Пособие для подготовки к итоговой аттестации по геометрии 9-11классы

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
М етодическоеобъединение естественно - математическихнаук год Методическое пособие Решениегеометрических задач Научитьучиться, Научитьдумать … 2 Составитель:учительвысшейкатегории ПлукчиМарияИльинична сш№п.Жайрем Решениегеометрическихзадач подготовкак ЕНТ 3 Методическоепособиеадресовановыпускникам классовдлясамостоятельнойподготовкикединому национальномутестированию ЕНТ,атакжемолод ым учителямматематики.Впособии рассмотренызадачипо геометрии,самостоятельноерешениекоторыхвызвало затрудненияумногихучащихся.Многиезадачисодержат следующиеразделы: .Условиеипереченьпредлагаемыхответов. .Справочныематериалыдлярешениязадачи. .Путикрешению. .Решениеиответ. Рекомендуюрассмотретьпредложенноерешениеивнов ь попробоватьвоспроизвестиегосамостоятельно.Возможно, высумеетенайтиидругиеспособырешения. Желаюудачи! 4 Планиметрия Задача . Найдитеуглыравнобедренноготреугольника,еслиизвестно,чтонайдется прямаяпроходящаячерезвершинууглапри основании,делящаяисходный треугольникнадваравнобедренных. Ответы: А7˚,7˚,˚и˚,˚,˚; В75˚,75,˚и5˚,5˚,˚; С˚,7˚,7˚и ʹͷ ହ ଻ , ͹͹ ଵ ଻ ˚ , 77 ଵ ଻ ˚; D ˚,˚,˚и ʹͷ ହ ଻ ; ͹͹ ଵ ଻ ˚ ͹͹ ଵ ଻ ˚; Е5˚,5˚,9˚и ˚,˚,˚. Справочник: .Углыприоснованииравнобедренноготреугольникаравны. .Внешнийуголтреугольникаравенсуммедвухдругихуглов,несмежныхс ним.Суммаугловтреугольникаравна˚. Пути крешению: Врешениирассматриваютсядваслучая, показанныенарисункахи. Случай: .Обозначьте 1 = α .Сравните и 2. .Найдитесуммууглови. .Найдитеугол. НайдитеуглытреугольникаАВС. Случай. .Обозначьте 1 = α .Найдитеуглы и. НайдитеуглытреугольникаА D С. .НайдитеуглытреугольникаАВС. Решение: Случайрисслева А D АС,поэтому 1 = 2 = α ; А D С – внешний,поэтому 3 + 4 = 2 = α , следовательно,т.к.А D АВ,то 3 = 4 = ଶ Суммаугловтреугольникаравна˚,поэтому А 1 + ˚,тогда 2 α + ଶ ˚, ହ ଶ = ˚, α 7˚,т.е. А С7˚, В7˚:˚. Случайриссправа: А D АВ,поэтому 1 = 2 = α , А D С – внешний,поэтому А D С 1 + 2 = 2 α ,следовательно 4 = 2 α ,т.к.А D АС. ˚ - ( 4 + А D С˚ - 4 α . 5 СуммаугловтреугольникаАВСравна˚,поэтому ∙ ˚ - 4 α ) + α ˚, 7 α ˚, Α = (25 ˚ В, А С ˚ - 4 α˚ - ∙ (25 ˚ = (77 ˚. Ответ: ˚,7˚,7˚и5 ˚;77 ˚,77 ˚; Задача . ИзточкиА,удаленнойотокружностинам,проведенакасательнаяк окружности.Найдитерасстояниеотточкикасаниядопрямой,проходящей черезточкуАицентрокружности,еслирадиусравен5м. Ответ ы : А5м; Вм; С ଼ ଵଷ м. D ,9м; Ем. Справочник: Радиус,проведенныйвточкукасания,перпендикуляренкасательной. Расстояниемотточкидопрямойназываетсядлинаперпендикуляра, опущенногоизэтойточкинапрямую. Катетпрямоугольноготреугольникаявляетсясреднимпропорци ональным междугипотенузойипроекциейэтогокатетанагипотенузу. Квадратгипотенузыравенсуммеквадратовкатетов. Пути крешению: ПустьВ - точкакасания,О – центрокружности,С – точкапересеченияОАс окружностью. АОВ:НайдитеАО,ОН. ОВН :НайдитеВН. Решение: АОВ – прямоугольный. АОАСОС5. ஻ ஻ ஺ ,ОН ஻ మ ஺ ଶହ ଵଷ . ОВН: ВН √ ʹͷ ଺ଶହ ଵ଺ଽ ଺଴ ଵଷ Ͷ ଼ ଵଷ . Ответ: 4 ଼ ଵଷ . Задача 3 . СтороныуглаАВС,равного˚,касаютсядвухокружностейс центрамиО 1 и О 2 ,касающихсяоднадругойО 2 - центрменьшейокружности.СО 1 см. НайдитерадиусокружностисцентромО 2 Ответы : Асм; Всм;С √ ͵ см; D см; Есм. Справочник ..Отрезкикасательныхкокружности,проведенныеизодной точки,равныисоставляютравныеуглыспрямой,проходящейчерезэту прямуюицентрокружности. 6 .Биссектрисаугладелитегонадверавныечасти. .Катет,лежащийпротивуглав˚,равенполов инегипотенузы. Пути крешению: .Найдите АСО. .ВычислитеО 1 Н 1 иКО 1 . .ВыразитеСО 2 через R ( R - искомыйрадиус. .НайдитеотношениеН 2 О 2 кСО 2 . 5.Вычислите R . Решение: АСО 1 ˚, следовательноО 1 Н 1 ,5СО 1 смО 1 К. СО 2 СО 1 - О 1 К – О 2 К – 6 – R = 6 – R см. СО 2 :О 2 Н 2 ,поэтому - R ) : R = 2. 6 - R = 2 R 3 R = 6 R см. Ответ: R см. Задача 4 . Медианы,проведенныеккатетампрямоугольноготреугольника,равны а и b .Найдитегипотенузу. Ответы: А √ ܽ ଶ ܾ ଶ ;В √ ௔ మ ା ௕ మ ଷ ; С 2 √ ௔ మ ା ௕ మ ହ ; D ) √ ௔ మ ା ௕ మ ହ ;Е ଵ ଷ √ ܽ ଶ ܾ ଶ Справочник. Медианойтреугольниканазываетсяотрезок,соединяющийвершину треугольникассерединойпротиволежащейстороны. Суммаквадратовкатетовпрямоугольноготреугольникаравнаквадратуего гипотенузы. Пути крешению: ОбозначьтекатетытреугольникаАВСчерез х и у. Составьтеуравнения,применивтеоремуПифагорактреугольникамВВ 1 Си АА 1 С . Сложителевыеиправыечастиуравнений. Найдитезначениевыражения х 2 у 2 . НайдитегипотенузутреугольникаАВС. Решение: ПустьВС х ,АС у ,тогдаА 1 = ଶ ,В 1 С ଶ . РассмотримтреугольникиВВ 1 СиАА 1 С: х 2 + ଶ ଶ = b 2 , ( ଶ ) 2 у 2 а 2 . ହ ସ х 2 + ହ ସ у 2 а 2 + b 2 , х 2 у 2 = ସ ହ а 2 + b 2 ). 7 ТаккакАВ 2 = a 2 + b 2 ,то АВ √ ௔ మ ା ௕ మ ହ . Ответ: 2 √ ௔ మ ା ௕ మ ହ . Задача5 . Впрямоугольномтреугольникемедианы,проведенныеккатетам,равны √ ͷʹ и √ ͹͵ .Найдитегипотенузутреугольника. Ответы: А; В √ ʹͳ ; С; D ) 5; Е. Справочник. .Медианойтреугольниканазываетсяотрезок,соединяющийвершину треугольникассерединойпротиволежащейстороны. .Суммаквадратовкатетовпрямоугольноготреугольникаравнаквадратуего гипотенузы. Пути крешению: .ОбозначьтеСВ 1 х,СА 1 у. 2). Используйтеуказаниякзадаче№. Решение: ПустьСВ 1 х,СА 1 у,тогдаСАх,СВу. ПрименивтеоремуПифагорактреугольникамСВ 1 Ви СА 1 А,получимсистемууравнений: х 2 у 2 = 52, х 2 у 2 = 73. Складываялевыеиправыечастиуравнений,пол учим 5х 2 5у 2 = 125, х 2 у 2 = 25, √ ଶ ଶ = 5. ИзтреугольникаАВС:АВ √ ଶ ଶ ∙ 5 = 10. Ответ: 10. Задача 6 . В треугольникеАВСдлинысторон В С, А С иАВсоответственноравны,и см.Найтиотношение,вкоторомточкапересечениябиссектрисделит биссектрисуугласчитаяотвершиныВ. Ответы: А:; В:; С:; D ) 3:1; Е:. Справочник. Биссектрисауглатре угольникаделитпротивоположнуюсторонунаотрезки, пропорциональныеприлежащимсторонам. Пути крешению: Найдитеотрезки,накоторыебиссектрисаВВ 1 разделиласторонуАС. ВВ 1 С:найдитеотношение,вкоторомбиссектрисаСОразделиласторону ВВ 1 . 8 Решение: АВС: ஺ ஻ భ ஻ భ ஼ ஺஻ ஻஼ ଶ ସ ଵ ଶ АСсм,поэтомуАВ 1 см,В 1 Ссм. ВВ 1 С: ஻ ஻ భ ஻஼ ஻ భ ஼ ସ ଶ ଶ ଵ Ответ: 2:1. Задача7 . ВравнобедренномтреугольникеАВСдлинаоснованияАВравна √ ʹ см,угол приоснованииравен˚.НайдитедлинубиссектрисыА D . Ответы: Асм; В √ ଷ ସ см; Ссм; D ,см; Е √ ʹ см. Справочник. 1 . Углыприоснованииравнобедренноготреугольникаравны. .Суммаугловтреугольникаравна˚. .Сторонытреугольник апропорциональнысинусампротиволежащихуглов. Пути крешению. .Вычислитеугол D треугольникаАВ D . .АВ D :найдитеА D . Решение: АВС: А В˚. А D В: D АВ5˚,поэтому А D В˚ - ˚5˚5˚. ஺஽ ଷ ଴ బ ஺஻ ଵଷ ହ బ ,следовательно А D = √ ʹ ∙ ଵ ଶ √ ଶ ଶ ͳ см. Ответ: см. Задача . СтороныАВСравнысм,см,5см,О – точкапересечениямедиан. НайдитеплощадьтреугольникаАОС. Ответы: Асм 2 ; Всм 2 ; Ссм 2 ; D см 2 ; Е,5см 2 . Справочник. 1. S = √ ܽ ܾ ܿ ,гдер ௔ ା ௕ ା ௖ ଶ . .Медианытреугольникаразбиваютегонаравновеликих треугольников. Путикрешению : .НайдитеплощадьтреугольникаАВС. .НайдитеплощадьтреугольникаАОС. B 9 Решение: асм,всм,с5см. р5:см. S =84 c м 2 – площадьтреугольникаАВС. :см 2 ) – площадьтреугольникаАОС. Ответ: см 2 . Задача9 . Медианытреугольникаравны5см,сми5см.Найдитеплощадь треугольника. Ответы: А5см 2 ; Всм 2 ; Ссм 2 ; D 5см 2 ; Е75см 2 . Справочник. Медианытреугольникаточкойпересеченияделятсявотношении:,считаяот вершины. Медиана,прове деннаякоснованиюравнобедренноготреугольника,является еговысотой. Квадратгипотенузыпрямоугольноготреугольникаравенсуммеквадратовего катетов. Площадьтреугольникаравнаполовинепроизведенияегооснованияна высоту. Медианытреугольникаделят егонаравновеликихтреугольников. Путикрешению : ПустьАА 1 СС 1 5см,ВВ 1 см,О - точкапересечениямедиан. НайдитеАО,ВО,СО. ОпределитевидтреугольникаАОС. ВычислитеАВ 1 .НайдитеплощадьтреугольникаАВС. Решение: ОВ 1 = ଵ ଷ ВВ 1 см,ОСОА ଶ ଷ АА 1 = ଵ଴ ଷ см, следовательно, ОАС - равнобедренный. ТреугольникАОВ 1 - прямоугольный. АВ 1 = √ ଵ଴଴ ଽ Ͷ = √ ଺ସ ଽ = ଼  ଷ S ABC АВ 1 ∙ ВВ 1 = ଼  ଷ ∙ см 2 ). Ответ :см 2 . Задача . ДанатрапецияАВС D соснованиямиВСсмиА D 7см.Найдите диагональАС,если АВС АС D . Ответы: А7см;Всм;С9см; D 9см;Есм. B 10 Справочник: .Трапециейназываетсячетырехугольник,укоторогодвестороны параллельны,адведругиесторонынепараллельны. .Еслидвепараллельные прямыепересеченытретьей,тонакрестлежащие углыравны. .Еслидвауглаодноготреугольникаравныдвумугламдругого треугольника,тотакиетреугольникиподобны. .ЕслитреугольникиАВСиА 1 В 1 С 1 подобны,то АВ:А 1 В 1 АС:А 1 С 1 ВС:В 1 С 1 . Пути крешению: .Сравнитеуглыи. .Найдитеподобныетреугольникиидокажитеихподобие. .Составьтепропорцию,связывающуюизвестныеиискомыестороны треугольника. .НайдитеизпропорцииАС. Решение: Углыиравныкакнакрес тлежащиепри параллельныхпрямыхВСиА D . УглыАВСиАС D равныпоусловию,поэтому треугольникиАВСиАС D подобны.Отсюда следует, чтоВС:АСАС:А D ,т.е.:АСАС:7. АС √ ͳʹ ʹ͹ = √ Ͷ ͵ ͻ ͵ = 2 ∙ 3 ∙ см. Ответ :см. Задача 11 . Концыодногодиаметраудаленыоткасательнойкокружностина,дми, дм.Найдитедиаметрокружности. Ответы: А,дм; В,дм; С,дм. D ,9см; Е,см. Справочник . .Расстояниемотточкидопрямойназываютдлину перпендикуляра, опущенногоизэтойточкинапрямую. .Радиус,проведенныйвточкукасания,перпендикуляренкасательной. .Еслидвепрямыеперпендикулярнытретьей,тоонипараллельны. .Параллельныепрямые,пересекающиестороныуглаиотсекающиена однойегосторонеравныеотрезки,отсекаютравныеотрезкиинадругойего стороне. 5.Четырехугольник,укоторогодвестороныпараллельны,адведругиене параллельны,называетсятрапецией. .Средняялиниятрапецииравнаполусуммеееоснований. Решение: АВС D – трапеция,т.к.АС С D иВ D С D . ОН – средняялиния.