Конспект урока Перпендикулярные прямые в пространстве
Урок
Перпендикулярные прямые в пространстве
Цели урока:
1) ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
2) доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой;
3) дать определение перпендикулярности прямой и плоскости;
4) доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Ход урока
1. Организационный момент
Сообщить тему урока и поставить цели.
2. Устная работа
1) Что такое перпендикулярные прямые на плоскости?
2) Дано: 13 EMBED Equation.3 1415 - параллелепипед, 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Найдите углы между прямыми 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
(Ответ: 30є, 30є, 150є)
3. Изучение нового материала
Начинаем с повторения того, что учащиеся уже знают о перпендикулярности прямых из планиметрии. Для этого заранее задаётся им д/з на повторение: п.16 § 2 Перпендикулярные прямые стр.26-27.
План: 1. Определение перпендикулярных прямых.
2. Обозначение.
3. Существование: т.2.3 Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную её прямую, и только одну.
4. Построение.
Перед уроком на доске заготавливается таблица, в которой заполнена левая часть, но вначале записи следует закрыть.
Учащимся задаётся вопрос «что мы знаем о перпендикулярности прямых из планиметрии?» По мере ответа учащимся левую часть открываем. Сразу же возникает проблема: Истинны ли эти утверждения в пространстве?, которая постепенно разрешается.
В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Планиметрия
Стереометрия
1. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично
13 EMBED Equation.3 1415
2. Признак вытекает из определения.
2. Т.17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно
двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Используя модель прямой и плоскости, выбираем такое расположение прямой, чтобы казалось, что она перпендикулярна плоскости. Затем с помощью угольника проверяем, что таким образом выбранная прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.
После чего даём определение перпендикулярности прямой и плоскости.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Для избежания ошибок в понимании определения на модели или рисунке предлагаем следующие упражнения:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
- пусть дана плоскость 13 EMBED Equation.3 1415. Прямая 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольная прямая этой плоскости, прямая 13 EMBED Equation.3 1415 - её перпендикулярная. Можно ли утверждать, что 13 EMBED Equation.3 1415? (любая тождественна каждая, а не произвольная).
Замечание: перпендикулярные прямые – это две прямые, которые пересекаются под прямым углом (то есть здесь условие: перпендикулярные прямые обязательно должны быть пересекающимися).
Соответственно непараллельная прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Атанасян
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90° (по этому определению перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися, а могут быть скрещивающимися).
Соответственно непараллельная прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Здесь же рассматриваются свойства, в которых выражается связь между параллельностью и перпендикулярностью. В 2-х теоремах идёт речь о двух прямых и плоскости; в 2-х: о двух плоскостях и прямой.
Две прямые и плоскость Две плоскости и прямая
Т.17.3 Т.17.4 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Докажите, что если Докажите, что
прямая перпендикулярна две плоскости,
одной из 2-х параллельных перпендикулярные
плоскостей, то она одной и той же
перпендикулярна и другой. прямой, параллельны.
Ученики рассматривают доказательства по учебнику
4. Закрепление изученного материала
Задача №1
Дано: DABC – тетраэдр; М 13 EMBED Equation.3 1415 АВ :АМ=МВ, N 13 EMBED Equation.3 1415AC : AN=NC; BC 13 EMBED Equation.3 1415AD
Доказать: AD13 EMBED Equation.3 1415MN
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Доказательство:
MN – средняя линия 13 EMBED Equation.3 1415ABC 13 EMBED Equation.3 1415MN||BC;
По лемме, т.к. BC 13 EMBED Equation.3 1415AD, то AD13 EMBED Equation.3 1415MN
Задача №2
Дано: DABC – квадрат; АВ= a, AC 13 EMBED Equation.3 1415BD=O, OK13 EMBED Equation.3 1415(ABC), OK=b
Найти: АК, ВК, СК, DK
5. Подведение итогов урока.
- Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
- Приведите несколько примеров.
- Сформулируйте свойства, в которых выражается связь между параллельностью и перпендикулярностью.
Домашнее задание
п. 15-16, вопросы 1,2 (стр. 54)
№116, 118
A
M
C
B
D
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
30є
N
A1
A
D1
D
C1
B
C
B1
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native