Организация работы над арифметической сюжетной задачей как средство формирования познавательных универсальных учебных действий (моделирование)

Методические рекомендации

«Организация работы над арифметической сюжетной задачей как средство формирования познавательных универсальных учебных действий (моделирование)»























Данные рекомендации посвящены организации работы над текстовой задачей в начальных классах в рамках реализации ФГОС НОО. Линия по обучению решению арифметических сюжетных задач (текстовых) задач является центральной для курса математики большинства УМК. В методических рекомендациях подробно описываются особенности работы над арифметической сюжетной задачей в УМК «Перспективная начальная школа». Система обучения решению задач рассматривается как средство формирования познавательных универсальных учебных действий.
Методические рекомендации представляют интерес для учителей начальных классов, реализующих различные образовательные системы.





















Боровикова Оксана Викторовна, учитель начальных классов МОУ СОШ № 56 Кировского района г. Волгограда, учитель высшей категории, т. 8-960-893-18-36.


ОГЛАВЛЕНИЕ

І

Пояснительная записка
4

ІІ

Введение.
6

ІІІ

Моделирование как универсальное учебное действие..........
8



3.1
Приёмы моделирования..........
11



3.2
Организации анализа текстовой задачи путем моделирования..........
15



3.3
Виды вспомогательных моделей
17



3.4
Обобщенный табличный способ решения задач..
18




3.5
Виды упражнений и заданий, направленных на формирование логических УУД..

21

ІV


Особенности работы над арифметической сюжетной задачей в УМК «Перспективная начальная школа» ..

22



Приложения.
23



Литература
40
















ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
За последние десятилетия в обществе произошли кардинальные изменения в представлении о целях образования и путях их реализации. От признания знаний, умений и навыков как основных итогов образования произошел переход к пониманию обучения как процесса подготовки учащихся к реальной жизни, готовности к тому, чтобы занять активную позицию, успешно решать жизненные задачи, уметь сотрудничать и работать в группе, быть готовым к быстрому переучиванию в ответ на обновление знаний и требования рынка труда.
Совершенствование системы начального образования направлено на решение ряда важнейших задач, среди которых следует особо выделить создание прочного фундамента для последующего обучения. Это предполагает не только освоение младшими школьниками системы опорных знаний и умений, но и прежде всего их успешное включение в учебную деятельность, становление учебной самостоятельности. Начальная школа должна помочь детям освоить эффективные средства управления учебной деятельностью, развить способности к сотрудничеству.
В связи с тем, что приоритетным направлением новых образовательных стандартов является реализация развивающего потенциала общего среднего образования, актуальной задачей становится обеспечение развития универсальных учебных действий как собственно психологической составляющей фундаментального ядра образования наряду с традиционным изложением предметного содержания конкретных дисциплин. Важнейшей задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Все это достигается путем сознательного, активного присвоения учащимися социального опыта. При этом знания, умения и навыки (ЗУН) рассматриваются как производные от соответствующих видов целенаправленных действий, т. е. они формируются, применяются и сохраняются в тесной связи с активными действиями самих учащихся. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных действий.
Сегодня УУД придается огромное значение. Это совокупность способов действий обучающегося, которая обеспечивает его способность к самостоятельному усвоению новых знаний, включая и организацию самого процесса усвоения. Универсальные учебные действия - это навыки, которые надо закладывать в начальной школе на всех уроках. Универсальные учебные действия можно сгруппировать в четыре основных блока: 1) личностные; 2) регулятивные; 3) познавательные; 4) коммуникативные.
В начальной школе математика является основой развития познавательных универсальных учебных действий: общеучебных, логических, а также постановку и решение проблемы. Особую роль при этом играет формирование общего умения решать задачи как УУД. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития, учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями. В обучении решению текстовых задач заложены также большие возможности для формирования всех видов УУД.
Не смотря на многообразие подходов к классификации простых задач, ни одна из них не позволяет установить последовательность, в которой следует рассматривать их при обучении детей решению задач; у младших школьников плохо развито умение анализировать данные текстовой задачи, видеть взаимосвязь между искомым и данными, структурировать ход решения; при отсутствии потребности в глубоком осмыслении описанных в задаче связей у учащихся формируется прочная привычка сводить решение к простому вычислению.
В данном методическом пособии подробно рассматривается организации работы над текстовой задачей в начальных классах как способ формирования особой группы общеучебных универсальных действий - знаково-символических действий: моделирования и преобразования модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.



























ВВЕДЕНИЕ
Для успешного обучения в начальной школе должны быть сформированы следующие познавательные универсальные учебные действия: общеучебные, логические, действия постановки и решения проблем.
Одно из важнейших познавательных универсальных действий умение решать проблемы или задачи. Усвоение общего приема решения задач в начальной школе базируется на сформированности логических операций умении анализировать объект, осуществлять сравнение, выделять общее и различное, осуществлять классификацию, сериацию, логическую мультипликацию (логическое умножение), устанавливать аналогии. В силу сложного системного характера общего приема решения задач данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы познавательных действий. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития, учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями.
При обучении различным предметам используются задачи, которые принято называть учебными. С их помощью формируются предметные знания, умения, навыки. Особенно широко применяются задачи в математике, физике, химии, географии. Как правило, в них используются математические способы решения.
В связи с этим анализ содержания общего приема решения задач будет рассмотрен сначала на учебном предмете «Математика».
Общий прием решения задач включает: знания этапов решения (процесса), методов (способов) решения, типов задач, оснований выбора способа решения, а также владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и операциями.
Существуют различные подходы при анализе процесса (хода) решения задачи: логико-математический (выделяют логические операции, входящие в этот процесс), психологический (анализируют мыслительные операции, на основе которых он протекает) и педагогический (приемы обучения, формирующие у учащихся умение решать задачи).
При всем многообразии подходов к обучению решению задач, к этапам решения можно выделить следующие компоненты общего приема.
I. Анализ текста задачи (семантический, логический, математический) является центральным компонентом приема решения задач.
II. Перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств. В результате анализа задачи текст выступает как совокупность определенных смысловых единиц. Однако текстовая форма выражения этих величин сообщения часто включает несущественную для решения задач информацию. Чтобы можно было работать только с существенными смысловыми единицами, текст задачи записывается кратко с использованием условной символики. После того как данные задачи специально вычленены в краткую запись, следует перейти к анализу отношений и связей между этими данными. Для этого осуществляется перевод текста на язык графических моделей, понимаемый как представление текста с помощью невербальных средств моделей различного вида: чертежа, схемы, графика, таблицы, символического рисунка, формулы, уравнений и др. Перевод текста в форму модели позволяет обнаружить в нем свойства и отношения, которые часто с трудом выявляются при чтении текста.
III. Установление отношений между данными и вопросом. На основе анализа условия и вопроса задачи определяется способ ее решения (вычислить, построить, доказать), выстраивается последовательность конкретных действий. При этом устанавливается достаточность, недостаточность или избыточность данных.
Выделяются четыре типа отношений между объектами и их величинами: равенство, часть/целое, разность, кратность, сочетание которых определяет разнообразие способов решения задач. Анализ практики обучения показывает, что особую трудность для учащихся представляют задачи с отношением кратности.
IV. Составление плана решения. На основании выявленных отношений между величинами объектов выстраивается последовательность действий план решения. Особое значение имеет составление плана решения для сложных, составных задач.
V. Осуществление плана решения.
VI. Проверка и оценка решения задачи. Проверка проводится с точки зрения адекватности плана решения, способа решения, ведущего к результату (рациональность способа, нет ли более простого). Одним из вариантов проверки правильности решения, особенно в начальной школе, является способ составления и решения задачи, обратной данной. Содержание каждого из компонентов приема и критерии оценки их сформированности представлены в таблице (Приложение №1). Общий прием решения задач должен быть предметом специального усвоения с последовательной отработкой каждого из составляющих его компонентов. Овладение этим приемом позволит учащимся самостоятельно анализировать и решать различные типы задач.
Описанный обобщенный прием решения задач применительно к математике в своей общей структуре может быть перенесен на любой учебный предмет. По отношению к предметам естественного цикла содержание приема не требует существенных изменений различия будут касаться специфического предметного языка описания элементов задачи, их структуры и способов знаково-символического представления отношений между ними.
Влияние специфики учебного предмета на освоение рассматриваемого универсального учебного действия проявляется прежде всего в различиях смысловой работы над текстом задачи. Так, при решении математических задач необходимо абстрагироваться от конкретной ситуации, описанной в тексте, и выделить структуру отношений, которые связывают элементы текста. При решении задач предметов гуманитарного цикла конкретная ситуация, как правило, анализируется не с целью абстрагирования от ее особенностей, а наоборот, с целью выделения специфических особенностей этих ситуаций для последующего обобщения полученной предметной информации.








МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК УНИВЕРСАЛЬНОЕ УЧЕБНОЕ ДЕЙСТВИЕ
Для успешного обучения в начальной школе должны быть сформированы следующие универсальные учебные действия:
кодирование/замещение (использование знаков и символов как условных заместителей реальных объектов и предметов);
декодирование/считывание информации;
умение использовать наглядные модели (схемы, чертежи, планы), отражающие пространственное расположение предметов или отношения между предметами или их частями для решения задач;
умение строить схемы, модели и т. п.
В период начального образования основным показателем развития знаково-символических универсальных учебных действий становится овладение моделированием.
Обучение по действующим программам любых учебных предметов предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не являются специальным объектом усвоения с точки зрения их характеристик как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование. Более того, в концепции развивающего обучения Д.Б. Эльконина В.В. Давыдова моделирование включено в учебную деятельность как одно из действий, которое должно быть сформировано уже к концу начальной школы. Анализ философской литературы показал, что в моделировании выделяется несколько этапов: выбор (построение) модели, работа с моделью и переход к реальности. Аналогичные этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования:
предварительный анализ текста задачи;
перевод текста на знаково-символический язык, который может осуществляться вещественными или графическими средствами;
построение модели;
работа с моделью;
соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстами).
Каждый компонент деятельности моделирования имеет свое содержание со своим составом операций и своими средствами, которые согласно психологическим исследованиям должны стать самостоятельным предметом усвоения. Предварительный анализ включает несколько приемов, описанных в литературе, относящейся к разным областям знания. Это прежде всего проведение семантического анализа текста. Он предполагает работу над отдельными словами, терминами, перефразирование, переформулирование текста.
Другими приемами анализа текста, ведущего к пониманию его смысла, являются постановка вопросов, определенный способ чтения текста. Одним из приемов анализа, который ведет к пониманию текста, является выделение смысловых опорных пунктов текста, которые способствуют построению структуры текста. В общей деятельности моделирования действие анализа является подготовительным этапом для осуществления действия перевода и построения модели. Перевод текста на знаково-символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, и способствует тем самым поиску и нахождению решения. Эффективность перевода текста определяется видом используемых знаково-символических средств. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык нужен не сам по себе, а для получения новой информации, то в процессе перевода должны учитываться требования, предъявляемые к выбору и характеристикам знаково-символических средств.
В литературе выделяются разные требования к знаково-символическим средствам представления информации. Применительно к учебному процессу в школе в качестве наиболее значимых можно указать такие, как: абстрактность; лаконичность; обобщение и унификация; четкое выделение элементов, несущих основную смысловую нагрузку; автономность; структурность; последовательность представления элементов.
По абстрактности различают следующие знаково-символические средства: предметно-конкретные, упрощенно-графические изображения обозначаемых объектов (пиктограммы,
иконические знаки); условно-образные (геометрические фигуры и др.); условные знаки, индексы (буквенно-цифровая символика).
Лаконичным является знак, форма которого не имеет лишних элементов, а содержит только те из них, которые необходимы для сообщения информации.
Обобщенность и унификация знаково-символических средств достигается через единообразие форм элементов, выражающих одинаковый смысл (объекты, процессы и др.), характер элементов формы, масштабное соответствие и т. д.
Автономность означает то, что части текста, которые передают самостоятельное сообщение, необходимо представлять разными знаково-символическими средствами и отделять друг от друга, так как это облегчает восприятие информации.
Под структурностью понимается материализация взаимосвязей знаков, фиксирующих все компоненты задачи. При этом отдельные компоненты могут иметь свою подструктуру.
Последовательность представления элементов, или знаково-символических средств, определяется логикой отношений между компонентами задачи.
Построение модели. Работа с моделью. Вынесение во внешний план элементов задачи и их отношений настолько обнажает связи и зависимости между величинами, что иногда
перевод сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их. При этом необходимо иметь в виду, что уровень графической подготовки при построении модели и работе с ней (согласно психологическим исследованиям) определяется главным образом не степенью владения учеником техникой выполнения графического изображения, а тем, насколько он готов к мысленным преобразованиям образно-знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление.
Работу с моделью можно вести в двух направлениях:
а) достраивание схемы, исходя из логического выведения, расшифровки данных задачи;
б) видоизменение схемы, ее переконструирование.
Соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстом). Моделирование осуществляется для того, чтобы получить новые данные о реальности или ее описании, поэтому необходимым моментом деятельности моделирования является соотнесение результатов с текстом. Из практики известно, что учащиеся после решения задачи так или иначе проверяют свои ответы для доказательства того, что они удовлетворяют условиям и требованиям задачи. Принципиально важным при проверке ответов решения задачи для деятельности моделирования является не столько выявление правильности (точности), сколько соотнесение данных, полученных на модели, с ее описанием в тексте. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык, приводящий к построению модели, является важным этапом решения задач и вместе с тем вызывает наибольшие трудности у учащихся, рассмотрим его более подробно.
Существует два варианта построения моделей:
1. Материализация структуры текста задачи с помощью использования знаково-символических средств для всех его составляющих в соответствии с последовательностью изложения информации в задаче. Завершающим этапом построения модели при этом способе будет символическое представление вопроса задачи. Созданная модель текста дает возможность выделить отношения между компонентами задачи, на основе которых находятся действия, приводящие к ответу на вопрос.
2. Материализация логической схемы анализа текста задачи, начиная с символического представления вопроса и всех данных (известных и неизвестных), необходимых для ответа на него. В такой модели фиксируется последовательность действий по решению задачи.
При первом варианте моделирования текста задачи могут быть использованы самые разные знаково-символические средства (отрезки, иконические знаки и др.). При этом каждое из данных задачи представляется в виде отдельных конкретных символов.
При втором варианте моделирования наиболее удобными являются графы (простейшие математические модели). Последовательность операций решения в виде графа вытекает из более общих схем, в которых отражаются основные отношения между данными задачи. Поскольку такого типа модели представляют конечный результат ориентировки в тексте задачи, то для их построения необходимо владение умением осуществлять полный анализ текста, выделять все компоненты (объекты, их величины, отношения между ними и др.).
При создании различного типа моделей очень важно определить, какая информация должна быть включена в модель, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой выделенной составляющей текста, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие различную.
В процессе построения модели и работы с ней проводится анализ текста и его перевод на математический язык: выделяются известные и неизвестные объекты, величины, отношения между ними, основные и промежуточные вопросы.
При обучении математике используются различные способы построения моделей с опорой на определенный набор знаково-символических средств.




ПРИЁМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Моделирование как средство научного познания стало развиваться в ХХ в., получив признание практически во всех отраслях современной науки: техническом конструировании, строительстве и архитектуре, астрономии и физике, химии и биологии и, наконец, в общественных науках. В настоящее время термин «модель» имеет множество смысловых значений.
Процесс научного познания окружающего мира сложен и многообразен. Как и любой процесс познания, он начинается с непосредственного или опосредованного чувственного познания. Подлинно научный характер процесс познания приобретает тогда, когда ученый на основе результатов чувственного познания строит особый объект – обобщенное и абстрактное представление, схему изучаемого явления. Это и есть модель явления. Модель отражает и воспроизводит в более простом уменьшенном виде структуру, свойства, взаимосвязи и отношения исследуемого объекта. Иначе говоря, модель – это представитель, заместитель оригинала в познании или на практике. Модель определяется нами как некий объект (система), исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале). При использовании в школе современных, так называемых, проблемных методов обучения процесс обучения имитирует путь научного познания. Поэтому моделирование в школе может использоваться как прием обучения в разных методических системах. Когда учитель ставит цель наглядно показать учащимся движение тел в противоположном направлении, он использует модель – заместитель реальной ситуации, чертеж отрезка прямой линии, по которой движутся объекты, и направление их движения. В этом случае совершенно очевидно используется аналогия. Когда учитель говорит: «Представим себе (предположим) ...», тогда происходит абстрагирование. При моделировании как способе познания имеются: 1) субъект познания (учащиеся); 2) объект познания (ситуация, отраженная в тексте задачи); 3) модель, опосредствующая отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Таким образом, поскольку моделирование служит способом, а модель средством познания, учащиеся под руководством учителя пользуются и тем и другим в процессе обучения решению задач. Таким образом, моделирование может успешно применяться как способ алгоритмизации учебной деятельности учащихся в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач.
Основой курса математики в начальных классах служит арифметический материал, а геометрическая и алгебраическая пропедевтика способствует более высокому уровню усвоения понятий о числе, арифметических действиях, позволяет знакомить детей с общими принципами, лежащими в основе изучаемых математических фактов. При изучении математики в начальных классах дети должны научиться самостоятельно находить пути решения простых и несложных составных задач, а для этого они должны овладеть элементарными общими и в то же время разнообразными приемами подхода к решению таких задач.
Традиционно все методические школы разделяют процесс обучения решению задач на две ступени: решение простых задач и решение составных задач. Различные учебники отводят каждой из этих ступеней различные временные промежутки.

