Справочные материалы по теме Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений

Некоторые приёмы решения тригонометрических уравнений.

sin x=a 13 EMBED Equation.3 1415п((, 13 EMBED Equation.3 1415
cos x=a 13 EMBED Equation.3 1415, п((
13 EMBED Equation.3 1415
tg x=a 13 EMBED Equation.3 1415, п((
сtg x=a 13 EMBED Equation.3 1415, п((

Название
Содержание, формулы
Примеры

1.Уравнения, приводимые к алгебраическим.
-Функции разных аргументов привести к функции одного аргумента.
-Разные функции одного аргумента привести к одной функции.
-Обозначить эту функцию новой переменной.
-Привести уравнение к алгебраическому виду и решить.
-Перейти к старым переменным.
-Найти корни исходного уравнения.
cos 2x+3 sin x=2;
cos2 x- sin2 x+3 sin x=2;
1-2 sin2 x+3 sin x-2=0;
sin x=y 2y2-3y+1=0;
y1=0,5; y2=1;
sin x=0,5 или sin x=1
х=13 EMBED Equation.3 1415
х=13 EMBED Equation.3 1415
2 cos2 3x - sin 3x =1;
2(1 - sin2 3x) - sin 3x = 1;
2 sin2 3x - sin 3x – 1 = 0;
sin 3x=у 2у2 – у – 1 = 0;
у1=1; у2= - 0,5;
sin 3x = 1; sin 3x = - 0,5
3х=13 EMBED Equation.3 1415;3х=13 EMBED Equation.3 1415
х=13 EMBED Equation.3 1415; х=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2.Однородные уравнения.
a sin x + b cos x = 0 – I степ.
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 – II степ.
cos x=0 не является корнем исходного уравнения, т.к. если cos x=0, то в силу исходного уравнения и sin x=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому можно разделить обе части уравнения на cos x (на cos2 x) или на sin x (на sin2 x).
2 sin x - 3 cos x = 0;
13 EMBED Equation.3 1415;
2 tg x – 3 = 0;
tg x =1,5
х= arctg1,5+( п; п((
sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x=0;
13 EMBED Equation.3 1415
tg2 x - 3 tg x + 2 = 0;
tg x =у у2 - 3у + 2=0;
у1=1 у2=2
tg x=1 tg x=2
х=13 EMBED Equation.3 1415 х= arctg2+( k
п,k((

При оформлении решения нужно пояснять, почему можно делить на cos x (cos2 x)

3. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.
- Перенести все слагаемые в левую часть уравнения.
- Разложить левую часть уравнения на множители (с помощью вынесения общего множителя за скобки, группировки, формул сокращённого умножения и др.)
- Каждый множитель приравнять к нулю.
- Решить полученные уравнения.

sin 4x=3cos 2x
2sin 2xcos 2x-3cos 2x=0
cos 2x(2sin 2x – 3)=0
cos 2х=0 или 2 sin 2x– 3=0
2х=13 EMBED Equation.3 1415 sin2x=1,5
13 EMBED Equation.3 1415, п(( 13 EMBED Equation.3 1415

cos2 x+sin xcos x=0
cos x(cos x+sin x)=0
cos x=0 или cos x+sin x=0
13 EMBED Equation.3 1415 1+ tg x=0
13 EMBED Equation.3 1415
п,k((
sin x + cos x – 1 – sin 2x = 0
sin x + cos x – (cos2 x+sin2 x +
+ 2sin xcos x )=0
(sin x+cos x) – (sin x+cos x)2=0
(sin x+cos x)(1–sin x–cos x)=0
13 EMBED Equation.3 1415

4. Линейные тригонометрические уравнения.
a sin x + b cos x =с где а2+b2 ( с2 (т.е. (с(
·13 EMBED Equation.3 1415) – иначе уравнение не будет иметь решения.
1 способ: применение универсальной подстановки: 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
При таком переходе возможна потеря решений: следует помнить, что 13 EMBED Equation.3 1415 (в этих 13 EMBED Equation.3 1415 не существует). Поэтому значения х= ( +2( т нужно проверять, подставляя в исходное уравнение.
2 способ: введение дополнительного аргумента:
Обе части уравнения разделить на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ввести дополнительный аргумент – угол
· такой, что
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Если ввести угол ( такой, что
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то получим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
sin x + cos x= – 1
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED E
·quation.3 1415
2t+1- t2= - 1 – t2
2t = -2
t = -1
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Подставив в исходное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 убеждаемся, что эти числа также являются его решениями.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, п,т((
sin x + cos x= – 1
a=1, b=1, c= - 1.
a2+b2=2
13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415
получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
При данном способе решения нет риска потери корней.

3sin x +4 cos x= 2
a=3, b=4, c=2. a2+b2=25, с2=4, т.е. a2+b2 > с2
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Значит 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Уравнения вида Р(sin x( cos x,
sin x cos x)
Уравнения вида Р(sin x( cos x, sin x cos x), где Р(х,у) – многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной t= sin x ( cos x. Тогда 1( 2sin x cos x = t2.
sin x+cos x+4sin xcos x – 1 =0
t=sin x+cos x; t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x
Значит 4sin xcos x=2t2 – 2
2t2 + t – 3=0 sin x+cos x=113 EMBED Equation.3 1415
t1=1 t2=-1.5 sin x + cos x= - 1,513 EMBED Equation.3 1415

6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2 sin2 x+ cos 4x=0
1- cos 2x+ cos 4x=0; ( 1- cos 2x+2 cos2 2x-1=0; ( cos 2x(2 cos 2x-1)=0
cos 2x=0 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

7. Уравнения, решаемые преобразованием суммы или разности в произведение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
sin 5x=sin 3x

cos 2x - cos 8x+cos 6x=1
cos 3x+sin 2x - sin 4x=0

8. Уравнения, решаемые преобразованием произведения в сумму и с помощью формул сложения.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
cos 3x cos 2x=sin 3x sin 2x
cos 3x cos 2x - sin 3x sin 2x=0
cos (3х+2х)=0
cos 5х=0
13 EMBED Equation.3 1415, п((
sin 5x cos 3x=sin 6x cos 2x
0,5(sin 8x+ sin 2x)=0,5(sin 8x+ sin 4x)
sin 2x - sin 4x=0
-2 sin x cos 3x=0
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

9. Уравнения, решаемые с помощью равенства одноимённых тригонометрических функций
sin
·=sin (13 EMBED Equation.3 1415 cos
·=cos(13 EMBED Equation.3 1415
tg
·=tg( 13 EMBED Equation.3 1415
cos 3x= sin x
cos 3x= cos (0,5( – х)
3х – (0,5( – х)=2( п
4х=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, п((
3х + (0,5( – х)=2( k, 13 EMBED Equation.3 1415, k((
sin 3x=sin 5x
5х-3х=2л( 2х=2л(, х=л(, л((
3х+5х=(2т+1)(, 8х=(2т+1)(
х =13 EMBED Equation.3 1415, п((
Другое решение:
3х=(-1)п5х+(п, п((
п-чётн. х=
п-нечётн. х=

10. Использование ограниченности функций у= sin x и у= cos x.
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
sin sin x=1
13 EMBED Equation.3 1415
Модуль полученного выражения больше 1 при любых k ( корней нет
sin x+ sin 9x=2

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native