Научная работа на тему Cверхпроводимость и магнетизм

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНИ
ДЗ „Луганский национальный университет
имени Тараса Шевченко”
ДИСТАНЦИОННЫЙ КУРС





Cверхпроводимость и магнетизм






Выполнила:
студентка магистратуры
специальности «Физика та астрономия»
дневной формы обучения
Максютенко Ирина



Луганск 2016

Основные экспериментальные факты
Камерлинг-Оннес наблюдал явление, в котором электрическое сопротивление в различных металлов, таких, как ртуть, свинец и олово, полностью резко исчезало при некоторой кинетической температуре Тс, своей для каждого металла. Полное исчезновение сопротивления проявляется наиболее наглядно в экспериментах с незатухающими токами в сверхпроводящих кольцах (рис. 1.1). Оказалось, что такие токи протекают без измеримого уменьшения в течение года после их начального возбуждения. С использованием для обнаружения уменьшения магнитного поля, образованного циркулирующим током, ядерного резонанса была установлена нижняя граница характерного времени спадания тока. Она показалась равной 105 годам. Фактически же при некоторых обстоятельствах можно ожидать абсолютного отсутствия изменений тока и магнитного поля за время не менее 1010^10 лет. Такая идеальная проводимость традиционно считается первым характерным свойством сверхпроводимости. Это свойство является также необходимым условием для большинства возможных применений сверхпроводимости, например в сильноточных линиях передачи или в мощных магнитах.

Другим характерным свойством сверхпроводимости является идеальный диамагнетизм, открытые 1933 году Мейсснером и Оксенфельдом. Они обнаружили не только отсутствия проникновения магнитного поля в сверхпроводник (рис. 1.2), что, как могло оказаться, объявляется идеальной проводимостью, но и «выталкивание» поля и из первоначального нормального образца (при условии его высокого качества), когда он охлаждается ниже температуры Тс. Это явление, конечно, не могло быть объяснено идеальной проводимостью, которая лишь удерживала бы начальный поток внутри образца. Существование обратимого эффекта Мейсснера означает, что сверхпроводимость должна разрушаться критическим магнитным полем Нс, которая термодинамически связано с разностью свободных энергий нормального и сверхпроводящего состояний при нулевом поле или с так называемой энергией конденсации сверхпроводящего состояния. Точнее, Нс определяется приравниванием энергии единичного объёма Нс 2/8 связанной с выталкиванием поля, к энергии конденсации. Таким образом,


Где fn и fs- свободные энергии Гельмгольца на единицу объёма для двух фаз. Эмперически было установлено, что зависимость Нс(Т) достаточно хорошо аппроксимируется параболическим законом (рис 1.№):



В то время как переход при Тс для нулевого поля является фазовым переходом второго рода фазовый переход в присутствии поля представляет собой переход первого рода при котором происходить изменение термодинамического состояния системы и связанной с этим скрытой теплоты. В действительности диамагнетизм идеален только для массивных образцов, так как поле всегда проникает на конечную глубину
·, равную обычно приблизительно 500 Е.

Уравнение Лондонов.
Указанные два основных электродинамических свойства, которые делают сверхпроводимость таким уникальным явлением были удачно описаны 1935 году братьями Ф. и Х. Лондовами. С помощью двух уравнений определяющих электрическое и магнитное поля:



Является феноменологическим параметром. Предполагалось, что «удельная плотность сверхпроводящих электронов» nc изменяется непрерывно от нуля при Тс до предельного значения порядка n при Т<<Тс, n-плотность электронов проводимости. В формуле (1.4) мы использовали удобное обозначение магнитной индукции микроскопическом масштабе h, оставив букву И для обозначения усредненного значения макроскопического поля. Для симметрии обозначений следовало бы использовать таким же образом букву е для обозначения макроскопического локального поля Е, однако будем делать так только в некоторых необходимых случаях *, для того чтобы не смешивать это обозначение с зарядом электрона е.
Первое из этих уравнений описывает идеальную проводимость так как любое электрическое поле ускоряет сверхпроводящие электроны , а не просто поддерживае6т их скорость при наличии сопротивления , как это происходит в нормальном проводнике, второе уравнение Лондонов при соединении уравнений Максвелла