ТаккакОН С D ,то ОН||АС||В D . 11 Т.к.АОВО,тоСН D Н, следовательно ОН,,:,см R . D = 2 R ∙ ,,см. Ответ :,см. Задача . ВтрапецииАВС D А D иВС – основания,А D :ВС:.Площадьтрапеции равна7см 2 .НайдитеплощадьтреугольникаАВС. Ответы : А5см; Всм; Ссм; D 9см; Есм. Справочник. .Еслидвепараллельныепрямыепересеченытретьей,тонакрестлежащие углыравны. .Еслиуголодноготреугольникаравенуглудругоготреугольника,то площадиэтихтреугольниковотносятсякакпроизведениясторон, заключающихравныеуглы. .Площ адьтреугольникаравнаполовинепроизведениядвухегосторонна синусугламеждуними. .Площадьтреугольникаравнаполовинепроизведенияегооснованияна высоту. Пути крешению: способ: .ПроведитедиагональАС. .Сравнитеуглы,образованныедиаго нальюиоснованиямитрапеции. .НайдитеотношениеплощадейтреугольниковАВСиА D С. .НайдитеотношениеплощадейтреугольникаАВСитрапецииАВС D . 5.ВычислитеплощадьтреугольникаАВС. 2 . способ : .Проведитевысоту h . .Составьтевыражениядлявыч исленияплощадейтреугольникаАВСи трапецииАВС D .Выразитеплощадьтреугольникачерезплощадьтрапеции. .ВычислитеплощадьтреугольникаАВС. Решение: способ см.рис.: Рис.Рис. УглыАСВ иСА D равныкакнакрестлежащие,поэтому ಲಳ಴ ಲವ಴ భ మ ଷ ஺஼ భ మ ସ ஺஼ ଷ ସ , тогда ಲಳ಴ ಲಳ಴ವ = ଷ ଻ , поэтому 12 S ABC = ଷ ଻ , S ABCD = ଷ ଻ ∙ 70 = =30 ( см 2 ). 2 способ ( см . рис . 2 ): S ABC = ଷ ଶ , S ABCD = ଷ ା ସ ଶ , h = ଻ ଶ , поэтому S ABC = ଷ ଻ , S ABCD = ଷ ଻ 70 = 30 ( см 2 ). Ответ:см . Ответ: см 2 . Задача 3 : Втрапецииоснованияравны5и5,адиагоналии.Найдитеплощадь трапеции. Ответы: А; В; С9 ; D ) 39; Е. Справочник: .Накрестлежащиеуглы,образованныедвумяпараллельнымипрямымии секущей,равны. .Еслидвауглаодноготреугольни каравныдвумугламдругоготреугольника, тотакиетреугольникиподобны. .Коэффициентподобияравенотношениюсходственныхсторон треугольников. .Еслитреугольникиподобны,тоихстороныпропорциональны. 5.Есликвадратсторонытреугольникаравенсуммеквадратовдвухдругихего сторон,тоэтоттреугольник – прямоугольный. .Площадьчетырехугольникаравнаполовинепроизведенияегодиагоналейна синусугламеждуними.Еслидиагоналивзаимноперпендикулярны, то площадьравнаполовинепроизведенияегодиагоналей. Пути крешению: Докажитеподобиетреугольников,образованныхоснованиямииотрезками диагоналей. Найдитекоэффициентподобия. Вычислитедлиныотрезковдиагоналей,принадлежащиеодному треугольнику. Докажите,чтоэтоттреугольник – прямоугольный . Найдитеплощадьтрапеции. Решение: ТреугольникиАО D иСОВподобныподвум углам, k = ஺஽ ஻஼ ଵହ ହ ͵ ,следовательно, ВОх,О D х. ТаккакВ D ,тоВО,О D = 12, аналогичноАС,АО9. ОВС – прямоугольный,т.к. 2 + 4 2 = 5; О9˚. S ABCD ,5АС∙ В D ,5∙ 12 ∙ 16 = 96. Ответ : 96. 13 Задача 4 . Высотапрямоугольноготреугольника,проведеннаяизвершиныпрямогоугла к гипотенузе,равна √ ͵ .Одинизкатетовравен.Найдитеплощадь исходноготреугольника. Ответ ы : А √ ͵ ; В; С √ ͵ . D ) 39; Е. Справочник: Впрямоугольномтреугольникеквадратгипотенузыравенсуммеквадратов катетов. Ка ждыйкатетпрямоугольноготреугольникаявляетсясредним пропорциональныммеждугипотенузойипроекциейкатетанагипотенузу. Площадьтреугольникаравнаполовинепроизведенияоснованиянавысоту. Пути крешению: АВН:НайдитеАН. Составьтепропорцию,связывающуюкатетАС,егопроекциюАНи гипотенузуАВ. ВычислитеАВ. НайдитеплощадьтреугольникаАВС. Решение: АН √ ͸Ͷ Ͷͺ = √ ͳ͸ = 4; ஺ ஺஼ ஺஼ ஺஻ , следовательноАВ = ஺஼ మ ஺ ଺ସ ସ ͳ͸ . S ,5АВ∙СН,5∙ 16 ∙ 4 √ ͵ . = 32 √ ͵ . Ответ : 32 √ ͵ . Задача 5 . Найдитеплощадьтреугольника,еслидвеегостороныравныи,амедиана , проведеннаяктретьейстороне,равна,5. Ответ ы : Асм 2 ; В √ ͵ см 2 ; Ссм 2 ; D ) 6 √ ͵ см 2 ; Есм 2 Справочник: 1 ) m a = 0,5 √ ʹ ܾ ଶ ܿ ଶ ܽ ଶ , где т a – медиана, а,в и с – стороны треугольника. 2) S = √ ܽ ܾ ܿ ,гдер ௔ ା ௕ ା ௖ ଶ – формулаГерона. Пути крешению: Используяформулу,выражающуюдлинумедианы черезсторонутреугольника,найдитедлину третьей сторонытреугольника. Найдитеплощадьтреугольника,применивформулу Герона. 14 Решение: АА 1 =0,5 √ ʹ ͵ ଶ Ͷ ଶ ଶ , следовательно, 2,5 = 0,5 √ ͷͲ  ଶ ,5 = √ ͷͲ ଶ 25 = 50 – ВС 2 ВС 2 = 25 ВС5см. р5:, S = √ ͸ ͵ ʹ ͳ = 6 ( см 2 ). Ответ :см 2 . Справочник : Задача. Ответ : 168 15 Задача7. Ответ : 2 r 2 (2 +3). Задача. Ответ : 10. 16 Задача9. Ответ : – 1. Задача. 17 Задача. Ответ : 5r 2 Задача 2 . Ответ : 2 а 2 ( - 1). 18 Задача 3 . Ответ : а 2 . Задача. Ответ : 2(m+n) 19 Задача 5 . Ответ : ଼ . Задача 6 . Ответ :см 2 20 Задача7. Ответ :см 2 21 Задача. Ответ :7см,см,5см. 22 Задача9. Справочник: Стереометрия Вкурсестереометрииособуюрольиграетчертёж.Есливпланиметриивсегда естьвозможностьвыполнитьточныйчертёж,товстереометрииизображение наплоскостинеможетбытьточнойкопиейоригинала - пространственной фигуры.Темнеменее,следуетстараться чертёжвыполнитьтак,чтобыпо немуможнобылополучитьясноепредставлениеоборигинале. Существуютразличныеспособыизображенияпространственных фигурнаплоскости.Вшкольнойпрактикепользуютсяметодомпараллельного проецирования. Приизображ ениимногогранниковчастоудобнопользоватьсякабинетной проекцией,известнойизкурсачерчения. Нарис.вкабинетнойпроекцииизображёнкуб.Изображениямидвухграней, параллельныхплоскостичертежа,являются квадраты.Каждаяизостальныхгранейкуба изображаетсяввидепараллелограммасострым углом5,укоторогооднасторонасовпадаетсо сторонойквадрата,асмежнаяснейвдвоекороче. Нарис.даноизображение правильнойтреугольной пирамидыNAB. ПлоскостьAKN,где NK — апофемапирамиды, парал лельнаплоскостичертежа,поэтомуотрезки ANиKN,какиуголNAKнаклонабоковогоребрак плоскостиоснования,изображаютсябезискажений. 23 Вкабинетнойпроекцииудобноизображатьпрямоугольныйпараллелепипед, прямуюпризму,правильнуюпирамидуидругие простейшиемногогранники. Конечно,чертёжможетбытьвыполненвпроизвольнойпараллельной проекции.Важнолишь,чтобычертёжбылверным,наглядныминеслишком труднымдлявыполнения. 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Тела вращения Пример.Всферувписанконус.Площадьбоковойповерхностиконуса составляетплощадисферы.Найтиуголнаклонаобразующейконусак плоскостиоснования. Решение.Сечениеконусаисферыплоскостью,проходящейчерезвысотуNH конуса,есть равнобедренныйтреугольникABN, вписанныйвокружность. ПродолжимвысотуNHтреугольникадопересечения сокружностьювточке М.ТогдаMN – диаметрсферы, 0 ,АН – радиус основанияконуса, - уголнаклонаобразующейкплоскостиоснования,причем AMN . 34 35 36 37 38 39 Наибольшиеинаименьшиезначения 40 41 42 43 44 Задача . Наклоннаяобразуетугол5˚сплоскостью.Черезоснованиенаклонной проведенапрямаявплоскостиподуглом5 ˚ к проекциинаклонной.Найдите угол φ междуэтойпрямойинаклонной. Ответ ы : А˚; В˚; С5˚; D 5˚; Е9˚. Справочник: .Угломмеждупрямойиплоскостьюназываетсяуголмеждуэтойпрямойи еепроекциейнаплоск ость. .Еслипрямаяперпендикулярнаплоскости,тоонаперпендикулярнавсем прямым,лежащимвэтойплоскости. .Еслипрямая,лежащаявплоскостиипроходящаячерезоснование наклонной,перпендикулярнанаклонной,тоонаперпендикулярнаиее проекции. .Косинусомострогоуглапрямоугольноготреугольниканазывается отношениеприлежащегокатетакгипотенузе. 5.Синусомострогоуглапрямоугольноготреугольниканазываетсяотношение противолежащегокатетакгипотенузе. .Тангенсомострогоуглапрямоуголь ноготреугольниканазывается отношениепротиволежащегокатетакприлежащему . Пути крешению: см.рисунок. ОпределитевидтреугольникаАСН. ОбозначьтеАС а . ВычислитеСНиАН. АВН:ВычислитеАВиВН. АВС:Вычислите cos ВАС. Найдите ВАС. Решение: ПроведемперпендикулярВНи наклоннуюАВ,тогдаАН – проекцияи АВН5˚. ПроведемВС а. Тогда ВСА9 ˚; АСН5˚поусловию. 45 Тогдапо теоремеотрехперпендикулярахНС АСитреугольникАСН – прямоугольныйиравнобедренный. АСН:ПустьАС х ,тогдаСН х ипотеоремеПифагораАН х √ ʹ . АВН – прямоугольныйиравнобедренный,следовательно ВНАН х √ ʹ ,тогдапо теоремеПифагораАВ х. АВС: cos ВАС ஺஼ ஺஻ ଶ ଵ ଶ ,следовательно ВАС˚. Ответ :˚. Задача 3 1 . Длинаребракубаравна а. Найдитерасстояниемежду непересекающимися диагоналямидвухегосмежныхграней. Ответ ы : А ଶ √ ଷ а ; В а √ ଶ ଶ ; С а √ ଷ ଷ ; D ) ଵ ଶ а ; Е ଶ ଷ а . Справочник: Расстояниеммеждудвумяскрещивающимисяпрямыминазывается расстояниеотоднойпрямойдоплоскости,параллельно йэтойпрямойи проходящейчерезвторуюпрямую. Прямаяпараллельнаплоскости,еслионапараллельналюбойпрямой, лежащейвэтойплоскости. Расстояниемотпрямойдопараллельнойейплоскостиназываетсядлина перпендикуляра,опущенногоизлюбойточкипря мойдоэтойплоскости. Квадратсторонытреугольникаравенсуммеквадратовдвухдругихего сторонбезудвоенногопроизведенияэтихстороннакосинусугламеждуними теоремакосинусов. 5Квадратдиагоналипрямоугольногопараллелепипедаравенсуммеквадра тов трехегоизмеренийпространственнаятеоремаПифагора. Основноетригонометрическоетождество: sin 2 α + cos 2 α = 1. Пути крешению: см.рисунок. .ПроведитечерезреброАВсечениекубаплоскостью,параллельнойребру С D плоскостьАВЕ. .Вычислите: сторонытреугольникаАВЕ; высотуЕН,проведеннуюксторонеАВ; длинуотрезкаСН. .Найдите cos СЕН,вычислите sin СЕН. .ОпустивизточкиСперпендикуляр СОнаплоскостьАВЕ,вычислите длинуотрезкаСО. 46 Решение: ПустьАВиС D – данныедиагонали.Онилежатнаскрещивающихсяпрямых. ПроведемчерезреброАВсечениекубаплоскостью,параллельнойребруС D - плоскостьАВЕ. РассмотримтреугольникАВЕ: АВАЕВЕ а √ ʹ ,какдиагоналибоковыхгранейкуба. ЕН = = а . СН = ПрименивтеоремукосинусовктреугольникуСЕН,получим: СН АС ЕН - АС∙ЕН∙ cos СЕН,т.е а + - 2 ∙ ∙ cos СЕН. Упростивиприведяподобныеслагаемые, получим: cos СЕНа , cos СЕН . ИзтреугольникаСЕО: СОЕС* sin СЕНа * = а * а * = . Ответ : . 47 Задача . Задача Ответ : √ ʹ 48 Задача . Ответ : 5 r Задача5 . 49 Задача . Ответ : ଵ ଺ ܽ . 