Дипломная работа на тему Психолого-педагогические и методические аспекты изучения систем счисления на уроках информатики в основной школе
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Психолого-педагогические и методические аспекты изучения систем счисления на уроках информатики в основной школе
Содержание
Введение 3
Глава I. Теоретические основы изучения систем счисления
в основной школе
I.1 Представление числовой информации с помощью систем счисления 6
I.2 Перевод чисел в позиционных системах счисления 11
I.3Арифметические операции в позиционных системах счисления 18
Глава II. Практическая работа учителей информатики по изучению систем счисления в основной школе
II.1 Методические аспекты изучения систем счисления
в школьном курсе информатики 21
II.2 Анализ опыта работы учителя информатики по изучению систем счисления в основной школе 28
Глава III. Состояние вопроса в практике учителей информатики (по результатам констатирующего и формирующего экспериментов)
III. 1 Констатирующий эксперимент 34
III.2 Формирующий эксперимент 38
Заключение 44
Список использованной литературы 46
Приложение 49
Введение
Актуальность исследования Быстрый социальный и научно-технический прогресс требует совершенствования всех звеньев образования. Эффективность новых дорогостоящих средств обучения, таких как компьютер, телевидение, видеотехника, аудиоаппаратура полностью зависит от целей, задач обучения и используемых методов и приемов.
Решая вопрос чему учить, всегда приходится решать вопрос о том, какие компоненты необходимо включить в содержание образования, в какой последовательности их расположить для наилучшего достижения конечной цели - сформировать личность человека в соответствии с социально значимым для своего времени образцом.
Акцент в содержании школьного образования должен сместиться с обучения собственно письму, чтению, счету на формирование учебной деятельности, воспитание и развитие школьника.
Такая постановка проблемы не нова. Еще К.Д.Ушинский ставил перед педагогом задачу «учить учиться». Он исходил из того, что «следует передать ученику не только те или другие познания, но и развить в нем желание и способность самостоятельно, без учителя, приобретать новые познания»./6;56/
Появление новых информационных технологий вносит новый элемент в содержание образования, школьного образования в частности. Знание основ информатики и вычислительной техники, умение использовать ЭВМ становятся необходимым каждому человеку, т.е. общеобразовательными.
Уже ни для кого не секрет, что любая ЭВМ предназначена для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функции ЭВМ должна обладать некоторым способом представления данных. Представление данных заключается в их преобразовании в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо ЭВМ.
Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление.
Все эти данные для ввода в компьютер должны быть некоторым универсальным образом представлены в виде набора целых чисел, т.е. преобразованы в формат внутреннего представления ЭВМ. Правила таких представлений разрабатываются и оформляются в виде стандартов.
Важным понятием при представлении данных в компьютерах является понятие система счисления.
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются ма лыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки ис пользуется для обучения учеников 1-го класса счету.
Объект исследования – процесс изучения систем счисления в основной школе.
Предмет исследования – методика изучения систем счисления в основной школе.
Проблема исследования – изучить и проанализировать психолого-педагогические и методические аспекты изучения систем счисления на уроках информатики в основной школе.
Цель исследования – определение эффективных путей и средств в изучении систем счисления.
Задачи исследования:
Выявить влияет ли изучение систем счисления на развитие логического мышления и сообразительность школьников.
Определить как процесс изучения систем счисления влияет на развитие интереса у школьников к предмету.
Раскрыть теоретические основы изучения систем счисления в основной школе.
Проанализировать опыт работы учителей информатики по изучению систем счисления.
Провести констатирующий и формирующий эксперименты.
Методы исследования:
Наблюдение за учебной деятельностью школьников в процессе изучения систем счисления.
Изучение педагогической, методической литературы по исследованию данной темы.
Изучение опыта педагогов по исследованию данной темы.
Беседа
Наблюдение
Анкетирование учащихся.
Гипотеза исследования: эффективность изучения систем счисления в основной школе зависит от:
знания теоретического материала,
умения использовать его на практике,
знания индивидуальных и возрастных особенностей школьников.
Глава I. Теоретические основы изучения систем счисления в основной школе
I.1 Представление числовой информации с помощью систем счисления
Для записи информации о количестве объектов использу ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисле ния. Алфавит систем счисления состоит из символов, кото рые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хо рошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Система счисления - это знаковая система, в ко торой числа записываются по определенным пра вилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В пози ционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных не зависит.
Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления являет ся римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Значение цифры не зависит от ее положения в числе. На пример, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.
Величина числа в римской системе счисления определя ется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть сле дующим образом:
MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5+1 + 1 + 1.
Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавило не, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр. Инте ресно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе - 60 минут).
В XIX веке довольно широкое распространение получи ла двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы ча сто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так да лее.
В позиционных системах счисления количествен ное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Наиболее распространенными в настоящее время позици онными системами счисления являются десятичная, двоич ная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позицион ная система имеет определенный алфавит цифр и основание.
В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее ал фавите) и определяет, во сколько раз различают ся значения одинаковых цифр, стоящих в сосед них позициях числа.
Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, кото рый состоит из десяти всем известных, так называемых араб ских, цифр, и основание, равное 10, двоичная - две цифры и основание 2, восьмеричная - восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная - шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 2.2).
Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается триж ды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа - пять десятков и, наконец, третья справа - пять сотен.
Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - коли чество десятков, еще левее - сотен, затем тысяч и так да лее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.
Число 555 записано в привычной для нас свернутой фор ме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различ ные степени числа 10.
В развернутой форме записи числа такое умножение за писывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следую щим образом:
55510 = 5*102 + 5*101 + 5*10°.
Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степе ней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициен тов которых выступают цифры данного числа.
Для записи десятичных дробей используются отрицатель ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:
555,5510 = 5*102 + 5*101 + 5*100+ 5*10-1 + 5*10-2.
В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, выглядит так:
Коэффициенты ai в этой записи являются цифрами деся тичного числа, которое в свернутой форме записывается так:
Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) при водит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:
555,5510 10 = 5555,510
Двоичная система счисления. В двоичной системе счисле ния основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:
А2 = 1*22 + 0*21 + 1*20+ 0*2-1- 1*2 -2.
Свернутая форма этого же числа:
А2 = 101,012.
В общем случае в двоичной системе запись числа А2, ко торое содержит n целых разрядов числа и m дробных разря дов числа, выглядит так:
Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывает ся так:
Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приво дит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. Например:
101,012.* 2 = 1010,12;
101,012 : 2 = 10,1012.
Позиционные системы счисления с произвольным осно ванием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q -ичная система счис ления) числа в развернутой форме записываются в виде сум мы степеней основания q с коэффициентами, в качестве ко торых выступают цифры 0, 1, q1:
Коэффициенты а. в этой записи являются цифрами числа, записанного в q -ичной системе счисления.
Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8). Тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число А8 = 673,28 в развернутой форме будет иметь вид: As = 6*82 + 7*81 + 3*8° + 2*8-1.
В шестнадцатеричной системе основание равно шестнад цати (q = 16), тогда записанное в свернутой форме шестнадцатеричное число А16 = 8A,F16 в развернутой форме будет иметь вид:
А16 = 8*161 + А*16° + F*16-1.
I.2 Перевод чисел в позиционных системах счисления
Преобразование чисел, представленных в двоичной, вось меричной и шестнадцатеричной системах счисления, в деся тичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо за писать число в развернутой форме и вычислить его значение.
Перевод числа из двоичной системы в десятичную. Возь мем любое двоичное число, например 10,112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:
10,112 = 1* 21 +0*2° + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*2 + 0*1 + 1*1/2 + 1*1/4 = 2,7510.
Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную.
Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запи шем его в развернутой форме и произведем вычисления:
67,58 = 6*81 + 7*8° + 5*8-1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55,62510.
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в деся тичную.
Возьмем любое шестнадцатеричное число, например 19F16. Запишем его в развернутой форме (при этом необходи мо помнить, что шестнадцатеричная цифра F соответствует десятичному числу 15) и произведем вычисления:
19F16 = 1*162 + 9*161 + F*16° = 1*256 + 9*16 + 15*1 = 41510.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьме ричную и шестнадцатеричную более сложен и может осуще ствляться различными способами. Рассмотрим один из алго ритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.
Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть Ацд целое десятичное число. За пишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):
Aцд= an-1*2n-1+ an-2*2n-2++ a1*21+a0*20
На первом шаге разделим число А на основание двоич ной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно
an-1*2n-2+ an-2*2n-3++ a1
На втором шаге целое частное опять разделим на 2, оста ток от деления будет теперь равен a0
Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:
а0, а1, ..., аn-1
Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного чис ла, записанного в свернутой форме:
А2 = an-1a1a0
Таким образом, достаточно записать остатки в обратной по следовательности, чтобы получить искомое двоичное число.
Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:
Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.
Записать полученные остатки в обратной последовательности.
В качестве примера рассмотрим перевод десятичного чис ла 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:
В результате получаем двоичное число: А2 = а 4 а 3а 2а1 a0 = 100112.
Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть А - правильная деся тичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсутствовать положительные степени основания (числа 2):
Адд = a-1*2-1+ a-2*2-2
На первом шаге умножим число Адд на основание двоич ной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:
a-1 +a-2*2-1+
Целая часть будет равна а-1
На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умно жим на 2, получим целую часть, равную а-2
Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дроб ную часть или не будет достигнута требуемая точность вы числений.
Легко заметить, что последовательность полученных чи сел совпадает с последовательностью цифр дробного двоич ного числа, записанного в свернутой форме:
А2 = а -1a-2
Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в дво ичную будет следующим:
1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности.
В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:
В результате получаем двоичную дробь: А2 = 0,а -1a-2=0,112 .
Перевод чисел из позиционной системы с про извольным основанием р в систему с основанием q произво дится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.
Рассмотрим алгоритм перевода целых чисел на примере перевода целого десятичного числа А10 = 42410 в шестнадцатеричную систему, то есть из системы счисления с основани ем р = 10 в систему счисления с основанием q = 16.
В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в ис ходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатеричной).
Рассмотрим теперь алгоритм перевода дробных чисел на примере перевода десятичной дроби А10 = 0,625 в восьме ричную систему, то есть из системы счисления с основанием р = 10 в систему счисления с основанием q = 8.
В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в ис ходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмеричной).
Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n), может произ водиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 21), восьмеричной (q = 23) и шестнадцатеричной (q = 24) системами счисления.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьме ричную. Для записи двоичных чисел используются две циф ры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:
2 = 21 . Так как 2 - 21, то I = 1 бит.
Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информа ции вариантов записи. Решим показательное уравнение
8 = 2i . Так как 8 = 23, то I= 3 бита. Каждый вариант восьмеричного числа содержит 3 бита информации
Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в вось меричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нуля ми.
Переведем таким способом двоичное число 1010012 в вось меричное:518
Для упрощения перевода можно заранее подготовить таб лицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:
окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.
Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.
Переведем целое двоичное число А2 = 1010012 в шестнад цатеричное:
Для перевода дробного двоичного числа (правильной дро би) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется мень ше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходи мо триады заменить на восьмеричные числа.
Например, преобразуем дробное двоичное число А2 = = 0,1101012 в восьмеричную систему счисления:
Получаем: А8 = 0,658.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.
Для записи шестнадцатеричных чисел ис пользуются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показатель ное уравнение:
16 = 21 . Так как 16 = 24, то I = 4 бита.
Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.
Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правиль ной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше 4 цифр, то необходимо дополнить её справа нулями.
Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисле ния, необходимо произвести преобразования по рассмот ренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дроб ной частей.
Для перевода чисел из вось меричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоич ную необходимо цифры числа преобразовать в группы дво ичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех цифр (тетраду).
Например, преобразуем дробное восьмеричное число А8 = 0,478 в двоичную систему счисления:
I.3 Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции во всех позиционных систе мах счисления выполняются по одним и тем же хорошо из вестным вам правилам.
Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной систе ме счисления. В его основе лежит таблица сложения одно разрядных двоичных чисел:
Валено обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с уче том возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 112:
проверим правильность вычислении сложением в деся тичной системе счисления. Переведем двоичные числа в де сятичную систему счисления и затем их сложим:
Теперь переведем результат двоичного сложения в деся тичное число:
10012 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*2° = 910 .
Сравним результаты сложение выполнено правильно.
Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоич ных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:
0 - 0 = 0
0- 1 = 11
1-0=1
1-1=0
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110, и 11
Умножение. В основе умножения лежит таблица умноже ния одноразрядных двоичных чисел:
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисле ния с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение дво ичных чисел 1102 и 112:
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в деся тичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 на 112 :
Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Необходимо только помнить, что ве личина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:
Вывод: Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходи мо предварительно перевести их в одну и ту же систему.
Глава II. Практическая работа учителей информатики по изучению систем счисления в основной школе
II.1 Методические аспекты изучения систем счисления в школьном курсе информатики
Тема «Система счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако в школьном курсе математики она, как правило не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связано с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы.
Это одна из традиционных тем курса информатики или программирования.
Если рассматривать систему счисления как язык представления числовой информации , то можно сказать ,что данные выше определения затрагивает только алфавит, синтаксис и семантику языка чисел.
Рассмотрим методические рекомендации по изучению темы, вопросы которые необходимо изучить:
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Основные понятия позиционных систем: основание, алфавит.
Развёрнутая форма представления чисел в позиционных системах.
Перевод чисел из одной системы в другую.
Особенности двоичной арифметики.
Связь между двоичной и шестнадцатеричной системами.
Учебники ,безусловно, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Мы привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетий(XX в) и в некоторых других нумерациях. Математические расчёты мы всегда производили в арабской системе чисел.
С методической точки зрения бывает очень эффективным приём, когда учитель подводит учеников к самостоятельному изучению, пусть маленькому открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципом записи чисел.
Например возьмём два числа:
XXX 333
Первое -римское тридцать, второе – арабское триста тридцать три.
В римском способе записи чисел значение , которое несёт каждая цифра в числе ,не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение , которое несёт каждая цифра в записи числа , зависит не только от того , какая это цифра ,но и от позиции, которая она занимает в числе. Сделав ударение на слове «позиция», учитель сообщает , что римский способ записи чисел называется непозиционным, а арабский -позиционным.
После этого можно ввести термин « Система счисления».
Система счисления – это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.
Позиционная система счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом – используемых цифр.
Размер алфавита называется основанием системы счисления.
Задаём вопрос: « Почему арабская система называется десятичной системой счисления?» Мы услышим в ответ про десять цифр в алфавите. Делаем вывод: основание арабской системы счисления равно десяти , поэтому она называется десятичной.
Системы с основанием не больше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.
Мы научились записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах.
Принцип построение ряда такой: сначала в порядке возрастания значений записываются все однозначные числа; первое двузначное число -всегда 10.
По такому же принципу строится ряд и в других системах счисления.
Для указания на основание системы ,к которой относится число, вводим его индексное обозначение.
Например:
368 указывает на то, что это число в восьмеричной системе счисления;
1А616- в шестнадцатеричной, 10112-в двоичной системе.
Ещё одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так, же как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 368 как тридцать шесть. Надо говорить «три – шесть».
Сущность позиционного представления чисел отражается в развёрнутой форме записи чисел. Снова для объяснения привлекаем десятичную систему.
Например:
5319,12= 5000+300+10+9+0,1+0,02= 5 x 103+ 3 x 102 +1 x 101+9 +1 x 10-1 +2 x 10-2.
Последнее выражение и называется развёрнутой формой записи числа.
Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе, - способы перевода чисел из одной системы в другую.
Основная идея заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений. Делается это просто: нужно перейти к записи развёрнутой формы числа в десятичной системе .Вот пример такого перехода для приведённого выше восьмеричного числа:
17538= (1 x 103 +7 x 102 + 5 x 101+3)8= ( 1 x 83 + 7 x 81 + 81 +3)10
Теперь нужно вычислить выражение по правилам десятичной арифметики и получить окончательный результат:
17538=(192+448+40+3)10= 68310
Для вычисления значения числа по его развёрнутой форме записи существует удобный приём , который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том , что развёрнутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками.
Схема Горнера сводит вычисление выражений к минимальному числу операций.
Перевод десятичных чисел в другие системы счисления – задача более сложная. В принципе всё происходит через ту же самую развёрнутую форму записи числа. Только теперь нужно суметь десятичное число разложить в сумму по степеням нового основания n не равно 10.
Например , число 8510 по степеням двойки раскладывается так:
8510= 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 2 +1= 101101012.
Однако проделать это в уме довольно сложно. Здесь следует показать формальную процедуру такого периода.
