Исследовательская работа по математике Считайте быстро и легко

Городская научно-практическая конференция
«Татьянин день»

Секция: Математика





Исследовательская работа
«Считайте быстро и легко»
Шепелев Артём
ГБОУ НПО ПЛ № 13, группа № 22






Научный руководитель:
Преподаватель математики и информатики
ГБОУ НПО ПЛ № 33
Амирханова М. М.



Уфа 2014Оглавление

1.
Введение
3

2.
Умножение чисел от 10 до 20..
4

3.
Умножение чисел до 100...
4

4.
Перемножение чисел над и под опорным числом.
5

5.
Возведение в квадрат. Числа оканчивающиеся на 5.
6

6.
Возведение в квадрат чисел близких по значению к 50
6

7.
Умножение на 11
7

8.
Проверка ответов. Числа-подстановки.
8

9.
Проверка ответов. Выбрасывание девяток
8


Заключение...
10


Список использованной литературы .
11

 Введение
Актуальность. Ни один грамотный человек в нашей жизни не может обойтись без умения считать. Устному счёту нас учат уже с детства. В школьном курсе математики существуют стандартные методы обучения устному счёту, в результате которого, учащиеся к 11 классу могут складывать и умножать числа в уме в пределах 1000. Но методы и приёмы устного счёта, позволяющие быстро и легко работать с многозначными числами зачастую преподаются только на математических кружках и элективных курсах. Дети разучились считать устно и незнание этих приёмов у большинства современных детей, сводит их к использованию современных калькуляторов. А ведь устный счет помогает развивать память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух и развивает быстроту реакции.
Цель работы. Целью данной исследовательской работы является изучение приемов устного счета по методу Билла Хэндли..
Объект исследования: приемы устного счета.
Метод исследования: При исследовании применялись доступные методы получения необходимой информации: сбор информации - изучение литературы, поиск информации в Интернет; освоение приёмов и методик устного счёта, систематизация и обобщение.
Прикладная ценность результатов. Успешное овладение и освоение данных приёмов позволили мне подходить к решению примеров не механически, а вполне осознанно распоряжаться и ссылаться на алгебраические свойства. Вычисления стали доставлять мне удовольствие, какого я и представить себе не мог.

1. 1 Умножение чисел от 10 до 20

Посмотрим, как работает метод перемножения чисел от 10 до 20.В качестве примера возьмём произведение 12 Ч 14. В качестве опорного числа возьмём 10. Числа 12 и 14 больше опорного числа на 2 и 4 соответственно, поэтому запишем их в кружочки над множителями
+ +
12 Ч 14
В этом случае складываем накрест: 12+4 либо 14+2, получаем один и тот же ответ 16. Пишем 16 после знака равно. Затем 16 умножаем на опорное число10 и получаем промежуточный ответ 160. Последним шагом в решении является перемножение чисел в кружках 2 Ч 4= 8, прибавляем к 160. И конечный результат число 168.
Этот метод можно использовать для перемножения чисел больше 100, 1000 и т.д., тогда в качестве опорных чисел нужно рассматривать 100, 1000 и т.д.
Математическое обоснование. Обозначим буквой а опорное число, т. е. число 10, буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 2 и 4. Произведение может быть записано так:
(a + b) Ч (a + c) = a2 + ab + ac + bc = a Ч a + a Ч b + a Ч с + b Ч с =
= a ( a + b + c) + bc
Подставляя текущие значения получим:
(10 +2) Ч (10 + 4) = 10(10+2 +4) + 2Ч4= 10 Ч 16 + 8= 160 + 8 = 168.

1.2 Умножение чисел до 100

В качестве примера возьмём произведение 96Ч97. В качестве опорного числа возьмём число 100. Запишем 96Ч97 и нарисуем кружки под каждым множителем. 
До числа 100 у первого множителя не хватает 4, а у второго множителя 3, вписываем эти числа в кружки под множителями
96 Ч 97
- -


Теперь вычитаем накрест: 96-3 либо 97-4 получается в обоих случаях один и тот же ответ 93-это и есть первая часть ответа. Дальше перемножаем числа в кружках 4Ч3 получаем 12-это последняя часть ответа. Итак, ответ
96 Ч 97 = 9312.
Математическое обоснование. Обозначим буквой а опорное число, т. е. число 100, буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 4 и 3. Произведение может быть записано так:
(a - b) Ч (a - c) = a2 - ab - ac + bc = a Ч a - a Ч b - a Ч с + b Ч с =
= a ( a - b - c) + bc
Подставляя текущие значения получим:
(100 - 4) Ч (100 - 3) = 100(100 - 4 - 3) + 4Ч3= 100 Ч 93 + 12= 9300+ 12 = 9312.

