МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению практических работ по дисциплине «Прикладная математика» с вариантами заданий для студентов 2 курса специальности 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте)
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный университет путей сообщения»
Пермский институт железнодорожного транспорта
-филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Уральский государственный университет путей сообщения»
(ПИЖТ УрГУПС)
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению практических работ
по дисциплине «Прикладная математика»
с вариантами заданий
для студентов 2 курса
специальности 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте)
2016 г.
Методические рекомендации по выполнению практических работ составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте).
Организация-разработчик: ФГБОУ ВПО «Уральский государственный университет путей сообщения» Пермский институт железнодорожного транспорта - филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения (ПИЖТ УрГУПС).
Разработчик:
_________________ В.И.Долгинцева, преподаватель математики высшей категории
подпись И.О. Фамилия должность, ученая степень, звание, квалификационная категория
Рабочая программа рассмотрена цикловой комиссией естественнонаучных и математических дисциплин (протокол № ____ от ____________2015г.)
Председатель цикловой комиссии ______________________ В.Ю.Давыдова
Методист ______________________________________ О.В.Лиханова
Руководитель СП СПО ________________________________ М.И.Ярушина
Заместитель директора по учебно-
воспитательной работе _________________________ Н.Г.Редозубова
2
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА………………………………………….3
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПЛНЕНИЮ И ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ…………………………4
3. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ………………………………..5
4. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (№5 и №6)…………………………………………………………………………...7
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………32
ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………..33
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические рекомендации по выполнению практических работ составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 27.02.03 Автоматика и телемеханика на транспорте (на железнодорожном транспорте).
Цели практических занятий:
помочь студентам систематизировать, закрепить и углубить знания теоретического характера;
научить студентов приемам решения практических задач, способствовать овладению навыками и умениями выполнения расчетов, графических и других видов заданий;
научить их пользоваться справочной литературой и таблицами;
формировать умение учиться самостоятельно, т. е. овладевать методами, способами и приемами самообучения, саморазвития и самоконтроля.
В результате проведения практических занятий по дисциплине «Прикладная математика» студент должен:
знать:
- основные понятия о математическом синтезе и анализе;
- основные понятия дискретной математики;
- основные понятия теории вероятности и математической статистики
уметь:
- применять математические методы для решения профессиональных задач;
- решать прикладные электротехнические задачи методом комплексных чисел.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПЛНЕНИЮ И ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Методические рекомендации разработаны в соответствии с Типовым положением об образовательном учреждении среднего профессионального образования (среднем специальном учебном заведении), утвержденным постановлением Правительства Российской Федерации от 18 июля 2008 г. № 543 и рекомендациями по планированию, организации и проведению лабораторных работ и практических занятий в образовательных учреждениях среднего профессионального образования (письмо Минобразования РФ от 5 апреля 1999 г. N 16-52-58ин/16-13). К основным видам учебных занятий наряду с другими отнесены лабораторные работы и практические занятия, направленные на экспериментальное подтверждение теоретических положений и формирование учебных и профессиональных практических умений, они составляют важную часть теоретической и профессиональной практической подготовки.
Практическая работа как вид учебного занятия должна проводиться в специально оборудованных учебных кабинетах. Продолжительность - не менее одного академического часа. Необходимыми структурными элементами практического занятия, помимо самостоятельной деятельности студентов, являются инструктаж, проводимый преподавателем, а также анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированными умениями. Выполнению практических занятий предшествует проверка знаний студентов - их теоретической готовности к выполнению задания. Практические занятия носят репродуктивный характер. Работы, носящие репродуктивный характер, отличаются тем, что при их проведении студенты пользуются подробными инструкциями, в которых указаны: цель работы, пояснения (теория, основные характеристики), оборудование, аппаратура, материалы и их характеристики, порядок выполнения работы, таблицы, выводы (без формулировки), контрольные вопросы, учебная и специальная литература.Формы организации студентов на практических занятиях - индивидуальная. При индивидуальной форме организации занятий каждый студент выполняет индивидуальное задание (задания по вариантам). Структура проведения сводится к следующему: - сообщение темы и цели работы; - актуализация теоретических знаний, которые необходимы для практической деятельности; - разработка алгоритма проведения практической деятельности; - непосредственное проведение практических работ; - оформление работы в тетрадях для практических работ;- обобщение и систематизация полученных результатов. Оценки за выполнение практических работ выставляются по пятибалльной системе и учитываются как показатели текущей успеваемости студентов.
3. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
№ темы Содержание практического занятия Количество часов
1.1 Практическая работа №1 «Операции над матрицами и определителями». 4
1.2 Практическая работа №2
«Решение систем уравнений матричным способом, методом Крамера и методом Гаусса». 4
2.1 Практическая работа № 3
«Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной и обратно». 4
2.2 Практическая работа № 4 «Действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах». 4
3.1 Практическая работа № 5
Вычисления пределов с помощью замечательных пределов и раскрытие неопределенностей.
Решение задач на определение производной.
Решение задач на вычисление интегралов. 4
3.2 Практическая работа № 6
Построение и преобразования синусоидальных функций.
Построение графика функции. 4
3.3 Практическая работа № 7
Исследование функции на экстремум и точку перегиба.
Исследование графика функции. 4
4.1 Практическая работа №8
«Перевод целых, дробных и смешанных чисел из одной системы счисления в другую». 4
4.2 Практическая работа №9
«Представление положительных и отрицательных двоичных чисел в прямом, обратном, дополнительном и модифицированном кодах». 4
4.3 Практическая работа №10
«Выполнение арифметических операций с многоразрядными двоичными числами, представленными в различных кодах. Выполнение арифметических действий (сложение и вычитание) с десятичными числами, представленных в двоично-десятичной системе счисления». 4
4.5 Практическая работа №11
«Преобразование нормальных функций в совершенные (ДНФ и КНФ в СДНФ и СКНФ) и совершенных функций в нормальные (СДНФ и СКНФ в ДНФ и КНФ)». 4
5.1 Практическая работа №12 «Составление закона распределения дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и среднего квадратичного отклонения». 4
Практическая работа №12
Промежуточная аттестация 3
Итого: 51
4. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Практическая работа № 5
Тема: Вычисление предела функции
Цель занятия: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: применять теоремы о пределах и правила раскрытия неопределенностей типа 00, ∞∞Наглядные пособия, оборудование: плакат с формулами теорем о пределах функции в точке; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями
(4 варианта).
Повторение теоретических основ:
Предел функции в точке (определение).
Основные свойства о пределах.
Правило раскрытия неопределенности типа .
Правило раскрытия неопределенности типа.
Определение
Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:
Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела
Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
Правило раскрытия неопределенности типа .
Пример типового расчета:
1. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
2. Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Правило раскрытия неопределенности типа.
Пример типового расчета:
Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям (2 варианта).
Приложение: дидактические карточки с вариантами заданий
(2 варианта).
Контрольные вопросы:
Что называется пределом функции в точке?
Какие вы знаете основные свойства о пределах?
Каковы правила раскрытия неопределенностей вида , .
Литература, необходимая для проведения работы:
П. Т. Апанасов, М. И. Орлов. Сборник задач по математике. - М., ВШ,1987.
И. Л. Зайцев. Элементы высшей математики.-М., Наука,1972.
И.А. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Математика.-М., ВШ, 1991.
Практическая работа №5
Тема: Вычисление предела функции.
Вариант 1 Вариант 2
Найдите предел функции:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Найдите предел функции:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Практическая работа № 6
Тема: Решение задач на определение производной.
Решение задач на вычисление интегралов.
Цель занятия: систематизация и обобщение понятия производной; отработка техники дифференцирования функций; закрепление знаний о геометрическом и механическом смыслах производной; проверка и контроль знаний по данной теме; развитие умений работать самостоятельно.
Умение и навык, которые должны приобрести обучаемые на занятии: дифференцировать различного вида функции, в том числе, сложные функции; геометрический и механический смысл производной; умение записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами дифференцирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями ( 6 вариантов).
Повторение теоретических основ:
Определение производной функции.
Формы дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций: (; ; ; .Сложная функция и правило ее дифференцирования.
Правило дифференцирования функции, заданной неявно.
Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной.
Определение производной: Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, х- точка этого промежутка и число h ≠ 0, такое что х+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения fx+h-f(x)h при h→ 0(если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке х .Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Обозначение производной. Если y=f (x), то производная по переменной x обозначается так:
Формы дифференцирования.
Производные функций вычисляются с применением следующих теорем:
ТЕОРЕМА 1. Производная от константы равна нулю.
