим образом вектора является направленный отрезок. Вектор обозначается двумя заглавными буквами или одной прописной буквой латинского алфавита со стрелкой или черточкой наверху (AB,a,b…) Порядок букв обязателен (в данном случае точка А – начало, а В – конец вектора). Длиной (или модулем) вектора называют длину отрезка, изображающего его и обозначают |a|. Ее можно выразить через координаты вектора a ⃗ (х, у), то есть |a|= x2+у2 (или a (х, у, z), |a|= x2+у2+z2. Длина любого вектора – число положительное, а длина нулевого вектора равна нулю.Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными. a↑↓b, a↑↑b- коллинеарны,то есть они противонаправлены или сонаправлены. Для коллинеарности вектора a ненулевому вектору b необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число λ, что a = λb, где λ=|a||b|.Отсюда следует условие коллинеарности векторов a (х, у) и b (х, у).
на плоскости: a ||b х= λ ху= λу или x1x2=у1у2 и векторов a (х, у, z) и b (х, у, z)
в пространстве a|| b x1=λx2у1=λу2z1=λz2
или x1x2=у1у2=z1z2
Сумму двух векторов a и b можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма. В нашей работе мы воспользуемся правилом треугольника. Найдём сумму векторов AB и BC ; AB + BC= AС.
В треугольнике АВС имеет место неравенство: AС. ≤ AB + BC (неравенство треугольника)
Но АВ=| a| , ВС=|b| , АС= │a+ b | отсюда получаем векторное неравенство │a+ b | ≤ | a|+ |b|
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы a и b сонаправлены, то есть когда отношения их соответственных координат равны между собой и равны отношению их длин (модулей).
Заметим, что сложение векторов можно производить и в координатной форме, то есть a(х1,у1) + b(х2 , у2 ) = a+ b( х1 + х2 , у1+ у2 ) ( на плоскости) или a( х1, у1, z1) +b( х2 , у2 , z2) = a+ b( х1+ х2 , у1+ у2, z1+ z2 ) (в пространстве).
Далее вспомним о скалярном произведении двух векторов. В общем случае скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть
a· b= |a| · |b|·cos(a ,b) . Учитывая то, что cos(a ,b)≤ 1, приходим к известному неравенству о скалярном произведении a ·b ≤ |a| · |b|, то есть скалярное произведение векторов не больше произведения их длин.
Заметим, что знак равенства достигается тогда и только тогда, когда cos(a ,b)= 1, то есть a ,b=0, и, следовательно, a ↑↑b, значит они коллинеарны. Коллинеарность векторов (а также ее отсутствие) легко переводится на привычные алгебраические соотношения. А именно: коллинеарность векторов равносильна пропорциональности соответственных координат этих векторов. Также скалярное произведение на плоскости векторов a (х, у) и b (х, у) можно выразить в координатной форме, а именно: a· b = х1 х2 + у1 у2,
соответственно в пространстве a· b = х1 х2 + у1 у2 + z1z2.
Еще из скалярного произведения a·b= |a| · |b|·cos(a ,b) вытекают соотношения (a· b)2= |a|2 · |b|2·cos2(a ,b).
Решение задач.
Как распознать уравнение, которое можно решить векторным методом?
Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида x2+у2
или x2+у2+z2- то это длина некоторого вектора a (х,у) на плоскости или a (х,у,z) в пространстве. Возможны ситуации, как например: x2+у2+z2=a, то можно рассматривать вектор b (х,у,z), длина которого равна a.
Если уравнение содержит алгебраическое выражение вида х1 х2 + у1 у2
(х1 х2 + у1 у2 + z1z2), то его можно считать скалярным произведением векторов a и b на плоскости (в пространстве).
Если левую часть уравнения можно представить скалярным
произведением некоторых векторов, а правую часть - произведением их длин.
Пример1.
Решить уравнение: 2x+1+4-x=5.
Решение.
Конечно, это уравнение можно решить традиционным способом (например, двойным возведением обеих частей уравнения в квадрат), мы же на примере этого простого уравнения покажем алгоритм применения метода векторов.
Обозначим векторы: a (2;1) и b(x+1; 4-x) .
Тогда |a|= 22+12= 5, |b|= x+1+4-x= 5Скалярное произведение векторов a b = 2·x+1+1·4-x =5 (по условию)
и a b = |a||b| cosα = 5·5 cosα = 5 cosα. Приравниваем правые части, получаем: 5 cosα=5, откуда сos0=1, т.е. α=0 , значит векторы a и b коллинеарны, значит их одноимённые координаты пропорциональны:
2x+1 = 14-x или 2x+1 = 4-x, отсюда, после возведения в квадрат, получаем: 4(х+1)=4-х, 4х+4=4- х, 5х=15, х=3. Сделав проверку, убеждаемся, что х=3 – корень уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение
21-2x – х 2x+9 = 10(x2+4)
Решение.