В рамках минимального объёма базового курса не обязательно изучать приёмы перевода дробных десятичных чисел в другие системы счисления.
Если ставится цель получения при переводе дробного числа наиболее близкого значения, то, ограничивая число знаков , нужно производить округления. Для этого в процессе перевода следует вычислять на одну цифру больше, а , затем применяя это правила округления, сокращать эту цифру.
Выполняя округление, нужно соблюдать следующее правило: если первая отбрасываемая цифра больше или равна n/2 (n –основание системы), то к сохраняемому младшему разряду числа прибавляется единица.
Например, округление восьмеричного числа 32,324718 до одного знака после запятой даст в результате 32,3; а округление до двух знаков после запятой –32,33.
Математическая суть отмеченной выше проблемы связана со следующим фактом: многие дробные рациональные десятичные числа в других системах счисления оказываются иррациональными.
Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах: 1) двоичная нумерация; 2) двоичная арифметика, т.е. выполнение арифметических вычислений над двоичными числами. С двоичной нумерацией мы встретимся в теме « Представление текста в компьютерной памяти»
Практическая потребность знакомства с двоичной арифметикой возникает при изучении работы процессора. В этой теме рассказывается, как процессор выполняет арифметические вычисления. Согласно принципу Дж. Фон Неймана ,компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления. В рамках базового курса достаточно ограничиться рассмотрением вычислений с целыми двоичными числами.
Для выполнения вычислений с многозначными числами необходимо знать правила сложения и правила умножения однозначных чисел. Вот эти правила:
0+0=1 0 x 0=0
1+1=1 1 x 0 =0
1+1=10 1 x1 =1
Принцип перестановочности сложения и умножения работает во всех системах счислениях. Приёмы выполнения вычислений с многозначными числами в двоичной системе аналогичны десятичной. Иначе говоря ,процедуры сложения, вычитания и умножения «столбиком» и деления «уголком» в двоичной системе производятся так же, как и в десятичной.
Рассмотрим правила вычитания и деления двоичных чисел. Операция вычитания является обратной по отношению к сложению. Из приведённой выше таблицы сложения следует правила вычитания:
0-0=0 1-0= 1 10-1=1
А вот пример вычитания многозначных чисел:
1001101101
- 100110111
100110110
Полученный результат можно проверить сложением разности с вычитаемым. Должно получиться уменьшаемое число.
Деление -операция обратная умножению. В любой системе счисления делить на нуль нельзя. Результат деления на 1 равен делимому. Деление двоичного числа на 102 ведёт к перемещению запятой на один разряд влево , подобно десятичному делению на десять.
Например:
10010:10=1001; 1011:10=101,1; 101100:10=10110
представление информации , хранящейся в компьютерной памяти в её истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Имеется в виду запись такой информации на бумаге или вывод её на экран.
Для этих целей принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. В современных ПК чаще всего используется шестнадцатеричная система.
Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлением числа. При переводе числа из одной системы в другую, одной шестнадцатеричной цифре соответствует 4-разрядный двоичный код. Это соответствие отражено в двоично- шестнадцатеричной таблице:
Двоично – шестнадцатеричная таблица.
16
2
16
2
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Такая связь основано на том , что 16=24 , и чисел различных 4-разрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16 : от 0000 до 1111.
Поэтому перевод чисел из «16» в «2» и обратно производится путём формальной перекодировки. Принято считать, что если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то это равносильно наличию двоичного представления. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного.
В шестнадцатеричном виде записываются адреса оперативной памяти компьютера. Например, для учебного компьютера «Неман» диапазон адресации байтов памяти от 00 до FF. Значит, в десятичной системе – от 00 до 255. Рассматривая структуру памяти компьютера ,принципы адресации байтов памяти, можно обсудить следующий вопрос: как связан диапазон адресов с разрядностью адреса. В учебном компьютере «Нейман» адреса памяти представляются 8- разрядными двоичными числами. Поэтому число различных адресов равно 28 ,а диапазон значений от 0 до 28-1=255(FF16). Если адрес 16-разрядный,часто имеет место для реальных ЭВМ, то размер адресуемой памяти равен 216 байт=26 Кбайт=64 Кбайт. Диапазон шестнадцатеричных адресов в таком случае : от 0000 до FF.
Таким образом, в современных компьютерах существует приёмы, позволяющие адресовать гораздо большие размеры памяти без увеличения разрядности адреса. Для этого используется многоуровневая структура организации памяти.
II.2 Анализ опыта работы учителя информатики по изучению систем счисления в основной школе
Как показывает практика, тема «Представление информации» (которой в Обя зательном минимуме содержания образования по информатике отводится 12 ча сов), а особенно ее раздел, посвященный двоичной системе счисления, остается од ной из самых трудных для понимания учащимися. Почему это происходит?
Понятие «двоичная система счисления» представляет собой фрагмент курса математики о системах счисления. Соответственно, по мнению автора, учителя ин форматики подсознательно считают обучение системам счисления обязанностью учителей математики, а те, в свою очередь, считают, что эта тема - прерогатива информатики, так как она связана с изучением двоичного представления информа ции в ЭВМ. Преподаватели же высших учебных заведений (в частности, педагоги ческих институтов) считают ее уже изученной в школе и подробно не останавлива ются на ней, отводя на системы счисления самое большее 2-3 часа. Результат - неполное знание материала, его недостаточное понимание молодыми педагогами.
Разорвать этот порочный круг способна только методика, основанная на про стом и понятном объяснении материала, решении занимательных и в то же время полезных задач в школьном курсе информатики.
Проанализируем урок по теме: «Двоичная система счисления».
Тип урока: овладение новыми знаниями.
Контингент учащихся: VI-VIII классы.
Цели урока.
Образовательные:
закрепление ранее пройденного материала по теме «Язык как способ пред ставления информации»;
изучение и усвоение нового материла: понятия двоичной системы счисления, перевода из десятичной системы в двоичную и обратно.
Воспитательные:
повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач и игрового изложения материала;
обеспечение сознательного усвоения материала.
Развивающие:
развитие мышления при помощи логических задач;
совершенствование умственной деятельности с привлечением устного счета.
Оборудование: плакат для повторения пройденного материала, плакаты с ил люстрациями для решения задач, карточки с вариантами домашней контрольной работы.
План урока включает следующие вопросы:
Организационный момент. Объявление темы и цели урока - 1 мин.
Повторение пройденного материала - 7 мин.
Объяснение нового материала. Решение задач - 35 мин.
Подведение итогов урока. Объяснение домашнего задания -2 мин.
Ход урока
I. Организационный момент. Объявление темы и цели урока
Учитель. Сегодня мы будем изучать то, что происходит внутри компьютера. В нем нет ни букв, ни цифр, которые отображаются на экране, а есть только два знака: «О» и «1». Эти символы образуют алфавит «языка компьютера». Наша цель - изучить двоичную систему счисления, научиться переводить двоичные числа в деся тичные и обратно.
П. Повторение пройденного материала
Работа с плакатом (рис. 1), в ходе которой учитель задает школьникам следую щие вопросы:
Какое понятие объединяет все эти рисунки?
Что такое алфавит языка? Перечислите алфавиты языков, изображенных на плакате. Все ли языки имеют алфавит?
Что такое символ в языке? Приведите примеры символов в языках, изобра женных на плакате.
Ответы.
а, б) Язык жестов, в) язык мимики, г) математический язык, д) азбука Морзе, е) русский язык.
Алфавит языка это конечный набор знаков, с помощью которого можно соста вить любое сообщение на этом языке. Примеры алфавитов: {а, б, в, ..., ю, я} (33 буквы); {точка, тире} (2 символа). Математический язык, язык жестов и мимики не имеют алфавита. Они не предназначены для передачи конкретной информации, одно и то же сообщение в данных языках может трактоваться по-разному.
Символ - это знак, единица алфавита языка.
III. Объяснение нового материала. Решение задач
Учитель. Ребята, сегодня я расскажу вам одну фантастическую историю, но при этом мне понадобится ваша помощь.
Жил-был на нашей планете Земля мальчик Коля. Учился он в обычной школе в восьмом классе. Только одно отличало его от других ребят он очень любил рабо тать и отдыхать за компьютером: с ним он решал задачи, играл в игры. И никогда колина Стрелка (так он называл свою машину) его не подводила.