ТЕОРЕМА 2. Константу можно вынести за знак производной, то есть
ТЕОРЕМА 3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:
ТЕОРЕМА 4. Производная произведения двух функций равна
ТЕОРЕМА 5. Производная частного двух функций равна
Пример типового расчета
а)
b)
Сложная функция и правило ее дифференцирования
ТЕОРЕМА 6. Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда
Комментарий. Эта теорема о производной сложной функции.
Пример типового расчета
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая ( линия C5). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
Пример типового расчета
Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).
Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как
1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2.3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5.y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.
Механический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение
Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t0) до t0) + Δt перемещение точки равно х (t0) + Δt) — х (t0)) = Δх, а ее средняя скорость такова: При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t0))—x (t0)+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt.Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью v (t0) материальной точки в момент времени to. Итак,
при
Но по определению производной
при
Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом
Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает.Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:
Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.
Пример типового расчета:
Тело движется прямолинейно по закону (м). Определить скорость его движения в момент с.
Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть
В заданный момент времени
(м/с).
Ответ. (м/с).
Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам – заданиям( 6 вариантов).
Приложение: дидактические карточки – задания ( 6 вариантов).
Контрольные вопросы:
Что называется производной функции?
Как называется операция нахождения производной?
Назовите основные правила дифференцирования?
Каков геометрический и механический смысл производной?
Литература, необходимая для проведения работы:
П. Т. Апанасов, М. И. Орлов. Сборник задач по математике. - М., ВШ,1987.
И. Л. Зайцев. Элементы высшей математики. -М., Наука,1972.
И.А. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Математика .-М., ВШ, 1991.
Вычисление неопределенных интегралов.
Цель занятия: обобщить и систематизировать знания студентов при изучении основных формул интегрирования; продолжать формировать умения и навыки применения интегрирования функций; закрепить приемы и способы вычисления неопределенных интегралов, используя таблицу; развивать навыки сравнения при решении неопределенных интегралов одним из способов вычисления; воспитывать такие качества характера, как настойчивость в достижении цели.
Умения и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: в результате овладения содержанием раздела «неопределенные интегралы» студенты должны знать: определение понятия «неопределенный интеграл»; свойства неопределенного интеграла; методы вычисления неопределенного интеграла; уметь: применять известные методы вычисления неопределенных интегралов;
Наглядные пособия, оборудование: плакат с таблицей интегралов; плакат с основными свойствами интегрирования; дидактические карточки с заданиями (4 варианта)
Повторение теоретических основ:
Определение неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных формул интегрирования.
Непосредственное интегрирование. Приемы непосредственного интегрирования.
Метод подстановки при нахождении неопределенных интегралов.
Формула интегрирования по частям.
1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в промежутке a < x < b, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f (x):
F’ (x) = ƒ (x) => dƒ (x) = ƒ (x) dx, a< x < b
Отыскание первообразной функции по заданной её производной f(x) или по дифференциалу ƒ (x) dx есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.
Совокупность первообразных для функций f(x) или для дифференциала (x) dx называется неопределённым интегралом и обозначается символом S ƒ (x) dx. Таким образом,
S ƒ (x) dx= F(x)+C если d[ F(x)+C]= ƒ(x)dx
F(x)- подынтегральная функция;
F(x)dx- подынтегральное выражение;
С- произвольная постоянная.
2. Основные свойства неопределенного интеграла:
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
dFx=Fx+C.
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
dfxdx= fxdx , fxdx'=fxdx.
Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:
fx+gxdx=fxdx+gxdx;
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:
kfxdx=kfxdx.
Если fxdx=Fx+C и u=φ(x) – любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то
fudu=Fu+C.
3.Основные формулы интегрирования (таблица интегралов):
dx=x+C;
xndx=xn+1n+1+C, (n ≠-1);
dxx=lnx+C;
axdx=axlna+C;
exdx=ex+C;ekx+bdx=1kekx+b+Csinxdx=-cosx+C; sinkx+bdx=-1kcos(kx+b)cosxdx=sinx+C; coskx+bdx=1ksin(kx+b)dxcos2x=tgx+C;dxsin2x=-ctgx+C;Методы интегрирования
Наиболее важными методами интегрирования являются: 1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения), 2) метод подстановки (метод введения новой переменной), 3) метод интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования
Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.
Пример типового расчета:
Найти неопределенный интеграл: ∫cos(7x-3)dx
∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C
Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)
Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:
Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.
