Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений (10 класс)

Приемы решения тригонометрических уравнений
1. Сведение к одной функции
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]заменяем на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 1.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 2.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]заменяем на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 1.
13 INCLU
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15,В первом случае решений нет, во втором [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 3.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. Однородные уравнения относительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то деля обе части уравнения на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] корень уравнения и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Подставляя в уравнение, получаем, что и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а это невозможно.
Пример.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
4. Уравнения, приводящиеся к однородным
а) Домножение на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) Переход к половинному аргументу
Пример.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
5. Использование формулы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
6. Замена [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пример.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Разложение на множители
1. Формулы преобразования суммы в произведение
2. Формулы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],  решений нет,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Понижение степени
Использование формул
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сравнение левой и правой части
Пример 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
что невозможно.
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пример 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Пример 3.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пусть[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подставляем во второе уравнение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 4.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

{\rm ctg}\, x\begin{array}{ll}
1)\ \sin x=-1&2)\ \sin x=1/2\\
\displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&
\displaystyle x=(-1)^k{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}
\end{array}\sin x{\rm tg}\,2x\begin{array}{l}
2\cos2x=8\cos x-1,\\
\cos x=t,\\
4t^2-8t-1=0,\\
{\cal D}/4=20,\\
\displaystyle
t={4\pm2\sqrt{5}\over 4}={2\pm\sqrt{5}\over 2}.
\end{array}\displaystyle x=\pm\arccos{2-\sqrt{5}\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\begin{array}{l}
{\rm tg}\,2x=3{\rm tg}\, x,\\
\displaystyle
{2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}=3{\rm tg}\, x,
\end{array}\begin{array}{ll}
{\rm tg}\,2x=3{\rm ctg}\, x&\\
1)\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}={3\over {\rm tg}\, x}\ (\cos x\ne0)&\displaystyle \cos x=0\Longleftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]
2{\rm tg}^2x=3-3{\rm tg}^2x&\Longrightarrow{\rm tg}\,2x={\rm tg}\,(\pi+2\pi k)=0,\\
5{\rm tg}^2x=3&{\rm ctg}\, x=0,\\
\displaystyle{\rm tg}\, x=\pm\sqrt{3\over 5}\Longrightarrow\cos x\ne0,{\rm tg}^2x\ne1&\\
\displaystyle x=\pm{\rm arctg}\,\sqrt{3\over 5}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.&
\end{array}\begin{array}{l}
a\sin x+b\cos x=0,\\
a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0.
\end{array}\cos x\cos^2 x\cos x_0=0\sin x_0=0\begin{array}{ll}
2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x=0,&\\
2{\rm tg}^2x-3{\rm tg}\, x+1=0,&\\
1)\ {\rm tg}\, x=1&2)\ {\rm tg}\, x=1/2,\\
\displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{1\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
\end{array}\begin{array}{l}
\sin2x(\sin x+\cos x)=4\sin x-2\cos x,\\
\sin2x\sin x+\sin2x\cos x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+
4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\
2\sin^2x\cos x+2\cos^2x\sin x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+
4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\
4\sin^3x-4\sin^2x\cos x+2\sin x\cos^2x-2\cos^3x=0,\\
2{\rm tg}^3x-2{\rm tg}^2x+{\rm tg}\, x-1=0,\\
({\rm tg}\, x-1)(2{\rm tg}^2x+1)=0,\\
{\rm tg}\, x=1,\\
\displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
\end{array}\begin{array}{ll}
\displaystyle
\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}=2&\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}={3\over 4},\\[3mm]
x=2{\rm arctg}\,2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{3\over 4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
\end{array}a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0\begin{array}{l}
\sin x+\cos x=1,\\
\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1,\\
\sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}/2,\\
x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z};\ x=\pi/2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
\end{array}\begin{array}{l}
\displaystyle{1\over \sin x}-{1\over \cos x}=1,\\[3mm]
\cos x-\sin x=\sin x\cos x,\\
\cos x-\sin x=t,\\
\displaystyle \sin x\cos x={1-t^2\over 2},\\[3mm]
1-t^2=2t,\\
t^2+2t-1=0,\\
t=-1\pm\sqrt{2}.
\end{array}\begin{array}{ll}
\cos x-\sin x=-1+\sqrt{2}&\cos x-\sin x=-1-\sqrt{2},\\
-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1+\sqrt{2}&-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1-\sqrt{2},\\
x=\pi/4+{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\emptyset,\\
x=5\pi/4-{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.&
\end{array}\begin{array}{l}

\sin x+\sin^2x+\cos^3x=0,\\
\sin x+1-\cos^2x+\cos^3x=0,\\
\sin x(1+\sin x)+(1-\sin^2x)\cos x=0,\\
\sin x(1+\sin x)+(1+\sin x)(1-\sin x)\cos x=0,\\
1)\ 1+\sin x=0,\\
\sin x=-1,\\
\displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\
2)\ \sin x+(1-\sin x)\cos x=0,\\
\sin x+\cos x=t,\\
\displaystyle\sin x\cos x={1\over 2}(t^2-1),\\[3mm]
\displaystyle t-{1\over 2}t^2+{1\over 2}=0,\\[3mm]
\displaystyle {1\over 2}t^2-t+{1\over 2}=0,\\[3mm]
t=1\pm\sqrt{2}.
\end{array}1)\ \sin x+\cos x=1+\sqrt{2}>\sqrt{2}\begin{array}{l}

2)\ \sin x+\cos x=1-\sqrt{2},\\
\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1-\sqrt{2},\\
\displaystyle x+{\pi\over 4}=\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]
\displaystyle x=-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]
\displaystyle x+{\pi\over 4}=\pi-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]
\displaystyle x={3\pi\over 4}-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
\end{array}\displaystyle\left.{3\pi\over 4}-{\rm arcsin}\,{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\left.\right| k\in\mathbb{Z}\right\}\begin{array}{l}

\displaystyle
\cos\alpha\cos\beta={1\over 2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)),\\[3mm]
\displaystyle
\sin\alpha\sin\beta={1\over 2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)),\\[3mm]
\displaystyle
\sin\alpha\cos\beta={1\over 2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)),\\[3mm]
\displaystyle
\cos^2\alpha={1\over 2}(1+\cos2\alpha),\\[3mm]
\displaystyle
\sin^2\alpha={1\over 2}(1-\cos2\alpha).
\end{array}\begin{array}{l}
\displaystyle\sin^{19}x+\cos^{19}x={\pi\over 3},\\[3mm]
\sin^2x+\cos^2x=1,\\
\left.\begin{array}{l}
\sin^{19}x\le\sin^2x,\\
\cos^{19}x\le\cos^2x,
\end{array}\right|\Rightarrow\sin^{19}x+\cos^{19}x\le1,\\
\pi/3>1.
\end{array}\begin{array}{l}
\sin3x+\sin7x=2,\\
\left\{\begin{array}{l}
\sin3x=1,\\
\sin7x=1,
\end{array}\right.\\[5mm]
\sin3x=1,\\
\displaystyle x={\pi\over 6}+{2\pi k\over 3},\ k\in\mathbb{Z}.
\end{array}x\in[0;2\pi[,\displaystyle x\in\left\{{\pi\over 6};{5\pi\over 6};{3\pi\over 2}\right\} .
\begin{array}{l}
\cos^3x\cos2x=-1,\\
|\cos x|\le1,\ |\cos2x|\le1,\ |\cos^3x\cos2x|\le1,\\
\left\{\begin{array}{l}
\cos x=1,\\
\cos2x=-1,
\end{array}\right.\end{array}15