Но пока он сидел за своей Стрелкой, за ним с очень далекой планеты наблюдал зоркий глаз видеокамеры. На той планете не было живых существ, там властвовал искусственный интеллект по имени Робобосс, который мог подчинять себе все элек тронные устройства. Однако Робобосс все же был только лишь компьютером и знал только два знака - «О» и «1», поэтому он никак не мог понять арифметику землян и решил похитить Колю с помощью своего космического корабля, решив, что с ним он найдет общий язык. Так Коля оказался в плену на чужой планете.
Впрочем, Робобосс не был таким уж злым и обещал, что если Коля поможет ему решить три задачи, то он будет свободен. И Коля тут же увидел на огромном экране таблицу:
Коля догадался, что Робобосс хочет узнать, как наши десятичные числа записыва ются в двоичной системе. Пока Коля думал над решением этой задачи, он вспомнил свою родную Землю и нарисовал ветвистое дерево. И вдруг он догадался - если суще ствуют только знаки «1» и «О», то они могут соответствовать ответам «да» и «нет»: «1» это «да», а «0> - это «нет». Робобосс понял его идею и около каждой развилки веточек дерева написал неравенства (рис. 2). Давайте все вместе решим задачу так, как ее решил Коля.
Учитель вместе со школьниками вычисляет двоичный код для каждого числа от О до 7. Учащиеся рисуют дерево и заполненную схему в своих тетрадях, а учитель в таблице снимает карточки-«заслонки» со знаками вопроса, под которыми уже стоят требуемые двоичные числа.
Учитель. С первой задачей Коля справился, и на экране появилась следующая запись: Робобосс обработал результаты и получил формулу для перевода чисел из двоичной системы в десятичную. А чтобы Коля лучше понял ее, Робобосс привел пример и задал ему числовой ребус. В нем числа заменяют слова, а цифры буквы в них. Впишите все эти «слова» по направлению стрелок в светлые клеточки, снача ла переведя их из двоичной системы в десятичную.
Учитель. Итак, Коля научился переводить числа из двоичной системы в деся тичную. Ему осталось решить последнюю задачу перевести числа обратно из десятичной в двоичную. Робобосс сам разобрался, как это сделать, и помог Коле.
«Обратное преобразование десятичных чисел в двоичные, сказал Робобосс, проводится последовательным делением исходного числа на 2. При этом в остатках получаются цифры соответствующего двоичного числа. Деление на 2 производится, пока в результате тоже не останется 0 или 1, а потом все эти цифры надо переписать в обратном порядке справа налево, от младшего разряда двоичного числа к стар шему. Посмотри пример, реши цифровой сканворд, и тогда я тебя отпущу».
Учитель. Выполняя свое обещание, Робобосс отпустил Колю. Бывший плен ник был рад вернуться домой, но он не обиделся на инопланетную чудо-машину. Наоборот, Коля узнал от Робобосса много нового, и ему захотелось понять, что происходит внутри его Стрелки. Коля решил заняться двоичными числами. Теперь он знал, как переводить их в десятичные и обратно, но ему не давал покоя вопрос: если человек умеет складывать и вычитать числа, то как компьютер делает то же самое со своими двоичными числами? Но этим мы с вами займемся на следующем уроке.
IV. Подведение итогов урока. Объяснение домашнего задания
Некоторые ученики, наиболее активно работавшие на уроке, высказывают свое мнение о том, что нового они узнали, что им понравилось, а что - нет. Учитель обобщает их слова, анализирует работу класса в целом, выставляет отметки и объяс няет домашнее задание.
В конце урока дается домашнее задание.
Глава III. Состояние вопроса в практике учителей информатики (по результатам констатирующего и формирующего экспериментов)
III. 1 Констатирующий эксперимент
Экспериментальная работа проводилась в девятом классе школы № 6 г. Черкесска.
На данном этапе исследования поставлены следующие задачи:
Проанализировать состояние обучения информатике и развитие познавательной активности на основе наблюдения.
Изучить состояние профессиональной деятельности учителя (на основе наблюдения) с точки зрения реализации положений, заложенных в методической литературе
Определить состояние методической работы по теме исследования.
Провести с учащимися различного вида и форм коллективной работы по информатике, с целью выявления познавательной активности учащихся на начало эксперимента.
Проанализировать продукты деятельности учащихся (самостоятельные, контрольные, практические работы)
Провести контрольный срез с целью проверки знаний учащихся на начало эксперимента.
Провести анкетирование учителей по данному исследованию.
В констатирующем эксперименте принимало участие 3 учителя информатики, работающих в данной школе.
Анкета для учителей содержала следующий перечень вопросов:
Каким методам обучения информатике вы отдаете предпочтение?
Как происходит отбор методов обучения?
Каким образом вы формируете познавательную активность учащихся?
Как происходит отбор упражнений, задач для организации обучения информатике ?
Как часто вы создаете проблемные ситуации на уроках информатики при изучении систем счисления?
Исследование анкет показало, что педагоги осознают значимость обучения информатике при изучении систем счисления для повышения качества знаний учащихся.
Большинством педагогов были названы следующие методы обучения информатике: исследовательский метод, эвристический метод, который сочетает изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся, а также проблемное изложение.
Учителя также отметили особую значимость методов проблемного обучения в воспитательном отношении, они формируют и развивают творческую познавательную активность учащихся, способствуют правильному уяснению мировоззренческих проблем.
Среди причин мешающих ежедневно применять проблемные ситуации назывались: недостаток времени на уроке, недостаточное внимание к этому вопросу в методических журналах. Это заставляет учителя подвергнуть анализу учебный материал и выделять тот, который отличается более высокой степенью новизны, абстрактности, обобщенности, т.е. тот материал где реализуется проблемные ситуации.
Для эксперимента был определен 9 класс средней школы № 6, г. Черкесска в классе 28 человек.
Как показали наблюдения и анализ школьной документации неуспевающих в классе нет, но по успеваемости все учащиеся различны. На конец третьей четверти качество знаний учащихся составило 32%. Опрос показал, что к информатике отношение у большинства школьников положительное, они любят этот предмет.
С целью проверки качества знаний учащихся был проведен контрольный срез в форме контрольной работы:
Вариант № 1
Выполнить перевод чисел из десятичной системы в двоичную:
6410 24110 73610
Осуществить сложение чисел в двоичной системе:
6410+24110 24110+73610 73610+6410
Осуществить вычитание чисел в двоичной системе счисления:
24110-6410 73610-24110 73610-6410
Вариант №2
Выполнить перевод чисел из десятичной системы в двоичную:
4810 30110 57610
Осуществить сложение чисел в двоичной системе:
4810+30110 4810+57610 57610+30110
Осуществить вычитание чисел в двоичной системе счисления:
57610-30110 57610-4810 30110-4810
Анализ ошибок, допущенных учащимися
1. Выполнили перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную правильно - 20 чел, 71%
Допустили ошибки:
а) в вычислениях 9 чел., 30%
2. Осуществили сложение чисел в двоичной системе счисления и сделали проверку 25 чел., 89%
Допустили ошибки:
а) в сложении 5 чел., 17%
б) в переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную -6 чел., 20%
в) в проверке 8 чел., 29%
3. Правильно выполнили вычитание в двоичной системе счисления- 23 чел., 82%
Допустили ошибки:
а) при переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную- 6 чел, 20%
б) в вычитании - 9 чел, 30 %
Результаты следующие:
«5» - 2 чел., 7,2%
«4» - 8 чел, 28,5%
«3» - 13 чел.. 46,2%
«2» - 5 чел., 17,8%
Вывод: Изучение состояния проблемы наблюдения за выполнением контрольного среза и анализ результатов выполнения учениками показали, что на сегодняшний день наиболее часто встречаются следующие недостатки в организации изучения систем счисления:
Нет системы в организации работы по изучению систем счисления;
Нет навыка творческой активности учащихся, творческого поиска разрешения ситуаций;
Нет индивидуального подхода к учащимся.
На основе этих и других недостатков был разработан формирующий эксперимент.
III.2 Формирующий эксперимент
Для проведения формирующего эксперимента была составлена программа на формирование познавательной активности учащихся при изучении систем счисления. В программу формирующего эксперимента были включены следующие мероприятия:
Разработка и апробация системы познавательных игр, которые включались в устные упражнения на каждом уроке;
Подготовка и проведение серии уроков по изучению систем счисления;
Разработка и апробация системы тренировочных упражнений;
Составление и апробация тестирования;
Устные упражнения;
Занимательные задачи;
Составление алгоритмов, памяток.