Пример типового расчета:
(2x3+1)4xdx
Введем подстановку:
Дифференцируя это равенство, имеем:
Выразив отсюда x2dx, получим: x2dx=dt6. Подставив в данный интеграл вместо 2x3+1 и x2dx их выражения, получим:
(2x3+1)4x2dx=t4∙dt6=16 t4 dt=16∙t4+14+1+C=16∙t55+C=t530+C=(2x3+1)530+C.
6.Метод интегрирования по частям
Если подынтегральная функция представляет собой произведение либо тригонометрической функции на алгебраическую, либо показательной на алгебраическую, то за u следует принимать алгебраическую функцию.Пример типового расчета:
Практика : студенты самостоятельно выполняют расчеты по выданным дидактическим карточкам- заданиям (4 варианта).
Приложение: дидактические карточки с вариантами заданий (4 варианта) .Контрольные вопросы:
Что называется неопределенным интегралом?
Что такое интегрирование?
Свойства неопределенного интеграла?
Основные способы интегрирования?
Таблица основных интегралов?
Литература, необходимая для проведения работы:
П. Т. Апанасов, М. И. Орлов. Сборник задач по математике. - М., ВШ,1987.
И. Л. Зайцев. Элементы высшей математики. -М., Наука,1972.
И.А. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Математика .-М., ВШ, 1991.
Тема: Решение задач прикладного характера с применением определенного интеграла.
Цель занятия: закрепить навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера.
Умение и навыки, которые должны приобрести обучаемые на занятии: решать задачи на вычисление работы переменной силы; пути, пройденного телом при неравномерном движении; находить площади фигур с помощью определенного интеграла.
Наглядные пособия, оборудование: плакаты с формулами интегрирования; микрокалькулятор; дидактические карточки с заданиями.
Повторение теоретических основ:
Что называется криволинейной трапецией?
Вычисление площади криволинейной трапеции.
Вычисление пути, пройденного телом при неравномерном движении, за промежуток времени от до , если задан закон движения тела .Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .
Криволинейная трапецияПусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции.
S=F(b)-F(a).
Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции
Построить графики линий.
Определить криволинейную трапецию.
Выделить функцию f , ограничивающую трапецию.
Определить отрезок [a; b] оси Ох.
Найти одну из первообразных функции f .
Используя формулу S=F(b)-F(a) , вычислить площадь.
Пример типового расчета:
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 - х2 и у = 0
Решение:
1. Построим криволинейную трапецию:
у = 4 - х2- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз.у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём [а;b]:
4-х2 = 0; х2 = 4х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле .
Пример типового расчета:
Скорость движения точки м/с.
Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.
Решение: согласно условию, . Следовательно,
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:
3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим
Вычисление работы переменной силы , вызвавшей перемещение от до .
Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.
Пример типового расчета:
1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим
Практика: студенты выполняют расчеты по выдаваемым дидактическим карточкам с заданиями – 6 вариантов.
Приложение: дидактические карточки с заданиями (6 вариантов).
Контрольные вопросы:
Что называется определенным интегралом?
Как вычисляется определенный интеграл?
Свойства определенного интеграла?
Что называется криволинейной трапецией?
Как с помощью интеграла найти площадь криволинейной трапеции; путь, пройденный телом при неравномерном движении; работу переменной силы F, вызвавшей перемещение от x1 до x2 ?Литература необходимая для проведения работы:
П. Т. Апанасов, М. И. Орлов. Сборник задач по математике. - М., ВШ,1987.
И. Л. Зайцев. Элементы высшей математики. -М., Наука,1972.
И.А. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Математика .-М., ВШ, 1991.
Практическая работа № 6
Тема: «Решение задач на определение производной.
Решение задач на вычисление интегралов».
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Вариант 1.
1. Найдите приращение функции f(x)=2x2+1 в точке x0=-1, если
а) -0,38; в) 0,38;
б) -0,22; г) другой ответ.
2. Найдите производную функции y=x3-0,5x2.
а) y=x2-x; в) y=3x2-x;
б) y=x2-0,5x; г) другой ответ.
3. Выберите функцию, у которой не существует производной в точке 1.
а) y= в) y=
б) y= г) y=.
4. Найдите y/(1), если y=(3-x2)(x2+6).
а) -1; в) 14;
б) 2; г) другой ответ.
5. Выберите функцию, производная которой y/=-.
а) y= в) y=
б) y= г) другой ответ.
6. Найдите f/(x), если f(x)=(3x-2)6.
а) 6(3x-2)6; в) 18(3x-3)5;
б) 6x5; г) другой ответ.