50 Справочник 51 Задача7 . Ответ : 24 π 52 Задача . Ответ : 12 53 Задача9 . 54 Задача . 55 Задача . Решение: Ответ : 56 Задача 42. Решение. Ответ : 57 Итоговоетестирование 01_ Планиметрия .Окружностьподелена тремяточкамивотношении:5:.Найдитеразностьбольшегои среднегоугловполученноготреугольника. A ˚ B 55˚ C ˚ D 7˚ E 5˚ {Правильныйответ}А .Впрямоугольномтреугольникеострыеуглыпропорциональнычислам 7:.Найдитенаименьшийизуглов. A ° B ° C 5° D ° E ° { Правильныйответ} C .Дваугларавнобедренноготреугольникаотносятся,как7:.Найдитеугол привершине треугольника,считаяегобольше°. A 75° B 5° C 7° D 5° E ° {П равильныйответ}А .Дваугларавнобедренноготреугольникаотносятся,как:7.Найдитеуголприосновании треугольника,считаяегобольше°. A ° B 7° C 7° D ° E 7° ( Правильныйответ} D 5.Определитеоснованиеравнобедренноготреугольника,еслионона7см большебоковойстороны,апериметрравен9см. A 9см B см C см D см E см { Правильныйответ} B .Впрямоугольномтреугольни кеострыеуглыпропорциональны числам5:.Найдитеразностьэтихуглов. A ° B ° C 5° D 5° E 5° Прав ильныйответ B 7.Определитегипотенузупрямоугольноготреугольника,еслименьшийкатетравенсм,а угол,прилежащийкнему°. A ) см B см C см D см E см {П равильныйответ} D .Катетигипотенузавпрямоугольномтреугольникесоответственноравны 7,сми5,см.Определитебольшийизострыхуглов. A) B ° C 5° D 55° E 7° { Правильныйответ} B 9.Впрямоугольныйтреугольникскатетамипосм,вписанпрямоугольниктак,чтоони имеютобщийугол.Определитепериметрпрямоугольника. A см B см C см D см E см {Пр авильныйответ} D 10 .ВтреугольникеАВС:АВсм,ВСсм,высотаС Ксм.Найтивысоту AD . A см B см C см D см E 9см {Правильныйответ} A 11 .Площадидвухподобныхтреугольников5см и7см .Найдитеотношение соответствующихмедианэтихтреугольников. A ) B ) C ) D ) E ) { Правильныйответ} E 12 .Сходственныестороныдвухподобныхтреугольников,пропорциональны числам 5:,аплощадьменьшегоизнихравна75см .Чемуравнаплощадьдругого треугольника? A) 508 см B)496 см C)512 см D)448 см E)468 см {Правильныйответ} D 58 13 .Определитерадиусописаннойоколопрямоугольноготреугольника окружности,есликатетравныйсм,лежитпротивуглав5°. A)20 см B)10 см C см D )5 см E 5см {Правильныйответ} D 14 .Втреугольникеодинизугловразбитбиссектрисой.Накакиеотрезки биссектрисаразделитсторонувсм,еслидругиестороны,пропорциональнычислам, :.Вычислитьнаименьшийотрезок. A)10 см . B)7 см C)6 см D)8 см E)9 см {П равиль ныйответ} E 15 . Найтинаименьшийуголвтреугольникесосторонами см,смисм. A 75° B 5° C 5° D ° E )60 °{П равильныйответ} D 16 . Вравнобедренномпрямоугольномтреугольникегипотенузаравна см. Вычислитесуммукатетовтреугольника. A )26 см B ) см C см D см E см {П равильныйответ} B 17 . Периметрправильноготреугольникаравен см.Найдитедлину окружностивписаннойвнего. A πсм B )11 πсм C πсм D )12 πсм E πсм {Правильныйответ}А 18. Вравностороннемтреугольникемедианаравна5 см.Найдитепериметр треугольника. A см B см C 9см D 9см E см { Правильныйответ} D 19 . Периметрправильноготреугольникаравен см,определитедлину окружности,описаннойоколонего. A см B )11 см C πсм D )22 см E 7,5см {Правильныйответ} C 20 . Высотатреугольника,равна ясмделитоснованиенаотрезкисмисм.Найдите длинумедианы,проведённойкменьшейбоковойстороне. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} D 21 . Втреугольникестороныравны:см,см,см.Накакиеотрезкиразобьёт сторону биссектриса,проведённаяизменьшегоугла?Укажитенаибольшийизних. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} D 22 . Изменьшегоострогоуглапрямоугольноготреугольникаскатетамисмисм проведенабиссектриса.Накакиечастионаразбиваеткатет.Укажите большийизотрезков. A) 5,4 см B)6,1 см C) 5,2 см D) 5,8 см E) 4,8 см {Пр авильныйответ} C 23 . ВысотаВК разбиваеттреугольникАВСначасти,площадьоднойиз которыхв9разбольше.Назовитеразностьотрезков,накоторыеразбиваетсяоснованиеАС равное5см? A 5см B см C см D см E см {П равильныйответ} = Е 59 24 ** . Впрямоугольномтреугольникебиссектрисапрямогоугларазделила гипотенузунаотрезки и Найтикатетытреугольника. A смисм B смисм C 7сми5см D 9смисм E смисм {П равильныйответ}Е 25 ** .Основаниеравнобедренноготреугольникаравносм,абоковаясторона9см.Найдите длинуотрезка,соединяющеготочкипересечениябиссектрисугловприоснованиис боковымисторонамитреугольника. A) ,см B) ,см C) 3, 6 см D) 4,2 см E) 2,7 см { Правильныйответ} C 26 ** .Вправильныйтреугольниквписанквадрат,сторонакоторогоравна m .Найдите сторонутреугольника. A ) см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} C __Планиметрия .Прямоугольникспериметромсмразбилипараллельнымилиниямина равныечастичерезсторонуравнуюсм.Назовитепериметрсреднегоиз прямоугольников. A 7см B см C см D 7см E 7см ответ}А .Диагональпрямоугольника,равная ,наклоненаксторонеподуглом5°. Определитепериметрпрямоугольника. A 7см B 5см C см D см E см Пльныйответ} E .Однасторонапрямоугольник асоставляет5%другойстороны.Определитебольшую сторонупрямоугольника,еслипериметрравен5см. A 9см B 7см C см D см E см {Правилыйответ} E .Полупериметрпараллелограммаравен7см.Найдитеменьшуюсторону,еслионана смм еньшедругой. A см B 7см C см D 5см E см {авильныйответ} B 5.Углыпараллелограммапропорциональнычислам7:5.Чемуравнаразностьдвухуглов присторонепараллелограмма. A ° B ° C ° D ° E ° {Правильныйответ} C .Диагональпараллелограммаобразуетсдвумяегосторонамиуглы°и°.Назовите большийуголпараллелограмма. A 9° B ° C 9° D 9° E 7° {Правильныйответ} C 7.Насторонупараллелограммаравнуюсмпроведенавысотадлиной5см.Опред елите другуюсторону,есливысота,падающаянанеё,равна9см. A см B см C 7см D см E 5см {Правильныйответ} B .Найдитебольшийуголпараллелограмма,еслисуммадвухуглов равна 5°. A° B° ° D° E° {Правил ьныйответ} А 60 9.Диагоналиромбаравнысми7см.Определитесторонуромба. A см B 7см C см D 5см E см равильныйответ} B .Дваугларомбаотносятсякак:.Определитепериметрромба,еслиего меньшаядиагональравнасм. A см B см C см D 5см E см {Правильныйответ} C .Двауглатрапецииравны°и7°.Определитеменьшийугол. A 59° B 7° C 9° D 5° E 57° {Правильныйответ} E .Средняялиниятрапецииравнасм ,аверхнееоснованиенасмменьше нижнего.Определитеменьшееоснование. A см B 5см C см D см E см {Правильныйответ} = C .Боковыесторонытрапецииравны7сми9см,апериметрсм.Определитесреднюю линиютрапеции. A с м B 5см C см D 7см E см {Правильныйответ} B 14 * .Уголмеждудиагональюпрямоугольникаисторонойравнойсм,равен°.Найдите периметрпрямоугольника. A ) 50 см B ) 5(4 см C ) 40( см D см E ) 20( см {Правильныйответ} E 15 * .Биссектрисы,проведенныеиздвухпротивоположныхугловпрямоугольника,отсекли отнегоромбсостороной см.Определитепериметр прямоугольника. A ) 4+4 см B ) 6+ см C ) 8+ см D ) 4+2 см E см {Прответ} D 16 * .Стороныпараллелограмма,заключающиеугол5°,равны5сми см. Определитеменьшуюдиагональпараллелограмма. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} 17 * .Чемуравныдиагоналиромба,еслионипропорциональнычислам:,а сторонаромбаравна5см? A смисм B смисм C смисм D 5смисм E 5смисм равильныйответ} D 18 * .Определитеострыйуголпараллелограмма,есливысотаравнасм,асторона,на которуюнепадаетэтавысота,равна см. A ) 55 B 75° C 5° D ° E ° {Правильныйответ} D 19 * .Однадиагон альпараллелограммасм,астороны5сми7см.Определитедругую диагональ. A ) 10 см B ) 4 см C ) 10 см D ) 12 см E ) 6 см {Прответ} B 20 * .Периметрромбаравенсм,арадиусвписаннойокружностиравенсм. О пределитесинусострогоугла. A )0,5 B )0,65 C )0,75 D ) 0,8 E ) 0,6 {Правильныйответ} D 21 * . Вравнобокойтрапециидиагональравнасм,высо таравнасм,аверхнее основаниеравносм.Подкакимугломнаклоненабоковаясторона? A ° B 5° C ° D 5° E 75° {Правильныйответ} B 22 * .О снованиятрапецииотносятсякак:7.Найдитеверхнееоснование,если средняялинияравна,см. A ,см B 9,см C ,см D ,см E ,см {Правильныйответ} E 61 23 * . Высота,проведённаяизвершинытупогоугларавнобедреннойтрапеции, делитбольшее основаниенаотрезки7сми9см.Вычислитесреднююлинию трапеции. A 9см B см C см D 7см E см {Правильныйответ}А 24 ** . Однадиагональпараллелограммасм,асторонысмисм.Определите другую диагональ. A )10 см B )6 см C )10 см D )12 см E ) 8 см {Пр авильныйответ} E 25 ** . Дваугларомбаотносятсякак:.Определитепериметр ромба,еслиего меньшаядиагональравнасм. A см B см C 5см D 5см E 5см {Правильныйответ} D 26 ** . Однаиздиагоналейромбаравнаегостороне.Определитепериметрромба,еслидругая диагональравна см. A 7см B см C 7см D 7см E см {Правильныйответ} C 27 ** . Основаниятрапециисмисм.Найдитедлинуотрезкапроведённого черезточкупересечениядиагоналей,параллельнооснованиям. A ) см B ) см C ) см D ) см E ) см {Прответ} C Примечание:Отрезок,проходящийчерезточкупересечениядиагоналейпараллельно основаниямравен: . 28 ** . Боковыесторонытрапецииравны7смисм,аоснованиясмисм. Определитевысотутрапеции. A ) см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильный ответ} E 29 ** . Основаниятрапецииравнысмисм.Боковыесторонысоединены отрезком,параллельнымоснованиямиделящимтрапециюнадверавновеликихчасти. Найдитедлинуэтогоотрезка. A ,5см B см C ) 10 см D ) 12 см E см {Пр}С Примечание: ,гдер – отрезок,параллельныйоснованиямиделящийтрапецию надверавновеликиечасти. 30 ** . Основанияравнобокойтрапецииравнысмисм.Определитедлину отрезка, проведённогопараллельнооснованиямиделящеготрапециюнадверавновеликих поплощадитрапеции. A )10 см B ) 15 см C )14 см D )12 см E )13 см {Пр ответ} E Примечание: ,гдер – отрезок,параллельныйоснованиямиделящийтрапецию надверавновеликиечасти. 62 __Планиметрия .Длинаокружности,описаннойоколоправильноготреугольника равнаπсм.Найдитеплощадьтакого круга. A πсм B)108 π см C)96 π см D)100 π см E πсм {Правильныйответ} D .