Пособие для подготовки к итоговой аттестации по тригонометрии 9-11классы

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 ТРИГОНОМЕТРИ Я Составитель: учитель высшей категории Плукчи М ария И льинична п. Жайрем 011год В помощь выпускникам 2 Тригонометрический круг 1. Углом какой четверти является угол α,если: а α 83˚ бα 190˚ в α 100˚ гα – 0˚ д α – 110˚ еα 400˚ жα 179˚ зα 35˚ и α – 150˚ кα – 10˚ л α 800˚ мα 10 000˚ а б в г д е ж з и к л м 3 Радианная мера угла 180˚ π рад Преобразование углов из градусной меры в радианную: α рад Преобразование углов из радианной меры в градусную: α˚ . Выразите в радианной мере величины углов: а 45˚, 36˚, 180˚; б 10˚, 310˚, 360˚; в 60˚, 7˚, 70˚; г 150˚, 16˚, 90˚. а б в г 3. Выразите в градусной мере величины углов: а ; б ; в ; г а б в г 4 Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике Если а и b — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC , то выполняются следующие равенства: Линии тригонометрического круга 5 Основные тригонометрические формулы I группа. Соотношения между тригонометрическими функ циями одного и того же аргумента: 4. Какой знак имеет выражение: а ; б ; в ; г ; д ; е ; ж ; з ; и к ; л ) ; н ; о ; п .) ; р ) tg ( - 10°. а + б + в – г + д + е – ж – з – и – к + л + н – о + п + р – 5. Какой знак имеет выражение: а ; б ; в ; г 6 д ; е ) ; ж ; з и ; к ; л ) ; м н ; о ; п ; р . а + б – в – г – д – е + ж – з + и – к – л – м + н – о + п – р – 6. Определите знак выражения: а ; ; б ; а + в + б – г – 7. Определите знак выражения: а б в г д е ж з и к а – б – в + г – д – е + ж + з + и + к – 8. По заданному значению функции найдите значения осталь ных триг о нометрических функций: а б 7 в г д е з и к л м а б в г д е ж з и к л м н о п р 8 I I группа. Формулы приведения: формулы приведения для преобразования выражений вида Для запоминания этих формул удобно пользоваться та ким мнемоническим правилом: а перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если ; б функция меняется на ©кофункциюª, если п нечетно; функция не меняется, если п четно. Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котан генса называются соотве т ственно косинус, си нус, котангенс и тангенс. 9 9. Замените тригонометрической функцией угла : а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х а cosα б sinα в ctgα г ctgα д cosα е sinα ж – tgα з – sinα и – ctgα к sinα л – cosα м – ctgα н cosα о – sinα п tgα р cosα с – ctgα е – sinα у sinα ф – sinα х ctgα 10. Приведите к тригонометрической функции угла из проме жутка : а б в г а ; б ; в ; г 10 11. Приведите к тригонометрической функции угла от 0° до 90°: а б в г а ; б ; в ; г . 12. Найдите значение выражения: а в д б г е ж и л з к м а ; в ; д ; б ; г ; е . ж а ; и в ; л д ; з б ; к г ; м е . 14. Выразите через тригонометрическую функцию угла от 0° до 90°, если: а б в г а sin 130˚ cos 40˚ cos 130˚ – sin 40˚ tg 130˚ – ctg 40˚ ctg130˚ – tg40˚ б sin 190˚ – sin 10˚ cos 190˚ – cos 10˚ tg 190˚ tg 10˚ ctg 190˚ ctg 10˚ в sin ( – 30˚ sin 40˚ cos ( – 30˚ cos 40˚ tg ( – 30˚ tg 40˚ ctg( – 30˚ ctg40˚ г sin ( – 590˚ sin 50˚ cos ( – 590˚ – cos 50˚ tg ( – 590˚ – tg 50˚ ctg( – 590˚ – ctg50˚ 15. Найдите если: а б в а sin cos tg ctg б sin cos tg ctg 11 в sin cos tg ctg 16. Преобразуйте выражение: а в б г д е а sin 2 α в sin 2 α д 0 б ctg 2 α г ctg 2 α е 2 cos α 17. Упростите выражение: а в б г д ) е ) ж з ) и к л н м о п р 12 а ; д 1 б ; е 1 в ; ж 1 г . з 1 и ; н ; к . о . л п ; м р 18. Вычислите с помощью формул приведения: а в б г д е ) ж з а д ; б е ; в ж ; г з . I II группа. Формулы сложения: 19. С помощью формул сложения преобразуйте выражение: а в 13 б г д е а в б г д е 20. Представив 105° как сумму 60°  45°, вычислите: а sin 105°; б cos 105°. а ; б . 