Конспект урока по математике на тему Решение однородных тригонометрических уравнений (10 класс)

Урок
«Решение однородных тригонометрических уравнений»
Цели:
Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений.
Развивать и совершенствовать умения, применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.
Воспитывать у учащихся актуальность, культуру поведения, чувство ответственности.
План урока.
Организационный момент.
Этап проверки домашнего задания.
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
Этап усвоения новых знаний.
Этап проверки понимания учащимися нового материала.
Этап закрепления нового материала.
Этап информирования учащихся о домашнем задании.
Этап всесторонней проверки знаний.
Ход урока.
Задача 1 – подготовить учащихся к работе на уроке.
Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».
Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.
Наша задача на уроке – показать свои знания и умения по решению уже известных видов тригонометрических уравнений и овладеть умением решать новый тип уравнений – однородные уравнения.
Задача 2 – установить осознанность и правильность выполнения заданий всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений.
а) Математический диктант.
Диктант проводится в двух вариантах. Вопросы распечатываются каждому учащемуся. По окончании диктанта, учащиеся обмениваются работами и проверяют правильность ответов, которые высвечены на экране.
1 вариант.
Каково будет решение уравнения cosx=a при ׀a׀>1?
При каком значении a уравнение cosx=a имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение a при решении уравнения cosx=a?
В каком промежутке находится значение a?
В каком промежутке находится значение arccosa?
Каким будет решение уравнения cosx=-1?
Каким будет решение уравнения cosx=0?
Каким будет решение уравнения cosx=1?
Чему равняется arccos-a?
В каком промежутке находится arctg a?
Какой формулой выражается решение уравнения tg x=a?
Чему равняется arctg-a?
2 вариант.
Каково будет решение уравнения sinx=a при ׀a׀>1?
При каком значении a уравнение sinx=a имеет решение?
Какой формулой выражается это решение?
На какой оси откладывается значение a при решении уравнения sinx=a?
В каком промежутке находится значение a?
В каком промежутке находится значение arcsina?
Каким будет решение уравнения sinx=-1?
Каким будет решение уравнения sinx=0?
Каким будет решение уравнения sinx=1?
Чему равняется arcsin-a?
В каком промежутке находится arcctg a?
Какой формулой выражается решение уравнения ctg x=a?
Чему равняется arcctg-a?
б) Сообщения учащихся.
Выступают заранее подготовленные учащиеся.
Доклад об истории развития тригонометрии.
О прикладной направленности изучаемой темы.
в) Самостоятельная работа №1.
Самостоятельная работа проводится на 3 варианта. Вариант 3 предлагается учащимся по выбору. Тетради с работой собираются учителем для проверки.
Вариант 1.
Решите уравнения: 2sinxcosx=1;
cos2x-5cosx+4=0.Вариант 2.
Решите уравнения: cos2x-sin2x=1;
2sin2x-3sinx-2=0.Вариант 3.
Решите уравнения: 3 tg6x+30+1=0;
6cos2x-5sinx-5=0.Задача 3 – с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений.
Уравнения на магнитной доске: cos4x-2=12; cos2x-2cosx=0; 2sinx-3cosx=0; cos2x-sin2x=1; 3sin2x-5sinx-2=0; tgx-32sinx2+1=0; 3sin2x-4sinxcosx+cos2x=0.Задание: назовите те уравнения, название и метод решения которых знаете.
В результате на доске остаются уравнения: 2sinx-3cosx=0; 3sin2x-4sinxcosx+cos2x=0.Задача 4 – дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решения.
Уравнения данного вида называются однородными.
Учащиеся записывают тему урока в тетрадях.
Вообще, уравнения вида
a0cosnx+a1cosn-1xsinx+a2cosn-2xsin2x+…+ansinnx=0, где
a0, a1,…,an – числа, n ∈ Z, называются однородными относительно sinx и cosx.
Сумма показателей степеней sinx и cosx во всех членах одинакова. Она называется степенью однородности уравнения.
Метод решения – деление на cosnx≠0 sinnx≠0.
Задание: Почему возможно это деление?
Если предположить, что cosx=0 , то и sinx=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству, поэтому деление возможно.
Задание: Решить уравнение 2sinx-3cosx=0. [Отв.: arctg1,5+πn, n∈Z.]
На доске решается уравнение с подробным разбором хода решения.
Задача 5 – установить усвоение учащимися способа решения нового вида уравнений.
Задание: Укажите вид уравнения и способ его решения.
sinx=2cosx; 3sinx+cosx=0; 4cos3x+5cos3x=0;2sinx+cosx=2;1+7cos2x+3sin2x=0; 3sin3x-cos3x=0.Задача 6 – закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке для выполнения письменной работы.
Задание: Решить уравнения:
а) 3sin2x-4sinxcosx+cos2x=0
[Отв.: π4+πn, n∈Z; arctg13+πm, m∈Z]
б) 2sinx+cosx=2 [Отв.: π2+2πn, n∈Z; 2arctg13+2πm, m∈Z].
Уравнения решаются на доске с подробным разбором хода решения.
Задача 7 – сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.
Задача 8 – проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.
а) Самостоятельная работа №2.
Работа на 3 варианта, носит обучающий характер. Учащиеся самостоятельны в выборе варианта. Желающие сдают работу для оценивания.
Вариант 1 - 3cos2x+sin2x=0Вариант 2 - 3sin5x+cos5x=0Вариант 3 - 1+7cos2x=3sin2x
б) Устный фронтальный опрос:
С каким видом уравнений мы познакомились?
Каков метод решения уравнений этого вида?
Почему возможно деление на cosnx≠0 sinnx≠0?
Каков метод решения уравнения после указанного деления?
Учащимся дается оценка их работе на уроке. Выставляются отметки.