Перпендикулярные прямые в пространстве.

Геометрия 10 класс.
Урок по теме: «Перпендикулярные прямые в пространстве».
Цели урока:
Образовательные:
Формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве.
Учиться применять понятие перпендикулярных прямых в пространстве при решении задач.
Развивающие:
Формирование следующих мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение, обобщение.
Формирование и развитие поисково-познавательной деятельности.
Воспитательные:
Формирование положительной мотивации учения.
Воспитание внимания.
Воспитание умения работать в коллективе.
Развитие умения слушать и высказывать свою точку зрения.
Структура урока:
1.Актуализации знаний.
Фронтальная беседа о роли вопроса «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» в геометрии и в окружающей действительности.
Фронтальная беседа с целью мотивации введения определения перпендикулярных прямых в пространстве. Постановка учебных задач.
:--На прошлых уроках мы с вами закончили изучение одной большой темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве». Сегодня на уроке мы с вами начнём изучение ещё одной большой и не менее значимой темы под названием «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». В чём же заключается её значимость?
вывод по данному вопросу:
Во-первых, в окружающем нас мире, помимо параллельных линий и плоскостей, преобладают перпендикулярные линии и плоскости. Поэтому отношение перпендикулярности широко применяется в строительстве, архитектуре, дизайне.
Во-вторых, материал данной темы широко используется при изучении последующих разделов курса, при доказательстве теорем и решении задач.
Поэтому чем лучше мы с вами усвоим данную тему, тем легче нам будет в дальнейшем осваивать новый материал и решать задачи.
Начнём с небольшого повторения.
Вопрос: От какого признака зависят различные случаи взаимного расположения прямых на плоскости? Ответ: От количества общих точек.
Вопрос: Назовите эти случаи взаимного расположения прямых на плоскости.
Ответ: Параллельные прямые и пересекающиеся прямые.
Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых на плоскости мы можем вести речь о перпендикулярных прямых? Ответ: Относительно случая пересекающихся прямых.
Вопрос: Сформулируйте определение перпендикулярных прямых на плоскости.
Ответ: Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
Вопрос: От каких признаков зависят различные случаи взаимного расположения прямых в пространстве? Ответ: От количества общих точек и от принадлежности одной плоскости.
Вопрос: Если прямые имеют общую точку, то каково будет их взаимное расположение?
Ответ: Прямые будут пересекаться.
Вопрос: Если прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости, то каково будет их взаимное расположение? Ответ: Прямые будут скрещиваться.
Вопрос: Если прямые не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, то каково будет их взаимное расположение? Ответ: Прямые будут параллельны.
Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых в пространстве мы можем вести речь о перпендикулярности прямых? Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? Ответ: (Ученики затрудняются ответить).
Вопрос: Чтобы ответить на этот вопрос мы с вами проведём самостоятельную работу исследовательского характера.
Этап формирования новых знаний и способов действия.
Самостоятельная работа исследовательского характера с целью установления, что нового добавляется к понятию перпендикулярных прямых в пространстве.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Самостоятельная работа исследовательского характера.
Цель: Установить, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными.
Исследовательская задача: Исследуя взаимное расположение элементов прямоугольного параллелепипеда, и используя аналогию с определением перпендикулярных прямых на плоскости, выделить возможные случаи взаимного расположения прямых, которые можно назвать перпендикулярными. Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве.
Задания.
1. Рассмотрите изображение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 и установите взаимное расположение прямых АА1 и АВ, АD и DС, АD и А1D1, АА1 и ВD, АА1 и В1D1, ВС и D1 А1?
2. Используя аналогию с перпендикулярностью прямых на плоскости выделите те пары прямых, которые по Вашему мнению являются перпендикулярными. Чему равен угол между этими прямыми?
3. Какой случай взаимного расположения прямых существует в пространстве и не существует на плоскости? Могут ли такие прямые быть перпендикулярными?
4. Установите, какой общий признак характеризует каждый из случаев перпендикулярности прямых в пространстве. Сформулируйте определение.
5. На основании полученных результатов сделайте вывод о том, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве.
6. Приведите примеры перпендикулярных прямых на изображении прямоугольного параллелепипеда, относящихся к различным случаям взаимного расположения.
Обсуждение результатов самостоятельной работы с целью введения определения.
Обсуждение данной самостоятельной работы исследовательского характера проводится по пунктам заданий данной самостоятельной работы. После чего ученики записывают полученное определение в тетрадь:. Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Обозначение. .

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b'∥b b​′​​∥b. И тогда угол между a b (по определению!) будет равен углу между a и b​′​​.
ЛеммаЕсли одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Закрепление Задачи из учебника. №116 (а)Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 9). Докажите, что  и , если .

Доказательство.
ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .
Прямая В1С1 параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В1С1. Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A1D1. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярнаA1D1. Задача доказана.
Рассмотрим другое доказательство факта, что . Угол DCB равен углу между прямыми DC и В1С1. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В1С1 перпендикулярны.
№ 117 .В тетраэдре ABCD - . Докажите, что , где М и N середины ребер АВ и АС.

Доказательство.
MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.
Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Подведение итогов урока.
Вопрос: Что нового мы узнали сегодня на уроке?
Ответ: Мы сегодня узнали, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве, узнали, какие прямые в пространстве называются перпендикулярными, изучили лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Вопрос Сформулируйте определение перпендикулярных прямых в пространстве.
Ответ: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.
Вопрос: Относительно какого случая взаимного расположения прямых в пространстве мы можем вести речь о перпендикулярности прямых?
Ответ: Относительно скрещивающихся и пересекающиеся прямых.
Вопрос: Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Приложение 1.Опорный конспект по теме: «Перпендикулярные прямые в пространстве».
Самостоятельная работа исследовательского характера.
Исследовательская задача: Исследуя взаимное расположение элементов прямоугольного параллелепипеда, и используя аналогию с определением перпендикулярных прямых на плоскости, выделить возможные случаи взаимного расположения прямых, которые можно назвать перпендикулярными. Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве.
Задания.1. Рассмотрите изображение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 и установите взаимное расположение прямых АА1 и АВ, АD и DС, АD и А1D1, АА1 и ВD, АА1 и В1D1, ВС и D1 А1?
2. Используя аналогию с перпендикулярностью прямых на плоскости выделите те пары прямых, которые по Вашему мнению являются перпендикулярными. Чему равен угол между этими прямыми?
3. Какой случай взаимного расположения прямых существует в пространстве и не существует на плоскости? Могут ли такие прямые быть перпендикулярными?
4. Установите, какой общий признак характеризует каждый из случаев перпендикулярности прямых в пространстве. Сформулируйте определение.
5. На основании полученных результатов сделайте вывод о том, что нового добавляется к понятию перпендикулярности прямых в пространстве.
6. Приведите примеры перпендикулярных прямых на изображении прямоугольного параллелепипеда, относящихся к различным случаям взаимного расположения.
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.( a⏊b.)
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая a перпендикулярна прямой b, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми a b, нужно через произвольную точку O на прямой a провести прямую b'∥b b​′​​∥b. И тогда угол между a b (по определению!) будет равен углу между a и b​′​​.

Далее работа с учебником стр.34. Запишите лемму выполните рис 44.