Рассмотрим задания, которые я применяла на уроках, в ходе формирующего эксперимента.
Начинать работу по изучению систем счисления следует с формирования прочного наглядного образа - связывание палочек в пучки. Причем отрабатываться этот образ может различными способами - непосредственное связывание счетных палочек, их изображение в тетради.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В зависимости от класса, можно разыграть процесс связывания палочек. Например группа из 13 учеников разбивается на пятерки, которые берутся за руки, после чего появляется.
Конечно, сразу следует особое вниманию уделить произношению чисел 235 "два три в пятеричной системе счисления", обратить внимание на маленький индекс 5, объяснить, почему в десятичной записи 13 такого индекса нет.
Первоначально необходимо изображать в различных системах счисления двузначные числа. Параллельно можно задавать вопрос о количестве палочек. При этом должны появляться следующие записи: 235 = 13. Конечно, будет очень хорошо, если ребята не будут непосредственно пересчитывать палочки, а будут вычислять их количество
235 = 2*5+3=13,
но настаивать на этом не обязательно, главное - сформировать прочный образ, а не заучивать правило перевода из системы счисления в десятичную.
Таким образом, в первые 2-3 урока можно предлагать следующие задания:
Изобрази число 236, 334, 105. Подсчитай количество палочек.
Изобрази 20 палочек. Свяжи их по 7, запиши в семеричной системе счисления. Особое внимание здесь следует уделять числам, которые при записи в соответствующей системе счисления будут оканчиваться на 0.
Разумно наибольшее внимание уделять системам счисления с основаниями 4,5,6, чтобы не загромождать рисунки. Двоичную и троичную системы счисления до связывания пучков в вязанки разумно оставить в тени.
После отработки наглядного образа можно перейти к введению алгоритма (правила) перевода из десятичной системы счислению в другую и наоборот, апеллируя к наглядному опыту, попутно повторяя смысл умножения и деления с остатком. Для подготовки к формулировке алгоритма можно задать несколько вопросов наподобие следующих.
Сколько пучков получится при увязывании 37 палочек по 10, 8,12. Вычислите это устно, какое действие нам для этого понадобилось?
Сколько палочек останется после связывания 47 палочек по 10, 5, 8, 12.
При решении подобных заданий на перевод нужно требовать от ребят комментариев
235 = 2*5+3=13 - два пучка по пять палочек и еще 3.
Взяли 30 палочек, связываем по 7, получаем 30:7=4 пучка и 2 палочки останутся. Записываем 30=427
После введения алгоритма, задания такого рода еще долгое время (в зависимости от подготовки класса), будут хорошим упражнением для устного счета.
Следующей ступенькой, преодолеть которую нелегко даже старшеклассникам, будет знакомство с системой счисления, основание которой больше 10 - 12-ричной или 16-ричной. Не нужно требовать от всех учащихся уверенного владения этими системами счисления. Понять, что буква А16 изображает цифру(!!) 10 для учащихся очень сложно. Поэтому задания с такими счислениями следует предлагать как задания повышенной сложности. Перед введением таких систем счисления нужно обсудить следующие вопросы -
Сколько цифр в десятичной системе счисления, 5-ричной, а сколько должно быть цифр в 16-ричной, 12-ричной, как бы ты обозначил эти цифры?
Имеет ли смысл единичная система счисления.
Следующий этап - введение вязанок. Возможно, полезным окажется следующий прием - построить модель армии - 3 солдата -отделение, 3 отделения - взвод, 3 взвода - батальон, 3 батальона - полк, 3 полка - дивизия.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для объединения пучков авторы пособия предложили термин "вязанка". Для следующих разрядов слов уже не хватает, ребята могут предложить свои названия ("вязанище", "куча" и др).
Первое упражнение после введения понятие вязанка - вычислить количество палочек в одной вязанке, если мы связываем по 2, 3, и т.д. Здесь нет необходимости пересчитывать палочки, нужно как можно быстрее выйти к общему правилу: 1003=3*3*3 и т.д. Запись 1003=3*3*3=33 появится немного позднее. Можно предложить также следующие вопросы
Какое минимальное количество палочек нужно взять, чтобы при связывании по 3 получилась хотя бы одна вязанка. А при связывании по 5, 10? А какое максимальное количество нужно взять, чтобы получилась только одна вязанка (точнее не более одной)?
Получится ли при связывании 73 палочек по 5 хотя бы одна вязанка? Сколько получится вязанок, если взять первоначально 150 палочек?
Для закрепления можно предложить следующие задания.
переведите в 5-ричную систему счисления числа 17, 20, 101,125
переведите в десятичную систему счисления числа 123, 102, 267, 458
переведите в десятичную систему АА12, B012, 1012, 5А12 .
переведите числа 1012 в 3 систему, 428 в 7-ричную систему.
Верно ли записано 454=21, 13=11, 513=16, 2710=27, 10=A, 404=16 Исправьте все ошибки
Запиши число 7 в двоичной и восьмеричной системе счисления? В какой системе запись будет короче?
Почему, как ты думаешь, люди используют в основном десятичную систему счисления? Знаешь ли ты, где используются другие системы счисления?
Следующий этап - введение пучков 2, 3 и т.д. сорта. Сразу после их введения нужно проработать задание 29 (1), а затем должны появиться следующие записи (для любой системы счисления, можно нескольких) 20=12=1 21=102=2 22=1002=2*2=4 23=10003=2*2*2=8 и т.д.
После этого можно разобрать задание 30 и обратить внимание ребят на метод перевода в десятичную систему счисления. Затем в сильном классе можно поупражняться с переводом из двоичной системы счисления в десятичную (10011012) Для закрепления можно дать следующие задания (помимо тех, что в практикуме)
Переведите в 10 систему счисления 1103, 23214, 1AB116
Верно ли а) 42 =16, б) 70 =1 в) 50 =0 г) 0 * 32 =0 д)52=10 г) 1 * 32 +2 * 31 =11
Желательно также поработать с переносом в следующий разряд:
Написать число, следующее за 145 и т.д., следующее за 1445
Написать число, идущее перед 105 и т.д., идущее перед 3005 и т. д
Выписать все натуральные числа от 1 до 16 в двоичной системе счисления, троичной
Также были предложены следующие задания:
В-1
1) 11112 => х10
2) 78016 =>х10
3) 61010 => х2 =>х8 =>х16
4) 238+648 =
5) АС816 -3D916=
В-2
1) 1010012 => х10
2) АВС16 =>х10
3) 45010 => х2 =>х8 =>х16
4) 648+278 =
5) СD916 –АВ416=
В-3
1) 1011112 => х10
2) А21516 =>х10
3) 90010 => х2 =>х8 =>х16
4) 568+318 =
5) АС616 -4В716=
В-4
1) 1011012 => х10
2) А516 =>х10
3) 60110 => х2 =>х8 =>х16
4) 478+328 =
5) D9С16 -5АВ16=
В-5
1) 1011012 => х10
2) А516 =>х10
3) 60110 => х2 =>х8 =>х16
4) 11102+10012 =
5) 678 -238=
В-6
1) 1011112 => х10
2) А516 =>х10
3) 45610 => х2 =>х8 =>х16
4) АF16 +9716 =
5) 678 -238=
Работая по данной проблеме, используя эти и другие задания позволило нам внимательно следить за процессом овладения системой знаний по теме: «Системы счисления», своевременно корректировать дальнейшую нашу работу, а также на каждом уроке старались формировать познавательную активность школьников.
Планы – конспекты проведенных уроков по теме исследования представлены в приложении-2.
Заключение
Основная цель изучения систем счисления - систематическое повторение сведений о натуральных числах, их позиционной записи. Традиционно эта тема изучается в старших классах в курсе теоретической информатики.
Как показывает практика, тема «Представление информации» (которой в Обя зательном минимуме содержания образования по информатике отводится 12 ча сов), а особенно ее раздел, посвященный двоичной системе счисления, остается од ной из самых трудных для понимания учащимися. Почему это происходит?