Кокружностипроведенакасательная.Черезточкукасанияпроведенахорда,отрезающая отокружностидугув9˚.Чемуравенуголмеждухордойикасательной? A ˚ B ˚ C 9˚ D ˚ E ˚ {П равильныйответ}А .Найдитедлинудугиокружностирадиусасм,еслицентральныйугол, соответствующийэтойдуге,равен,5радиан. A см B см C 5см D 5см E 5см { Правильныйответ} D .Определитеградуснуюмеруцентральногоугла,ес липлощадькруга равна5 π см ,аплощадьсектораравна75 π см . A ˚ B 5˚ C ˚ D 7˚ E ˚ {Правильныйответ} E 5.Площадькругаравна.Найдитеегодиаметр. A ) см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} B .Източкивнеокружности,радиуса9см,проведенакасательная,срасстояниемдоточки касаниясм .Определитерасстояниеотэтойточкидоцентраокружности. A см B 5см C см D см E 7см{Правильныйответ} C 7.Еслирадиусцилиндраувеличитьвраза,тоегообъёмувеличитсяв… A ) раз B раз C раза D раз E πраза {Правильныйответ} B .Вписанныйуголопираетсянадугу˚.Определитевеличинудругоговписанногоугла, опирающегосянаоставшуюсячастьокружности. A ˚ B 5˚ C 5˚ D ˚ E ˚ { Прави льныйответ} D 9.ВокружностипроведеныпересекающиесяхордыАКиВС. ВАК7˚,а ВКС˚. Определите СВК. A ˚ B ˚ C ˚ D ˚ E )21 ˚ вильныйответ} E .Длинадугисградусноймерой˚равнаπсм.Найдитеплощадьцелогокруга. A 9πсм B 9πсм C πсм D πсм E 5πсм {Правильныйответ} D 11 * .Площадидвухкруговравны5 π см и5 π см .Найдитеотношениеихдиаметров. A ) 5: 2 B ) 3: 2 C ) 5:3 D ) 5: 4 E ) 4: 3 { Правильныйответ} C 12 * .Периметрправильногошестиугольникаравенсм.Найдитеегоплощадь. A )20 см B )32 см C )36 см D )24 см E )28 см {Правильныйответ} D 13 * .Издугиокружностирадиусомсмицентральнымуглом7˚свернулиокружность, ограничивающуюкруг.Определитеплощадьновогокруг а. A 5,7πсм B ,5πсм C ,πсм D 5,5πсм E 7,5πсм {Правильныйответ} D 14 * . Найдитеплощадьсекторарадиусасм, есливписанныйугол,опирающийсянадугу сектора,равен ˚. A )40 π см B ) 64 π см C ) 72 π см D ) 48 π см E )36 π см {Правильныйответ} C 63 15 * . Какимдолженбытьрадиусокружности,еслиеёдлинавразабольшесуммдлин окружностейсрадиусамисми9см? A см B)72 см C)168 см D см E см {П равильныйответ} C 16 * .Стороныдвух,правильныхшестиугольниковотличаютсявраза.Определи теплощадь меньшегоизних,еслисторонабольшегоравнасм. A)84 см B)96 см C)76 см D)102 см E)98 см {Правильныйответ} B 17 * .Площадькруга,описанногооколошестиугольникаравнаπсм . Найдитеплощадьправильногошестиугольника. A )66 см B ) 48 см C ) 56 см D )72 см E ) 54 см {Правильныйответ} E 18 * . Вправильныйшестиугольниксосторонойсмвписанаокружность,площадькоторой необходимонайти. A πсм B πсм C 9πсм D πсм E πсм ет} D 19 * .Площадьправильногошестиугольникаравна см .Найдитеплощадькруга, описанногооколошестиугольника. A πсм B πсм C πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} E 20 ** .Определитеградуснуюмеруцентральногоугла,еслиплощадькругаравна S , а площадьсектораравна G . A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} B 21 ** . Длинадуги,ограничивающейсекторплощадью9πсм ,равнаπсм.Определите градуснуюмеруцентральногоугла. A 7° B ° C 5° D ° E ° { Правильныйответ}Е 22 ** . Секторсрадиусомсмиуглом˚равновеликсдругимсекторомсцентральным угломв˚.Определитерадиусвторогосектора. A ) 5 см B ) 4 см C ) 3 см D ) 6 см E ) 4 см {Правильныйответ}С 23 * . O пределитедлинухорды,стягивающейдугув˚,еслирадиусокружностиравен см. A см B 7см C см D см E см {Правильныйответ} D 24 ** . Вправильныйшестиугольниквписанправильныйтреугольник.Найдитеотношение ихплощадей. A ) 3:2 B ) 3:1 C ) 2:1 D ) 4:3 E ) 4:1 {П равильныйответ} C 25 ** . Расстояниемеждуцентрамидвухокружностейравно5см,аихрадиусыравнысм исм.Определитерасстояниемеждуточкамипересеченияокружностей. A ,см B ,см C 7,9см D ,см E ,см {Правильныйответ} B 26 ** . Найдитеотношениеплощадикруга,вписанноговшестиугольниккплощадикруга описанногооколонего. A )0,8 B ) 0,85 C )0,9 D ) 0,75 E )0,95 Правильныйответ} D 27 ** . Изалюминиевойтрубкиизготовилипятьразныхобручейдлягимнастики.Диаметр каждогоследующегообручабылна,мбольшепредыдущего.Определитедиаметр меньшегообруча,еслизатрачено5πмтрубки. A ,95м B) 0, 7м C)1 м D)0,9 м E)0,8 м {Правильныйответ}Е 64 __Планиметрия .Площадьквадратаравнасм .Найдитеегодиагональ. A )10 см B см C )12 см D см E )9 см {Правильныйответ} C .Периметрквадратаравенсм.Определитеплощадькругавписанноговквадрат. A πсм B πсм C πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} E .Площадькругаравна9см .Найдитедлинудиагоналиквадратавписанноговэтот круг. A ) см B ) см C πсм D ) см E ) 28 см {Правильныйответ} D .Изкругадиаметромсмвырезанквадрат.Найдитеегоплощадь. A см B 5см C см D 9см E ) 144 см {Правильныйответ} C 5.Еслиплощадидвухквадратовсосторонамисмисмсложить,тополучитсяквадрат состороной…. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} B .Периметрквадратаравен см.Определитеплощадькругаописанного околоквадрата. A) 32 πсм B) 48 πсм C) 72 πсм D) 64 πсм E) 128 πсм {Правильныйответ} D 7.Стороныпрямоугольникапропорциональнычислам5:,аегоплощадьсм . Определитеплощадькруга,описанногооколопрямоугольника. A πсм B 9πсм C 9π см D 5πсм E πсм {Правильныйответ} C .Стороныпрямоугольникасмисм.Определитеплощадькругаописанногооколо прямоугольника. A πсм B 9πсм C 9πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} B 9.Найдитепериметрпрямоугольника,еслиоднасторонаравнасм,аплощадь7см . A см B см C 9см D 9см E см {Пр авильныйответ}А .Однасторонапрямоугольникана%большедругой.Площадь прямоугольника5см .Найдитеменьшуюизсторон. A см B см C см D см E см {П равильныйответ} B .Найдитепериметрпрямоугольника,еслиоднасторонаравна5см, аплощадь7см . A см B 7см C см D см E 7см {П равильныйответ} D .Высотаправильноготреугольникаравнасм. Найдитеплощадькруга вписанноговтреугольник. A πсм B πсм C см D πсм E см {Правильныйответ}А 13 * .Найдитеплощадь правильноготреугольника,еслиплощадьвписанно го внего круга равнаπсм . A ) 56 см B ) 64 см C ) 32 см D ) 48 πсм E ) 46 см {Правильныйответ} D 14 * . Найдитеплощадьправильноготреугольника,еслидиаметрвписанной внегоокружности, р авенсм A )150 см B ) 50 см C ) 75 см D ) 80 см E ) 100 см {Пвильныйответ} C 65 15 * . Длинаокружности,вписаннойвправильныйтреугольникравнаπсм. Найдитеплощадьтакоготреугольника. A ) 194 см B ) 144 см C ) 192 см D ) 212 см E ) 198 см Правильный ответ C 16 * . Еслиплощадидвухквадратовсосторонамисми5смсложить,тополучитсяквадрат спериметром…. A )94 см B см C см D 9см E см {Правильныйответ} E 17 * . Изкругадиаметромсмвырезаннаибольшийквадрат.Найдитеегоплощадь. A см B см C см D 9см E см Правильныйответ} B 18. Определитепериметрквадрата,еслиегоплощадь S см . A ) 0,25 S см B ) 4 см C ) 2 S см D ) S см E ) 2 см {Правильныйответ} B 19 * . Площадькругаописанногооколоквадратаравна5πсм .Найдитеплощадьквадрата. A 5см B 75см C 5см D ) 125 см E см {Правильный ответ} E .Определитедиагональквадрата,еслиегоплощадь S . A) 0,25 S см B) 4 см C) см D) S см E) 2 см {Правильныйответ} C 21 * .Изквадратавырезалиравныхкругатак,чтооникасалисьдвумяточками сторонквадратаидвумяточкамидвухдругихкругов.Определитеплощадь материалаушедшеговотходы,еслисторонаквадратаравна см. A ) 36(4 – πсм B см C ) (108 – πсм D ) 60(12 – 5πсм E π – см {Правильныйответ}А 22 .Восколькоразувеличитсяпериметрквадрата, еслиегоплощадьувеличитсявраза? A враз B враза C в раза D враз E в раз {Правильныйответ} C 23 * .Определитевосколькоразплощадькругаописанногооколоквадратабольшеплощади кругавписанноговквадрат. A в раза B в раз C в раза D враза E враза {Правильныйответ} E 24 * .Площадьправильногошестиугольникаравна см .Определитеплощадькруга вписанноговшестиугольник. A ) 18 см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} D 25 * .Площадькруга,вписанноговправильныйшестиугольник, равна,75πсм .Найдите периметршестиугольника. A см B 5см C см D 5см E 5см {Правильныйответ} D 26 * .Площадьодногоправильногошестиугольникав9разбольшедругого.Найдите площадьбольшегошестиугольника,если сторонаменьшегоравнасм. A ) 256 см B 5см C ) 216 см D ) 144 см E ) 532 см {Правильныйответ} C 27 * .Длинаокружностивписаннойвправильныйшестиугольникравнаπсм. Найдитеплощадьшестиугольника. A ) 200 см B см C 7см D ) 180 см E ) 240 см {Правильныйответ} A 66 28 * .Периметрпрямоугольникаравенсм,арадиусописаннойоколонего окружностиравенсм.Определите площадьпрямоугольника. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} A 29 ** .Найдитеплощадьравнобедренноготреугольника,есливысотаопущеннаяна основаниеравнасм,авысота,опущеннаянабоковуюсторонуравнасм. A 75см B 7см C см D 7см E см {Правильныйответ}А 30 ** .Найтиплощадьпрямоугольноготреугольника,еслиеговысотаделит гипотенузунаотрезкисми7см. A 5см B см C ) 364 см D см E 5см {Правильныйответ}А 31 ** .Найдитеплощадьвписаннойвтреугольникокружности,еслиегостороны равнысм,сми5см. A 9πсм B ) 5πсм C смπ D πсм E 9πсм {Правильныйответ} C 32 ** .Впрямоугольныйтреугольниксуглом°вписанкруградиусасм. Вычислитеплощадьэтого треугольника. A ) (16 см B ) (32 см C ) 24 см D ) (48 см E ) (40 см {Пра вильныйответ} B 33 ** .Найдитеплощадьравнобедреннойтрапеции,зная,чтодиагоналивзаимно Перпендикулярныиихдлиныравнысм. A см B см C ) 5см D 9см E см {Правильныйответ} B 34 ** .Диагональравнобокойтрапецииравнаясм,перпендикулярнабоковой стороне.Определитеплощадьтрапеции,еслиеёбольшееоснование см. A ,5см B ,см C ,см D ,5см E ,5см {Правильныйответ B 35 ** .Найдитеотношениеплощадиромбасосторонойаи острымугломαкплощади квадратасостороной,равнойдиаметрувписанноговромбкруга. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} E _5_Планиметрия .