Презентация по математике Решение простейших тригонометрических уравнений
МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Колледж
Решение простейших тригонометрических уравнений
Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика»
Для специальности 43.02.11 Гостиничный сервис
I курс
Составил преподаватель: Мухамметжанова Р.К.
2015
Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений»
Цели занятия:
Образовательная:
Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Сформировать у студентов первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
Развивающая:
Развивать математическое мышление.
Умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации.
Воспитательная:
Воспитывать активность, самостоятельность, упорство и достижение цели.
Формируемые ОК:
ОК.3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях, и нести за них ответственность.
ОК.4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития;
ОК.5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий.
ОК.6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
Знания и умения:
уметь:
У.5. уметь определять основные свойства функций и строить графики изученных функций
У.7. уметь преобразовывать простейшие тригонометрические выражения
У.9. уметь решать иррациональные, логарифмические и тригонометрические уравнения
знать:
З.1. Знать значение математической науки для решения теоретических и практических задач;
З.3. знать способы решения различных алгебраических уравнений
З.4. знать основные определения и формулы тригонометрии
Тип занятия: комбинированный.
Обеспечение занятия:
Наглядные пособия: таблицы значений тригонометрических функций, сводные таблицы решения тригонометрических уравнений, тригонометрический круг.
ТСО: компьютер, диапроектор.
Оснащение ТСО: программа Microsoft office PowerPoint.
Вычислительные средства: микрокалькуляторы, таблицы значений тригонометрических функций, тригонометрический круг.
Ход занятия:
Организационный момент:
Проверка отсутствующих, заполнение журнала.
Постановка темы и целей урока.
Проверка знаний:
Фронтальный опрос (устные вопросы)
1. Тригонометрический круг (слайд №2)
2. Сформулируйте определение арксинуса числа.
3.Чему равен 13 EMBED Equation.3 1415?
4.Сформулируйте определение арккосинуса числа.
5.Чему равен 13 EMBED Equation.3 1415?
6.Сформулируйте определение арктангенса.
7.Чему равен 13 EMBED Equation.3 1415?
8.Дайте определение арккотангенса числа.
9.Чему равен 13 EMBED Equation.3 1415?
Устный счет по таблицам значения тригонометрических функций: (слайд №3, 4)
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Объяснение нового материала:
Актуализация опорных знаний:
Обратные тригонометрические функции необходимы нам для изучения новой темы «Решение простейших тригонометрических уравнений»,
так как они используются при решении тригонометрических уравнений.
В курсе алгебры вы уже встречались с различными видами уравнений. Давайте вспомним какие это уравнения?
Предполагаемый ответ: линейные, квадратные, кубические, логарифмические, показательные, иррациональные.
Сегодня мы с вами познакомимся с тригонометрическими уравнениями.
Это не последние уравнения в математике, например, на втором курсе мы начнем решать дифференциальные уравнения.
3.1 (Слайд № 5: Определение и виды простейших тригонометрических уравнений)
Давайте запишем определение тригонометрического уравнения.
Тригонометрическим называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции.
Сегодня мы рассмотрим решение простейших из них:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.
Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящей в него переменной, которая удовлетворяет этому уравнению.
3.2 (Слайд № 6: Частные случаи уравнения 13 EMBED Equation.3 1415. )
При а=1 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
При а=-1 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
При а=0 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
(Слайд №7,8,9: Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415)
Рассмотрим уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
Период синуса равен 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины 13 EMBED Equation.3 1415. Из рисунка видно что, что на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. Следовательно, на этом отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. На отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 синус убывает и принимает каждое свое значение тоже один раз. Чтобы найти решение на этом отрезке, вспомним что 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415, и поэтому решением уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 будет 13 EMBED Equation.3 1415.
Для получения всех решений уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 к каждому из двух полученных решений прибавим числа вида 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415.Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415. (2)
Обе серии решений можно объединить:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
13 EMBED Equation.3 1415 называют параметром, при к четном получается формула (1), при к нечетном получается формула (2)
(Слайд№10: Решите уравнение(закрепление))
3.5(Слайд №11: Частные случаи уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 )
При а=1 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
При а= -1 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
При а=0 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
(Слайд №12,13,14: уравнение вида: 13 EMBED Equation.3 1415)
Рассмотрим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как период косинуса равен 13 EMBED Equation.3 1415, то при 13 EMBED Equation.3 1415 для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок длины 13 EMBED Equation.3 1415. Удобнее всего выбрать отрезок 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415, а на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415- решение 13 EMBED Equation.3 1415 так как функция косинус четная. Таким образом на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет решения
13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы записать все решения уравнения необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. В итоге получим бесконечное множество решений
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
3.7 (Слайд №15: Решите уравнение (закрепление))
3.8 (Слайд №16,17: уравнения вида: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415: )
Так как период тангенса равен 13 EMBED Equation.3 1415, то для того чтобы найти все решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, достаточно найти все его решения на любом отрезке длины 13 EMBED Equation.3 1415. По определению арктангенса решение уравнения на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Для того чтобы получить все решения уравнения нужно к решению, полученному на отрезке длины 13 EMBED Equation.3 1415, прибавить 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
И решение уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
3.9 (Слайд №18: Решите уравнение(закрепление))
3.10(Слайд № 19: Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений)
Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений
Уравнение
Общее решение
Частные случаи
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Студенты заполняют сводную таблицу по ходу объяснения материала.
3.11 (Слайд №20, 21: Примеры решения уравнений).
Самостоятельное решение уравнений трех уровней. Ребята, вы сейчас постараетесь решить уравнения по карточкам. Те из вас, кто быстро сможет решить 1-2 уравнение 1 уровня, переходите на следующий. Задания 1 уровня решить всем. Кто не успеет выполнить, будет решать эти уравнения дома.
I уровень II уровень III уровень
соsх = 13 EMBED Equation.3 1415 соs2х = 13 EMBED Equation.3 1415 соs(2х13 EMBED Equation.3 1415 )=13 EMBED Equation.3 1415
sin х= - 13 EMBED Equation.3 1415 sin3 х=13 EMBED Equation.3 1415 sin (х13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415
соsх= 0 соs5х=1 2 sin(3х13 EMBED Equation.3 1415)= 1
tgх= 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415+ 2соsх=0 соs(х13 EMBED Equation.3 1415 )= - 1
сtgх= -2
(Слайд№22: Подведение итогов занятия).
Продолжите фразу :
Сегодня на занятии я повторил
Сегодня на занятии я узнал
Сегодня на занятии я научился
На следующем занятии мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения и познакомимся с методами их решения.
Активным студентам выставление оценок.
6. (Слайд№23: домашнее задание).
(2) §33-35, решить примеры.
Литература:
1.Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/ Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука, 1987 – 464с.
Н.В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Заведений / Н.В. Богомолов – М.: Высшая школа, 2003-495с.13 EMBED Equation.3 1415
3. Ш.А. Алимов Алгебра и начала анализа 10 – 11 Москва Просвещение 2016г.
А.Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10 – 11 «Мнемозина» 2012г.
В.С. Шипачев Задачи по высшей математике «Легион Ростов на Дону» 2015г.
13PAGE \* MERGEFORMAT14715
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native