Понятие «двоичная система счисления» представляет собой фрагмент курса математики о системах счисления. Соответственно, по мнению автора, учителя ин форматики подсознательно считают обучение системам счисления обязанностью учителей математики, а те, в свою очередь, считают, что эта тема - прерогатива информатики, так как она связана с изучением двоичного представления информа ции в ЭВМ. Преподаватели же высших учебных заведений (в частности, педагоги ческих институтов) считают ее уже изученной в школе и подробно не останавлива ются на ней, отводя на системы счисления самое большее 2-3 часа. Результат - неполное знание материала, его недостаточное понимание молодыми педагогами.
Появление новых информационных технологий вносит новый элемент в содержание образования, школьного образования в частности. Знание основ информатики и вычислительной техники, умение использовать ЭВМ становятся необходимым каждому человеку, т.е. общеобразовательными.
Уже ни для кого не секрет, что любая ЭВМ предназначена для обработки, преобразования и хранения данных. Для выполнения этих функции ЭВМ должна обладать некоторым способом представления данных. Представление данных заключается в их преобразовании в вид, удобный для последующей обработки либо пользователем, либо ЭВМ.
Форма представления данных определяется их конечным предназначением. В зависимости от этого данные имеют внутреннее и внешнее представление.
Все эти данные для ввода в компьютер должны быть некоторым универсальным образом представлены в виде набора целых чисел, т.е. преобразованы в формат внутреннего представления ЭВМ. Правила таких представлений разрабатываются и оформляются в виде стандартов.
Важным понятием при представлении данных в компьютерах является понятие система счисления.
Список использованной литературы
Алпсон С. Успех программного обеспечения. // Интеркомпьютер, № 1-2, 1991.
Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса образования. М., 1977.
Батурин Ю. М., Жодзишский А. М. Компьютеризация - путь к хаосу? // Интерфейс, № 1, 1991.
Босова Л.Л., Разноуровневые дидактические материалы по информатике. Кн. I. – М.: Образование и Информатика, 2001
Босова Л.Л., Савельева В.С. Разноуровневые дидактические материалы по информатике. Кн. I. – М.: Образование и Информатика, 2001
Босова Л.Л., Чомова Т.Н., Савельева В.С. Обработка текстовой информации. Дидактические материалы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002
Буняев М. Подготовка учителя - решение проблемы информатизации. //Информатика и образование, № 4, 1991.
Гейн А.Г., Сенокосов А.И. Справочник по информатике для школьников. – Екатеринбург: «У-Фактория», 2003
Гиркин И. В. Новые подходы к организации учебного процесса с использованием современных компьютерных технологий. // Информационные технологии , № 6, 1998.
Голубцов В.Н., Козырев А.К., Тихонов П.И. – Информатика: Лабораторный практикум. Создание комплексных документов в текстовом редакторе Microsoft Word 2000. – Саратов: Лицей, 2003
Горячев А., Шафрин Ю. Практикум по информационным технологиям. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2000
Гриценко В. И. Применение компьютерных игр в учебном процессе общеобразовательной и профессиональной школы. К., 1997
Ездов А. А. Новые технологии проведения школьного естественнонаучного эксперимента. // Информатка и образование, № 4, 1998.
Ефимова О., Морозов В., Угринович Н. Курс компьютерной технологии с основами информатики: Уч. пособие для старших классов. – М.: ООО «Издательство АСТ»; ABF, 2002
«Информатика», Еженедельная методическая газета для учителей информатики, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Заболотская И. В., Терентьева Н. А. Новые информационные технологии в музыкальном образовании. // Проблемы информатизации, № 4, 1996.
Залогова Л.А. Практикум по компьютерной графике. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001
Зигуненко С.Н. Я познаю мир. Компьютеры и Интернет: Дет. Энциклопедия. – М.: ООО «Издательство Астрель», «Издательство АСТ», 2002
Илюшин С. А., Собкин Б. Л. Персональные ЭВМ в учебном процессе. М.,1992.
Компьютер для детей. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2000
Кузнецов А., Пугач В., Добудько Т., Матвеева Н. Информатика. Тестовые задания. Методическое пособие – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002
Леонтьев В.П. Интернет. – М.: ОЛМА-ПРЕСС Образование, 2003
Леонтьев В.П. Новейшая энциклопедия персонального компьютера 2002. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2002
Майечак Б. Интернет для детей. – М.: «Интерэксперт», 2002
Маргулис Е. Д. Психолого-педагогические основы компьютеризации обучения. К., 1987.
Матекин М., Полилова Т. Текст, гипертекст, мультимедиа// Байтик, № 4, 1991.
Паттурина Н. Общение учителя и учеников на уроках информатики. // Информатика и образование, № 5, 1991.
Пейперт С. Дети, компьютер и плодотворные идеи: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990.
Программы для средних общеобразовательных учебных заведений. Основы информатики и вычислительной техники. -М.: Просвещение.1992.
Растригин Л. Компьютерное обучение и самообучение. // Информатика и образование, № 6, 1991.
Роберт И. В. Учебный курс "Современные иформационные и коммуникационные технологии в образовании". // Информатика и образование №8, 1997.
Семакин И., Залогова Л., Русаков С., Шестакова Л. Информатика. Базовый курс. Учебник для 7-9 кл. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000 – 2003
Сергеева Т. Новые информационные технологии и содержание обучения. // Информатика и образование, № 1, 1991.
Симонович С., Евсеев Г. Страна Интернет и Я. Популярный самоучитель работы в Интернете. - М.: «ДЕСС КОМ» «I-Press», 2002
Уваров А. Ю. Компьютерная коммуникация в современном образовании. // Информатика и образование, № 4, 1998.
Угринович Н., Босова Л., Михайлова Н. «Практикум по информатике и информацианным технолониям» М.: Бином, 2002
Шебень В. Использование ТСО и ЭВМ как средства развития познавательного интереса учащихся образовательных школ ЧСФР К., 1992 канд. дис.
Энциклопедия персонального компьютера и Интернета Кирилла и Мефодия. Современная мультимедиа энциклопедия на CD, М.: «Кирилл и Мефодий», 1997, 1999, 2001, 2003 с изменениями и дополнениями.
Яковлева Е. И., Сопрунов С. Ф. Проекты по информатике в начальной школе. // Информатика и образование, № 7, 1998.
Приложение-1
УРОК ПО ИЗУЧЕНИЮ ПЕРЕВОДА ЧИСЕЛ
ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ
Тема урока: Кодирование информации. Системы счисления.
Цели урока:
закрепление умений по переводу целых чисел из одной системы счисления в другую;
изучение перевода действительных чисел из одной системы счисления в дру гую;
изучение возможностей программы Калькулятор по работе в двоичной, вось меричной и шестнадцатеричной системах счисления;
обобщение знаний основного программного материала.
Задачи урока:
Учебные - изучение и повторение правил перевода чисел из одной системы счисления в другую и проверка соответствующих умений учащихся;
развивающие - развитие логического мышления, познавательного интереса, памяти учащихся;
воспитательные - воспитание трудолюбия, аккуратности.
Оборудование урока: компьютеры (по одному на два человека) с ОС Windows и стандартными приложениями.
План урока.
Организационный момент.
Актуализация знаний, умений и навыков учащихся - повторение правил перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.
Практическая работа на компьютере - перевод чисел из одной системы счисления в другую с помощью программы Калькулятор.
Изучение нового материала - перевод действительных чисел из одной сис темы счисления в другую.
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.
Ход урока
I. Организационный момент
Учитель объявляет тему и цели урока.
П. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся - повторение правил перевода целых чисел из одной системы счисления в другую
Учащиеся повторяют правила перевода целых чисел из одной системы счисления в другую - проводится фронтальный опрос.
Вопросы:
Сформулируйте правило перевода целых десятичных чисел в систему счисле ния с основанием р.
Сформулируйте правило перевода целых чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления.
Сформулируйте правило перевода целых чисел из двоичной системы счисле ния в восьмеричную.
Сформулируйте правило перевода целых чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную.
Сформулируйте правило перевода целых чисел из двоичной системы счисле ния в шестнадцатеричную.
Сформулируйте правило перевода целых чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.
Затем проводится письменный опрос.
Класс делится на три группы: учащиеся первой группы получают самые легкие задания, второй группы - задания среднего уровня сложности, третьей группы - самые трудные задания.
Задания для учащихся первой группы.
Переведите в десятичную систему счисления число 101102.
Переведите число 10110000102 в восьмеричную систему счисления.
Замените число 26078 равным ему двоичным числом.
Задания для учащихся второй группы.
Переведите в десятичную систему счисления число 2078.