Вравнобедренномтреугольникебоковаясторонасм,основаниесм.Определите высоту,опущеннуюнабоковуюсторону. A 9,см B 9,см C ,см D 9,см E 9,см {Правильныйответ} D .Катетыпрямоугольноготреугольникаравны.Определ итеихдлину,еслиплощадь треугольникасм A) 9 см B) 6 см C) 3 см D) 8 см E) 3 см {Правильныйответ} B .Одинкатеттреугольникана7см большедругого,аплощадьравнасм .Определите большийкатетпрямоугольноготреугольника. A см B см C см D 5см E см {Правильныйответ} E 67 .Площадьпрямоугольноготреугольникасм ,а гипотенуза5см.Найдитеразность катетов. A см B см C см D см E ,5см {Правильныйответ}А 5.Найдитеотношениекатетовпрямоугольноготреугольника,еслигипотенузаравнасми катетсм. A )13 : 4 B )13 : 12 C )12 : 5 D )10 : 3 E ) 13 : 5 {Пр авильныйответ} C .Впрямоугольномтреугольникеодинкатетнасмбольшедругого.Найдитеменьший катет,еслигипотенузаравнасм. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} D 7.Впрямоугольномтреугольникекатетигипотенузаравнысм,5см.Вычислите высоту,проведённуюизпрямогоугла. A см B 7см C см D см E см {П равильныйответ}А .Катетыпрямоугольноготреугольникаравнысмисм.Определитесинусме ньшего угла. A ) 0,4 B ) 0,6 C ) 0,7 D ) 0,8 E ) 0,9 { Правильныйответ}В 9. Впрямоугольномтреугольникесуммакатетовравна5см,агипотенузасм.Найдите меньшийкатет. A см B см C см D см E 5см {Правильныйответ} D .Катетыпрямоугольноготреугольникаотносятсякак:,агипотенузаравна55см. Найдитепериметртреугольника. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} C .ВН ABC :ВС5см,АВ9см, А°.ОпределитесинусуглаС. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ}А .Диагоналиромбаравнысмисм .Определитесторонуромба. A см B 7см C см D 5см E 9см {Правильныйответ}А .Катетпрямоугольноготреугольникаравенсм,агипотенузасм.Определитевысоту этоготреугольника. A ,см B ,см C ) 18,8 см D 9,см E 7,см {Правильныйответ} D 14 * . Найтикосинусменьшегоуглатреугольникасосторонамисм,сми5см. A ) 0,8 B ) 0,7 C ) 0,5 D ) 0,4 E ) 0,6 {Правильныйответ}Е 15 * . Гипотенузапрямоугольноготреугольникаравнасм.Найдите разностькатетов,если онипропорциональнычислам:. A 5см B см C см D см E см {Правильныйответ}В 16 * . Площадьпрямоугольноготреугольникасм ,асуммакатетов7см.Найдите гипотенузутреугольника. A) 13 см B см C см D 7см E 5см {Правильныйответ}А 17 * . Вравнобедренномтреугольникебоковаясторонаравнасм,аоснованиеотноситсяк высотекак:.Найдитерадиусвписаннойокружности. A ) см B ) см C ) см D ) 5 см E ) см {Правильныйответ}Е 18 * . Чемуравенбольшийуголвтреугольникесосторонами5 см,5смисм? A 75° B 5° C 9° D ° E ° {Правильныйответ} C 19 * . Найдитерадиусвписаннойвтреугольникокружности,еслиегостороныравнысм, сми5см. A ,см B см C 5см D ,см E ,см {Правильныйответ} B 68 20 * . Определитекосинусбольшегоуглатреугольника,еслиегостороны:7см,сми9см. A ) B ) C ) D ) E ) {П равильныйответ} D 21 * . Площадьпрямоугольноготреугольникасм ,асуммакатетовсм.Найдите гипотенузутреугольника. A 9см B см C см D 7см E 5см {П равильныйответ} D 22 * . Площадьпрямоугольноготреугольника9см ,аеговысота9,см.Найдитесумму катетовэтоготреугольника. A 7см B см C см D см E см {П равильныйответ} B 23 * . Катетпрямоугольноготреугольникаравенсм,агипотенуза5см.Определите высотуэтоготреугольника. A ) 7,см B 7,см C ,см D 7,см E ,см {Правильный ответ} C 24 * . Впрямоугольномтреугольникекатетыравнысмисм.Найдитекосинусбольшего острогоугла. A )0,3 В,7 С,5 D )0,4 Е, {Правильныйответ} E 25 * . Площадь прямоугольноготреугольникасм ,акатетсм.Укажитеразность гипотенузыидругогокатета. A см B см C см D см E 9см {Правильныйответ} А 26 * . Гипотенузапрямоугольноготреугольникаравнасм,аплощадь см .Найдите меньшийкатет. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} C 27 * . Площадьпрямоугольноготреугольникасм ,аеговысота,см.Найдитесумму катетовэтоготреугольника. A см B ) см C 5см D см E см {Правильныйответ} B 28 * . ОтрезокОАдлинойсмперпендикуляренплоскостиквадратаАВСDсостороной 5 см.Определитерасстояние О С. A см B ) 26 см C ) 24 см D см E см {Правильныйответ} D 29 ** . Втреугольникестороныравны:см,см,см.Накакиеотрезкиразобьётсторону биссектриса,проведённаяизменьшегоугла?Укажитенабольшийизних. A ) 11 см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} B 30 ** . ИзсерединыменьшейстороныАВкплоскостипрямоугольникаАВСDпроведён перпендикулярОМдлинойсм.НайдитедлинуМС,еслистороныпрямоугольника сми см. A см B см C 7см D см E см {Правильныйответ}Е 31 ** . Определитекосинуснаибольшегоуглатреугольника,еслистороныравны7см,см исм A ) B ) C ) D ) – E ) {Правильныйответ} В 69 32 ** . Синусугламеждусторонамитреугольникаравнымисмисмравен . Найдитесуммусинусовдвухдругихуглов. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} B 33 ** . Втреугольникедвестороныравны5смисм,асинусугламеждуними,.Найдите медиану,проведённуюкбольшейстороне. A )5,2 см B ,см C см D ,см E ) 4 , см {Правильныйответ} С 34 ** . Однадиагональпараллелограммасм,асторонысмисм.Определитедругую диагональ. A )10 см B )6 см C )10 см D )12 см E ) 8 см {Правильныйответ} E __Стереометрия .Източкиудалённойотплоскоститреугольниканарасстоянии5см, проведенытри равныенаклонныеквершинамтреугольника.Определитеихдлину,еслиплощадькр уга, описанногооколотреугольникаравна πсм . A 9см B 7см C см D см E см {Правильныйответ} B .Източкивнеплоскостипроведеныдвенаклонные,однаизкоторыхравнасм и наклоненаподуглом°кплоскости.Определитедлинувторой наклонной,еслиеёпроекциянаплоскостьравнасм. A см B) 12 см C) 10 см D) 14 см E) 13 см {Правильныйответ} C .ТочкаМудаленаотплоскостиквадратанарасстояниисм.Найдите расст ояниеотэтойточкидовершинквадрата,еслиегоплощадьравна5см . A см B 5см C см D см E см {Правильныйответ} E .Определитеуголнаклонаотрезкакплоскости,еслидлинанаклоннойсм,адлинаеё проекции5 см. A ° B 5° C ° D ° E 75° {Правильныйответ}А 5.Триразличныеплоскостинепараллельныиимеютоднуобщуюточку. Назовитеихвзаимноерасположение.Они: A совпадают. B пересекаются. C ) скрещиваются. D двесовпадают,атретьяихпересекает. E касаютсятолькоуглами. {Правильныйответ}В .Уголмеждудвумянаклонными9°.Определитерасстояниемеждуточками пересечениянаклонныхсплоскостью,еслидлинынаклонныхсмисм. A см B см C см D см E 5см {Правильныйответ} B 7.Определитеуголнаклонаотрезкакплоскости,еслидлинанаклоннойсм,адлинаеё проекциисм. A ° B 5° C ° D ° E 75° {Правильныйответ} C 8 . Дваотрезка, концыкоторыхсоединеныводнуточкуиудаленыотплоскостина расстояниисм,наклоненыкплоскостиподуглами5°и°.Определитедлиныэтих наклонных. A )10 сми с м B ) 8 сми см C ) 10 сми см D ) 8 сми см E ) 10 см и см {Правильныйответ}Е 70 9 * . Определитеплощадьравностороннеготреугольника,еслиотегоплоскостиудалена точканарасстояниисм,адлиныотрезков,проведённыхотэтой точкидосторонтреугольникаравнысм. A ) 112 см B ) 120 см C ) 125 см D )108 см E ) 96 см {Прьныйответ} D 10 * . Уголмеждудвумянаклонными °.Определитерасстояниемеждуточками пересечениянаклонныхсплоскостью,еслидлинынаклонныхсмисм. A )9 см B ) 8 см C см D ) 6 см E см {Правильныйответ} D 11 * . Източкивнеплоскостипроведеныдвенаклонные,однаизкоторыхравнасми наклоненаподуглом°кплоскости.Определитедлинувторойнаклонной,еслиеё проекциянаплоскостьравнасм. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} E 12 * . Източкивнеплоскостиправильногошестиугольника,имеющегоплощадь равную 96 см ,кеговершинам проведенынаклонныедлинойсм. Определите,накакомрасстоянииотшестиугольникаудаленаточка. A 9см B см C 7см D см E 5см {Правильныйответ} D 13 * . Източкиудалённойотплоскоститреугольниканарасстояниисм, проведенытриравныенаклонныеквершинам треугольника.Определитеихдлину,если площадькруга,описанногооколотреугольникаравна5 πсм . A см B см C 5см D см E 7см {Правильныйответ}А 14 * . Однанаклоннаядлинойсм образуетсплоскостьюугол°,другая наклоннаяугол5°.Вычислитедлинувторойнаклонной,еслиониобе выходятизоднойточки. A ) 10 см B см C ) 9 см D ) 2 см E см {Правильныйответ} C 15 * . Проекциидвухнаклонныхравныесмисм образуютнаплоскостипрямойугол. Определитедлинуперпендикуляра,еслинаименьшаяизнаклонных,равнарасстоянию междуточкамипересечениянаклонныхсплоскостью. A см B см C см D см E 9см {Правильныйответ} B 1 6 * . Определитеплощадьравностороннеготреугольника,еслиотегоплоскостиудалена точканарасстояниисм,адлиныотрезков,проведённыхотэтой точкидосторонтреугольникаравны5см. A ) 42 см B ) 60 см C ) 75 см D ) 48 см E )64 см {Правильныйответ} D 17 ** . Впространстве:прямые m и n пересекаются,прямые n и k параллельны.Каквзаимно располагаютсяпрямые: m и k ? A совпадаютилипараллельны. B перпендикулярныилискрещиваются. C пересекаютсяилисовпадают. D параллельныилипересекаются. E скрещиваютсяилипересекаются. 71 18 ** . ИзвершиныпрямогоуглаСвосстановленперпендикулярСМкплоскости треугольника.ОпределитерасстояниеотточкиМдогипотенузыАВ,еслиАВс,ВСа, СМ m . A ) B ) C ) D ) E ) { Прави льныйот 19 ** . Определитетангенсдвугранногоугла,образованногобоковойграньюи основаниемтетраэдра. A ) B ) 3 C ) D ) 2 E ) 2 {Правильныйответ} E 20 ** . ПрямыеАВ,АСиАDпопарноперпендикулярны.НайдитеотрезокСD,еслиВDс, ВСа,АD m . A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} B __Стереометрия .Диагональкубаравна см.Определитеобъёмкуба. A см B см C см D )48 см E )96 см {Правильныйответ}А .Объёмкубаравен79см .Найдитеплощадьповерхностикуба. A см B 5см C см D 9см E см {Правильныйответ}А .Вычислитесуммувсехрёберкуба, еслиплощадьполнойповерхностиравнасм . A см B 9см C 9см D см E см {Правильныйответ} D .Впрямоугольномпараллелепипедедлинырёберравны:5мм,5мми5мм.