Это означает, что магнитное поле экспоненциально уменьшает внутри образа с глубиной проникновения
·L т.е уравнение (1.7) описывает эффект Мейсснера. Таким образом, параметр
·L в формуле (1.5) может быть определен экспериментально как глубина проникновения поля.
Уравнение(1.3) можно просто, хотя и не строго, вывести, рассматривая воздействие однородного электрического поля на идеальный нормальный проводник, т.е. на газ свободных электронов со средней длиной свободного пробега l=
·. В этом случае d(mv)/dt=eE и J=nev, откуда следует формула(1.3). Этот вывод, однако, несправедлив для полей, пространственное неоднородных в области проникновения, для которых пригодны уравнения ( 1.3) (1.4). Недостаток вывода заключатся в том, что воздействия электрических полей на электронный газ является нелокальным, так что ток в точке определяется электрическим полем усредненных по области с радиусом ~l около этой точки. Следовательно, только поля, однородные в области указанного размера оказывает такое полное воздействие; в частности, проводимость становиться бесконечной при l -
· только при полях, заполняющих все пространство. Так как здесь мы имеем дело с границей между областью с наличием поля и без него, то становится ясно, что даже при l=
· эффективное проводимость остается конечной. Для случая переменного тока это хорошо знакомый предельно аномальный скин-эффект, при котором существует конечное поверхное сопротивление даже при l-
·. Если вместо этого рассматривать неустановившийся случай, когда магнитное поле внезапно прикладывается к нормальному металлу с l=
·, то поле будет проникать на глубину, которая увеличивается со временем по закону t^1/3. Таким образом, нормальная проводимость даже с бесконечной средней длиной свободного пробега электронов не может объяснить непрерывного выталкивания потока. Более того, невозможно объяснить существование незатухающих токов в кольце, если только не предполагать, что рассеяние электронов на поверхности является полностью зеркальным.
Намного более глубоким является квантование обоснование уравнений Лондонов, данной самим Ф. Лондонов и придающие особое значение использованию вектора- потенциала А. Замечая, что каноническим момент р=mv+eA/c, и считая, что в отсутствии приложенного поле основное состояние должно обладать( как следует из теоремы * Блоха) нулевым общем моментом получаем выражение для локальной средней скорости в присутствии поля

Это выражение должно быть справедливо, если постулировать, что по некоторой причине волновая функция сверхпроводящих электронов является «жесткое» и сохраняет ту форму, которую она имеет для основного состояния, так что

=0. Обозначая удельную плотность электронов, участвующих в этом жестоком основном состоянии, через ns, получаем

Продифференцировав по времени обе части равенства, придем к уравнению (1.3), а взят rot, получим равенство (1.4). Таким образом, формула (1.8) содержит оба уравнение Лондонов в компактной и удобной форме. Соотношение (1.8), очевидно, не является градиентно-инвариантным, поэтому оно будет видно только при специальном выборе калибровки. Эта калибровка, известная как лондовская, производится так, чтобы выполнялись условие: div A=0 (div J=0); нормальная компонента А на поверхности должна быть связана со сверхтоком через поверхность соотношением (1.8) и А-0 внутри массивных образцов.
Приведенные выше рассуждения Лондона оставляют открытым вопрос о действительном значении ns, но естественный верхний предел для ns равен полной плотности электронов проводимости n. Если ввести этот предел в формулу (1.5), получим

Выбранное обозначение указывает, что выражение (1.9) является предельным значение для
· при Т=0, так как ожидается, что ns должно плавно падать до 0 при Т-Тс. Тщательные измерения глубины проникновения для нормальных и сверхпроводящих образцов, выполненные на радиочастотах, показали, что в случае сверхпроводников глубина проникновения
· всегда больше, чем
·L (0), даже при экстраполяции данных к Т=0. Эту избыточную глубину проникновения можно качественно объяснить в рамках теории Лондона как показатель не полной жесткости волновой функции, так что ns< n; количественное же объяснение требует введения такого дополнительного понятия, как длина когерентности (.


Глубина проникновения.
Вектор-потенциал был введен для упрощения уравнения Лондонов.


Заменив их одним уравнением

Которое затем было обобщено в нелокальное соотношение типа БШК-Пиппарда. Однако, как хорошо известно/ вектор-потенциал определяется не однозначно, а с точностью до градиента произвольной функции. Иными словами, если перейти от A(r) к A(( r)=A( r)+(x( r), то магнитное поле h=rot(A) не измениться, так как ротор от градиента всегда равен нулю. Это не изменит выражение (3.2) для тока. Таким образом, если мы собираемся использовать такие выражения, как (3.2), которое заведомо не инвариантно по отношению к калибровке Ф, мы, очевидно, должны выбрать только одну определенную калибровку вектор-потенциал.
Если оставаться для простоты в рамках лондоновской аппроксимации, требование непрерывно тока (divJs=0) означает, что при любой удовлетворительной калибровке