Переведите число 10110000102 в шестнадцатеричную систему счисления.
Замените число 6В07]6 равным ему двоичным числом.
Задания для учащихся третьей группы.
Переведите в десятичную систему счисления число 2F516.
Переведите число 10110000102 в шестнадцатеричную систему счисления.
Замените число 26078 равным ему двоичным числом.
Во время проведения письменного опроса один из учеников у доски выполняет следующее задание: перевести число 2610 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
II. Практическая работа на компьютере - перевод чисел из одной системы счисления в другую с помощью программы Калькулятор
Используя инструкцию, имеющуюся на столе у каждого ученика, учащиеся вы полняют задание: с помощью программы Калькулятор переведите в десятичную систему счисле ния числа 105168, 110010101112, 3B5D16.
Образец инструкции.
Запустите программу Калькулятор: Пуск, Программы, Стандартные, Калькулятор.
Включите Вид Калькулятора Инженерный.
Переключитесь в требуемую систему счисления - установите соответствующую кнопку: Bin - двоичная, Oct - восьмеричная, Hex - шестнадцатеричная.
Введите заданное число.
Переведите его в десятичную систему счисления, установив эту систему с по мощью кнопки Dec.
Запишите полученный результат в тетрадь.
IV. Изучение нового материала перевод действительных чисел из одной системы счисления в другую
1. Учитель объясняет алгоритм перевода вещественных чисел из р-ичной си стемы счисления в десятичную:
Разложить число по базису и вычислить сумму произведений степени основа ния системы счисления и цифры числа.
2. Учащиеся самостоятельно выполняют задание: перевести в десятичную сис тему счисления числа 101,012 и 502,0716.
3. Ученики проверяют полученный результат, выполняя вычисления на ком пьютере.
4. Учитель объясняет алгоритм перевода вещественных чисел из десятичной системы счисления в р-ичную систему:
Для того чтобы исходную правильную дробь 0,Aq заменить равной ей правиль ной дробью 0,Хр, нужно: 0,Aq умножить нар по правилам g-ичной арифметики, це лую часть полученного произведения считать цифрой старшего разряда искомой дроби; дробную часть полученного произведения вновь умножить нар, целую часть полученного результата считать следующей цифрой искомой дроби. Эти операции продолжать до тех пор, пока дробная часть не окажется равной нулю либо не бу дет достигнута требуемая точность.
Пример.
Перевести дробь 0,375ю в восьмеричную систему счисления с точностью до тре тьего знака.
0,375*8 = 3,0 (дробная часть равна 0). Следовательно, 0,375ю = 0,3s.
Учащиеся самостоятельно переводят заданное число в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.
Ученики проверяют полученный результат, выполняя вычисления на компьютере.
7. Учитель объясняет, что перевод вещественных чисел из двоичной в восьме ричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно осуществляется анало гично переводу целых чисел.
8. Ученики самостоятельно выполняют задание: перевести число 1011000010,00110012 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, а числа 2607,34s и 6B07,D416 - в двоичную.
V. Подведение итогов урока
Выставляются оценки за урок; повторяется пройденный на уроке материал - учащиеся формулируют правила перевода вещественных чисел.
VI. Домашнее задание
Повторить правила перевода чисел - как целых, так и вещественных - из од ной системы счисления в другую, а также правила выполнения арифметических операций над числами в различных системах счисления.
Приложение-2
Урок 1. Представление числовой информации в компьютере
Цели: освоить основы систем счисления; иметь представление о спосо бах представления числовых данных в памяти компьютера; научиться пе реводить числа из десятичной системы в двоичную и обратно.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Теоретический материал урока
Рассмотрим исторические факты. Мы уже отмечали, что при создании первых электронно-вычислительных машин предполагалось только ис пользование числовых данных. Именно отсюда произошло название ЭВМ (электронно-вычислительные машины). Эффективность машин определя лась количеством операций, выполняемых в математических расчетах, что существенно увеличивало скорость обработки числовых данных по срав нению с возможностями человека.
Необходимость графической иллюстрации количества объектов, фик сации данных на носителе информации потребовала изобретения цифр. Сначала возникли непозиционные системы счисления (например, рим ская), представляющие собой только совокупности цифр без обобщенных правил выполнения действий нал числами. Характерным признаком не-позиционной системы счисления является отсутствие в ней цифры «нуль». Разработка правил выполнения арифметических операций над числами потребовала введения соответствующих символов, в том числе символа «ничего». Введение символа «куль» имело громадное значение для совершенствования способов представления чисел. Именно с вклю чением нуля в набор символов, являющихся цифрами, и связывают появ ление позиционных систем счисления.
Создание позиционных систем счисления позволили записывать сколь угодно большие числа с помощью небольшого количества цифр, а также возникла возможность упростить выполнение арифметических операций над числами. Итак, для описания количественных характеристик были введены цифры, основной характеристикой которой является основание числа. То есть, сколько цифр используется для описания всей системы. Используя для счета десять пальцев обоих рук, человек привык опериро вать десятичной системой, где для обозначения чисел используются десять цифр.
Десятичная система использовалась не везде. Например, в Японии до сих пор используют пятеричную систему счисления. Но для нас важнее как представляется информация в компьютере, то есть в техническом уст ройстве. (С этой точки зрения представляется разумным обращать внимание учащихся на особенности представления чисел в технических устрой ствах.) Обозначим некоторые из них. При записи натурального ряда чисел на бумаге мы можем заметить, что первые числа мы записываем с помощью одного разряда, а потом количество разрядов постепенно увеличива ется. В технических устройствах количество разрядов (разрядная сетка) постоянно, и мы должны всегда помнить о том, что любое число (малое и большое), будет иметь одинаковое количество разрядов.
В любом разряде технического устройства всегда хранится какая-то цифра. Пустого разряда не бывает. При добавлении к записанному числу другого числа результат может не поместиться в пределах разрядной сетки. Такая ситуация называется переполнением, она фиксируется при появлении сигнала о переносе из старшего разряда. Перед выполнением какой-либо операции все разряды устройства могут быть установлены в одно и то же (чаще нулевое) состояние. Такая операция обычно называется сбросом.
Между некоторыми выбранными двумя соседними разрядами может быть условно помещен разделитель дробной и целой частей числа. Его принято называть «запятая» или сточка». Такая форма затки, при которой раздели тель условно находится на конкретно закрепленном месте, называется формой с фиксированной точкой. Если разделитель не фиксируется жестко в изобра жении числа, имеем форму представления с плавающей точкой. При записи чисел в технических устройствах может происходить отсе чение лишних, не помещающихся в пределах разрядной сетки, разрядов. Этот эффект называют квантованием. Любой учащийся должен знать о том, что компьютер всегда вносит погрешность в результаты вычислений. Для хранения данных или, другими словами, для физического представле ния данных необходимо, чтобы устройство могло находиться в определен ном устойчивом положении. И количество этих состояний должно совпа дать с числом основания системы счисления. Десятичная система счисле ния была использована в арифмометрах (вспомним, что это были механи ческие устройства). Для электронных устройств устойчивым является двухпозиционное состояние, реле замкнуто - разомкнуто, поверхность намагничена - размагничена и т. д. Значит, и система счисления, позво ляющая использовать в качестве основания две цифры, является опти мальной системой.
Для удобства одно из этих устойчивых состояний может быть пред ставлено цифрой 0, другое- 1. Использование такой системы позволяет:
обеспечить максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации;
упростить выполнение арифметических действий;
использовать аппарат булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.
Появилось новое понятие система счисления, под которой мы будем понимать совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков. Снова повторимся. Различают два типа систем: непози ционные и позиционные. В непозиционных системах счисления значение любой цифры не зависит от занимаемой ею позиции. К самым популяр ным системам относится римская система счисления.
В позиционных системах счисления значение любой цифры в числе за висит от ее положения в ряду цифр, изображающих это число. Десятичная система счисления является одной из позиционных систем счисления. Се годня мы познакомимся еще с одной системой, которая используется для представления числовых данных в персональных компьютерах.
В позиционных системах для изображения числа используются конеч ное количество цифр, которые называются основанием системы. При ис пользовании двух цифр такую систему называют двоичной системой счис ления. Для обозначения используются цифры 0 и 1. Посмотрим, как можно перевести числа из десятичной в двоичную систему. Каждому числу в де сятичной системе приводится в соответствие двоичное число:
Такой способ не очень удобный, т. к. строить таблицы для больших чи сел не очень удобно. Можно воспользоваться вторым способом, т. с. когда для перевода чисел из системы в систему используют определенные правила. Например, при переводе из десятичной системы в любую другую систему необходимо:
Десятичное число последовательно делить на основание другой системы до тех пор, пока частное не окажется меньше основания.