Во сколькоразуменьшитсяобъёмпар аллелепипеда,есливсеегоизмеренияуменьшитьв5раз. A враз B в5раз C в5раз D в5раза E в5раз {Правильныйответ} C 5.Высотапрямоугольногопараллелепипедаравнасм.Ширинанасм меньшедлины. Найдитебольшуюсторонуоснования,еслиобъёмпараллелепипедаравенсм . A см B см C см D см E 5см {Правильныйответ} D .Триизмерениядлина,ширина,высотапрямоугольногопараллеле пипеда пропорциональнычислам::5.Найдитесуммувсехрёбер,еслиегообъёмравен9см A см B см C см D 5см E 7см {Правильныйответ}А 7.Площадьбольшейбоковойгранипрямойпризмы,воснованиико торой прямоугольныйтреугольникравнасм .Определитеобъёмпризмы,есликатеты прямоугольноготреугольникаравны5смисм. A см B 5см C 5см D 5см E см {Правильныйответ}Е .Воснованиипрямойпризмыромбсдиагоналямиравнымисмисм. Определитеплощадьбоковойповерхностипризмы,еслиеёобъёмравенсм . A см B см C 5см D 5см E см {Правильныйответ}А 72 9.Кбоковымрёбрамнаклонногопараллелепипедаравнымсм перпендикулярнопроведеносечениеплощадью55см .Найдитеобъём парал л елепипеда. A 5см B 5см C 55см D 5см E 5см {Правильныйответ} C .Объёмнаклонногопараллелепипедаравенсм .Определитесторонуквадрата, лежащеговосновании,есливысотапараллелепипедаравна7см. A см B см C см D см E ) 5см {Правильныйответ} C .Площадьоснованиятетраэдра:97см .Определитеплощадьполной поверхноститетраэдра. A см - B см C см D см E 9см {Правильныйответ} D .Суммавсехрёбертетраэдраравна5см.Вычислитеплощадьполной поверхноститетраэдра. A 9см B) 81 см C) 64 см D ) 56 см E ) 32 см {авиьныйответ} B .Вправильнойтреугольнойпирамидеобъёмравен7см ,асторонаоснованиясм. Определитевысотупирамиды. A ) 16 см B ) 12 см C ) 8 см D ) 6 см E ) 9 см {Правильныйответ} C .Определитерасстояниеотвершиныправильнойтреугольнойпирамидыдо стороноснования,есливысотапирамидыравна5см,аплощадькруга, вписанноговоснованиеравнаπсм . A см B см C 7см D см E см {Правильныйответ} C 5.Вправильнойчетырёхугольнойпирамидеобъёмравенсм ,аплощадь круга,вписанноговоснованиеравна9πсм .Определитевысотупирамиды. A см B 5см C см D см E ) 14 см {Правильныйответ}Е .Вычислитеобъёмправильнойшестиугольнойпирамидысвысотойравной сми сторонойоснованияравнойсм. A ) 800 см B 5см C )1200 см D см E см {Правильныйответ} B 7.Площадьоснованияпирамиды7см ,авсегранинаклоненыподуглом°.Найдите площадьбоковой поверхностипирамиды. A см B 7см C см D 9см E 9см {Правильныйответ} B .Найдитеплощадькругавписанноговмногоугольник,лежащийвоснованиипирамиды, есливысотыбоковыхгранейравны5см,авысотапирамидысм. A 5πсм B πсм C 9πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} C 19 . Объёмпирамидысм .Определитевысотупирамиды,проведённуювцентркруга площадьюπсм ,вписанноговравнобокую трапециюс основаниямисмисм. A 5см B см C см D см E см {Правильныйответ} C 73 20 * . Площадьправильноготреугольника,лежащеговоснованиипрямойпризмыравна5 см .Вычислитеобъёмпризмы,еслиплощадьбоковой поверхностиравна см . A 55см B 55см C 5см D 5см E 55см {Правильныйответ} D 21 * . Объёмпрямоугольногопараллелепипедаравен5см ,площадьоснованиясм , идлинанасм большеширины.Найдитесуммудлинвсехрёбер параллелепипеда. A 5см B см C см D см E 7см {Правильныйответ} B 22 * . Определитеобъёмпрямойпризмы,воснованиикоторойтреугольниксо сторонамисм,см,5см.Площадьбоковой поверхностипризмыравнасм . A 9см B см C см D 9см E 9см {Правильныйответ} D 23 * . Воснованиипрямойпризмыпрямоугольныйтреугольникскатетамисми 5см.Определитеполнуюповерхностьпризмы,еслиеёобъёмсм . A 9см B 9см C 9см D см E 9см {Правильныйответ}А 24 * . Воснованиипрямойпризмыромбсдиагоналямиравнымисмисм. Определитеплощадьбоковойповерхностипризмы,еслиеёобъёмравен5 см . A см B 5см C 5см D 5см E см {Правильныйответ} B 25 * . Железнодорожнаянасыпьв сеченииимеетформутрапециисосторонами5м,м,5 мим.Сколькокубометровнасыпногоматериалабудет израсходованонаперегоневкм. A) 66000 м B) 50500 м C) 60000 м D ) 72000 м E) 70000 м {Правильныйответ}С 26 * . Суммавсехрёбертетраэдраравнасм.Вычислитеобъёмтетраэдра. A )240 см B ) см C )160 см D ) см E )140 см {Правильныйответ} D 27 * . Определитетангенсугланаклонабоковогоребра тетраэдра коснованию. A ) B ) 2 C ) D ) 3 E ) 2 {Правильныйответ} C 28 * . Определитекосинусугланаклонабоковойгранитетраэдракоснованию. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} E 29 * . Найдитедлину боковогоребраправильнойчетырёхугольнойпирамиды,еслисторона основанияравна5 см,авысотапирамидысм. A 7см B см C см D 5см E см {Правильныйответ} E 30 * . Найдитедлинубоковогоребраправильнойчетыр ёхугольнойпирамиды,еслисторона основанияравна см,авысотапирамиды5см. A 7см B см C см D 5см E см {Правильныйответ}А 74 31 * . Объёмправильнойчетырёхугольнойпирамидыравенсм .Определите высотупирамиды,еслиплощадьвписаннойвоснованиеокружностиравна9πсм . A см B см C см D 5см E 7см {Правильныйответ} D 32 * . Площадьбоковойповерхностиправильной четырёхугольнойпирамидыравна9 см ,аплощадьоснованиясм .Определитеобъёмэтой пирамиды. A ) 512 см B ) 128 см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} D 33 * . Вправильнойчетырёхугольнойпирамидедлинабоковогоребраравна7см,а площадь основаниясм .Определитевысоту. A см. B 5см. C см. D см. E см. {Правильныйответ} B 34 * . Боковоереброправильнойшестиугольнойпирамидыравносминаклоненопод углом° коснованию .Вычислите площадькругаописанногооколо шестиугольника. A 9πсм B 9πсм C πсм D 9πсм E πсм {Правильныйответ} D 35 * . Площадьбоковой поверхностиправильнойшестиугольнойпирамидыравнасм ,аплощадькругаописанногооколооснованияπсм .Определитебоковоереброэтой пирамиды. A см B 5см C см D см E см {Пра вильныйответ}А 36 * . Воснованиипирамидылежитпрямоугольныйтреугольникскатетамисмисм. Определитеобъёмпирамиды,есливсебоковыерёбраравны5см. A 5см B см C см D см E см {Правильныйответ} D 37 * . Воснованиипирамиды,свысотойсм,лежитромбсосторонойравнойсм . Определитеобъёмпирамиды,есливсевысотыбоковыхгранейравнысм. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} C 38 * . Основаниемпирамидыслужитромбсосторонойсмиострымуглом°.Двугранные углыприоснованиипирамидыпо5°.Вычислитеплощадь боковойповерхностипирамиды. A ) см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} B 39 * . Всебоковыерёбрапирамидынаклоненыкоснованиюподуглом5°. Определитеобъёмпирамиды,есливеёоснованиилежитпрямоугольник состоронамисмисм. A) 680 см B) 640 см C 7см D 7см E см {Правильныйответ} B 40 * . Площадьромба,лежащеговоснованиипирамиды,равнасм ,аплощадькруга вписанноговромбравнаπсм .Определитеобъёмпирамиды,есливысотыеё боковыхгранейравнысм. A 5см B см C 9см D см E 5см {Правильны йответ} D 41 ** . Объёмтетраэдраравен см .Найдитеплощадьоснованиятетраэдра. A ) 6 см B ) 8 см C ) 9 см D ) 10 см E ) 12 см 75 {Правильныйответ} C 42 ** . Воснованиипрямойпризмыравностороннийтреугольниксмедианойравной см. Найдитеобъёмпризмы,еслиплощадьбоковойповерхностиравнасм . A ) 280 см B ) 260 см C ) 220 см D ) 240 см E ) 300 см {Правильныйответ} D 43 ** . Воснованиипрямойпризмыромбсосторонойравнойсм иострымуглом°.Через меньшуюдиагональромбапроведеноперпендикулярноесечениеиегоплощадьравна см .Определитеобъёмэтойпризмы. A ) 1200 см B ) 1080 см C ) 1160 см D ) 960 см E ) 980 см {Правильныйответ} B 44 ** Площадьправильноготреугольника,лежащегов основаниипрямойпризмы,равна см .Вычислитеобъёмпризмы,еслиплощадьбоковойповерхностиравна см . A 75см B 7см C 7см D 75см E 5см {Правильныйответ} B 45 ** . Воснованиинаклоннойпризмыромбсдиагональюравнойсмисторонойравной 7см.Определитеобъёмпризмы,если перпендикулярноесечение,проходящеечерез большуюдиагональромба,имеетплощадьравнуюсм . A 7см B см C см D см E см {Правильныйответ} C 46 ** . Воснованиипирамидытреугольниксосторонамисм,сми5см. Найдитевысотупирамиды,есливсевысотыбоковыхгранейравнысм. A ) 6 см B ) 8 см C ) 6 см D ) 7 см E )5 см {Правильныйответ}А 47 ** . Объёмтетраэдраравен V .Найдитесуммувсехрёбертетраэдра. A ) см B ) см C ) см D ) см E ) см {Правильныйответ} B 48 ** . Площадьполнойповерхноститетраэдраравна см .Определитеобъём тетраэдра. A ) 169 см B ) 216 см C ) 128 см D ) 156 см E ) 144 см {Правильныйответ} E 49 ** . Объёмправильнойтреугольнойпирамидыравен см .Определитеплощадь вписаннойвоснованиеокружности,есливысотапирамидыравнасм. A ,5πсм B π см C 7πсм D 5πсм E 9πсм т} D 50 ** . Определитеобъёмтреугольнойпирамиды,еслистороныоснованияравны см,7смисм ,авысотыбоковыхгранейравны,7см. A ,см B ,см C ,см D ,см E ,см {Правильныйответ} E 51 ** . Воснованиипирамидытрапециясосторонамисм,5см,сми5см.Вершина пирамиды,свысотойравной см,проектируетсянасередину высотытрапеции,проходящейпоосисимметриитрапеции.Определите площадьбоковойповерхн остипирамиды. A см B7см см D см E 7см {Правильныйответ} D 52 ** . Воснованияхусечённойпирамидыправильныетреугольникисосторонамисми см.Определитевысотуэтойпирамиды,еслиеёобъём5 см . A см B см C см D 5см E см 76 {Правильныйответ} C 53 ** . Вправильнойусечённойчетырёхугольнойпирамидеплощадиоснованийравны7см исм .Определитедлинубоковогоребрапирамиды,еслиеёвысотаравнасм. A см B см C см D см E ) 14 см {Правильныйответ} D __Стереометрия. .Вцилиндрепроведеносечениеподуглом°так,чтоонополностью проектируетсянаоснованиецилиндраимеющегорадиусравныйсм. Определитеплощадьсечения. A 5πсм B π см C πсм D 5πсм E 5πсм {Правильныйответ}С .Черезточкуоснованияцилиндрапроведеносечениеподуглом°,так,чтоеговерхняя точканаходитсянас ерединевысотыцилиндраобразующей. Определитеобъёмцилиндра,еслибольшаяосьсеченияравнасм. A 5,5πсм B 7,5πсм C 9,5πсм D 9,5πсм E ) ,5πсм {Правильныйответ} D .