1.3 Перемножение чисел над и под опорным числом

Посмотрим, как поступать, на примере, произведения 98 Ч 145. В качестве опорного числа будем использовать 100


98 Ч 145 =
-
Вычисляем накрест: 98+45 либо 145-2, получаем один и тот же ответ 143.Умножаем 143 на опорное число 100, получаем 14300. Теперь перемножим числа в кружках 45 Ч (-2) получаем - 90 и решение примера выглядит следующим образом:
+10
98 Ч 145 = 14300 – 90 =14300-100 = 14200 +10 = 14210
-2
Математическое обоснование. Обозначим буквой а опорное число,
т. е. число 100, буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 2 и 45. Произведение может быть записано так:
(a - b) Ч (a + c) = a2 - ab + ac - bc = a Ч a - a Ч b + a Ч с - b Ч с =
= a ( a - b + c) - bc
Подставляя текущие значения получим:
(100 -2) Ч (100 +45) = 100(100 - 2 + 45) - 2Ч45= 100 Ч 143 - 90= 14300 - 90 =
=14210.
1.4 Возведение в квадрат. Числа оканчивающиеся на 5

Рассмотрим пример 652, отделим 6 от 5. Прибавим 1 к 6, получим 7. 6 умножить на 7 равно 42. Эта первая часть ответа. Припишем теперь справа квадрат числа 5, т. е. 25 и получим: 652= 4225.
Математическое обоснование. Возведём в квадрат число 652 по формуле квадрата суммы:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a Ч a + 2a Ч b + b Ч b = = a ( a +2 b) + b Ч b.
Подставим значения:
(60 + 5)2 = 602 + 2Ч60Ч5 + 52 = 60 Ч 60 + 2Ч60 Ч 5 + 5 Ч 5 =
= 60 ( 60 +2 Ч 5) + 5 Ч 5= 60Ч 70 + 25= 4200 + 25= 4225 .

1.5 Возведение в квадрат чисел близких по значению к 50

Рассмотрим пример 472 = 47 Ч 47, округляя получим 50
·Ч 50 =2500. В качестве опорных чисел возьмём 50 и 2500. 47 меньше 50 на 3. 50 472
-3
Вычитаем 3 из числа сотен 2500, 25-3 = 22 , можно записать 2200. Теперь возведём число в кружке 32 = 9. И прибавим к 2200: 2200 + 9 = 2209. Ответ. 2209
Математическое обоснование. Возведём в квадрат число 472 по формуле квадрата разности:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = a Ч a - 2a Ч b + b Ч b = = a ( a -2 b) + b Ч b.
Подставим значения:
(50 - 3)2 = 502 - 2Ч50Ч3 + 32 = 50 Ч 50 - 2Ч50 Ч 3 + 3 Ч 3 =
= 50 (50 - 2 Ч 3) + 3 Ч 3= 50Ч 44 + 9= 2200 + 9= 2209 .

1.6. Умножение на 11

Эта методика схожа с методикой Якова Трахтенберга - математиком разработавшим технику устного счёта.
Чтобы умножить двузначное число на 11, нужно просто сложить цифры и вставить результат посередине. Например, 35 Ч 11= 385.
А если рассмотреть такой пример: 64 Ч 11= 704.
35 Ч 11= 3 (3+5) 5=385.
64 Ч 11= 6 ( 6 + 4) 4 = 6 ( 10 ) 4 = (6 + 1) 04 = 704.
Математическое обоснование. Рассмотрим пример 35 Ч 11.
Применим распределительное свойство умножения относительно сложения: (a + b) Ч с = a Ч с + b Ч с, где а – это десятки, b- единицы, а с – число 11. Подставим в формулу значения:
(30 + 5) Ч 11= 30Ч 11 + 5 Ч 11= 330 + 55 = 33Ч10 + 5 Ч10 + 5 = 10 (33 + 5) +5 = 10 Ч 38 + 5= 385. 1.7 Проверка ответов. Числа-подстановки
Чтобы проверить, верный ли получен результат, используются числа-подстановки, вместо тех которые даны в примере. Рассмотрим наш пример 12 Ч 14 = 168. Проверим правильный ли ответ.
Найдём сумму цифр чисел 12 и 14. Это 1 + 2 = 3 и 1 + 4 = 5. Перемножим числа 3 и 5, получаем 15-двузначное число, поэтому опять сложим цифры 1 и 5, получаем 6. Это и есть контрольное число, которое служит для определения правильности ответа.
Складываем цифры исходного ответа 168: 1 + 6 + 8 = 15-двузначное число, поэтому опять складываем цифры 1 + 5, получаем 6. Так как оно совпало с контрольным числом - пример, мы решили верно.