ОДЗ: 1–2х ≥ 0; 2х+9 ≥ 0
4,5 ≤ х ≤ 0,5 или х [-4,5 ; 0,5]
Если попробовать возвести в квадрат, то придём к виду:
4 (1 – 2х) + х2 (2х + 9) – 10 (х2 + 4) = 4х ∙,
2х3 – х2 – 8х – 36 = 4х ∙.
Возводя еще раз мы придем к многочлену, где будет и х6, и х5 и т.д.
т.е. явно задача намного усложнилась.
Попробуем использовать векторный метод введем векторы a(1-2x;2x+9), b (2; -x) находим их скалярное произведение
a b = 21-2x - x 2x+9 = 10(x2+4) ( по условию)
вычислим длины a и b , и их произведение
│a│ = 1-2x+2x+9= 10, │b │= 22+(-x)2 = 4+x2;
│a│∙ │b │= 10 ∙ 4+x2 = 10(x2+4).
Получили: a b = │a│∙ │b │, то есть сosφ=1, φ=0, значит векторы коллинеарны, значит их одноимённые координаты пропорциональны:
1-2x2 = 2x+9-x ⇒ x2(1-2x) = 4(2x+9), 2х3 – х2 + 8х + 36 = 0. Первый корень найдём подбором: х = - 2. Далее по схеме Горнера:
123825310515002286003302000 2 -1 8 36
-2 2 -5 18 0 уравнение 2х2 - 5х + 18 = 0 не имеет решений, т.к. D < 0.
х = -2 удовлетворяет ОДЗ
Ответ: -2
Пример 3.
Решите систему уравнений
4x2+25у2+9z2=1x-5у+z=76
Решение.
Если представить первое уравнение системы в виде: (2х)2 + (5у)2 + (3z)2 = 1, то получим сумму квадратов трёх чисел, а значит эту сумму можно представить как квадрат длины вектора, координаты которого и есть эти числа, т.е a (2х; 5у; 3z) Теперь определим, какие координаты (b1, b2, b3) должны быть у вектора b . Явно, левая часть второго уравнения не может быть представлена как квадрат длины второго вектора, попробуем её представить в виде скалярного произведения векторов a и b , т.е a b = 2xb+5yb+3zb
И a b = х– 5у + z = , тогда 2b=1; 5b=-5; 3b=1, отсюда координаты вектора b (). Длина вектора │b │= 14+1+19 =4936 = 76
│a│∙ │b │= 1·76 = 76 и a b = 76 .
Таким образом a b =│a│∙ │b │, вектора коллинеарны, их координаты пропорцинальны: ==, т.е. 4х = -5у = 9z , откуда у= - , z=.
Эти значения подставляем во второе уравнение системы
Ответ: (; - ; )Пример 4.
Решите систему уравнений
36 x2+9у4+4z6=1x+у2+z3=23Решение.
Пусть a (6х; 3у2; 2z3), b (; ; ). Тогда a ·b = ;
│a│= 1, │b │ = 718 a b >│a│∙ │b │, что невозможно.
Ответ: система несовместна
Пример 5.
Решите систему уравнений.
x8+у8+z8=1x4-2у4+3z4=42Решение.
Рассмотрим векторы a( x; y; z) и b (1; -2; 3). Найдём их длины:
│a│ = x8+у8+z8= 1, │b │= 1+4+9 =14Скалярное произведение векторов a ·b = x4-2у4+3z4=42
│a│∙ │b │= 14, получили: >, что противоречит векторному неравенству a ·b ≤│a│∙ │b │ , следовательно система не имеет решений.
Итог урока.
Домашнее задание.
«Твори, выдумай, пробуй!»
Решить уравнение с двумя неизвестными:
x + 2-у3+2x+6+у6-3x = 9
Ответ: (1; - 3)
Решить уравнение
x 1+x+3-x= 2 x2+1.
Ответ: 1; 1+.
Решите систему уравнений
x-2у+32=15x2+у2+z2=16
Ответ: система не имеет решений.
Вывод: Примененный нами векторный метод показывает новый, нетрадиционный подход к решению уравнений, что решение довольно большого числа примеров на решение уравнений и систем уравнений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху. Кроме того, векторы позволяют «сжать» информацию, сделать ее наглядной и оперативной, и тем самым способствуют поиску путей решения математических заданий.
Литература.
1. Гальперин И.М, Габович И.Г. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского для решения задач по алгебре.
2. М.,«Педагогика» Математика в школе №2 1991г.
3. Литвинова С.А., Куликова Л.В. и др. За страницами учебника математики. Изд. Панорама , 2006.