Сборник Методы решения уравнений, неравенств и их систем.
Содержание.
Теорема Безу
Симметрические уравнения
Возвратные уравнения
Метод выделения полного квадрата
Однородные уравнения
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Решение иррациональных уравнений
Показательные уравнения
Логарифмические уравнения
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
Иррациональные неравенства
Показательные неравенства
Логарифмические неравенства
Системы показательных и логарифмических уравнений.
Список использованной литературы
Математика. Пособие для подготовки к вступительным экзаменам. Под редакцией Барыкина Б.Ю. НАПКС г.Симферополь 2005
Сборник задач по математике. Авторы А.Г. Гайштут; Р.П.Ушаков. Киев «А.С.К.» 2002
2002 задачи по математике для выпускников и абитуриентов. Ю.В. Кириченко, О.В.Кириченко, В.И.Омельченко. Харьков «Фолио» 2003
Алгебра и математический анализ для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд. «Просвещение» Москва 1999
Математика. К.М.Гуринович. Минск 2003
Сборник конкурсных задач по математике. Под ред. Сканави М.И.
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415;
6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) 13 EMBED Equation.3 1415;
9) 13 EMBED Equation.3 1415
-48-Теорема Безу и следствия из нее.
Если коэффициенты приведенного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, - целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.
Если целый корень 13 EMBED Equation.3 1415 подбором найден, то делим многочлен на 13 EMBED Equation.3 1415. Частное от деления – многочлен (n-1)-й степени. Аналогично ищем его корень.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим после деления многочлен второй степени. Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.
Пример1. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -6, т.е. среди чисел 13 EMBED Equation.3 1415 Подставляя эти числа в уравнение, находим корень 13 EMBED Equation.3 1415=-1. Делим данный многочлен на х+1:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0
Решаем полученное уравнение =0. Находим корень среди делителей свободного члена методом подбора. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415. Выполним деление: на х-2, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
-1-
Решая уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=0, находим, что оно не имеет
корней.
Ответ: -1; 2.
Деление может быть упрощено по правилу, которое имеет название схемы Горнера:
Уравнение, имеющее рациональные корни
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,, 13 EMBED Equation.3 1415- целые числа, сводится к уравнению, имеющему целые корни.
Умножим почленно обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415. Получим
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Если данное уравнение имело рациональные корни, то полученное имеет целые корни, которые, как и в предыдущем случае следует искать среди делителей свободного члена.
Решив полученное уравнение, возвращаемся к подстановке и находим корни данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решение. Умножим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим
5х=у,
тогда уравнение примет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Целые корни его ищем среди делителей числа 50, т. е. среди чисел
13 EMBED Equation.3 1415. Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
-2-
Пример 2. Решить систему уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, z>0, t>0.
Тогда получим равносильную систему:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, так как z>0, t>0, то и z+t>0
13 EMBED Equation.3 1415 Откуда
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя вместо z и t их значения, получаем две системы уравнений:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (8;9), 13 EMBED Equation.3 1415
-47-
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
Системы показательных и логарифмических уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Область определения: х>0, y>0.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Решив эту систему, получим решение и данной системы. (6;3), (3;6)
Ответ: (6;3), (3;6)
-46-Возвращаясь к подстановке, получим 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
Решить уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Симметрические уравнения
Симметрическим называется целое рациональное
уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415.
Симметрическое уравнение третьей степени имеет вид13 EMBED Equation.3 1415 и решается группировкой:
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Решаем совокупность уравнений:
х+1=0 и 13 EMBED Equation.3 1415.
-3-
Уравнения вида: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 где а13 EMBED Equation.3 14150, называются
симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как х=0 не является их корнем, то, разделив уравнения
на 13 EMBED Equation.3 1415, получим равносильные уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415
Замена 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
а 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляем в уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- корни уравнения,
то исходные уравнения эквивалентны совокупностям
-4-Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Решить неравенство.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Это неравенство равносильно двум системам неравенств:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; и 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решением первой системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству 13 EMBED Equation.3 1415.
Решением второй системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
-45-
4. Решение неравенств вида
13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению систем:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Пользуясь свойством логарифмической функции, получаем, что данное неравенство равносильно неравенству
13 EMBED Equation.3 1415, то есть
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решим эти неравенства. Получим, что 3
Ответ: 3
Пример 2. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Это неравенство равносильно неравенству
13 EMBED Equation.3 1415, решая которое, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415
Откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Решив данное неравенство методом интервалов, получим ответ.
-44-13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Делим все слагаемые уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415, получаем: 13 EMBED Equation.3 1415, группируем:
13 EMBED Equation.3 1415 , заменим 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, Д<0,
Решений нет на множестве R.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения Решить уравнения
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
-5-
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Возвратные уравнения
Возвратно симметрическим четвертой степени называется уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415, в котором выполняется зависимость между коэффициентами 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415 и сгруппируем первый член уравнения с пятым, второй – с четвертым:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Используя зависимость между коэффициентами уравнения, запишем его в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
Вводим вспомогательную переменную:
13 EMBED Equation.3 1415 (**)
Возводим обе части уравнения (**) в квадрат и выделяем квадрат первого и квадрат второго выражения:
13 EMBED Equation.3 1415 (***)
Подставив значения (**) и (***) в уравнение (*), получим
-6-
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
Логарифмические неравенства.