1.8. Проверка ответов. Выбрасывание девяток

Этот способ позволяет ещё больше сократить по времени проверку результата. Если в вычислениях при проверке встречается число 9 мы его просто зачёркиваем.
Математическое обоснование. 9 = 10 – 1. Для каждой десятки, которая содержится в числе, получаем одну 9 и остаток 1. Если в числе содержится два десятка, то получаем две девятки и остаток 2, 30 содержит три 9 и остаток 3. Рассмотрим число 52: оно состоит из 50, т.е. 5 десятков и 2 единиц. Найдём остаток от деления на 9, в случае 50 получаем 5 девяток и остаток 5. В числе 52 остатком от деления на 9 является 2, так как 2 на 9 разделить нельзя. Переносим остаток 5 от 50 и прибавляем его к остатку 2.
5 +2 = 7. Таким образом, 7 является остатком от деления 52 на 9.
Можно данное свойство рассмотреть с другой стороны:
1 Ч 9 = 9 , а это 10-1
11 Ч 9 = 99, а это 100-1
111 Ч 9 = 999, а это 1000 – 1То есть, каждая единица в любом разряде числа соответствует одной единице остатка. Например, в числе 32145 цифра 3 обозначает десятки тысяч – для каждого десятка тысяч будет иметься остаток, равный 1. Цифра 2 обозначает тысячи. Для каждой тысячи остаток будет равен 1. То же самое происходит и в сотнях и десятках. Цифра единиц сама является остатком, если только она не равна 9. В последнем случае цифру 9 мы просто отбрасываем.
Данные методы решения распространяются и на произведение десятичных чисел.
Заключение
Всем рассмотренным методам умножения я дал алгебраическое объяснение. Доказал, что за решением этих интересных математических фокусов, методов умножения, - кроится целый ряд свойств и формул, такие как: формулы возведения в квадрат суммы и разности чисел, вынесение общего множителя за скобки, распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания и т.д.
В ходе исследования я познакомился также и с методами деления, но наш метод деления мне показался легче и проще.
Вывод: Чем проще метод, используемый для решения задачи, тем быстрее вы её решите и тем меньше вероятность того, что вы допустите ошибку.
Работа, проведенная мною, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора, например на ГИА, ЕГЭ.
Пожелания обучающимя. Используйте в своей учёбе изложенные методы и вы будете задачи щёлкать, как орешки. Математика станет для вас увлекательным и лёгким предметом.
Пожелания преподавателям и учителям . Преподавайте данные методы своим ученикам, и уроки математики превратятся в удовольствие, как для них, так и для вас.
Пожелания родителям. Научите своих детей этим методам, и вы увидите, что они будут не просто быстро считать, но и проверять свои решения и исправлять допущенные ошибки.
Для того чтобы быстро и уверенно считать в уме, не нужно иметь ни специальных знаний, ни способностей. Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать.
Польза устных вычислений огромна. Сознательное усвоение законов арифметических действий – вот первая и очень ощутимая польза устных вычислений. При таких вычислениях развиваются очень ценные качества человека как внимание, сосредоточенность, выдержка, самостоятельность.











Список использованных источников
Считайте в уме как компьютер/ Б. Хэндли; пер. с англ. Е.А.Самсонов. – Мн.: «Попурри», 2006.
http://www.kakprosto.ru/kak-22426-nauchitsya-bystro-schitat-v-ume.
http://moyum.mk.ua/
http://conf.edu-nt.ru/node/422
Волина В. Праздник числа. – М.: Знание, 1994.
Ткачева М. Домашняя математика. – М.: Просвещение, 1994
Токарева С. Математика: таблицы-тренажеры.- Волгоград: Учитель, 2009
http://www.superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта
http://www.all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.
http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224
«Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева.








13 PAGE \* MERGEFORMAT 14415





+45

344

444

244

444


244

45544

50




15