Этапы работы над текстовыми задачами.

Цель работы над задачей – обучение ребенка самостоятельной работе над текстовой формой простой задачи с применением на практике всех приобретенных ранее умений:
Моделирование (в том или ином виде) заданной в задаче ситуации;
Составление математического выражения соответственно смыслу ситуации (выбор действия);
Оформление записи в виде равенства с наименованием;
Запись ответа в краткой форме.
Таким образом, этап работы над простыми задачами имеет смысл рассматривать как подготовительный этап к решению составных задач.
Работа над текстовой задачей начинается с чтения ее учеником. Для того чтобы решить задачу, ученик должен уметь переходить от текста (словесной модели) к представлению ситуации (мысленной модели), а от нее – к записи решения с помощью математических символов (знаково-символической модели).


Этапы решения задачи.


1 этап 2 этап




Моделирование – процесс построения моделей для каких-либо познавательных целей.
Модель – это объект или система, исследование которой служит средством для получения знаний о другом объекте – оригинале или прототипе модели. Часто учащийся не может воспринять задачу и начать решать ее в том виде, в каком она дана. Поэтому он вынужден «приспосабливать» задачу к себе, переводя на понятный ему язык.
В ходе работы над текстовой задачей у учащихся необходимо формировать умение переходить от модели одного вида к другой. (Приложение № 2.) На этапе анализа задачи возможен переход от словесной модели к высказывательной, где в процессе моделирования отбрасывается лишняя информация, которая не влияет на содержание задачи.
Например. «Вера пришла к подруге Оле, которая кормила кроликов и цыплят. «Сколько у вас цыплят и кроликов? – спросила Вера. «Догадайся сама: число ног у цыплят – 30, а у кроликов – 92», - ответила Оля. Вера быстро догадалась, сколько всего цыплят и кроликов кормила Оля. А ты догадался?»
Высказывательной моделью будет следующий текст: «Число ног у цыплят – 30, а у кроликов – 92. Сколько всего цыплят и кроликов?»
Частое использование однообразных по строению моделей искусственно задерживает у детей развитие способностей к мышлению. Разумно переходить от одной модели к другой, что позволит использовать разнообразные приемы работы над задачей.

Пример № 1.












По вспомогательной модели учащиеся составляют текст задачи и записывают решение. Перед составлением высказывательной модели необходимо подробно проанализировать схематический чертеж. (Приложение № 3. фрагмент урока)



Пример № 2.
















Учитель записывает на доске решение задачи по действиям с полным пояснением. Ученики по решению составляют задачу и иллюстрируют ее условие на схематическом чертеже. (Приложение № 4)



Пример № 3.
















Ученики читают и анализируют задачу, строят вспомогательную модель и записывают решение. В зависимости от построения схематического чертежа, он может быть различным, записывается решающая модель. Вспомогательная модель чертится одновременно по ходу анализа задачи. Различное представление схематического чертежа позволяет найти различные способы решения задачи. (Приложение № 5.)

Пример № 4.














По предложенному условию задачи учащиеся записывают ее решение и затем графически проверяют ее.
Сначала учащиеся решают задачу арифметическим методом. Затем в ходе беседы составляется графическая модель, которая выступает как способ проверки решения задачи. (Приложение № 6.)
Варьирование последовательности различных моделей задач позволяет разнообразить виды учебных заданий, не вырабатывая у детей шаблонного, автоматического подхода к процессу работы над текстовой задачей.
Целесообразно начинать систематически обучать учащихся моделированию текстовых задач уже в первом классе. Первоначально необходимо знакомить учеников с различными видами моделей, применимых к задаче.


























ОРГАНИЗАЦИЯ АНАЛИЗА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ ПУТЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Процесс обучающего моделирования изучен Н.Г. Салминой. Она выделяет следующие действия, которые входят в процесс моделирования: 1. Анализ материала (текста), подлежащего моделированию: выделение смысловых частей – системы элементов и их отношений, которые подлежат изображению с помощью знаково-символических средств. 2. «Перевод» на язык знаков и символов. Особое внимание обращается на принцип взаимно-однозначного соответствия между выделенными элементами материала и элементами модели. Без этого модель не будет давать правильного представления об изучаемом явлении. 3. Учащиеся должны уметь одинаковые отношения и элементы обозначать одинаковыми символами и знаками, а разные элементы и отношения – разными. (Разумеется, это требование соблюдается в пределах построения какой-либо одной модели, то есть в условиях решения одной задачи). 4. Действие преобразования модели. Это действие позволяет учащимся перегруппировать элементы и т.д.
5. Соотнесение полученной модели с реальностью (с тем, что моделировалось). Это действие позволяет получить новую информацию о моделируемом объекте, глубже проникнуть в его суть. Именно эти действия являются целью моделирования. В начальном курсе математики учащиеся изучают некоторые знаково-символические модели, оформленные математическим языком в виде: уравнений, геометрических фигур, записей решения текстовых задач, представления записи решения задачи в виде числового выражения и т.п. Нужно ли, чтобы учащиеся знали модельный характер изучаемых математических явлений? Что изменится от того, что они узнают, например, что запись уравнения, выражения или запись решения задачи есть математическая модель текстовых отношений? Изменится то, что учащиеся узнают, что слово «модель» отражает оформленные математическим языком связи и отношения между явлениями реального мира, а также их количественные характеристики. Учащиеся узнают, что текстовая задача – это описание на естественном языке ситуации, отраженной в задаче (Л.М. Фридман), что для решения задачи математическими средствами надо построить ее математическую модель. Например, в ходе решения задачи «Теплоход, двигаясь со скоростью 30 км в час, прошел путь от одной пристани к другой за 4 часа. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 часов. С какой скоростью шел теплоход обратно?», можно использовать графическую модель (рис. 1), которая приведет к следующему решению задачи:
1. 30 4 = 120 (км) – расстояние между двумя пристанями.
2. 120 : 5 = 24 (км/ч) – скорость теплохода на обратном пути.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 1
Сравним иную графическую иллюстрацию (рис. 2) этой задачи:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 2
Рассматривая графическое изображение модели, учащиеся убеждаются в равенстве длины отрезка АВ (рис. 1) и длины отрезка АВ (рис. 2), лежащем в основе составления ими уравнения: х : 5 = 30 4. В этой ситуации графическое изображение модели служит знаком, направляющим внутреннюю мыслительную деятельность учащихся и оправдывающим ход их рассуждения.
Рассмотрим задачу на движение, решение которой в зависимости от варианта моделирования приводит к осознанию свойства умножения суммы на число: «Две лодки одновременно отошли от двух пристаней, двигаясь навстречу друг другу. Они встретились через 4 ч. Одна лодка проходила в час 15 км, другая – 10 км. Найдите расстояние между пристанями».
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 3
Выполненная иллюстрация (рис. 3) приводит к следующему способу решения задачи: 15 · 4 + 10 · 4 = 60 + 40 = 100 (км).
Представленное ниже графическое изображение модели той же задачи (рис. 4) показывает преодоление длины пути между пристанями в течение каждого часа их совместного движения. Длина этого пути равна сумме (15 + 10) км.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рис. 4
Такой вариант схематического изображения модели задачи приводит к другому способу решения: (15+10) 4 = 100 (км).
Таким образом, различные способы моделирования одной и той же задачи, представленного в соответствующем графическом изображении, дают учащимся возможность найти все возможные способы ее решения и выбрать наиболее рациональный из них.
Проблема развития самостоятельности мышления, учащихся в процессе обучения математике является острой, еще не разрешенной проблемой методики математики. Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются результатом собственных размышлений, закрепились в результате собственной творческой деятельности. Чтобы облегчить решение текстовой задачи, строим модели. При этом используются такие операции мышления как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение.