Рассмотрим основные виды логарифмических неравенств.
Решение неравенств вида 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению систем
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Решение неравенств вида 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению систем:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решение неравенств вида
13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению систем:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
-43-
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению таких систем:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Используя монотонность показательной функции, заменим данное неравенство равносильной совокупностью двух систем:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решением первой системы является неравенство х>4
Решением второй системы является неравенство 2
Ответ: х>4, 2
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
-42-уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, которое и решим. Затем возвращаемся к подстановке.
Пример1. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Убеждаемся, что уравнение возвратное:
13 EMBED Equation.3 1415- равенство выполняется. Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415. После группировки получим
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
Подставив (*) в уравнение, получим
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Возвращаемся к подстановке и получаем, что 13 EMBED Equation.3 1415 а 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1) 13 EMBED Eq
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Метод выделения полного квадрата.
Некоторые уравнения удобно решать дополнением левой части до полного квадрата суммы или разности двух выражений.
Пример 1. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ: х
·1
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Замена 13 EMBED Equation.3 1415 приводит к квадратному уравнению
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или возвращаясь к подстановке, получим 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 1415. Дополним левую часть до полного квадрата суммы, прибавив к обеим частям 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем
-8-
или 13 EMBED Equation.3 1415
Получим, что 13 EMBED Equation.3 1415 и у>6 – решения.
Возвращаемся к подстановке, тогда
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Обе части неравенства разделим на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Каждая из функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определена на множестве действительных чисел. Кроме того, обе они монотонно убывающие. Поэтому функция
13 EMBED Equation.3 1415
является монотонно убывающей.
Поскольку f(2)=0, то х=2 – единственный корень функции
f(x) и, таким образом, f(x) >0 при х<2.
Ответ: х<2.
Решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 сводится к решению двух систем:
-41-
Решение.
Запишем неравенство в виде
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415 , откуда –х-1>-2х-2, х>-1
Ответ: х>-1
Пример 2. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем данное неравенство в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415. Получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Решая неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415,
-40-
13 EMBED Equation.3 1415.
Получим 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
-9-
Однородные уравнения
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415, (*)
где 13 EMBED Equation.3 1415-натуральное число, 13 EMBED Equation.3 1415, f(x) и g(x)- некоторые функции, называется однородным относительно функций f(x) и g(x).
Делением на 13 EMBED Equation.3 1415 и заменой 13 EMBED Equation.3 1415 это уравнение сводится к уравнению вида: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Это однородное уравнение, в котором 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
-11-
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Разделим уравнение на
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, замена 13 EMBED Equation.3 1415
Приводит к квадратному уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, находим корни 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 => 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
-10-
Решение.
Запишем неравенство в виде
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415 , откуда –х-1>-2х-2, х>-1
Ответ: х>-1
Пример 2. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем данное неравенство в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415. Получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Решая неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415,
-39-
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основывается на использовании свойств монотонности показательной функции.
Неравенство вида 13 EMBED Equation.3 1415;
а) если 13 EMBED Equation.3 1415 , то неравенство выполняется при произвольном значении х ( поскольку для любого значения х 13 EMBED Equation.3 1415 );
б) если c>0, то, записав неравенство в виде 13 EMBED Equation.3 1415,
получим:
если а>1, 13 EMBED Equation.3 1415
если 0
2. Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 :
а) если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство не имеет решений;
б) если c>0 , то, записав неравенство в виде
13 EMBED Equation.3 1415 , получим:
Если а>1, 13 EMBED Equation.3 1415
Если 0
Пример 1. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
-38-
Упражнения
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, где
a
Уравнения такого вида можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения):
13 EMBED Equation.3 1415
Пример Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Перепишем уравнение в виде: 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то введем новую переменную:
-11-
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415
Подставим в уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда находим
13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. Возвращаясь к подстановке, имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Объединим сомножители: 13 EMBED Equation.3 1415 и разделим обе части на 13 EMBED Equation.3 1415. Получим:
13 EMB
·ED Equation.3 1415
Введем замену переменных, обозначив 13 EMBED Equation.3 1415, получим квадратное уравнение, из которого найдем t.
-12-
Решение.
I. 13 EMBED Equation.3 1415 и II 13 EMBED Equation.3 1415
I. 13 EMBED Equation.3 1415 II 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
-37-
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом осуществлять равносильный переход на области определения или ее части.
Пример 1. Решить неравенство.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, решением системы, а следовательно и исходного неравенства являются все числа из промежутка
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Решить неравенство.
