Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока

Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока
По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, но учащиеся более или менее успешно овладевают методами решения задач данного типа. Такие типы задач часто встречаются в олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.
К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:
1) содержат большое число элементов – резисторов или конденсаторов;
2) симметричны;
3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.
В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.
Метод эквивалентных схем
Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.
Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.
Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.
Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.
Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.
З а д а ч а №1

Рассчитать сопротивление между точками А и В данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и их сопротивления равны r.
Решение:
В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:
RАВ=RАС+RСД=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение:
В точках F и F` потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB; F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны между собой и равны R1:
1/R1=1/2r+1/r=3/2r, отсюда R1=2/3*r
С учетом этого получается новая эквивалентная схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи RАВ равно:
1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r, тогда RАВ=(7/6)*r.

З а д а ч а № 3.

Решение:
247654254500Точки С и Д имеют равные потенциалы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:
Искомое сопротивление RАВ равно:
1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r, тогда RАВ=r/2.
З а д а ч а № 4.

Решение:
Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2. Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R1-равно сопротивлению на участке 2-В, R3 и равно: R1=R3=r/3
Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.
Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно: RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

Задача №5

Решение:
Заменим общий узел О тремя узлами с равными потенциалами О, О1, О2. Получим эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:
R1=(3/2)*r.
Сопротивление на участке A`B`C`D`:
R2= (8/3)*r.
Сопротивление на участке ACВ: R3 = 2r.
Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи RAB равно: RAB= (8/10)*r.

Задача №6.

Решение:
“Разделим” узел О на два эквипотенциальных угла О1 и О2. Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R1 равно: R1 = 3r.
Тогда сопротивление всей цепи будет равно: RAB = (3/2)*r.

З а д а ч а №7

Решение:
Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные – соединимих в другой узел II. Эквивалентная схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно сопротивлению на участке B- II и равно: RI = r/2.
Сопротивление участка I-5-6- II равно: RII = 2r.
Cопротивление участка I- II равно: RIII = r/2.
Получаем окончательную эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи RAB=(7/12)*r.

Обучение решению задач по расчету электрических цепей способом эквипотенциальных узлов
Задача – это проблема, для разрешения которой ученику потребуются логические рассуждения и выводы. Строящиеся на основе законов и методов физики. Таким образом, с помощью задач происходит активизация целенаправленного мышления учащихся.
В то же время. Теоретические знания можно считать усвоенными только тогда, когда они удачно применяются на практике. Задачи по физике описывают часто встречающиеся в жизни и на производстве проблемы, которые могут быть решены с помощью законов физики и, если ученик успешно решает задачи, то можно сказать, что он хорошо знает физику.
Для того, чтобы ученики успешно решали задачи, недостаточно иметь набор методов и способов решения задач, необходимо еще специально учить школьников применению этих способов.
Рассмотрим план решения задач по расчету электрических цепей постоянного тока методом эквипотенциальных узлов.
Чтение условия.
Краткая запись условия.
Перевод в единицы СИ.
Анализ схемы:
установить, является ли схема симметричной;
установить точки равного потенциала;
выбрать, что целесообразнее сделать – соединить точки равных потенциалов или же, наоборот, разделить одну точку на несколько точек равных потенциалов;
начертить эквивалентную схему;
найти участки только с последовательным или только с параллельным соединением и рассчитать общее сопротивление на каждом участке по законам последовательного и параллельного соединения;
начертить эквивалентную схему, заменяя участки соответствующими им расчетными сопротивлениями;
пункты 5 и 6 повторять до тех пор, пока не останется одно сопротивление, величина которого и будет решением задачи.
Анализ реальности ответа.

Подробнее об анализе схемы
а) установить, является ли схема симметричной.
Определение. Схема симметрична, если одна ее половина является зеркальным отражением другой. Причем симметрия должна быть не только геометрической, но должны быть симметричны и численные значения сопротивлений или конденсаторов.
Примеры:
1)
-3810-381000
Схема симметричная, так как ветви АСВ и АДВ симметричны геометрически и отношение сопротивления на одном участке АС: АД=1:1 такое же, как и на другом участке СД: ДВ=1:1.
2)
-228609398000Схема симметричная, так как отношение сопротивлений на участке АС: АД=1:1 такое же, как и на другом участке СВ: ДВ=3:3=1:1.
3)

Схема не симметрична, так как отношения сопротивлений численно не симметричны -1:2 и 1:1.
б) установить точки равных потенциалов.
Пример:

Из соображений симметрии делаем вывод, что в симметричных точках потенциалы равны. В данном случае симметричными точками являются точки С и Д. Таким образом, точки С и Д – эквипотенциальные точки.
в) выбрать, что целесообразно сделать – соединить точки равных потенциалов или же, наоборот, разделить одну точку на несколько точек равных потенциалов.
Мы видим в этом примере, что между точками равных потенциалов С и Д включено сопротивление, по которому ток не будет течь. Следовательно, мы можем отбросить это сопротивление, а точки С и Д соединить в один узел.
г) начертить эквивалентную схему.
Чертим эквивалентную схему. При этом получаем схему с соединенными в одну точку точками С и Д.

д) найти участки только с последовательным или только с параллельным соединением и рассчитать общее сопротивление на каждом таком участке по законам последовательного и параллельного соединения.
Из полученной эквивалентной схемы видно, что на участке АС мы имеем два параллельно соединенных резистора. Их общее сопротивление находится по закону параллельного соединения:
1/ Rобщ=1/R1+1/R2+1/R3+…
Таким образом 1/RAC=1/r+1/r=2/r, откуда RAC= r/2.
На участке СВ картина аналогичная:
1/RCB= 1/r+1/r =2/r, откуда RCB=r/2.
е) начертить эквивалентную схему, заменяя участки соответствующими им расчетными сопротивлениями.
Чертим эквивалентную схему подставляя в нее рассчитанные сопротивления участков RAC и RCB:

ж) пункты д) и е) повторять до тех пор, пока останется одно сопротивление, величина которого и будет решением задачи.
Повторяем пункт д): на участке АВ имеем два последовательно соединенных сопротивления. Их общее сопротивление находим по закону последовательного соединения:
Rобщ= R1+R2+R3+… то есть, RAB=RAC+RCB = r/2+r/2 =2r/2 = r.
Повторяем пункт е): чертим эквивалентную схему:

Мы получили схему с одним сопротивлением, величина которого равна сопротивлению исходной схемы. Таким образом, мы получили ответ RAB = r.
Литература
Балаш. В.А. задачи по физике и методы их решения. - М: Просвещение, 1983.
Лукашик В.И. Физическая олимпиада. - М: Просвещение, 2007.
Усова А.В., Бобров А.А. Формирование учебных умений и навыков учащихся на уроках физики. - М: Просвещение,1988.
Хацет А. Методы расчета эквивалентных схем //Квант.
Чертов А. Г. Задачник по физике. – М.: Высшая школа, 1983.
Зиятдинов Ш.Г., Соловьянюк С.Г. (методические рекомендации) г. Бирск, 1994.
Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические материалы. Москва, “Дрофа”, 2004.