Виды вспомогательных моделей
Рисунок. Знакомство с моделированием следует начать в первом классе с этой модели. Рисование – любимый вид деятельности младших школьников; в задачах идет речь о конкретных предметах, известных ребенку; моторика руки у учащихся слабо развита, а рисование является развивающим упражнением. Сначала рисунок сюжетный, затем – предметный, а в конце первой четверти – схематический (в виде геометрических фигур).
Рисунок изображает реальные предметы, о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур. Использование рисунка особенно результативно, когда в задаче идет речь о реальных и простых в изображении предметах - кубиках, яблоках, марках, карандашах.
В третьем и четвертом классах при решении трудных задач необходимо давать возможность учащимся вернуться к рисунку, если возникает такая необходимость.
Следует отметить, что существует несколько отрицательных моментов при частом использовании этой модели:
- у учащихся не возникает необходимости выбора арифметического действия, достаточно произвести пересчет;
- рисунок можно использовать только при небольших числовых данных;
- рисунок не способствует формированию переводить задачу на математический язык символов;
- внешние различия рисунков не позволяют ученику отвлечься от внешних признаков и увидеть существенные признаки, объединяющие задачи.
Краткая запись – представление в лаконичной форме содержания задачи, выполненное с помощью опорных слов, простых математических выражений, значения исходных величин, связей между ними, а также данными и искомыми величинами. С моделью данного вида можно начинать работать в первом классе с конца января. К этому времени изучено большинство букв алфавита, навык письма сформирован на столько, что на каллиграфическое письмо уходит не слишком много времени. Краткая запись в определенных ситуациях не помогает, а мешает поиску решения, не дает возможность представить себе жизненную ситуацию, отраженную в задаче, уяснить отношения между величинами, зависимость между искомым и данными. В такой ситуации учащиеся механически манипулируют числами.
Например, в задаче « У Коли было несколько слив. Когда он съел 6 слив, у него осталось 10 слив. Сколько слив было у Коли?» опорное слова «съел» говорит первокласснику о том, что количество слив уменьшилось, следовательно, надо производить вычитание. Во избежание ошибок такого рода, необходимо предложить ребенку составить модель другого вида: рисунок, чертеж, схему.

Чертеж – условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и с соблюдением определенного масштаба. Чертеж как вид модели целесообразно применять при следующих условиях:
- наличие у детей навыков вычерчивания отрезков заданной длины;
- удобные числовые данные в задаче, позволяющие начертить отрезок заданной длины.
Так же учащиеся должны усвоить поэтапное выполнение чертежа. (Приложение № 7.)

Схема – это чертеж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются приблизительно, без соблюдения масштаба. Схема является наиболее удобной моделью при решении задач по нескольким причинам:
- исключает пересчет (как и чертеж);
- может быть использована при решении задач с большими числами;
- может применяться при решении задач с переменными;
- достаточно конкретна и полностью отражает внутренние связи и количественные отношения в задаче;
- выбор действия происходит исходя только из логики происходящих изменений, которые отражены в модели;
- внешняя схожесть схем позволяет натолкнуть учащихся на мысль об однотипности рассуждений при поиске решения задач;
- способствует формированию общего способа действия в задачах одного типа;
- способствует формированию умения рассуждать, развивает логическое мышление.

Построение учащимися разных схем к одной и той же задаче ведет к различному ходу рассуждений и, следовательно, разным способам решения задачи. (Приложение № 5)
Знакомство со схемой необходимо проводить во втором классе, так как подбор задач в данном классе позволяет применять указанную модель, делает работу интересной и продуктивной (на материале обратных задач, при решении задачи различными способами и т.д.).
Блок-схема. Этот вид модели называют «виноградная гроздь», «дерево рассуждений» (в моих классах принято именно это название). При составлении модели в виде блок-схемы используются приемы, отличающиеся от приемов составления моделей других видов. Разбор задачи при составлении блок-схемы начинается с выделения вопроса задачи (т.е. аналитический способ). В блок-схеме нет опорных слов, на которые можно ориентироваться при выборе действия (как в краткой записи). Отсутствует зрительный ориентир для сравнения величин между собой (как при работе со схемой и чертежом), ребенок ориентируется только на взаимоотношения и взаимосвязи, описанные в задаче. Составление блок-схемы сопровождается обязательным поэтапным анализом. (Приложение № 8)


Обобщенный табличный способ решения задач

Таблица. Этот вид модели похож на краткую запись, но данные расставляются не по строкам, а структурируются таблицу, поэтому с ней можно познакомить во втором классе. К этому времени учащиеся приобретают навык работы с линейкой. Наиболее удачно применение таблицы при решении задач на тройку пропорциональных величин:

Цена
Количество
Стоимость

Расход на 1 шт.
Количество шт.
Общий расход

Масса 1 шт.
Количество шт.
Общая масса

Скорость
Время
Расстояние

Производительность
Время
Выполненная работа


Примеры вариантов составления таблиц на разные типы ситуаций.
Задача 1
Два велосипедиста выехали из двух пунктов навстречу друг другу. Один велосипедист ехал 2 ч со скоростью 11 км/ч, а другой 3 ч со скоростью 9 км/ч. Чему равно расстояние между пунктами?
В задаче даны:
1) процесс движение;
2) количество участников (объекты) два велосипедиста;
3) величины S путь, V скорость, t время;
4) единицы измерения км, км/ч, ч.

Процесс
Участники

Величины, единицы измерения




S, км
V, км/ч
t, ч



Движение

I велосипедист
?

11
2


II велосипедист
?
9
3



Задача 2
Для спортшколы купили мячи на 4250 рублей, по 25 рублей за мяч, и такое же колич°ество скакалок, по 15 рублей за каждую. Сколько денег заплатили за все скакалки?
В задаче даны:
1) процесс купля/продажа;
2) количество участников процесса (объекты) два (мячи и скакалки);
3) величины S общая стоимость, V цена мяча, цена скакалки, t количество мячей и скакалок (одинаковое);
4) единицы измерения рубли, штуки.

Процесс
Участники

Величины, единицы измерения




S, р.

V, р./шт.
t, шт


Купля/
продажа

I мячи
4250

25


одинаковое



II скакалки
?
15



По мере овладения табличным способом анализа и решения задачи таблицу можно упростить, сохраняя информацию о величинах, их значениях и единицах измерения; участники (объекты) независимо от вида процесса обозначаются цифрами или буквами.
Задача 3
Для школы было закуплено одинаковое количество карандашей и ручек. Известно, что за карандаши заплатили 1600 рублей, при этом один карандаш стоит 16 рублей. За ручки уплатили 3200 рублей. Сколько стоит одна ручка?


S, р.

V, р./шт.
t, шт

I
1600
16


II
3200
?



Специфика типов задач требует иногда специальных схем представления данных (пропорция прямая, обратная) и другие виды отношений. Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. Визуализация словесно заданного текста с помощью модели позволяет перевести сюжетный текст на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для задач с различными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения.











































ВИДЫ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАНИЙ, НАПРАВЛЕННЫХ НА ФОРМИРОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ УУД

Мысль о том, что в школе необходимо вести работу по формированию логических УУД начиная с младших классов, в психолого-педагогических науках общепризнанна. Логические упражнения представляют собой одно из средств, с помощью которого происходит формирование у детей правильного мышления. Логические упражнения позволяют детям на доступном математическом материале с опорой на жизненный опыт строить правильные суждения без теоретического освоения законов и правил логики. Путем упражнений учащиеся практически знакомятся с применением законов и правил логики, с применением логических приемов. Школьники учатся сравнивать математические объекты, выполнять простейшие виды анализа и синтеза, устанавливать связи между родовыми и видовыми понятиями.
Анализ – логический прием, представляет деление целого на части, выделение путем сравнения общего и частного, существенного и несущественного в предметах и явлениях. Овладение анализом начинается с умения ребенка выделить в явлениях различные свойства и признаки. Выделенные в ходе анализа элементы соединить в единое целое позволяет другой логический прием – синтез. (Приложение № 9)
Сравнение – логический прием, с помощью которого устанавливается сходство и различие предметов, явлений объективного мира.
В процессе классификации дети осуществляют анализ ситуации, выделяют в ней наиболее существенные компоненты, т.е. проводят операции анализа и синтеза, и производят обобщение предметов, входящих в класс. В результате этого происходит обобщение предметов по существенному признаку. (Приложение № 10)
Все операции образного и логического мышления тесно связаны между собой и их полноценное формирование возможно только в комплексе.
Данные упражнения, безусловно, направлены на формирование нескольких операций мышления, но ввиду преобладания некоторых, все упражнения были разбиты на предложенные группы. Но существуют упражнения задания с ярко выраженной комплексной направленностью. (Приложение № 11)
В результате систематического использования данных приемов работы развивается умение анализировать данные текстовой задачи, видеть взаимосвязь между искомым и данными, структурировать ход решения задачи, возникает потребность в глубоком осмыслении описанных в задаче связей.
Моделирование в современных условиях работы учителя начальных классов является наиболее эффективным и развивающим типом обучения. Моделирование в обучении математике формирует и развивает образный и научно-теоретический типы мышления, способствует формированию познавательных универсальных учебных действий.
Необходимость формирования УУД обусловлена сменой этапа научно-технической революции, информационным пространством, теми задачами, которые в настоящее время решает современная система образования.
Практический опыт показал, что описанные приемы работы над текстовой задачей, используемые упражнения действенны и полезны для развития различных видов УУД младших школьников. Рациональным способом развития у учащихся основ образного и научно-теоретического мышления является знаково-символическая деятельность – важный этап в развитии детей. Совершенствуя механизмы мышления и воображения, ребенок способен глубже проникать в существенные связи, отношения и свойства действительности, путем элементарных рассуждений делать выводы, умозаключения. Моделирование служит средством упорядочения имеющегося у детей опыта и подводит их к формированию математических понятий и привития им навыков математических действий, а также использования моделей как внешних опор для организации мыслительной деятельности. (Приложение № 12)
ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ НАД АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СЮЖЕТНОЙ ЗАДАЧЕЙ В УМК «ПЕРСПЕКТИВНАЯ НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА»