Впрямомкруговомцилиндребоковаяповерхностьравна5π.Определитеплощадь осевогосеченияцилиндра. A 5см B 5см C) 300 см D) 75 см E) 150 см {Правильныйответ}Е .Осевымсечениемцилиндраявляетсяквадратсдиагональюравной см.Определите объёмэтогоцилиндра. A πсм B πсм C πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} A 5.Высотаконусаравнаегорадиусу.Определитеобъёмконуса,еслиплощадь осевого сеченияравнасм . A ) π см B ) π см C ) π см D ) π см E ) π см {Правильныйответ} A .Площадиоснованийусечённогоконуса9πсм иπсм .Определите высотуданногоконуса,еслиплощадьосевогосечения см . A см B 7см C см D см E см {Правильныйответ} E 7.Тришарасрадиусамисм,сми5смсплавиливодиншар.Найдите: среднееарифметическоеобъёмовтрёхшаров. A 9πсм B π см C πсм D 9πсм E 9πсм {Правильныйответ} D .Тришарасрадиусамисм,сми5смсплавиливодиншар.Найдите: радиусновогошара. A см. B см. C 5,5см D ,5см E 7см {Правильныйответ} A 9.Изтрёхшаровсрадиусамисм,сми5смсплавилиодиншар.Найдите: площадьповерхностиновогошара. A πсм B 9πсм C 9πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} E .Вшаресрадиусом7смпроведеносечениенарасстояниисмотцентрашара. Вычислитеплощадьсечения. A 9πсм B πсм C 5πсм D 5πсм E πсм {Правильныйответ} C 77 .Реброкубаравносм.Определитеразностьплощадейповерхностикубаи шара,вписанноговнего. A ) 48 (6 – π ) см B ) 64 (4 – π ) см C ) 48 (8 – π ) см D ) 64 (6 – π ) см E ) 64 (8 – π ) см { Правильный ответ } = D .Образующаяконуса,вписанноговшарравнасм,арадиусшара5см.Найдитерадиус конуса. A ,см B ,7см C ) 4,8 см D ,см E ,см {Правильныйответ} C .Площадьдиагональногосечениякуба,вкоторыйвписаншар,равна см. Определитеповерхностьшара,вписанноговкуб. A πсм B πсм C πсм D πсм E 5πсм {Правильныйответ} B .Площадиосевыхсеченийдвухразныхшаровравныπсм иπсм . Найдитеотношениеихобъёмов. A ) 3,25 B ) 4,125 C ) 3,125 D ) 4,25 E ) 3,375 {Правильныйответ} E 5.Изсекторасрадиусомсмиуглом7 0 о свернуликонус.Определитерадиусоснования конуса. A см B см C см D 9см E ) см {Правильныйответ} D .Боковаяповерхностьконусаπсм ,образующаясм.Определите площадьоснованияконуса. A πсм B 5πсм C πсм D πсм E 9πсм {Правильныйответ}В 7.Площадьосевогосеченияцилиндраравнасм . Определитеплощадьегобоковой поверхности. A πсм B πсм C πсм D πсм E 9πсм {ПравильныйответА .Найдитедлинуобразующейусечённогоконуса,еслирадиусыоснованийравнысми см,аеговысота5см. A см B см C см D 7см E ) 9см {Правильныйответ} D 19 * .Параллельноосицилиндранарасстояниисмотнеё,проведеносечение . Определитеегоплощадь,еслиплощадьоснованияцилиндраравнаπсм ,аплощадь осевогосечениясм . A см B см C см D ) см E см {Правильныйответ}В 20 * .Объёмцилиндраравенπсм ,аплощадьбоковойповерхностиравнаπсм . Определитепериметросевогосеченияцилиндра. A см B 7см C 9см D см E 9см {Правильныйответ} D 21 * .Вцилиндресвысотойсм,нарасстояниисмотосисимметрии перпендикулярнооснованиюпроведеносечение,площадькоторого см .Определите объёмэтогоцилиндра. A 5πсм B 57πсм C 5πсм D πсм E 557πсм {Правильный ответ}В 78 22 * .Конуссвысотойсмпересечёнплоскостьюпараллельнойоснованиюна расстояниисмотвершины.Определитеобъёмверхнейсрезаннойчасти конуса,еслиплощадьоснованияпервогоконусаравнаπсм . A ,5πсм B πсм C πсм D ,5πсм E 5πсм {Правильныйответ} B 23 * .Черезвершинуконусаподуглом5°коснованию,проведеносечение,которое на основаниисрезаетªсегментпохорде,опирающейсянадугу°.Найдитеплощадьэтого сечения,еслиплощадькругаравнаπсм . A ) 8 см B ) 9 см C ) 12 см D ) 6 см E ) 4 см {Правильныйответ} B 24 * .ГородАнаходитсянаЗемномшарена°севернойшироты.Определитенасколько кмгородАпереместитсявпространствезасутки,еслирадиусЗемли7км. A 7πкм B 5πкм C 7πкм D 9555πкм E πкм {Правильныйответ}С 25 * . Объё мцилиндравписанноговшарравен9 πсм ,аосевоесечениецилиндрравно см .Определитеполнуюповерхностьшара. A πсм B πсм C πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} D 26 * . Высотаконусаравнасм.Радиусшара,вписанноговконусравен 5см.Определитебоковуюповерхностьконуса. A 5,πсм B ,5πсм C 5,5πсм D ,5πсм E ,5πсм {Правильныйответ} B 27 * .Образующаяконуса,вписанноговшарравнасм,арадиусшара 5 см.Найдите площадьбоковойповерхности конуса. A ,πсм B ,πсм C ,πсм D) 34,6 πсм E) 38,8 πсм {Правильныйответ} A 28 * .Радиусыоснованийусечённогоконусасмисм,авысотасм.Определите площадьегобоковойповерхности. A πсм B πсм C πсм D) πсм E) 5πсм {Правильныйответ} B 29 * .Двашарасрадиусамисмисмпересекаютсятак,чторасстояниемеждуихцентрами см.Определитедлинуокружности,полученнойпритаком пересечении. A ,πсм B 9,πсм C 9,πсм D) 8 ,6 πсм E) 9 ,8 πсм {Правильныйответ}С 30 * .Вшаренарасстоянии7смотцентрапроведеносечение,площадькоторого57πсм . Определитеплощадьполнойповерхностишара. A πсм B 5πсм C πсм D) πсм E) 5πсм {Правильныйответ}Е 31 * .Диагональосевогосеченияцилиндраравнасм,аплощадьоснования5πсм . Определитеобъёмданногоцилин дра. A 5πсм B πсм C πсм D) 5πсм E) πсм {Правильныйответ}С 32 * .Площадьоснованияцилиндра5πсм ,площадьосевогосечениясм .Найдите объёмцилиндра. A 5πсм B 5πсм C πсм D) 5πсм E) πсм {Прави льныйответ} D 79 33 * .Определитеотношениеплощадибоковойповерхностиконусакплощади осевогосечения,еслиобразующаявдваразабольшерадиусаоснования. A ) B ) C ) D) E) {Правильныйответ}С 34 * .Найдитеотношениеплощадибоковойповерхностиконусакплощади основания,еслиобразующаянаклоненаподуглом° A ) 2 B ) 1,5 C ) 2,2 D) 3 E) 1,8 {Правильныйответ} A 35 * .Вцилиндрвписаншар.Определитеотношениеихобъёмов. A ) 3 B ) 2 C ) 1,5 D) 2 , 5 E) {Правильныйответ}С 36 * .Насколькоотличаютсяобъёмыдвухшаровсрадиусамисмисм? A πсм B πсм C πсм D) 25 6 πсм E) 5πсм {Правильныйответ}Е 37 * .Объёмшара см .Определитеплощадьполнойповерхностишара. A ) 20 πсм B πсм C πсм D) πсм E) πсм {Правильныйответ}В 38 * .Полнаяповерхностьконуса5πсм ,аегорадиус 9см.Найдитеобъём конуса. A πсм B πсм C πсм D) πсм E) πсм {Правильныйответ} D 39 * .Объёмконусаравенπсм ,арадиусоснованиясм.Найдитедлину образующейконуса. A см B см C см D) 1 6 см E) 7см . {Правильныйответ}Е 40 ** .Определитепроцентотходаматериала,послетого,какиздеревянногошарас радиусомсм вырезаликубикнаибольшегоразмера. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ}Е 41 ** .Изшаравырезаликубикнаибольшегоразмера. Найдитеотношениеобъёмовшараи куба. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ}С 42 ** .Образующаяконуса,вписанноговшарравнасм,арадиусшара5см.Найдите объём конуса. A ,πсм B 5,πсм C ,5πсм D) 49,152 πсм E) 50,282 πсм {Правильныйответ} D 43 ** .Вусечённомконусе площадьбоковойповерхностиравна πсм ,а площадьосевогосечениясм .Определите объёмусечённогоконуса,еслиеговысота равнасм . A πсм B πсм C πсм D πсм E 9πсм {Правильныйответ} B 80 44 ** .Площадьбоковойповерхностиконусаравнаπ см ,аплощадьосевого сечениясм .Определитеобъёмконуса. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} E 45 ** .Образующаяконусанаклоненаподуглом з коснованиюиравна b .Найдитеобъём конуса. A) B) C) D) E) {Правильныйответ} C 46 ** .Вконуссобразующейравной9смиплощадьюоснования5πсм вписан цилиндрсвысотойравнойсм.Определитеобъёмцилиндра. A 7πсм B 5πсм C 7πсм D πсм E πсм {Правильныйответ} E 47 ** .Площадьоснованияконусавразбольшеплощадиоснованияцилиндра, вписанноговконус.Определитевосколькоразобъёмконусабольшеобъёмацилиндра, есливысотаконусаравнасм, арадиусцилиндрасм. A ) в,раза B ) в,9раза C ) в,5раза D ) в9,раза E ) в,раза {Правильныйответ} A 48 ** .Вшар вписанаправильнаячетырёхугольнаяпирамида,всерёбракоторой равнысм.Вычислитерадиусшара. A )10 см B ) 6 см C ) 4 см D ) 8 см E ) 9 см {Правильныйответ} B 49 ** .Изконусавырезалишарнаибольшегообъёма.Найдитеотношениеобъёма срезаннойчастикобъёмушара,еслиосевоесечениеконуса – равносторонний треугольник. A ) B ) C ) D ) E ) {Правильныйответ} B 50 ** .Определитевысотуконуса,объёмкоторого см ,аплощадьосевогосечения см A ) 9 см B ) 6 см C ) 4 см D ) 8 см E ) 10 см {Правильныйответ}Е __Стереометрия .НайдитерасстояниемеждуточкамиМ; - ;иК - 2; 7; 3). A ) 15 B ) 18 C ) 16 D ) 17 E ) 14 {Правильныйответ} D .Найдитеплощадьсеченияпроведённоговпрямойпризмечерезвысоту прямоугольноготреугольника,лежащеговеёосновании.Катеты прямоугольноготреугольникаравнысмисм,авысотапризмыравнасм. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} C .Определитерасстояниеотвершиныправильнойтреугольнойпирамидыдо стороноснования,есливысотапирамидыравнасм,аплощадькруга, вписанноговоснованиеравна9πсм . A см B 7см C см D 5см E см {Правильныйответ} D 81 .Впрямойпризмеподуглом°проведеносечение,площадьюсм . Определитеплощадьоснованияпризмы. A ) 48 см B 9см C 5см D см E ) 64 см {Правильныйответ} D 5.Впрямоугольныйтреугольник,лежащийвосновании пирамидывписанкругплощадью равнойπсм .Найдитеравныевысотыбоковыхгранейпирамиды,есливысота пирамидысм. A см B см C см D см E см {Правильныйответ}А .Вкубвписаншар,площадьповерхност икоторогоравна πсм . Вычислитеобъём куба. A) 1000 см B 5см C 5см D 79см E 5см {Правильныйответ} А 7.Вточкупересечениядиагоналейпрямоугольникапроектируетсявершина пирамидысвысотойравнойсмибоковымребромравным5см. Определитееёобъём,еслиоднасторонапрямоугольникаравнасм. A 5см B см C см D 9см E 7см {Правильныйответ} B .Воснованиипирамидыравнобедреннаятрапециясвписаннойокружностьюрадиуса равногосм .Определитевысотупирамиды,есливысотыбоковыхгранейравны7см. A 5см B см C см D см E см {Правильныйответ}А 9 * .Высотапрямоугольногопараллелепипедаравнасм.Ширинана5смменьшедлины. Найдитенаименьшуюизс тороноснования,еслиобъём параллелепипедаравен9см . A см B см C 7см D см E 9см {Правильныйответ} C 10 * .