21. Представив 75° как сумму 30°45°, вычислите: а sin 75°; б cos 75°. а ; б 22. Упростите выражение: а в б г д ж е з и ) л к ) м н о ) 14 а в б г д ; ж ; е ; з . и ; л ; к ; м . н ; о . 23. Найдите значение выражения: а б в ) г д ) е а в б г . д е 24. Упростите выражение: а ) б ) в г д ) е а г б д в е 25. Зная, что sin , , и — углы I четверти, найдите значение выражения: а б в а б в 15 26. Известно, что и — углы II четверти и , . Найдите: а ) б ) в ) г ) а б в г 27. Вычислите: а б а б 28. Известно, что , . Найдите: а 6) а б 16 I V группа. Формулы кратных аргументов 29. Упростите выражение: а в д б г е ж и з ) к а е б ж в з г и д к 30. Пусть и — угол II четверти. Найдите: а б в а б в 31. Известно, что и . Найдите: а б в а б в 32. Пусть и — угол III четверти. Найдите: а б в а б в 33. Упростите выражение: а в б г д ж е з 17 и л ) м н о с п т р у ф х а б в г д ; е ; ж ; з . и к л м н о п р с т у ф х 34. Упростите: а в б г д и е к ж л н о п р с т 18 а б в г д е ж з и к л м н о п р с т V группа. Формулы преобразования сумм или разностей в произведения: 35. С помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение разложите на множители выражение: а в а б в г 36. Представьте в виде произведения: а б в г и м к ) н л о 19 п с ) р т у ф а л б м в н г о д п е р ж с з т и у к ф 37. Преобразуйте выражения: а в д б г е а г б д в е 38. Представьте в виде произведения : а б в ) г д ж и е з к л м н о 20 а з б и в к г л д м е н ж о 39. Найдите значение выражения: а б а б V I группа. Преобразование произведений в суммы или разности: 40. Преобразуйте произведение в сумму: а в б г д ж е з и к л м н ) о 21 а з б и в к г л д м е н ж о 41. Вычислите: а б в г а б в г VII группа. Формулы половинного аргумента: В этих формулах знак ©ª или © — ª выбирается в зависи мости от того, в к а кой четверти находится угол 42. Найдите: а б в г 22 а в ; б г . 43. Упростите выражение: а б в г д е ж з а д б е в ж г з V I II группа. Выражение тригонометрических функций че рез тангенс половинного аргумента: 44. Упростите выражения: а б а б 45. Дано: . Найдите 46. Вычислите: , если – 2,25 47. Найдите , если 2; 23 I X группа. Значения тригонометрических функций основ ных углов: 24 Задачи 25 26 27 28 29 30 ОТВЕТЫ 31 Тригонометрия ЕНТ 1. Вычислить: ( ctg 67,5 0 – ctg 7,5 0 ) + ( tg 67,5 0 – tg 7,5 0 ) Решение: ͸Ͳ ଴ ͸͹ ͷ ଴ ͹ ͷ ଴ ͸Ͳ ଴ ͸͹ ͷ ଴ ͹ ͷ ଴ √ ଷ ଶ ͸͹ ͷ ଴ ͹ ͷ ଴ ͸͹ ͷ ଴ ͹ ͷ ଴ ͸͹ ͷ ଴ ͸͹ ͷ ଴ ͹ ͷ ଴ ͹ ͷ ଴ √ య మ ଺଴ బ ଺଻ ହ బ ଺଻ ହ బ ଻ ହ బ ଻ ହ బ √ ଷ ଵଷହ బ ଵହ బ √ ଷ భ మ ଵଶ଴ బ ି ଵହ଴ బ ଶ √ ଷ ି భ మ ା √ య మ ସ √ ଷ √ ଷ ି ଵ = ସ √ ଷ ( √ ଷ ା ଵ ) ଷ ି ଵ ସ √ ଷ ( √ ଷ ା ଵ ) ଶ = 6 + 2 √ ͵ . Ответ:6   √ ͵ 2. Вычислить : tg20 0 ∙tg40 0 ∙ tg 60 0 ∙ tg 80 0 Решение : tg20 0 ∙tg40 0 ∙ tg 60 0 ∙ tg 80 0 = ଶ଴ బ ସ଴ బ ଺଴ బ ଼଴ బ ଶ଴ బ ସ଴ బ ଺଴ బ ଼଴ బ = ଶ଴ బ ଶ ଶ଴ బ ଶ଴ బ √ య మ ଶ ସ଴ బ ସ଴ బ ଶ଴ బ ସ଴ బ ଺଴ బ ଼଴ బ ସ √ ଷ ଶ଴ బ భ మ ଶ଴ బ ି ଺଴ బ ଼଴ బ = ଶ √ ଷ ଶ଴ బ ଶ଴ బ ି భ మ ଶ ଼଴ బ √ ଷ ସ଴ బ ି ଶ଴ బ ଼଴ బ √ ଷ ଶ ଷ଴ బ ଵ଴ బ ଼଴ బ ଷ ଵ଴ బ ଼଴ బ ଷ ଼଴ బ ଼଴ బ = 3. Ответ: 3 3. Найти tg 2 x + ctg 2 x , если tgx + ctgx = 2. Решение : Возведем обе части условия в квадрат: Получим: tg 2 x + ctg 2 x + 2 tgxctgx 4, так как tgxctgx = 1 имеем tg 2 x + ctg 2 x = 4 - 2 = 2. Ответ:  4. Упростить: ଵ ା ା ଶ ା ଷ ା ଶ మ ି ଵ . Решение: ଵ ା ା ଶ ା ଷ ା ଶ మ ି ଵ = ଵ ା ଶ మ ି ଵ ା ା ଷ ା ଶ ଶ మ ା ଶ ଶ ା ଶ ଶ ା ଶ ା ଶ ʹ Ответ: ʹ 32 5. Вычислить : sin 4 15 0 + cos 4 15 0 . Решение : (sin 2 15 0 + cos 2 15 0 ) 2 = sin 4 15 0 +2sin 2 15 0 cos 2 15 0 + cos 4 15 0 = 1 + ଵ ଶ sin 2 30 0 . Значит: sin 4 15 0 + cos 4 15 0 = 1 - ଵ ଶ sin 2 30 0 = 1 - ଵ ଶ ଵ ସ ͳ ଵ ଼ ଻ ଼ Ͳ ͺ͹ͷ . Ответ: 0,875 6. Упростить: √ ͳ ଶ ͳ ଶ ͳ ଶ Решение: √ ͳ ଶ ͳ ଶ ͳ ଶ = √ ͳ ʹ ଶ ଶ ͳ ଶ ଶ ଶ ଶ √ ଶ ʹ ଶ √ ଶ | | Ответ: | | 7. Вычислить : sin9 0 + sin49 0  … sin89 0 +sin329 0 Решение : sin9 0 + sin49 0  … sin89 0 +sin329 0 = sin 9 0 + sin 329 0 ) + (sin49 0 + sin 289 0 ) + sin89 0 + sin 249 0 ) +(sin129 0 +sin209 0 ) + sin 169 0 = 2sin169 0 cos160 0 + 2sin169 0 cos120 0 + 2 sin169 0 cos80 0 + 2sin169 0 cos40 0 + sin169 0 = 2sin169 0 (cos160 0 +cos120 0 + cos80 0 + cos40 0 ) + sin 169 0 = 2sin169 0 ( - cos20 0 - ଵ ଶ + 2 cos60 0 cos20 0 ) + sin169 0 = 2sin169 0 ( - cos20 0 - ଵ ଶ  ∙ ଵ ଶ cos20 0 ) + sin169 0 = 2 ( ଵ ଶ ) sin169 0 +sin169 0 = - sin169 0 +sin169 0 = 0. Ответ : 0 8. Упростить : 2(sin 4 x +sin 2 xcos 2 x + cos 4 x) 2 – sin 8 x – cos 8 x. Решение: sin 4 x +sin 2 xcos 2 x + cos 4 x) 2 – sin 8 x – cos 8 x = 2((sin 2 x + cos 2 x) 2 – sin 2 xcos 2 x) 2 – (sin 8 x + cos 8 x) = 2(1 - sin 2 xcos 2 x) 2 – (sin 4 x – cos 4 x) 2 - 2sin 4 xcos 4 x = 2(1 - 2 sin 2 xcos 2 x + sin 4 xcos 4 x) – cos 2 2x + 2 sin 4 xcos 4 x = 2 - 4 sin 2 xcos 2 x +2 sin 4 xcos 4 x – ( 1 – sin 2 2x) + 2 sin 4 xcos 4 x = 2 – sin 2 2x + ଵ ଼ sin 4 2x – 1 + sin 2 2x - ଵ ଼ sin 4 2x = 1. Ответ: 1 9. Упростить : cos2xcos 2 x - ଵ ସ cos4x - ଵ ଶ cos2x. Решение : cos2xcos 2 x - ଵ ସ cos4x - ଵ ଶ cos2x = cos2x ( ଵ ା ଶ ଶ ) - ଵ ସ cos4x - ଵ ଶ cos2x = ଵ ଶ cos2x + ଵ ଶ cos 2 2x - ଵ ସ Ͷ ଵ ଶ ʹ ଵ ଶ ( ଵ ା ସ ଶ ) - ଵ ସ Ͷ = ଵ ସ + ଵ ସ Ͷ - ଵ ସ Ͷ = 0,25. Ответ: 0,5 10. Упростить : sinα  3cosα 2  cosα – 3 sinα 2 Решение : sinα  3cosα 2  cosα – 3 sinα 2 = sin 2 α  6sinαcosα  9cos 2 α  cos 2 α – 6sinαcosα  9 sin 2 α 10sin 2 α  cos 2 α 10. Ответ : 10 11. Упростить : cosα1  cos - 1 α  tgα1 - cos - 1 α  tgα Решение : cosα1  cos - 1 α  tgα1 - cos - 1 α  tgα 33 cosα ( ͳ ଵ ) ( ͳ ଵ ) cosα ( ା ା ଵ ) ( ା ି ଵ ) = ା మ ି ଵ = ଵ ା ଶ ି ଵ sinα. Ответ : sinα. 12. Вычислите sin4α, если ctg α - 2 . Решение: sin4 α = 2sin2 α cos2 α ; ctg2 α = ଶ ଶ = - 2 cosα - sinα sin4 α = - 4sin 2 α ସ ଵ ା మ ଶ = ସ ହ т.к. sin 2 α ଵ ଵ ା మ . Ответ: ସ ହ 13. Найдите наибольше решение уравнения cosx = ଵ ଶ из промежутка 700 0 ; 1050 0 ]. Решение: x ±60 0 + 2 πn = 60 0 + 360 0 n 700 0 ≤ 60 0 + 360 0 n ≤ 1050 0 640 0 ≤ 360 0 n ≤ 990 0 ଵ଺ ଽ ≤ n ≤ ଵଵ ସ x = 60 0 + 720 0 = 780 0 700 0 ≤ - 60 0 + 360 0 n ≤ 1050 0 760 0 ≤ 360 0 n ≤ 1110 0 ʹ ଵ ଽ ≤ n ≤ 3 ଵ ଵଶ x = - 60 0 + 1080 0 = 1020 0 Ответ: 100 0 14. Наклонная образует угол 45 0 с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямя в плоскости под углом 45 0 к проекции наклонной. Найдите угол φ между этой прямой и наклонной. Решение: cos φ = cos45 0 ∙ cos45 0 = ଵ ଶ , φ = 60 0 . 15. Вычислите: cos (2 arcsin ଶ ଻ ). Решение: Пусть rcsin ଶ ଻ = α , тогда sin α = ଶ ଻ , а cosα √ ͳ ସ ସଽ = √ ସହ ସଽ cos2 α = cos 2 α – sin 2 α = ସହ ସଽ ସ ସଽ ସଵ ସଽ . Ответ: ସଵ ସଽ . 4 5 φ 34 16. Найдите значение выражения : sin ( arccos ଶ ଷ ). Решение: Пусть cosα = ଶ ଷ . Тогда sinα = √ ͳ ସ ଽ √ ହ ଷ . Ответ: √ ହ ଷ . 17. У п ростите: ସ ଶହ బ ଺ହ బ ସ଴ బ Решение: ସ ଶହ బ ଺ହ బ ସ଴ బ = ସ ଶହ బ ଶହ బ ସ଴ బ = ଶ ହ଴ బ ସ଴ బ = ଶ ସ଴ బ ସ଴ బ . Ответ:  18. Найти область значений функции: మ ି మ . Решение: మ మ ି మ మ మ ି మ = ଶ ଶ = √ ʹ ସ ଶ . E(y) = [ - √ ʹ √ ʹ Ответ: [ - √ ʹ √ ʹ 19. Решите систему { ଵ ଶ Ͳ и найдите сумму её решений, принадлежащих промежутку 0; 4π. Решение: { ଶ ଷ ʹ ʹ ʹ n = 0 , x = ଶ ଷ . n = 1, x = 2 ଶ ଷ n = 2, x = 4 ଶ ଷ  не подходит. Итак, сумма корней равна ଶ ଷ + 2 ଶ ଷ = ଵ଴ ଷ . Ответ: ଵ଴ ଷ 20. Дано: sinα + cosα = k . Найдите sinα ∙ cosα . Решение: Возведем обе части условия в квадрат . Получим: 1+2 sinαcosα = k 2 , откуда sinαcosα = మ ି ଵ ଶ . Ответ: మ ି ଵ ଶ . 