Разработка открытого урока на тему Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Открытый урок
Тема: Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
Цель:
1)Познакомить с видами уравнений, где нужно применять отбор корней; научить отбору корней при решении уравнений.
2)Развивать логику рассуждений, умение анализировать, выполнять самоконтроль.
3)Воспитывать культуру речи, грамотность выполнения работ.
Ход урока
1) Организационный момент
Приветствие.
Сегодня у нас гости присутствуют на уроке,(повернулись; поздоровались),потому чтобы у нас урок получился ,вы должны работать активно.
2)Постановка темы и цели урока
-тему урока я пока не объявляю, может быть, вы сформулируете сами. Но несколько слов я скажу: эти задания встречаются на ЕГЭ в КИМах, причем вам надо их непросто решить, а показать умение отбирать корни и умение показать самые удобные способы решения.
Значит, над чем же мы сегодня будем работать или «биться».
Тема нашего урока «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» возникла неспроста.
Мы научились решать тригонометрические уравнения различной степени сложности. Однако в экзаменационных заданиях, в контрольных работах требуется показать умение непросто решать эти уравнения, а в ходе решения возникает необходимость:
1)Отобрать те решения, которые входят в данное множество( особенно это множество-промежуток или интервал).
2)Второй клан задач, требующих отбора корней, составляют уравнения, при решении которых возможно расширение области определения за счет освобождения от знаменателя, содержащие переменные.
3) И, наконец, при решении тригонометрических уравнений мог быть использован метод возведения обеих частей уравнения в четную степень, и, значит, могли появиться посторонние корни, потому надо из найденных решений отобрать только те, что на самом деле являются корнями заданного уравнения.
И, вот, сегодня мы и будем разбирать эти примеры.
Повторение
а) Два ученика у доски
1)Найти корни уравнения cosх=12 , принадлежащие промежутку -2π;3π.
cosх=12 ;
х = ± π3+2πn, n ϵ Z Найти корни на единичной окружности
-2π;0- 2 решения: -π3 ;-5π30;3π- 3 решения: π3;5π3;7π3Ответ. -π3 ;-5π3; π3; 5π3;7π3 .
Если трудно по окружности, то можно решить двойное неравенство и осуществить «перебор по параметру».
2) Двойное неравенство
sin2х-π4=-1; -π2;3π2 -π2≤-π8+πk≤3π22х-π4=-π2 +2πk, kϵZ -π2+π8≤ πk≤3π2+π82x=-π4+2πk, kϵZ -3π8≤πk≤13π8x=-π8+πk,kϵZ -38≤π≤138k=0,x=-π8k=1, x= 7π8
Ответ.а) -π8+πk б) -π8 ;7π8Устный счёт
а)

б)

в)

г) sinх=0; х=πn,nϵ Z
д)cosх=0; х=π2 +πn,nϵZ
е) Что такое arcsina ?
ж) Что такое arcсosa?
з)sinх=а х=(-1)k arcsina+πk,kϵ ZОбъединённая формула
и) sinх=а х1=arcsina+2πk,kϵ Z х2= π-arcsina+2πk,kϵ ZПроверка уравнений у доски
Работа над новым материалом
а) sinх=910; х∈12;5Здесь происходит «наложение трудностей»: промежуток «неудобный»,значение синуса «неудобное»,то есть не табличное
Оценим значение arcsin910√3= 1,73
32<910<1arcsin32<arcsin910<arcsin 1π3<arcsin910<π2arcsin910π-arcsin910

Ответ. arcsin910 ; π-arcsin910
б)Отбор корней в уравнениях при разложении на множители
sinх=0sin4х=0х=πm,mϵZх=πn4 ,nϵZВ тех случаях, когда среди решений есть повторяющиеся, их надо найти и исключить, т.е надо объединить корни.
1-ый способ
Объединение корней
Решение уравнения в целых числах
πm=πn4m= n 4
n=4m
Подставим
Серия чисел πm, целиком содержится в серии х=πn4 и в ответ писать её не надо .Ответ. πn4 nϵZ2-ой способ
Изобразим числа серии х1 «квадратиками «, серии х2-«кружочками»
Из рисунка видно ,что значение х= πm,mϵZ целиком содержится в серии х=πn4
На единичной окружности

в) Отбор корней в уравнениях при расширении области определения

tanх-tan2х=tan3хsin3хcosхcos2х =sin3хcos3х
cosх≠0cos2х≠0cos3х≠0sin3хcos3х=cosхcos2хsin3хsin3хcos3х-cosхcos2х=0cos3х=cosх+2х=cosхcos2х-sin2хsinхsin3х(cosхcos2х-sin2хsinх-cosхcos2х)=0-sin2хsinхsin3х=0sin2х=0sinх=0sin3х=0х=πnх=х=πm4πk2n,m,kϵ ZПокажем отбор корней на числовой окружности
На первом макете изобразим «запрещенные» значения точками на числовой окружности кружочками.

То есть х=π2 +πn,nϵZ-посторонние корни

На втором макете изобразим найденные выше серии решения, отбрасывая, естественно,те значения, которые попадают в «запрещенные точки».

 
Итак, вы убедились, что числовая окружность должна стать для вас надежным средством для считывания информации.
Самостоятельная работа (в парах)

Рефлексия
-Что нового вы узнали на уроке?
-Какие вы испытывали трудности?
-Что нового вы взяли для себя?
-В каких случаях надо отбирать корни?
а) если нужно найти корни, принадлежащие данному множеству
б) когда происходит расширение области определения (освобождение от знаменателя, содержащие переменные)
в) когда надо возвести в четную степень, где могут появиться посторонние корни.
И вот 3 тип уравнений мы будем решать на следующих уроках.
Домашнее задание. 23.6(б), 23.9(б),28.28 (а,б), 28.34(а,б).