Так как J пропорционален А. Это ограничивает возможные изменения калибровки А только теми, которые даются функциями x( r), для которых ((x=(2 =0, т.е. x( r) должна удовлетворять уравнение Лапласа. Кроме того, условие непрерывности тока на границе определяет нормальную компоненту А на поверхности, и, следовательно, производная функция х по нормали должна обращаться на поверхности в нуль. Единственное решение этой краевой задачи есть х=const, для которой (x=0, так что выражение (3.3) и граничное условие определяют А единственным образом. Такая калибровка векторного потенциала называется лондоновской. Полезно отметить, что в этой калибровке А обращается в нуль внутри массивного сверхпроводника, где нет никаких токов.
В рамках нелокальной электродинамике справедливы те же самые качественные рассуждения, хотя математические детали здесь менее четки. Однако в простейшем случае плоской поверхности в параллельном магнитном поле будет ясно, что только выбор вектора А параллельным поверхности, но перпендикулярный к h и обращающимся в нуль в глубине сверхпроводника будет удовлетворять приведенным соображениям и граничным условиям.
В случае тонкого сверхпроводящего образца требования равенства нулю вектор-потенциала А внутри образца должно быть заменено на другое, зависящее от конкретных условий. Например, если одно и то же поле приложено параллельно к обеим сторонам тонкой плоской пластины, симметрия требует, чтобы А обращался в нуль в середине пластины. В менее симметричных ситуациях для определения вида А можно использовать вариационное исчисление, исходя из минимума энергии. Вместо этого можно преобразовать теорию к виду, инвариантному по отношению к калибровке вектор-потенциала. Дело в том, что величина Js/ns ==

/m-eA/mc инвареатна по отношению к калибровке; следовательно, изменение кали бровки для А долино сопровождаться компенсирующим изменением

. Наш подход сейчас заключается в нахождении такой частной калибровки, которая соответствует равенству

=0, т.е. волновой функции, сформированной парами с нулевым импульсами, даже в присутствии А. В случае простой геометрии такой выбор обычно является наиболее простым, но в дальнейшем встретятся, для которых могут быть указаны и другие виды калибровки.
Прежде чем перейти к получению точного решения для глубины проникновения исходя из нелокальной электродинамики, проведем сначала элементарное рассуждение, которое позволит получить оценку результата для «пиппардовских сверхпроводников»


Таким образом, когда не локальность важна, т.е. когда (0>(L, действительная глубина проникновения будет превышать (L на множитель ((0>(L)1./3.Конечно, если (0<(L, приведенные рассуждения неприменимы, рассуждения применимы, так как отклик локален, и (((L.
Нельзя ожидать одинаково хорошей применимости ко всем материалам известной эмпирической аппроксимации.

Удобным способом для получения точного решения является применение фурье-анализа к J и А и использование равенства для получения согласованного решения.
Рассмотрим пример случай, в котором предполагается, что электроны зеркально отражаться от поверхности. Если ввести лист тока

То это приводит к скачкообразному изменению hy на 2В0. Теперь, когда введена сверхпроводящая среда, ее диамагнитные токи будут экранировать эти поля на глубине (.
Заменяя поверхность токовым листом в бесконечной среде, можно перейти к использованию функции отклики К(q),


Интегрируя по всем фурье-компонентам:





Соотношение (3.8) позволяет рассчитать (зерк для любой модели сверхпроводника, определяющий К(q),

Для того, чтобы избежать численных расчётов, обратим внимание на два придельных случая, в которых могут быть получены аналитические результаты.
При локальной аппроксимации К(q) заменяться для всех q на константу К(0),



Это приближение хорошо оправдываться в грязных сверхпроводниках (при l<((T)), и даже в чистых сверхпроводниках при значениях Т, очень близких к Тс.
Другой аппроксимацией является предельно аномальный случай, в котором К(q) для всех значений q заменяется на свою асимптотическую ( при q-
·) форму К(q)~1/ q.


Если рассеяние на поверхности считать не зеркальным, а диффузным, то получаться выражения, которые лишь немного отличаются от приведенных выше формул. Записывая это условие на языке преобразования Фурье, вместо выражения (3.8) получаем:

Несмотря на внешнее отличие этого выражения от (3.8), из него следует тот же самый результат (3.12)для локальной аппроксимации, а для (
· получаем выражение отличающие от (3.13) только отсутствует множитель 8/9. Таким образом, эти два предельно различных предложения относительно поверхностного рассеяния приводят к очень близким результатам. Это являются удачным обстоятельством, так как реальный характер рассеяния различен, и по всей вероятности, в действительности не выполняется ни один из этих предельных случаев.
Таким образом для чистых металлов, чтобы получить правильные количественные результаты почти всегда необходимо прибегать к численному интегрированию выражений (3.8) или (3.14). Для сплавов очень хорошим приближением часто локальный предел.








13PAGE 15


13PAGE 141015




°
·15