21. Упростить: ( ͳ ) ଶ ( ͳ ) ଶ ଶ ଶ Решение: ( ଵ ) ଶ ( ଵ ) ଶ ଶ ଶ = మ ା ଵ మ మ + మ ା ଵ మ మ ଶ ଶ = ర ା ଶ మ ା ଵ ି మ మ + ర ା ଶ మ ା ଵ ି మ మ = ర ା ଷ మ మ + ర ା ଷ మ మ = ଶ + 3 + ଶ + 3 = 7. Ответ: 7 22. Упростить:  tgα - tgβ ) ctg ( α - β - tgα ∙ tgβ . Решение:  tgα - tgβ ) ctg ( α - β - tgα ∙ tgβ = ( tgα - tgβ ∙ ଵ ି - tgα ∙ tgβ = ି ଵ ା ି - tgα ∙ tgβ = 1. 35 23. Вычислить: cos12 0 cos24 0 cos36 0 cos48 0 cos60 0 cos72 0 cos84 0 . Решение : cos12 0 cos24 0 cos36 0 cos48 0 cos60 0 cos72 0 cos84 0 = ଶ ଵଶ బ ଵଶ బ ଶସ బ ଷ଺ బ ସ଼ బ ଺଴ బ ଻ଶ బ ଼ସ బ ଶ ଵଶ బ = ଶସ బ ଶସ బ ଷ଺ బ ସ଼ బ ଺଴ బ ଻ଶ బ ଼ସ బ ଶ ଵଶ బ = ସ଼ బ ସ଼ బ ଷ଺ బ ଺଴ బ ଻ଶ బ ଼ସ బ ସ ଵଶ బ = ଽ଺ బ ଷ଺ బ ଺଴ బ ଻ଶ బ ଼ସ బ ଼ ଵଶ బ = ଽ଺ ଷ଺ బ ଷ଺ బ ଺଴ బ ଻ଶ బ ଼ସ బ ଵ଺ ଵଶ బ ଷ଺ బ = ଻ଶ బ ଻ଶ బ ଽ ଺ బ ଼ସ బ ଷଶ ଵଶ బ ଷ଺ బ = ଵସସ బ ଼ସ బ ଼ସ బ ଺ସ ଵଶ బ ଷ଺ బ = ଵସସ బ ଵ଺଼ బ ଵଶ଼ ଵଶ బ ଷ଺ బ = ଵ ଵଶ଼ . Ответ: ଵ ଵଶ଼ 4.Вычислить: cos5 0 ∙cos55 0 ∙cos65 0 . Решение: cos5 0 ∙cos55 0 ∙cos65 0 = ଵ ଶ [cos50 0 +cos60 0 ∙cos65 0 = ଵ ଶ [cos50 0 + ଵ ଶ ∙cos65 0 = [ ଵ ଶ ͷͲ ଴ ଵ ସ ] ∙cos65 0 = ଵ ଶ cos50 0 ∙cos65 0 + ଵ ସ cos65 0 = ଵ ଶ ଵ ଶ [ ͳͷ ଴ ͳͳͷ ଴ + ଵ ସ cos65 0 = ଵ ସ cos15 0 + ଵ ସ cos(180 0 - 65 0 ) + ଵ ସ cos65 0 = ଵ ସ cos15 0 - ଵ ସ cos65 0 + ଵ ସ cos65 0 = ଵ ସ cos15 0 = ଵ ସ √ ଵ ା ଷ଴ బ ଶ = √ ଶ ା √ ଷ ଼ Ответ : √ ଶ ା √ ଷ ଼ 25. Вычислить :125(cos 8 α – sin 8 α, если cosα 0,8. Р ешение : 125(cos 8 α – sin 8 α 15cos 4 α sin 4 α cos 4 α - sin 4 α 15cos 4 α cos 2 α ∙sin 2 α + sin 4 α - 2cos 2 α ∙sin 2 α ∙ cos 2 α sin 2 α cos 2 α - sin 2 α 15 ( ଶ ଶ ଵ ଶ ଶ ʹ ) ͳ ʹ ͳʹͷ ( ͳ ଵ ଶ ͳ ଶ ʹ ) ∙0,8 8. Ответ: 8. 36 Итоговое тестирование Тест 1Тригонометрия 1.Упростить выражение : + cos A ) - 1 B ) cos C ) 1 D ) sin E ) sin { Правильный ответ }= C 2. Найти tg , если sin = – , 180 270 A ) 1 B ) C ) 1 D ) E ) 2 { Правильный ответ } А 3.Упростить выражение: A ) cos B ) sin C ) tg D ) sin E ) cos { Правильный ответ }= B 4.Вычислить: sin 80 + cos 80 A ) 0 B ) - 1 C ) 2 D ) 1 E ) - 2 { Правильный ответ }= D 5.Найдите cos 2 , если = A ) 0 B ) 1 C ) 2 D ) - 1 E ) { Правильный ответ }= D 6.Упростить выражение:  sin – cos ) + 2 sin cos . A) 1 B) - 1 C) cos D) sin E) 2sin { Правильный ответ } А 7.Упростить выражение cos tg и найти его значение при = – 30 A ) 0,5 B ) C ) D ) E ) 3 { Правильный ответ } С 8.Найдите с tg , если sin = 0,6, A ) – B ) C ) D ) E ) { Правильный ответ }= A 9. Упростить выражение: A ) - sin B ) - cos C ) tg D ) cos E ) sin { Правильный ответ }= D 10 .Найти значение выражения: A ) B ) 3 C ) D ) 2 E ) { Правильный ответ } В 37 11 .Упростить выражение: A ) B ) C ) D ) 1 E ) { Правильный ответ } В 12 . Упростите выражение: A ) - sin B ) 1 C ) cos D ) - cos E ) sin { Правильный ответ }= E 13 .Вычислить :  sin 30 - sin 60 с tg 45 tg 30 A ) B ) C ) – ( ) D ) E ) – { Правильный ответ }= A 14 . Упростите выражение: cos  с tg + sin A ) B ) C ) 1 D ) E ) { Правильный ответ }= D 15 .Найдите значение выражения:  tg  с tg ) – , при = – A ) 0 B ) - 1 C ) 1 D ) - 2 E ) 2 { Правильный ответ } Е 16 .Упростить выражение: A ) - B ) - sin C ) D ) sin E ) 1 { Правильный ответ } С 17 .Вычислить: 4 cos 45 с tg 60 tg 60 – 3 sin 45 A ) 1 B ) C ) D ) - E ) - { Правильный ответ } В 18 .Вычислить: , если tg = A ) - B ) 3 C ) D ) – 1 E ) 1 { Правильный ответ } А 19 .Упростить выражение: + tg ∙с tg A ) - B ) 1 C ) D ) - E ) { Правильный ответ } Е 20 .Упростить выражение: A ) - B ) 1 C ) D ) E ) - { Правильный ответ } С 38 21 .Вычислить: A ) B ) - C ) 28 D ) E ) 15 { Правильный ответ }= D 22 . Упростить выражение: tg – sin – tg ∙ sin A ) - 1 B ) 0 C ) 1 D ) - 2 E  с tg { Правильный ответ } В 23 .Известно, что tg с tg = m . Найти tg с tg A) m – 2 B) m – 2 C) m – 4 D) m + 2 E) m { Правильный ответ }= A 24 .Упростить выражение: sin 2 + cosc 2  с tg 5 A ) – B ) sin C ) D ) – 1 E ) 1 { Правильный ответ }= C 25 .Упростить выражение: 1 - cos ) (1+ tg ) A ) 1 B ) - tg C ) - с tg D ) tg E ) tg { Правильный ответ } Е Тест № Тригонометрия 1.