7. Решите уравнение f/(t)=0, если f(t)=(t+3)(t-3)2.
а) -1 и 3; в) ;
б) -1 и -3; г) другой ответ.
8. Найдите производную функции f(x)=.
а) f/(x)=3sin2x; в) f/(x)=sin2x;
б) f/(x)=3sin2x; г) другой ответ.
9. Найдите производную функции f(x)=tg22x+tg.
а) f/(x)=; в) f/(x)=;
б) f/(x)=; г) другой ответ.
10. Найдите f/(-1,5), если f(x)=2x.
а) не определена; в) 5,5;
б) 2,5; г) другой ответ.
ИНТЕГРАЛ
Вариант 1.
1. Какой из интегралов нельзя вычислять с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
а) ; б) ; в) ; г) ?2. Вычислите интеграл .
а) 5,5; б) 11; в) -5,5; г) другой ответ.
3. Вычислите интеграл .
а) ; б) ; в) 0; г) другой ответ.
4. Вычислите интеграл .
а) ; б) 2; в); г) другой ответ.
5. Вычислите интеграл, пользуясь его геометрической интерпретацией, .
а) 4,5; б) 2,25; в) 9; г) другой ответ.
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x, y=0, x=1 и x=3.
а) 8; б) 4; в) 6; г) другой ответ.
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x2-x и осью абсцисс.
а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.
8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x2 и y=x.
а) ; б) 1; в) ; г) другой ответ.
9. При каком значении а верно равенство ?
а) -1; б) 1; в) -2; г) другой ответ.
10. Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x2, x=0 и x=1, y=0 вокруг оси абсцисс.
а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.
11. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,02 м, если для сжатия ее на 0,04 м нужно приложить силу в 2 Н .
12. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=3t²2t1,м/c. Вычислить путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Вариант 2.
1. Найдите приращение функции f(x)=-x2+2 в точке x0=-1, если
а) -0,21; в) 0,21;
б) 0,12; г) другой ответ.
2. Найдите производную функции y=x3+x2+2.
а) y=x2+2x+2; в) y=x2+2x;
б) y=x2+x; г) другой ответ.
3. Выберите функцию, у которой не существует производной в точке -1.
а) y= в) y=
б) y= г) y=.
4. Найдите y/(-1), если y=(3х-7)(x3+2).
а) -10; в) 4;
б) 2; г) другой ответ.
5. Выберите функцию, производная которой y/=-.
а) y= в) y=-
б) y= г) другой ответ.
6. Найдите f/(x), если f(x)=(3-2х)12.
а) 12(3-2х)11; в) -24(3-2х)11;
б) 24(3-2х)11; г) другой ответ.
7. Решите уравнение f/(t)=0, если f(t)= (2t+3)2(t-3).
а) ; в) -2 и 3;
б) 1 и 3; г) другой ответ.
8. Найдите производную функции f(x)=.
а) f/(x)=3cos2xsinx; в) f/(x)= -3sin2xsinx;
б) f/(x)=3sin2x; г) другой ответ.
9. Найдите производную функции f(x)=ctg2 +ctg.
а) f/(x)=; в) f/(x)=;
б) f/(x)=; г) другой ответ.
10. Найдите f/(1), если f(x)=2.
а) не определена; в) 2;
б) -5; г) другой ответ.
ИНТЕГРАЛ
Вариант 2.
1. Какой из интегралов нельзя вычислять с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
а) ; б) ; в) ; г) ?2. Вычислите интеграл .
а) -; б) ; в) 2; г) другой ответ.
3. Вычислите интеграл .
а) ; б) ; в) 0; г) другой ответ.
4. Вычислите интеграл .
а) ; б) ; в); г) другой ответ.
5. Вычислите интеграл, пользуясь его геометрической интерпретацией, .
а) 2; б) 3; в) 4; г) другой ответ.
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-4x, y=0, x=-1 и x=0.
а) 2; б) 4; в) 6; г) другой ответ.
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4x2-1 и осью абсцисс.
а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.
8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=6-x,y= и y=0.
а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.
9. При каком значении а верно равенство ?
а) -1; б) 1; в) -0,5; г) другой ответ.
10. Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=0,5x, x=2 и x=1, y=0 вокруг оси абсцисс.
а) ; б) ; в) ; г) другой ответ.
11.Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,03 м нужно приложить силу 15 Н.
12.Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=24t6t²¸ м/с. Вычислить путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица интегралов
где