Работа по обучению решению арифметических сюжетных (текстовых) задач в курсе УМК «Перспективная начальная школа» имеет ряд особенностей: поэтапное введение новых терминов «условие», «требование», «решение», «ответ» и работа с ними на отдельных уроках; задачи не классифицируются по типу решения; в 1 классе идёт подготовка к введению «круговых схем», которые затем применяются при анализе задач во втором и последующих классах; активно используется приём моделирования при анализе задач; прикладная направленность, которая выражается в умении применять полученные знания на практике. Все эти особенности подробно рассматриваются в данной статье на примере материала учебника А.Л. Чекина «Математика» (учебник для 1 класса в двух частях).

Линия по обучению решению арифметических сюжетных (текстовых) задач (или «алгоритмическая») является центральной для курса УМК «Перспективная начальная школа». Ее особое положение определяется тем, что настоящий курс имеет прикладную направленность, которая выражается в умении применять полученные знания на практике. А это, в свою очередь, связано с решением той или иной задачи. При этом важно не только научить учащихся решать задачи, но и правильно формулировать их, используя имеющуюся информацию.
Особое внимание обращается на смысл термина «решение задачи»: под решением задачи понимается запись (описание) алгоритма, дающего возможность выполнить требование задачи. Сам процесс выполнения алгоритма (получение ответа задачи) важен, но не относится к обязательной составляющей умения решать задачи. Само описание алгоритма решения задачи допускается в трех видах:
1) по действиям (по шагам) с пояснениями;
2) в виде числового выражения, которое рассматривается как свернутая форма описания по действиям, но без пояснений;
3) в виде буквенного выражения (в некоторых случаях в виде формулы или в виде уравнения) с использованием стандартной символики.
Что же касается самого процесса нахождения решения задачи (а в этом смысле термин «решение задачи» также часто употребляется), то в курсе не ставится цель осуществить его полную алгоритмизацию. Но частичная его алгоритмизация (хотя бы в виде четкого усвоения последовательности этапов работы с задачей) не только возможна, но и необходима для формирования у учащихся общего умения решать задачи.

Для формирования умения решать задачи учащиеся в первую очередь должны научиться работать с текстом и иллюстрациями: определить, является ли предложенный текст задачей или как по данному сюжету сформулировать задачу, установить связь между данными и искомым и последовательность шагов по установлению значения искомого. Другое направление работы с понятием «задача» связано с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. К этим видам работы относятся: дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи; изменение любого из элементов задачи, представление одной той же задачи в разных формулировках; упрощение и усложнение исходной задачи; поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.
Особое внимание следует обратить на использование схем для иллюстрации формулировки задачи и, как следствие, для поиска её решения.

Приложение № 1


Компоненты приема
Содержание
компонентов приема
Критерии оценки
сформированности
компонентов приема

I. Анализ текста задачи
1. Семантический анализ направлен на обеспечение содержания текста и предполагает выделение и осмысление:
отдельных слов, терминов, понятий, как житейских, так и математических;
грамматических конструкций («если то»,
«после того, как» и т. д.);
количественных характеристик объекта, задаваемых словами «каждого», «какого-нибудь»
и т. д.;
восстановление предметной ситуации, описанной в задаче, путем переформулирования,
упрощенного пересказа текста с выделением только существенной для решения задачи информации;
выделение обобщенного смысла задачи о чем говорится в задаче, указание на объект и величину, которая должна быть найдена (стоимость, объем, площадь, количество и т. д.).
2. Логический анализ предполагает:
умение заменять термины их определениями; умение выводить следствия из имеющихся
в условии задачи данных (понятия, процессы, явления).
3. Математический анализ включает анализ условия и требования задачи.
Анализ условия направлен на выделение:
объектов (предметов, процессов):
рассмотрение объектов с точки зрения целого и частей,
рассмотрение количества объектов и их частей;
величин, характеризующих каждый объект;
характеристик величин:
однородные, разнородные,
числовые значения (данные),
известные и неизвестные данные,
изменения данных: изменяются (указание логического порядка всех изменений), не изменяются,
отношения между известными данными величин.
Анализ требования:
выделение неизвестных количественных характеристик величин объекта(ов).
1. Умение выбирать смысловые единицы текста и устанавливать отношения между ними.
2. Умение создавать структуры взаимосвязей смысловых единиц текста (выбор и организация элементов информации).
3. Умение выделять обобщенные схемы типов отношения и действий между единицами.
4. Умение выделять формальную структуру задачи.
5. Умение записывать решение задачи в виде выражения.

II. Перевод текста на
язык математики с помощью вербальных и
невербальных средств.
1. Выбрать вид графической модели, адекватной выделенным смысловым единицам.
2.Выбрать знаково-символические средства для построения модели.
3. Последовательно перевести каждую смысловую единицу и структуру их отношений в целом на знаково-символический язык
1. Умение выражать смысл
ситуации различными средствами (рисунки, символы, схемы, знаки).
2. Умение выражать структуру
задачи разными средствами.

III. Установление отношений между данными
и вопросом

Установление отношений между:
данными условия;
данными требования (вопроса);
данными условия и требованиями задачи



IV. Составление плана
решения

1. Определить способ решения задачи.
2. Выделить содержание способа решения.
3. Определить последовательность действий



V. Осуществление плана
решения

1. Выполнение действий.
2. Запись решения задачи.
Запись решения задачи может осуществляться в виде последовательных конкретных действий (с пояснениями и без) и в виде выражения (развернутого или сокращенного)

Умение выполнять операции
со знаками и символами, которыми были обозначены элементы задачи и отношения между ними


VI. Проверка и оценка
решения задачи
1. Составление и решение задачи, обратной данной.
2. Установление рациональности способа:
выделение всех способов решения задачи;
сопоставление этих способов по количеству действий, по сложности вычислений;
выбор оптимального способа
1. Умение составлять задачу,
обратную данной, и на основании ее решения делать вывод о правильности решения исходной задачи.
2. Умение выбирать, сопоставлять и обосновывать способы решения.
3. Умение проводить анализ способов решения с точки зрения их рациональности и экономичности.
4. Умение выбирать обобщенные стратегии решения задачи

 Приложение № 2. Моделирование текстовых задач.