Упростить выражение : A ) - 1 B ) - sin C ) 1 D ) sin E ) sin { Правильный ответ } В .Преобразуйте выражение: tg ( - ) cos + sin A) 0 B) tg C) 1 D) sin E) cos { Правильный ответ } А 3.Упростить выражение : sin cos tg A) cos B) sin C) tg D) sin E) cos { Правильный ответ }= D 4. Вычислить : sin - tg с tg A) sin B) - sin C) - cos D) cos E) sin { Правильный ответ } С 5.Преобразуйте выражение: 1 – sin – cos A ) 1 B ) 0 C ) 2 D ) - 1 E ) - 2 { Правильный ответ } В 6.Преобразуйте выражение: tg с tg – 1 A ) 1 B ) - 1 C ) cos D ) 0 E ) 2 sin { Правильный ответ }= D 7. Найти sin , если cos = , 0 A ) B ) – C ) D ) E ) { Правильный ответ } Е 39 8.Упростить выражение и найти его значение при = A ) 1 B ) C ) D ) - 1 E ) - { Правильный ответ }= D 9.Упростить выражение: 1 – sin )(1 + tg ) A ) - sin B ) - cos C ) 1 D ) cos E ) - 1 { Правильный ответ } С 10 .Упростить выражение: tg ( - с tg ( - ) + cos ( - ) + sin A ) B ) 2 C ) 1 D ) – 2 E ) { Правильный ответ } В 11 .Найти наибольшее значение выражения 1 – sin cos tg A ) 2 B ) - 2 C ) - 1 D ) 1 E ) 3 { Правильный ответ }= D 12 .Упростите выражение:  sin + cos ) + ( sin - cos ) A) 2 B) 1 C) cos D) – cos E) sin { Правильный ответ } А 13 .Зная, что sin + cos 0,8 найдите: sin cos A ) 0,2 B ) - 0,64 C ) 0,64 D ) 0,18 E ) - 0,18 { Правильный ответ } Е 14 .Упростите выражение: cos 4 + sin 2 cos и найти его значение при tg = 2 A ) 2 B ) 0,2 C ) 1 D ) 5 E ) 0,5 { Правильный ответ } В 15 .Упростить выражение: A ) 0 B ) - 1 C ) D ) - E ) { Правильный ответ }= C 16 . Найдите tg , если sin = - , 2 A ) B ) - C ) 12 D ) - E ) { Правильный ответ }= D 17 .Упростить выражение: 1 – cos 2 ) tg 2 +1 – tg 2 A) cos 2 B) 1 C) sin 2 D) tg E) - cos 2 { Правильный ответ } А 18 . Вычислить : ( sin - cos ) 2 – 1, при A ) B ) C ) 1 D ) – 1 E ) - { Правильный ответ } Е 40 19 .Вычислите , при A ) B ) 1 C ) D ) – 1 E ) - { Правильный ответ }= A 20 .Найдите наибольшее значение выражения: 1  sin A ) – 2 B ) 2 C ) - 1 D ) 1 E ) - { Правильный ответ } В 21 .Найдите наименьшее значение выражения:  - 3 cos A ) B ) - C ) D ) - 1 E ) 1 { Правильный ответ }= D 22 .Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:  cos 2 - 1 A ) - 1; 0 B ) 0; 2 C ) 1; - 1 D ) - 2; 0 E ) 1; - 2 { Правильный ответ } С 23 .Найдите значение выражения: , если с tg = - 2 A ) - B ) C ) D ) E ) { Правильный ответ }= A 24 . Упростить выражение: A ) - B ) sin C ) D ) - 1 E ) 1 { Правильный ответ }= C 25 . Вычислить : sin cos , если sin + cos = A ) 1 B ) - C ) D ) - 1 E ) - { Правильный ответ } Е Тест №3 Тригонометрия 1.Вычислить: sin ( - 330 0 ) А 1 В С – D ) – 1 Е 0 { Правильный ответ } В .Упростить выражение: cos – )+ sin ( – ) А  sin В sin С - cos D ) - sin E ) 0 { Правильный ответ }= A 3.Найти значение выражения: tg 225 A ) - 1 B ) C ) 1 D ) E ) - { Правильный ответ }= C 41 4.Упростить выражение и найти его значение, при А ) ctg B) tg C) – tg D) – 1 E) – ctg { Правильный ответ }= D 5.Упростить выражение: А ) tg B ) - ctg C ) ctg D ) 1 E ) - tg { Правильный ответ }= E 6.Вычислить: А - 1 B ) 0 C ) 1 D ) E ) { Правильный ответ }= A 7.Вычислить: А 0 B ) 1 C ) 2 D ) - 1 E ) - 2 { Правильный ответ }= D 8.Упростить выражение: А 1 B ) 0 C ) - 1 D ) E ) 2 { Правильный ответ }= B 9.Найти cos , если = – 120 А B ) 1 C ) 0 D ) E ) - { Правильный ответ } Е 10 .Найдите значение выражения: А - 1 B ) 1 C ) 0 D ) E ) - { Правильный ответ } А 11 .Упростить выражение: А 1 B ) - 2 C ) 0 D ) 2 E ) - 1 { Правильный ответ }= D 12 . Упростить : А ) 2 cos B ) - cos 2 C ) cos 2 D ) sin E ) - 2 cos { Правильный ответ }= C 13 .Найти значение выражения : А - B ) C ) 2 D ) 1 E ) 0 { Правильный ответ } В 42 14 .