Упараллелограмма,лежащеговоснованиипрямойпризмы,сторонысм,см и острыйугол°.Черезменьшуюдиагональпараллелограмма,впризме,проведено перпендикулярноесечение.Найдитеплощадьсеченияпризмы,еслиеёобъёмравенсм . A ) 112 см B ) 140 см C ) 124 см D ) 160 см E ) 108 см {Правильныйответ} B 11 * .Впрямойпризме основаниемявляетсяравнобедренныйтреугольниксо сторонами7см,7смисм.Черезоснованиеравнобедренного треугольника,кегоплоскости,проведеносечениеподуглом°.Чемуравнаплощадь сечения? A 9см B ) 320 см C см D см E 5см {Правильныйответ} D 12 * .Впрямойпризмеоснованиемявляетсяравнобедренныйтреугольниксо сторонамисм,смисм .Черезоснованиеравнобедренного треугольникакегоплоскости,подуглом°проведеносечение.Чемуравнаплощадь сечения? A 9см B см C см D см E см {Правильныйответ} B 13 * . Катетыпрямоугольноготреугольника,лежащеговоснованиипризмыравнысми см.Найдитеобъ ёмпризмы,еслиплощадьсечения,проведённогочерезвысоту прямоугольноготреу гольникаперпендикулярнооснованию,равнасм . A см B 9см C см D см E 9см {Првильыйответ}Е 82 14 * .Найдитеплощадьсеченияпроведённоговпризмечерезвысотупрямоугольного треугольника,лежащеговеёосновании.Катетыпрямоугольноготреугольникаравны5см исм,авысотапризмыравна9см. A см B 9см C см D см E см 15 * .Воснованиипрямойпризмыравнобокаятрапециясоснованиямиравнымисми см,атакжесвысотойравнойсм.Черездиагональтрапеции перпендикуля рнооснованиюпризмыпроведеносечение.Определитеего площадь,еслиобъёмпризмыравен9см . A см B см C см D 5см E ) см Правильныйответ} C 16 * .Черезвысотутрапеции,лежащейвоснованиипрямойпризмы,проведено сечение,площадькоторогоравнасм .Определитеобъёмпризмы,еслистороны трапецииравнысм,см, смисм. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} C 17 * .Упараллелограмма,лежащеговоснованиинаклонногопараллелепипедастороны см,смиострыйугол°.Черезменьшуюдиагональ параллелограмма,впризмеобъёма см ,проведеноперпендикулярноес ечение, площадькоторогонеобходимонайти. A см B см C см D см E см {Правильныйответ} E 18 ** .Упараллелограмма, лежащеговоснованиинаклонногопараллелепипеда сторонысм,смиострыйугол°.Черезменьшуюдиагональ параллелограмма,впризмеобъёма см ,проведеноперпендикулярноесечение, площадькоторого необходимонайти. A 7см B 5см C см D 5см E см Правильн 19 ** .Внаклонномпараллелепипедеперпендикулярноекоснованиюсечение, площадькоторогосм ,проходитчерездиагональлежащеговосновании прямоугольника,состоронами5смисм.Вычислитеобъёмэтойфигуры. A см B см C см D см E 9см Правильный ответ} D 20 ** .Внаклонномпараллелепипедеперпендикулярноекоснованиюсечение, площадькоторого см ,проходитчерездиагональлежащеговосновании прямоугольника,состоронамисми5см.Вычислитеобъёмэтойфигуры. A) 2600 см B) 2800 см C) 2400 см D) 3200 см E) 1980 см {Правильный ответ} C 21 ** .Воснованиинаклоннойпризмыромбсдиагональюравнойсмисторонойравной 5см.Определитеобъёмпризмы,еслиперпендикулярноесечение,проходящеечерез м еньшуюдиагональромба,имеетплощадьравнуюсм . A 7см B 7см C см D см E 7см ныйответ} E 22 ** .Стороныоснованияправильнойпятиугольнойусечённойпирамидыравнысми см,абоковоеребро7см.Определитеплощадьбоковойповерхностипирамиды. A см B 7см C 5см D см E см льныйответ} C .Вправильнойшестиугольнойусечённойпирамидестороныоснований7сми5см,а площадьбоковойповерхностиравна9см .Определитедлину боковогоребрапирамиды. A см B см C 7см D см E 5см 83 Справочныйматериал Геометрия Теоремакосинусов,синусов Теоремакосинусов: Теоремасинусов: Площадьтреугольника Средняялиния Средняялиния – отрезок,соединяющий серединыдвухсторонтреугольника. Средняялинияпараллельна третьейсторонеиравнаеёполовине: Средняялинияотсекаетподобныйтреугольник,площадькоторогоравнаоднойчетвертиотисходного Равностороннийтреугольник треугольник,укотороговсестороныравны.  Всеуглыравны 60 0 .  Каждаяизвысотявляетсяодновременнобиссектрисойимедианой.  Центрыописаннойивписаннойокружностейсовпадают.  Радиусыокружностей: Площадь Равнобедренныйтреугольник треугольник,укоторогодвестороныравны. .Углы,приоснованиитреугольника,равны .Высота,проведеннаяизвершины,являетсябиссектрисойимедиан Прямоугольныйтреугольник  ТеоремаПифагора: Площадь:  Тригонометрическиесоотношения:  Центрописаннойокружностилежитнасерединегипотенузы.  Радиусыокружностей:  Высота,опущеннаянагипотенузу:  Катеты: Основные соотношениявтреугольнике  Неравенствотреугольника: a + b � c; a + c � b; b + c � a  Суммауглов:    Противбольшейсторонылежитбольшийугол,иобратно,противбольшегоуглалежитбольшаясторона.  Противравныхсторонлежатравныеуглы,и обратно,противравныхугловлежатравныестороны. Биссектриса A B C a b c       a h a a b c a b   A B C a b c n b a b b a b a c – проекциякатета a   b c h A B C a b c w a c a b 84 Биссектриса – отрезок,выходящийизвершинытреугольникаиделящийуголпополам.  Биссектрисаделитпротиволежащуюсторонуначасти, пропорциональныеприлежащимсторонам: a b : a c = b : c  Биссектрисаделитплощадьтреугольника,пропорциональноприлежащимсторонам .  Конус S бок. =  R ( R + L ) Усеченныйконус Вписаннаяокружность  Центрокружности,вписаннойвтреугольник,лежитнапересечениибиссектристреугольника.  Еслиокружностьвписанавпроизвольныйчетырехугольник,тогдапопарныесуммыпротиволежащих сторонравнымеждусобой: a + b = c + d Описаннаяокружность Касательная,секущая   Центрокружности,описаннойоколотреугольника,лежитнапересечениисерединныхперпендикуляровк еготремсторонам.  Центрокружности,описаннойоколопрямоугольноготреугольника,лежитнасерединегипотенузы.  Околотрапеции можноописатьокружностьтолькотогда,когдатрапецияравнобочная.  Еслиокружностьописанаоколопроизвольногочетырехугольника,тогдапопарныесуммы противолежащихугловравнымеждусобой: Длинаокружности,площадь Хорда Хорда – отрезок,соединяющийдветочкиокружности.  Диаметр,делящийхордупополам,перпендикуляренхорде.  Вокружностиравныехордыравноудаленыотцентраокружности.  Отрезкипересекающихсяхордсвязаныравенством: Шар H R R 1 R 2 H куб O a b c d O O O O         R d хорда дуга диаметр радиус O Длинаокружности: Площадькруга: A B C D M       вписанныеуглы центральный угол 85 Шаровойсектор Шаровойсегмент Центральный,вписанныйугол Сектор Касательная,секущая Касательная – прямая,имеющаясокружностьюоднуобщуюточку. Секущая – прямая,имеющаясокружностьюдвеобщиеточки.    Призма прямая призма Цилиндр Медиана Медиана – отрезок,соединяющийвершинутреугольникассерединойпротивоположнойстороны .  Медианытреугольникаточкойихпересеченияделятсявотношении:считаяотвершины треугольника.  Медианаделиттреугольникнадватреугольникасравнымиплощадями. H R H R O A B   Сектор – частькруга, ограниченнаядвумя егорадиусами. Длинадугисектора: Площадьсектора: O K A B C N M P A B C a b c m a 86 Правильнаяпирамида Правильнаяпирамида пирамида,укоторойвоснованииправильныймногоугольник,авершинаспроецируетсяв центроснования. М Всебоковыерёбраравнымеждусобойивсебоковыеграни – равные м равнобедренные треугольники. Усеченнаяпирамида Скалярноепроизведение Сумма,разностьвекторов Углынаплоскости Перпендикулярность,коллинеарность Перпендикулярныевектора: Коллинеарныевектора: Координатывектора Координатывектора: Длина вектора: Умножениевектораначисло: Скалярноепроизведение  внутренние односторонние вертик альны е       смежныеуглы 87 Свойствапрямыхиплоскостей (SO) – перпендикуляркплоскости (ABCD). O – проекцияточки S. – расстояниеотточки S доплоскости (ABCD).  – двугранныйуголмеждуплоскостями (SAB) и (ABCD) . Теоремаотрёхперпендикулярах: Функция Значения   0 0     30 0     45 0     60 0     90 0 cosx 1 0 sinx 0 1 tgx 0 1 - ctgx - 1 0 Выпуклыйчетырёхугольник Произвольныйвыпуклыйчетырёхугольник:  Суммавсехугловравна 360 0 .  Площадь: Правильныймногоугольник Правильныммногоугольникомназывается многоугольник,укотороговсестороныиуглыравнымежду собой.  Околовсякогоправильногомногоугольникаможноописатьокружностьивнеговписатьокружность, причёмцентрыэтихокружностейсовпадают.  Сторонаправильного n – угольника: Площадьправильного n – угольника: Произвольныйвыпуклыймногоугольник Произвольныйвыпуклыймногоугольник:  Суммавсехугловравна  Числодиагоналей:   A S O B M C D   A A ’ B B ’ d 1 d 2   O r R 88 Трапеция Трапеция: Четырёхугольник,укоторогодвестороныпараллельны,адругиенепараллельны, называетсятрапецией.  Средняялиниятрапециипараллельнаоснованиямиравна: Площадь: Квадрат Квадрат: Прямоугольник,укотороговсестороныравны,называетсяквадратом.  Диагональквадрата Площадь: Ромб Ромб: Параллелограмм,всестороныкоторогоравныназываетсяромбом.  Диагональромбаявляетсяегоосьюсимметрии.Диагоналивзаимноперпендикулярны.Диагонали являютсябиссектрисамиуглов.  Площадь: Параллелограмм Параллелограмм: Четырёхугольник,укоторогопротивоположныестороныпопарнопараллельные называетсяпараллелограммом.  Серединадиагоналиявляетсяцентромсимметрии.  Противоположныестороныиуглыравны.  Каждаядиагональделитпараллелограммнадваравныхтреугольника.  Диа гоналиделятсяточкойпересеченияпополам:  Площадь: Прямоугольныйпараллелепипед V = abc d 2 = a 2 + b 2 + c 2 a b h n a a d d 1 d 2 A B C D   a b h a   89 Ссс Содержание 1. Наименования стр 2 . ЗадачиЕНТпопланиметрии 4 - 22 3. Задачи постереометрии 22 - 56 4. Тестыдляитоговойпроверкипопланиметрии 57 - 69 5. Тестыдляитоговойпроверкипостереометри 69 - 82 6. Литература 90 90 Литература 1. Учебно - методическиепособияпоматематикеза 2000 — гг. 2. М.И.Сканави СборникзадачдляпоступающихвВУЗыª. 3. Ф.Т.ТерентьеваГеометриябезрепетитораª,Москва,99г. 4. И.Ф.ШарыгинЗадачипогеометрииª К.У.Шахно ПособиепоматематикедляпоступающихвВУЗыª,Минск, 9г 5.{Учебник} Геометрия,ШыныбековА.Н.,г - 7г . {Класс},9 ,10,11.