13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Приложение № 3.
Фрагмент урока.
Тема урока. Устные приемы сложения и вычитания в пределах 100. Закрепление.
Составление задачи по вспомогательной модели. На доске схема:

- Рассмотрите вспомогательную модель (схему) задачи и предметные
картинки к ней.
- Назовите «действующих лиц» задачи. (Утки, гуси, куры).
- Что можно делать с этими домашними птицами? (Разводить, ухаживать за ними.)
- Кто из героев мультфильма мог бы заниматься разведением птицы? (Матроскин.)
- Что изображает первый отрезок? (Количество уток.)
- Что известно о количестве уток? (Их 8.)
- Что изображает второй отрезок? (Количество гусей.)
- Известно ли количество гусей? (Нет.)
- Что известно об их числе? (Их на 2 меньше.)
- Что вы можете сказать о количестве кур в хозяйстве у Матроскина? (Их столько, сколько уток и гусей вместе.)
- Что требуется узнать в задаче? (Сколько кур в хозяйстве у Матроскина.)
- Сформулируйте условие задачи и вопрос.
(В хозяйстве у Матроскина 8 уток, гусей на 2 меньше, чем уток, а кур столько, сколько уток и гусей вместе. Сколько кур в хозяйстве у Матроскина?)
- Определите порядок записи решения задачи (устно).
- Запишите решение задачи выражением. 8 + (8 – 2) = 14 (к.)
- Повторите вопрос задачи. Запишите ответ. (Ответ: 14 кур.)
 Приложение № 4.
Фрагмент урока.
Учитель записывает на доске решение задачи по действиям с полным пояснением. Ученики по решению составляют задачу и иллюстрируют ее условие на схематическом чертеже.
4 + 6 = 10 (учеников) – посещают волейбольную и лыжную секции.
25 – 10 = 15 (учеников) – не посещают спортивные секции.
- О ком говорится в задаче? (Об учениках.)
- Какие спортивные секции посещают ученики? (Волейбольную и лыжную).
- Сколько учеников посещает волейбольную секцию? (4.)
- Сколько учеников посещают лыжную секцию? (6.)
- Составьте простую задачу по первому равенству. (Из класса 4 ученика посещают волейбольную секцию и 6 учеников – лыжную секцию. Сколько учеников посещают спортивные секции?)
- Составьте простую задачу по второму равенству. ( Из 25 учеников класса 10 учеников посещают спортивные секции. Сколько учеников не посещают спортивные секции?)
- Опираясь на решение задачи, сформулируйте требование (вопрос) задачи.
(Сколько учеников не посещают спортивные секции?)
- Сформулируйте текст составной задачи, опираясь на данное решение. (Из 25 учащихся класса 4 ученика посещают волейбольную секцию и 6 учеников – лыжную секцию. Сколько учеников не посещают спортивные секции?)

- Составьте схематический чертеж к условию задачи.



Приложение № 5. Фрагмент урока. Схема.
Тема урока. Решение задач.
Учащиеся читают задачу № 3 с. 65 (Математика – 2. ч.1./Моро М.И., Бантова М.А. и др.)
У мамы было 50 р. и 10 р. Она купила овощей на 30 р. Сколько денег осталось у мамы?
- О чем говорится в задаче?(О деньгах.)
- Что мы знаем о количестве денег, которые были у мамы? (Их было 50 р. и 10 р.)
- Как показать это на чертеже? (Начертим отрезки длиной 5 см и 1 см таким образом, чтобы конец первого отрезка являлся началом второго.)
- Что еще известно из условия задачи? (Что мама купили овощей на 30 рублей.)
- После покупки овощей денег у мамы стало больше или меньше? (Меньше.)
- Как показать это на чертеже? (Отметим скобкой часть отрезка в 3 см.)
- Слева или справа на чертеже вы отметите эти три сантиметра? (Возникает ситуация, в которой дети видят два способа разрешения ситуации.)

- Выполните два варианта чертежа.
- По каждому чертежу объясните, каким образом может мама потратить деньги. (1 способ. Если у мамы были купюры в 50 р. и 10 р., то она отдала купюру 50 р., а 10 р. остались неразменными. 2 способ. Нам не известно какими купюрами или монетами представлены эти 50 р. и 10 р. Поэтому мама потратила 30 р. из общей суммы, которая у нее была.)
- Составьте и запишите два способа решения этой задачи выражениями.








Приложение № 6.
Фрагмент урока.
Тема урока. Дроби.
- Прочитайте задачу.
За два дня турист прошел 5/8 пути. За первый день он прошел 3/8 пути. Какую часть пути прошел турист за второй день? Какую часть пути ему осталось пройти?
- О ком говориться в задаче? (О туристе.)
- Что известно о туристе? (За два дня он прошел 5/8 всего пути, причем за первый день он прошел 3/8 пути.)
- Что можем узнать, используя эти данные и как? (Можем узнать часть пути, которую турист прошел за второй день. 5/8 – 3/8 = 2/8 - прошел турист за второй день.)
- Можем узнать какую часть пути осталось пройти туристу? (Да. Нужно из всего пути вычесть ту часть, которую прошел турист за два дня.)
- Как выразим весь путь? (8/8)
- Запишите решение задачи по действиям с пояснениями.
1) 5/8 – 3/8 = 2/8 – прошел турист за второй день.
2) 8/8 – 5/8 = 3/8 – пути осталось пройти.
- Нарисуйте столько равных частей, из скольких состоит весь путь.
- Выделите путь, пройденный туристом за два дня.
- Выделите цветным карандашом ту часть пути, которую турист прошел за первый день.
- Сосчитайте, из скольких частей состоит путь, пройденный за второй день.
- Выделите оставшуюся часть пути. Сколько это частей?
- Сравните арифметический и графический методы решения. Сделайте вывод.
В ходе беседы составляется графическая модель, которая является способом проверки решения задачи.







Приложение № 7.
Фрагмент урока. Чертеж.
Тема урока. Метр. Закрепление.
Задача. «Когда шланг длиной 5 метров удлинили на несколько метров, то получился шланг длиной 8 метров. На сколько метров удлинили шланг?»
- Какой длины был шланг сначала? (5 метров.)
- Какой длины отрезок начертим? (5 сантиметров.)


- Что произошло со шлангом? (Увеличился на несколько метров.)
- Как изменится отрезок? (Увеличится на несколько сантиметров.)
- Какой длины стал шланг? (8 метров.)
- Какой длины станет наш отрезок? (8 сантиметров.)



- Отметим на чертеже, на сколько увеличился отрезок.


- Что нужно узнать в задаче? (На сколько метров удлинили шланг.)
- Как на модели отмечено искомое? (Скобкой и вопросительным знаком.)
- Какое действие нужно выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи?
- Запишите решение и ответ задачи.
 Приложение № 8.
Фрагмент урока. Построение блок-схемы.
Тема урока. Решение задач.
В саду собрали 26 корзин слив, груш на 6 корзин больше, чем слив, а яблок на 5 корзин больше, чем груш. Сколько корзин яблок собрали в саду?
- Что требуется найти в задаче? (Количество корзин с яблоками.)
- Начинаем построение блок-схемы с неизвестного.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
- Что нужно знать, чтобы найти количество корзин с яблоками? (Количество корзин с грушами.)
- Как связаны между собой яблоки и груши? (Яблок на 5 корзин больше, чем груш.)
- Как обозначим в модели количество груш? (Вопросительным знаком, т.к. оно не известно.)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Что нужно знать, чтобы ответить на следующий вопрос: Сколько было груш? (Количество слив.)
- Как связаны между собой груши и сливы? ( Груш больше, чем слив на 6 корзин.)
- Известно ли на количество слив? (Да. Их - 26 корзин.)
- Расставьте порядок действий в модели. Запишите решение задачи.
+


+









Приложение № 9.
Развитие мыслительных действий анализа и синтеза.


1. Найди закономерность и заполни пустой квадрат.



2. Найди закономерность, выбери нужный «конверт».


3. Ребусы.


(замкнутая) (число)




(круг) (длина)





(шар) (овал)





Приложение № 10.
Развитие мыслительных действий сравнения и обобщения.

1. Сделай рисунки одинаковыми.
а)

б)

в)
Рассмотри картинки:
а) цветок, шапка, машинка, чашка – все синего цвета;
б) медвежонок, пирамидка, заяц, кукла – игрушки;
в) флажок, шкаф, окно, лезвие – прямоугольной формы;
г) дерево, изба, скамейка, карандаш – всё из дерева.
Что общего у предметов каждой группы? Укажи их общий признак.