Упростить выражение: А ) - 1 B ) 0 C ) sin 10 D ) cos 10 E ) 1 { Правильный ответ }= E 15 .Вычислить: А 0,5 B ) - 0,25 C ) 1 D ) - 1 E ) 0 { Правильный ответ } А 16. Упростить выражение: А 4 B ) 5 C ) 3 D ) 2 E ) 1 { Правильный ответ } В 17 .Упростить выражение: А ) cosx B ) C ) sinx D ) E ) { Правильный ответ }= B 18 .Вычислить: А B ) - C ) D ) - E ) { Правильный ответ }= D 19 .Вычислить: ctg 135 sin 210 cos 225 А B ) - C ) - D ) E ) { Правильный ответ }= C 20 .Вычислить: А cos B ) 2 C ) 1 D ) - 1 E ) 0 { Правильный ответ }= C 21 .Упростить выражение: А  B ) 1 C ) - 2 D ) - 1 E ) 0 { Правильный ответ } А 22 .Вычислить: А - B ) C ) - D ) 1 E ) 43 { Правильный ответ } Е 23 .Упростить выражение: А ) - 1 B ) 0 C ) 1 D ) ctg 2 E ) ctg 88 { Правильный ответ }= C 24 .Найдите значение выражения: А B ) - C ) D ) - E ) 1 { Правильный ответ } А 25 .Вычислите: tg 20 + tg 40 + tg 60 +...+ tg 160 + tg 180 А 1 B ) 0 C ) - 1 D ) 2 E ) - 2 { Правильный ответ }= B Тест № 4Тригонометрия 1.Упростить выражение: cos 5 cos + sin 5 sin А cos 2 В sin 2 С cos 4 D ) sin 4 Е cos { Правильный ответ }= C 2. Вычислить : cos 40 cos 20 – sin 40 sin 20 А В - С D ) - Е 1 { Правильный ответ }= A 3.Вычислить: А 0 В - 1 С D ) - Е 1 { Правильный ответ } Е 4. Вычислить : cos 78 cos 18 + sin 78 sin 18 А - В С 1 D ) 0 Е { Правильный ответ } В 5.Упростить выражение: sin 51 cos 21 – cos 51 sin 21 А - В 1 С 0 D ) - 1 Е { Правильный ответ }= E 6.Упростить выражение: sin – cos А sin В cos С - sin D ) - cos Е ) 2 sin { Правильный ответ }= A 7. Вычислить : cos 79 cos 34 + sin 79 sin 34 А В - С - D ) Е 1 { Правильный ответ }= D 44 8.Упростить выражение: cos ( – ) – sin А cos В sin С  cos D ) - cos Е - sin { Правильный ответ }= A 9 .Вычислить: sin 105 А В С D ) Е 1 { Правильный ответ } В 10 .Упростить выражение: sin 5 cos 4 – cos 5 sin 4 + sin А  cos В - 2 sin С sin D ) cos Е  sin { Правильный ответ }= E 11 .Вычислить: cos 75 А В С D ) Е { Правильный ответ }= A 12 .Упростить: А ctg В tg С – tg D ) – ctg Е 1 { Правильный ответ } В 13 .Вычислить: tg А +1 В – 1 С D ) Е { Правильный ответ }= C 14 .Вычислить: tg 15 А   В - 3 С 3 - D ) 3 + Е  - { Правильный ответ }= E 15 .Упростить выражение: cos (30 + ) - cos (30 - ) А cos В – sin С – cos D ) sin Е 0 { Правильный ответ } В 16 .Вычислить: sin А 1 В – 1 С 0 D ) Е - { Правильный ответ }= C 17 .Упростить выражение: А В С - D ) Е - { Правильный ответ }= D 45 18 .Упростить: А 1 В sin С cos D ) - sin Е - 1 { Правильный ответ }= A 19 .Зная, что tg = и tg = , найти tg А В С D ) 4 Е { Правильный ответ }= C 20 .Упростить: А cos В sin С - 1 D ) 1 Е cos sin { Правильный ответ }= D 21 .Известно, что tg = , tg = , найти tg А В С D ) 1 Е - 1 { Правильный ответ } В 22 .Известно , что tg (45 + )= a , найти tg А В С a +1 D ) a – 1 Е { Правильный ответ }= E 23 .Вычислить: А  В 1 С - 2 D ) - 1 Е 0 { Правильный ответ }= A Тест № 5Тригонометрия 1. Упростить : sin 0° sin 40° A sin10° B cos10° C cos0° D sin0° E tg10° { Правильный ответ }= B . Преобразовать в произведение: cos 47° cos 73° A cos46° B sin46° C sin13° D cos10° E) cos13° { Правильный ответ } Е 3.Преобразовать в произведение : sin + sin A) sin cos B) 2sin cos C) 2sin cos D sinі E) sin { Правильный ответ }= B 4. Упростить : sin 75 sin 15 46 A ) B ) C ) 1 D ) - E ) - 1 { Правильный ответ }= A 5. Упростить : cos 40° cos 0° A) cos0° B cos40° C) cos0° D) cos0° E) 1 { Правильный ответ }= C 6.Преобразовать в сумму: sin 30° x ) cos 30° - x ) A) +sin2x B) +cos2x C) +sin2x D) ( +sin2x) E) +sin2x { Правильный ответ }= D 7.Вычислить: cos 75° + cos 15° A ) B ) 1 C ) D ) E ) { Правильный ответ } С 8.