Запись получившегося числа осуществляется справа налево.
Цифрами числа будут являться остатки от деления, начиная с последнего частного.
Например:
И число 54 в десятичной системе будет равен числу 110110 в двоичной системе. Правильная запись: 54Ш=110110г
Обратное преобразование из двоичной в десятичную систему осущест вляется с помощью выражения вида:
где Xs - число в S-й системе счисления, S - основание системы, А - цифра числа. Данное выражение используется для преобразования целых чисел, причем отчет цифр идет справа налево. Для нашего числа найдем ее деся тичное значение:
Получили нужное значение, перевод осуществлен правильно. Анало гичным образом можно использовать формулу и для отрицательных чисел, и для нахождения дробной части числа.
Точка используется для разделения целой и дробной части числа. Для целых чисел используется формат с фиксированной точкой, для вещественных - с плавающей точкой. Числа в памяти компьютера представлены в двоичном коде, разряд числа определяется размером машинного слова. Если машинное слова равно 6 байтам, то число должно быть шестнадцати разрядным. Если двоичное число получается с меньшим разрядом, то к числу дописываются нули.
Итак, мы знаем чему равно число 54 в двоичной системе, тогда рас смотрим, в каком виде будет представлено это число в памяти компьютера в памяти компьютера:
По самому старшему разряду определяется знак числа. Если он равен нулю, то число положительное, иначе - отрицательное. Способы пред ставления вещественных чисел мы не будем, это материал для рассмотре ния в старших классах.
III. Выполнение практического задания
Осуществить перевод чисел из десятичной системы в двоичную и об ратно.
IV. Подведение итогов урока
Домашнее задание
Попрактиковаться в переводе чисел из одной системы в другую с по следующей проверкой достоверности полученных данных.
Урок 2. Сложение и вычитание в двоичной системе
Цели: освоить способы сложения и вычитания в двоичной системе; иметь представление о способах оперирования числовой информацией в памяти компьютера.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний
В каком виде представлена числовая информация в памяти компьютера? (Числовая информация представлена в памяти компьютера в двоичном виде, как многоразрядное число, состоящее из нулей и единиц. Числа в памяти компьютера представлены в двоичном коде, разряд числа определяется размером машинного слова.)
Для чет» используются системы счисления? (Для оперирования цифровыми знаками и представления чисел используются системы счисления. Системы позволяют представить цифры различным способом.)
Какие виды систем счисления вы знаете? Приведите примеры для каждой системы. (Различают два типа систем: позиционные и непозиционные. В первом случае речь идет о системах, в которых значение цифры зависит от ее позиции в числе. В другом случае значение цифры не меняется, К позиционным системам относятся десятичная, двоичная, восьмеричная и т.д. К непозиционным -римская система счисления.)
Чем отличаются позиционные системы от непозиционных'? (В не позиционных системах счисления значение любой цифры не зависит от занимаемой ею позиции. В позиционных системах счисления значение любой цифры к числе зависит от ее положения в ряду цифр, изображающих это число.)
III. Теоретический материал урока
Итак, любая информация в памяти компьютера представлена двумя ус тойчивыми состояниями, которые фиксируются с помощью цифр 0 и 1. Единица характеризует наличие сигнала в сети, а ноль - его отсутствие. Использование в качестве основания системы две цифры означает, что речь идет о двоичной системе. То есть компьютер оперирует информаци ей, представленной в двоичном виде. Любая информация должна быть не только соответствующим образом представлена, но и должна быть воз можность оперировать ею. Для числовой информации характерно исполь зование ее в арифметических выражениях. На примере сложения и вычи тания чисел рассмотрим принцип оперирования числовыми данными.
Для сложения чисел в двоичной системе используют следующие пра вила:
Если для озвучивания учитель использует слово «десять», а не набор «один, ноль», тогда необходимо обратить внимание учащихся, что речь идет не о десятке в десятичной системе, а числе следующего (старшего) разряда в двоичной системе.
При сложении многоразрядных чисел арифметические операции вы полняются так же, как и в десятичной системе при переполнении текущего разряда осуществляется перенос в старший разряд. Рассмотрим сказанное на примере: 1001112 + 111012. Складывать удобнее в столбик, когда цифры соответствующих разрядов записаны друг под другом.
Здесь необходимо акцентировать внимание на то, что когда складыва ются три единицы, то получаем значение 11, т. е.:
1 + 1 + 1 = (1 + 1) + 1 = 10+ 1 = 11
Задание
Сложить двоичные числа:
1111112+ 1002 = 1100112+11012 =
1001112+ 1110002 =
Вычитание в двоичной системе. Процессор компьютера может вы полнять единственное арифметическое действие - это сложение чисел. Но мы знаем, что кроме сложения, процессор и вычитает, и делит, и умножа ет. Все эти процедуры выполняются с помощью операций сложения. По смотрим, как это происходит на примере вычитания.
Пусть нам необходимо найти разность двух двоичных чисел J100112 и 1001;. Необходимо выполнить последовательно следующие действия:
Сравнять количество разрядов обоих чисел.
Инвертировать вычитаемое путем замены нулей единицами, а единицы нулями.
Добавить дополнительную единицу.
Сложить оба числа.
Удалить единицу самого старшего разряда.
Рассмотрим, как эти действия будут выглядеть на практике:
IV. Выполнение практического задания
Проверить достоверность полученного результата, найти разность вы ражений с последующей проверкой: 1111112-10012 = 11001112-11012 =
1001112-1110002 =
V Подведение итогов урока
Урок 3. Перевод чисел из десятичной системы в любую другую систему
Цель: освоить принципы перевода чисел из одной системы в другую; отработать навыки перевода десятичных чисел пятеричную, восьмерич ную и шестнадцатеричнуго системы.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний
Чем обусловлено использование двоичной системы в технических системах? (Для электронных устройств устойчивым является двух- позиционное состояние, реле замкнуто - разомкнуто, поверхность намагничена -размагничена и т. д. Значит, и система счисления, позволяющая использовать в качестве основания две цифры, является оптимальной системой.)
В каком виде представлена информация в памяти компьютера? (Числа в памяти компьютера представлены в двоичном коде, разряд числа определяется размером машинного слова. Если машинное слово равно 6 байтам, то число должно быть шестнадцатиразрядным. Если двоичное число получается с меньшим разрядом, то к числу дописываются нули.)
Как осуществляется перевод чисел из десятичной системы в любую другую? (Десятичное число последовательно делить на основание другой системы до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. Запись получившегося числа осуществляется справа налево. Цифрами числа будут являться остатки от деления, начиная с последнего частного.)
- Как можно проверить правильность выполненных действий? (Об ратное преобразование из двоичной в десятичную систему осуще ствляется с помощью выражения вида: Xs=AoS + A (S + A2S +...)
III. Теоретический материал урока
В десятичной системе используется десять цифр, в двоичной - две. На прашивается вывод, что. количество цифр определяется основанием систе мы. Тогда для описания троичной системы используется три цифры, чет веричной - четыре и т. д. Рассмотрим перевод чисел в пятеричную систе му. Соответственно должны использоваться цифры 0, 1, 2, 3, 4.
Переведем число 5410 в пятеричную систему.
Пятеричную систему мы рассмотрели лишь в качестве примера. Дру гими системами, использующимися для представления чисел при работе с компьютером, являются восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Есть два способа перевода чисел в эти системы, когда десятичное число пере водится в одну из систем или используется двоичное число.
Заданием 1
Проверить достоверность полученных данных. Используем второй способ: Э46ю = 101011010?
Число в двоичной системе разбиваем по три числа и приводим в соответствие их десятичное значение:
Шестнадцатеричная система использует соответственно шестнадцать знаков, но цифр только десять, поэтому для обозначения чисел использу ются буквенные обозначения. То есть числа 10, II, 12, 13, 14, 15 заменены буквами А, В, С, D, E, F.
Задание 2
Перевести десятичное число 247 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
IV Подведение итогов урока
Приложение-3
Результаты констатирующего эксперимента
13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s 1415
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root Entry