Вычеркни лишний предмет.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Дорисуй следующую фигуру.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



Приложение № 11.
Комплексные задания.
Логические задачи.
Одно яйцо может свариться за 4 минуты. Какое наименьшее количество минут потребуется, чтобы сварить 3 таких яйца?
Лимон дороже яблока в 3 раза. Что дороже – 15 яблок или 5 лимонов? Решение объяснить.
Как в комнате можно поставить 2 стула, чтобы у каждой из четырех ее стен стояло по одному стулу?
В соревнованиях по бегу Ваня, Гриша и Дима заняли первые три места. Какое место занял каждый из ребят, если Гриша занял не второе и не третье место, а Дима – не третье?
Как, пользуясь банками в 3л и 5л, из водопроводного крана набрать ровно 1л воды?
Имеются песочные часы на 3 минуты и 7 минут. Надо варить яйцо в кипящей воде ровно 4 минуты. Как это сделать с помощью этих часов?
Как по двум прямым линиям разрезать квадрат, чтобы из полученных частей можно было сложить два новых квадрата?
Один ученик измерил ширину классной комнаты и получил 6м 4дм, а другой, измеряя эту же длину, получил 64дм. Почему получились разные ответы?
Пирог прямоугольной формы двумя разрезами разделили на 4 части так, чтобы две из них были четырехугольной формы, а две – треугольной формы. Как это сделали? Выполни чертеж.
Крышка стола имеет четыре угла. Один из них отпилили. Сколько углов стало у крышки?
Врач прописал Кате три таблетки, указав, что каждую таблетку надо принимать через 20 минут. На какое время хватит этих таблеток?
Отца одного гражданина зовут Николай Петрович, а сына этого гражданина – Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?
Приложение 12
Типовые задачи
Построение числового эквивалента или взаимно-однозначного соответствия
(Ж. Пиаже, А. Шеминьска)
Цель: выявление сформированности логических действий установления взаимно-однозначного соответствия и сохранения дискретного множества.
Оцениваемые универсальные учебные действия: логические универсальные действия.
Возраст: 6,57 лет.
Метод оценивания: индивидуальная работа с ребенком.
Описание задания: 7 красных фишек (или подставочек для яиц) выстраивают в один ряд (на расстоянии 2 см друг от друга).
Вариант 1
Ребенка просят положить столько же (такое же количество, ровно столько) синих фишек (или подставочек для яиц), сколько красных не больше и не меньше. Ребенку позволяют свободно манипулировать с фишками, пока он не объявит, что закончил работу. Затем психолог спрашивает: «Что у тебя получилось? Здесь столько же синих фишек, сколько красных? Как ты это узнал? Ты мог бы это объяснить еще кому-нибудь? Почему ты думаешь, что фишек одинаковое количество?»
К следующему пункту приступают после того, как ребенок установит правильное взаимно-однозначное соответствие элементов в двух рядах. Если это ребенку не удается, психолог сам устанавливает фишки во взаимно-однозначном соответствии и спрашивает у испытуемого, поровну ли фишек в рядах. Можно в качестве исходного момента задачи использовать и неравное количество элементов, если на этом настаивает ребенок.
Вариант 2
Ребенка просят сдвинуть красные фишки (или подставочки для яиц) друг с другом так, чтобы между ними не было промежутков (если необходимо, психолог сам это делает). Затем ребенка спрашивают: «А теперь равное количество красных и синих фишек (подставочек для яиц)? Как ты это узнал? Ты мог бы это объяснить?» Если испытуемый говорит, что теперь не поровну, его спрашивают: «Что надо делать, чтобы снова стало поровну?» Если ребенок не отвечает, то психолог задает ему такой вопрос: «Нужно ли нам добавлять сюда несколько фишек (указывая на ряд, где, по мнению ребенка, фишек меньше)?» Или: «Может быть, мы должны убрать несколько фишек отсюда (указывая на ряд, где, по мнению ребенка, их больше)?»
Для того чтобы оценить уверенность ответов ребенка, психолог предлагает контраргумент в виде вымышленного диалога: «А знаешь, один мальчик мне сказал (далее повторяются слова испытуемого ребенка), а другой не согласился с ним и сказал» Если ребенок не меняет своего ответа, психолог может продолжить: «Этот мальчик сказал, что фишек одинаковое количество, потому что их не прибавляли и не убавляли. Но другой мальчик сказал мне, что здесь их больше, потому что этот ряд длиннее А ты как думаешь? Кто из них прав?» Если ребенок меняет свои первоначальные ответы, то несколько подпунктов задачи повторяются. (В этой и других задачах на сохранение количества используются одни и те же контраргументы, поэтому они специально не описываются.)
Критерии оценивания:
умение устанавливать взаимно-однозначное соответствие;
сохранение дискретного множества.
Уровни оценивания:
1. Отсутствует умение устанавливать взаимно-однозначное соответствие. Отсутствует сохранение дискретного множества (после изменения пространственного расположения фишек ребенок отказывается признать равенство множеств фишек различных цветов).
2. Сформировано умение устанавливать взаимно-однозначное соответствие. Нет сохранения дискретного множества.
3. Сформировано умение устанавливать взаимно-однозначное соответствие. Есть сохранение дискретного множества, основанное на принципе простой обратимости, компенсации или признании того, что мы ничего не прибавляли и не убавляли.


Методика «Кодирование»
(11-й субтест теста Д. Векслерав версии А. Ю. Панасюка)
Цель: выявление умения ребенка осуществлять кодирование с помощью символов.
Оцениваемые универсальные учебные действия: знаково-символические действия кодирование (замещение); регулятивное действие контроля.
Возраст: 6,57 лет.
Метод оценивания: индивидуальная или групповая работа с детьми.
Описание задания: ребенку предлагается в течение 2 минут осуществить кодирование, поставив в соответствие определенному изображению условный символ. Задание предполагает тренировочный этап (введение инструкции и совместную пробу с психологом). Далее предлагается продолжить выполнение задания, не допуская ошибок и как можно быстрее.
Критерии оценивания: количество допущенных при кодировании ошибок, число дополненных знаками объектов.
Уровни сформированности действия замещения:
1. Ребенок не понимает или плохо понимает инструкции. Выполняет задание правильно на тренировочном этапе и фактически сразу же прекращает или делает много ошибок на этапе самостоятельного выполнения. Умение кодировать не сформировано.
2. Ребенок адекватно выполняет задание кодирования, но допускает достаточно много ошибок (до 25% от выполненного объема) либо работает крайне медленно.
3. Сформированность действия кодирования (замещения). Ребенок быстро понимает инструкцию, действует адекватно. Количество ошибок незначительное.

Диагностика универсального действия общего приема решения задач
(по А.Р. Лурия, Л.С. Цветковой)

Цель: выявление сформированности общего приема решения задач.
Оцениваемые универсальные учебные действия: прием решения задач; логические действия.
Возраст: 6,510 лет.
Метод оценивания: индивидуальная или групповая работа детей.
Описание задания: все задачи (в зависимости от возраста учащихся) предлагаются для решения арифметическим (не алгебраическим) способом. Допускаются записи плана (хода) решения, вычислений, графический анализ условия. Учащийся должен рассказать, как он решал задачу, доказать, что полученный ответ правильный.
Критерии оценивания: умение выделять смысловые единицы текста и устанавливать отношения между ними, создавать схемы решения, выстраивать последовательность операций, соотносить результат решения с исходным условием задачи.
Уровни сформированности общего приема решения задач:
1. При анализе задачи выделяют не только существенные, но и несущественные смысловые единицы текста; создают неадекватные схемы решения; применяют стереотипные способы решения; не умеют соотносить результат решения с исходным условием задачи.
2. При анализе выделяют только существенные смысловые единицы текста; при создании схемы решения не учитывают все связи между данными условия и требованием; применяют стереотипные способы решения; испытывают трудности (допускают ошибки) в соотнесении результата решения с исходными данными задачи.
3. При анализе выделяют только существенные смысловые единицы текста; создают различные схемы решения; используют разные способы решения; обосновывают соответствие полученных результатов решения исходному условию задачи.


Набор задач с постепенно усложняющейся структурой.
Диагностика сформированности обобщенного способа решения задач.