Вычислить произведение: sin 15° cos 75° A ) B ) C ) D ) E ) 1 { Правильный ответ }= A 9. Разложить на множители: sin 40° sin 50° A cos 10° B sin 10° C cos 40° D) sin 5° E) cos 5° { Правильный ответ } Е 10 .Вычислить: sin 0° + sin 40° – cos 10° A ) 1 B ) - 1 C ) 0 D ) 2 E ) - 2 { Правильный ответ }= C 11 .Упростить выражение: A ) ctg 3 B ) tg 3 C ) tg 6 D ) ctg 6 E ) 1 { Правильный ответ } В 12 . Представить в виде произведения: sin 15° + cos 65° A sin 40°cos 5° B sin 5°cos 40° C sin 5 cos 40° D sin 80° E sin 0°cos 5° { Правильный ответ }= E 13 .Найти значение выражения: A ) 1 B ) 0 C ) cos 80° D ) - 1 E ) sin 80° { Правильный ответ }= D 14 .Представить в виде произведения: cos 40° – sin 16° A sin 17°cos 33° B cos 17°sin 33° C sin 17°sin 33° D cos 17°cos 33° E sin 56° { Правильный ответ }= A 15 .Вычислить: cos 85° cos 35° – cos 5° A) 0 B) 1 C cos 40° D  sin 40° E) - 1 { Правильный ответ }= A 16 . Упростить : A) tg 2 B) tg 4 C) ctg 4 D) ctg 2 E) cos 4 47 { Правильный ответ }= B 17 .Найти значение выражения: A ) B ) 1 C ) - D ) E ) - { Правильный ответ }= C 18 .Упростить выражение: и найти значение при = A ) - B ) 1 C ) - 1 D ) E ) 0 { Правильный ответ }= D 19 . Вычислить : sin 45° cos 15° A ) B ) C ) D ) E ) { Правильный ответ }= C 20 . Вычислить : sin 15° cos 7° – cos 11° cos 79° A) sin 8° B) sin 8° C) cos ° D) cos ° E sin 11° { Правильный ответ }= B 21 .Упростить выражение:  cos 0° cos 40° – cos 0° A ) - B ) 0 C ) 1 D ) - 1 E ) { Правильный ответ }= E 22 . Вычислить : sin 10° sin 50° sin 70° A ) B ) - C ) D ) - E ) 1 { Правильный ответ }= A 2 3 . Упростить выражение: A ) tg 4 B ) tg 2 C ) ctg 2 D ) ctg 4 E ) tg 3 { Правильный ответ }= B 2 4 .Упростить : 8 cos 10° cos 0° cos 40° A) ctg10° B) tg10° C) – tg10° D) – ctg10° E) tg0° { Правильный ответ }= A 48 Тест № 6Тригонометрия 1. Вычислить : cos ( - 405° A ) 1 B ) - C ) D ) - E ) - 1 { Правильный ответ }= C 2. Найти cos , если sin = , 90°   180°. A ) - B ) - C ) D ) E ) 1 { Правильный ответ }= B 3. Упростить : cos ctg + sin A) B ) 1 C ) D ) - E ) - 1 { Правильный ответ }= C 4.Найдите значение выражения : sin 150° - ) + sin 150°  ) A) sin B) tg C) ctg D) - cos E) cos { Правильный ответ }= E 5.Вычислить: tg ( - 315 0 ) A ) B ) - 1 C ) - D ) 1 E ) - { Правильный ответ }= D 6.Упростить выражение: A ) sin B ) tg C ) - cos D ) cos E ) - sin { Правильный ответ }= D 7. Вычислить : sin cos tg A ) B ) C ) D ) E ) 1 { Правильный ответ }= A 8. Упростить выражение: A ) – tg B ) tg C ) ctg D ) tg E ) – tg { Правильный ответ }= B 9. Найти sin , если = - A ) B ) 1 C ) 0 D ) - E ) - 1 { Правильный ответ }= D 1 0. Упростить выражение : cos 36° sin 18° A) cos 36° B cos36° C cos18° D sin18° E) cos 18° { Правильный ответ }= E 49 1 1 . Вычислить: A ) - 1 B ) 0 C ) 1 D ) E ) - { Правильный ответ } С 1 2 . Упростить : 12 cos 15° cos 105° A ) - 2 B ) - 1 C ) 2 D ) 3 E ) - 3 { Правильный ответ } Е 1 3 . Вычислить: A ) - 2 B ) - 3 C ) - 4 D ) 2 E ) 3 { Правильный ответ }= A 1 4 . Упростить выражение: A ) – 2 B ) 2 C ) tg D ) – cos E ) – sin { Правильный ответ }= B 1 5 .Найдите sin , если sin - cos = 3 A ) 6 B ) 8 C ) - 8 D ) 12 E ) - 6 { Правильный ответ }= C 1 6 . Вычислить : sin cos A ) - B ) C ) D ) - E ) 1 { Правильный ответ }= C 1 7 . Упростить : sin 2 - ( sin + cos ) A ) - 1 B ) 1 C ) 0 D ) 2 E ) - 2 { Правильный ответ }= A 1 8 . Найти наибольшее значение выражения cos + 3 sin + 3 cos A ) 3 B ) 2 C ) 5 D ) 4 E ) 1 { Правильный ответ }= D 19 . Найти sin 2 , если sin = ,при 0° 90° A ) B ) C ) D ) 1 E ) { Правильный ответ }= В 20 .Упростить выражение: A ) - 1 B ) sin C ) tg D ) ctg E ) 1 { Правильный ответ }= E 50 21 . Вычислить: , если ctg = - 2 A ) B ) - C ) D ) - E ) 1 { Правильный ответ }= B 22 .Упростить выражение: A ) cos 3 B ) tg 3 C ) sin 3 D ) sin 2 E ) cos 2 { Правильный ответ }= C 24. Вычислить : (2cos 30° - ctg45°sin 60°ctg 30) 25. A ) B ) 1 C ) D ) - 1 E ) - { Правильный ответ }= A 24 . Вычислить: 1 – cos 2 , если sin = A ) B ) - C ) - D ) E ) 1 { Правильный ответ }= D 25 . Найти cos ( , если cos = ; - A ) 7 B ) 7 C ) D ) 7 E ) { Правильный ответ }= E 26 . Вычислить: A ) - 1 B ) 0 C ) 1 D ) 2 E ) - 2 { Правильный ответ }= C 27 .Упростить выражение: A ) tg І B ) C ) c D ) c E ) { Правильный ответ }= B 28 .Вычислить: ctg 1° ctg °… ctg 179° A ) 0 B ) 1 C ) - 1 D ) 2 E ) - 2 { Правильный ответ }= A 29 .Найти наибольшее значение выражения: 3 sin + cos 2 A ) 3 B ) 4 C ) 1 D ) 2 E ) 0 { Правильный ответ }= D 51 30 .Упростить выражение: A ) 2 B ) 4 C ) cos 2 D ) sin 2 E ) 1 { Правильный ответ }= E 31 .Упростить выражение: A ) ctg 15° B ) tg 35° C ) tg 15° D ) ctg 35° E ) cos 0° { Правильный ответ }= C 32 . Вычислить: , если cos = A ) B ) C ) 1 D ) - E ) - 1 { Правильный ответ }= A 33 .Упростить выражение: A ) 2 sin x B ) cos x C ) 2 cos x D ) – sin x E ) – 2 cos x { Правильный ответ }= C 34 . Вычислить : cos 4°  cos 48° - cos 84° - cos 1° A ) B ) 1 C ) - 1 D ) E ) 2 { Правильный ответ }= D 52 Тригонометрия Справочный материал Основные триг. формулы   Формулы суммы функций Формулы суммы аргументов: Формулы произведения функций Формулы половинного аргумента Формулы двойного аргумента Формула дополнительного угла где Определение тригонометрических функций Универсальная подстановка Свойства тригонометрических функций Функ ция Свойства Область определения Множес тво значени й Четность - нечетность Период cosx cos( - x)= cosx  sinx sin( - x)= - sinx  tgx tg( - x)= - tgx  ctgx ctg( - x)= - ctgx   1 0 - 1  0 0 90 0 180 0 270 0 cos  cos  0 - 1 1 0 0 90 0 180 0 270 0   sin  sin  0 - 1 1 90 0 180 0 270 0   tg  tg  0 - 1 1 0 0 180 0 270 0   ctg  ctg  53 Тригонометрические уравнения Косинус: Уравнения с синусом Частные формулы: Общая формула: Уравнения с тангенсом и котангенсом Формулы обратных триг функций Если 0  x  1, то arccos ( - x ) =  - ar c- cosx arcsin( - x) = - arcsinx Если x > 0 , то arctg ( - x ) = - arctgx arcctg( - x) =  - arcctgx Обратные триг функции Функция Свойства Область определения Множество значений arccosx [ 0;  ] arcsinx [ -  /2;  /2] arctgx ( -  /2;  /2) arcctgx ( 0;  ) 54 Тригонометрический круг .......... …………………….. 2 Радианная мера угла ................................ ............... 3 Тригономет рические функции в прямоугольном треугольнике 4 Линии тригонометрического круга ............................. 4 Основные тригонометрические формулы .... 5 I группа. Соотношения между тригонометрическими функ циями одного и того же аргумента: ................................ ........................ 5 II группа. Фо рмулы приведения: .............................. 8 III группа. Формулы сложения: ................................ . 13 IV группа. Формулы кратных аргументов ......... 16 V группа. Формулы преобразования сумм или разностей в произведения: 18 VI группа. Преобразование произведений в суммы или разности: 20 VII группа. Формулы половинного аргумента: ... 21 VIII группа. Выражение тригонометрических функций че рез тангенс половинного аргумента: ................................ ............. 2 2 IX группа. Значения тригонометрических функций основных углов: 23 Задачи ............. Ошибка! Закладка не определена. 25 ОТВЕТЫ ................................ ................................ ...... 30 Тригонометрия ЕНТ…………………………………… 32 Тесты для итогового тестирования………………….37