(А.Р. Лурия и Л.С. Цветкова)
1. Наиболее элементарную группу составляют простые задачи, в которых условие однозначно определяет алгоритм решения, типа a + b = х или a – b = х. Например:
У Маши 5 яблок, a y Пети 4 яблока. Сколько яблок у них обоих?
Коля собрал 9 грибов, а Маша на 4 гриба меньше, чем Коля. Сколько грибов собрала Маша?
В мастерскую привезли 47 сосновых и липовых досок. Липовых было 5 досок. Сколько сосновых досок привезли в мастерскую?
2. Простые инвертированные задачи типа a – х = b или x – a = b, существенно отличающиеся от задач первой группы своей психологической структурой. Например:
У мальчика было 12 яблок; часть из них он отдал. У него осталось 8 яблок. Сколько яблок он отдал?
На дереве сидели птички. 3 птички улетели; осталось 5 птичек. Сколько птичек сидело на дереве?
3. Составные задачи, в которых само условие не определяет возможный ход решения, типа a + (a + b) = x или a + (a – b) = x. Например:
У Маши 5 яблок, a y Кати на 2 яблока больше (меньше). Сколько яблок у них обеих?
У Пети 3 яблока, a y Васи в 2 раза больше. Сколько яблок у них обоих?
4. Сложные составные задачи, алгоритм решения которых распадается на значительное число последовательных операций, каждая из которых вытекает из предыдущей, типа a +
+ (a + b) + [(a + b) – c] = x. Например:
Сын собрал 15 грибов. Отец собрал на 25 грибов больше, чем сын. Мать собрала на 5 грибов меньше отца. Сколько всего грибов собрала вся семья?
У фермера было 20 га земли. С каждого гектара он снял по 3 т зерна. 1/2 зерна он продал. Сколько зерна осталось у фермера?
5. Сложные задачи с инвертированным ходом действий, одна из основных частей которых остается неизвестной и должна быть получена путем нескольких операций. Например:
Сыну 5 лет. Через 15 лет отец будет в 3 раза старше сына. Сколько лет отцу сейчас?
Одна ручка и один букварь стоят 37 рублей. Две ручки и один букварь стоят 49 рублей. Сколько стоят отдельно одна ручка и один букварь?
Три мальчика поймали 11 кг рыбы. Улов первого и второго был 7 кг; улов второго и третьего 6 кг. Сколько рыбы поймал каждый из мальчиков?
Отцу 49 лет. Он старше сына на 20 лет. Сколько лет им обоим вместе?
6. Задачи на прямое (обратное) приведение к единице, на разность, на части, на пропорциональное деление. Например:
15 фломастеров стоят 30 рублей. Купили 8 таких фломастеров. Сколько денег заплатили?
Купили кисточек на 40 рублей. Сколько кисточек купили, если известно, что 3 такие кисточки стоят 24 рубля?
На двух полках стояло 18 книг. На одной из них было на 2 книги больше. Сколько книг было на каждой полке?
Двое мальчиков хотели купить книгу. Одному не хватало для ее покупки 7 рублей, другому не хватало 5 рублей. Они сложили свои деньги, но им все равно не хватило 3 рублей. Сколько стоит книга?
По двору бегали куры и кролики. Сколько было кур, если известно, что кроликов было на 6 больше, а у всех вместе было 66 лап?
Существенное место в исследовании особенностей развития интеллектуальной деятельности имеет анализ того, как учащийся приступает к решению задачи и в каком виде строится у него ориентировочная основа деятельности. Необходимо обратить внимание на то, как ученик составляет план или общую схему решения задачи, как составление предварительного плана относится к дальнейшему ходу ее решения. Кроме того, важным является анализ осознания проделанного пути и коррекция допущенных ошибок, а также фиксация обучающей помощи при затруднениях во время выполнения уроков учащегося и анализ того, как он пользуется помощью, насколько продуктивно взаимодействует со взрослым.


Методика «Нахождение схем к задачам»
(по А.Н. Рябинкиной)
Цель: определение умения ученика выделять тип задачи и способ ее решения.
Оцениваемые универсальные учебные действия: моделирование, познавательные логические и знаково-символические действия.
Возраст: 79 лет.
Метод оценивания: фронтальный опрос или индивидуальная работа с детьми.
Описание задания: учащемуся предлагается найти соответствующую схему (рис. 4, 5) к каждой задаче. В схемах числа обозначены буквами. Предлагаются следующие задачи:
1. Миша сделал 6 флажков, а Коля на 3 флажка больше. Сколько флажков сделал Коля?
2. На одной полке 4 книги, а на другой на 7 книг больше. Сколько книг на двух полках?
3. На одной остановке из автобуса вышли 5 человек, а на другой вышли 4 человека. Сколько человек вышли из автобуса на двух остановках?
4. На велогонке стартовали 10 спортсменов. Во время соревнования со старта сошли 3 спортсмена. Сколько велосипедистов пришли к финишу?
5. В первом альбоме 12 марок, во втором 8 марок. Сколько марок в двух альбомах? 6. Маша нашла 7 лисичек, а Таня на 3 лисички больше. Сколько грибов нашла Таня?
7. У зайчика было 11 морковок. Он съел 5 морковок утром. Сколько морковок осталось у зайчика на обед?
8. На первой клумбе росло 5 тюльпанов, на второй на 4 тюльпана больше, чем на первой. Сколько тюльпанов росло на двух клумбах?
9. У Лены 15 тетрадей. Она отдала 3 тетради брату, и у них стало тетрадей поровну. Сколько тетрадей было у брата?
10. В первом гараже было 8 машин. Когда из него во второй гараж переехали 2 машины, в гаражах стало машин поровну. Сколько машин было во втором гараже?
Критерии оценивания: умение выделять структуру задачи смысловые единицы текста и отношения между ними; находить способ решения; соотносить элементы схем с компонентами задач смысловыми единицами текста; проводить логический и количественный анализ схемы.
Уровни сформированности:
1. Не умеют выделять структуру задачи; не идентифицируют схему, соответствующую данной задаче.
2. Выделяют смысловые единицы текста задачи, но находят в данных схемах их части, соответствующие смысловым единицам.
3. Выделяют смысловые единицы текста задачи, отношения между ними и находят среди данных схем соответствующую структуре задачи.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белошистая А.Н. Методический семинар: вопросы обучения решению задач. Журнал «Начальная школа. Плюс до и после», № 11 – 2002 г., № 1, 3, 4, 7, 11 – 2003 г.

2. Возрастная и педагогическая психология: Учебник для педагогических вузов / В.В. Давыдов, Т.В. Драгунова и др.; Под редакцией А.В. Петровского. – М.: Просвещение, 1979. – 288с.: ил.

3. Волков Б.С. Психология младшего школьника. – М.: Педагогическое общество России, 2002. – 128с.

4. Давыдов В.В. “Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического и экспериментального психологического исследования” – М: Педагогика, 1986 г. - 240ст.
5. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе. От действия к мысли: пособие для учителя/[А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и. др. ]; под ред. А.Г. Асмолова – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 152с.: ил.

6. Оценка достижения планируемых результатов в начальной школе. Система заданий. В 2 ч. Ч. 1. / [М.Ю. Демидова, С.В. Иванов, О.А. Карабанова и др.]; под ред. Г.С. Ковалевой, О.Б. Логиновой. – 2-е изд. М.: Просвещение, 2010. – 215с. – (Стандарты второго поколения).

7. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа /[сост. Е.С. Савинов]. – 2-е перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 204с. – (Стандарты второго поколения).

8. Программы по учебным предметам. Базисный план внеурочной деятельности: 1 – 4 кл: в 2 ч./ Сост. Р.Г. Чуракова – М.: Академкнига/Учебник, 2011. – Ч. 1: 240 с. (проект «Перспективная начальная школа»)

9. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. – М.: Просвещение, 1988. – 175с.

10. Тушинская Н.Е. Как научить детей моделированию. Журнал «Начальная школа. Плюс до и после», № 5,6 – 2003 г.

11. Царева С. Е. Виды работы с задачами на уроке математики // Начальная школа. - 1990. - N 10. - С. 37.

12. Царева С. Е. Один из способов проверки решения задачи // Начальная школа. - 1988. - N 2. - С. 52.









13PAGE 15


13PAGE 14515



Знаково-символическая модель


Словесная модель


Высказыва
тельная модель


Вспомогательная модель

Высказывательная модель

Математическая модель

Математическая модель

Схематизированная модель

Высказывательная модель

Высказывательная модель

Математическая модель

Вспомогательная модель

Высказывательная модель

Вспомогательная модель

Математическая модель

Моделирование текстовых задач

Моделирование текстовых задач

Вспомогательная модель:
- форма фиксации анализа текстовой
задачи;
- средство поиска плана решения задачи.

Математическая модель:
Описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и соотношений.

Словесная модель:
описание количественной стороны каких-либо явлений, событий на естественном языке с требованием нахождения неизвестного значения некоторой величины.

Высказывательная модель:
система взаимосвязанных
утверждений и требований.

Схематизированные

Знаковые:
- краткая
запись;
- таблица.

Арифметический
метод

Алгебраический метод

Вещественные:
- действия с
предметами;
- инсценирова-
ние;
- представление

Графические:
- рисунок;
- чертеж;
- схема;
- блок-схема.

выражение

Запись по действиям:
- с пояснением;
- без пояснения;
- с записью
вопросов.


Уравнение

Система уравнений

Утвердительная форма

Вопросительная форма

Утверждения

Требования

?

5

?

?

26

6

?

5

?



C:\Users\User\моя работа\Тихоненко А_ В_ Моделирование – один из методических приемов обучения решению текстовых задач в начальной школе.files\2_008_1.jpgC:\Users\User\моя работа\Тихоненко А_ В_ Моделирование – один из методических приемов обучения решению текстовых задач в начальной школе.files\2_008_2.jpg