13 EMBED Equation.3 1415
-36-
Пример. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Так как 212=3
·8, то перегруппируем сомножители
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 или
13 EMBED Equation.3 1415
Разделим на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , введем замену
13 EMBED Equation.3 1415, получим квадратное уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 =>13 EMBED Equation.3 1415 =>13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
-13-
Решение иррациональных уравнений
Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
Решение иррациональных уравнений состоит в приведении их к соответствующим рациональным уравнениям, которые являются
следствиями данных иррациональных уравнений. Одним из стандартных способов решения иррациональных уравнений есть освобождение их от корней при помощи последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.
Заметим, что когда при решении иррациональных уравнений обе его части возводятся в четную степень, возможно нарушение равносильности и появление посторонних корней, которые исключаются при помощи проверки.
Пример 1. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. I- способ
Возведем обе части уравнения в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415, откуда
13 EMBED Equation.3 1415
Снова возведем в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415,
То есть
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Делаем проверку и убеждаемся, что 13 EMBED Equation.3 1415-посторонний корень, а 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет уравнению.
Ответ: 1.
II-способ. Запишем уравнение в виде :
13 EMBED Equation.3 1415
Это уравнение равносильно системе:
-14-
17) 13 EMBED Equation.3 1415
II.Иррациональные неравенства.
Иррациональными называются неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала, причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Но необходимо помнить.
Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным преобразованием.
Если обе части неравенства на некотором множестве Х определены и имеют только положительные значения, то можно возвести обе части неравенства в квадрат или другую четную степень с сохранением знака исходного неравенства, поскольку получим неравенство, равносильное исходному на множестве Х.
Для иррациональных неравенств вида 13 EMBED Equation.3 1415
q(x)<0, возводить в четную степень обе части неравенства нельзя. Необходимо учитывать дополнительные условия.
Методы решения иррациональных неравенств.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415
-35-
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
15) 13 EMBED Equation.3 1415
16) 13 EMBED Equation.3 1415
-34-
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда
13 EMBED Equation.3 1415
Правая часть уравнения при любом значении x неотрицательна, то есть дополняем систему еще одним дополнительным условием:
13 EMBED Equation.3 1415
Или
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415
Система (*) имеет одно решение х=1, которое и является корнем уравнения.
Ответ: 1.
-15-
Пример 2 Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Уравнение такого вида решается возведением обеих частей в третью степень по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Получим 13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая, что по условию 13 EMBED Equation.3 1415, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415,
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
В некоторых случаях целесообразно заменить иррациональное уравнение равносильной рациональной системой при помощи введения нескольких вспомогательных неизвестных.
Пример 3. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Сложим почленно левые и правые части этих уравнений и введем их в условие уравнения. Получим систему уравнений, которую решаем:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Решив второе уравнение системы, найдем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 и, возвращаясь к подстановке, получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1;2;10.
-16-
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решаем эти системы неравенств:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Решений нет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения.
-33-
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 или системе неравенств
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Данная система равносильна системе :
13 EMBED Equation.3 1415
Решаем полученную систему методом интервалов.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем:
-32-
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
15) 13 EMBED Equation.3 1415
16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) 13 EMBED Equation.3 1415
18) 13 EMBED Equation.3 1415
19) 13 EMBED Equation.3 1415
20) 13 EMBED Equation.3 1415
21) 13 EMBED Equation.3 1415
22) 13 EMBED Equation.3 1415
-17-
Показательные уравнения
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что при 13 EMBED Equation.3 1415это13 EMBED Equation.3 1415 уравнение корней не имеет ( в области действительных чисел), поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 для всех действительных значений х.
I. Решением уравнения вида
13 EMBED Equation.3 1415( по определению степени с нулевым
показателем ) будет f(x)=0
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. По определению степени с нулевым показателем имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 откуда
13 EMBED Equation.3 1415, решая полученное уравнение, получим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем данное уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно данному.
Решая полученное уравнение, находим х=10.
Ответ: 10.
Пример 3. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Прологарифмировав обе части уравнения, получим
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
-18-
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
Неравенства
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются с помощью определения модуля.
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415, неравенство решений не имеет;
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то данное неравенство эквивалентно неравенству 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415
а) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то неравенство равносильно совокупности неравенств 13 EMBED Equation.3 1415
б) Если 13 EMBED Equation.3 1415, то решением неравенства будет область определения функции f(x).
Пример 1. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
-31-
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. решений нет.
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем уравнение в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение будет иметь решение при 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Кроме того, левая часть уравнения является четной функцией, то есть если
х является корнем уравнения, то и –х тоже его корень.
Таким образом, достаточно найти корни данного уравнения на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, а если они есть, то к ним следует добавить корни, противоположные по знаку найденным. На данном промежутке имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Это уравнение решений не имеет.
Ответ: нет решений.
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
-30-
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415
II.Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415постоянные величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.
Пример 4. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, отсюда х=1
Ответ: 1.
Пример5. Решить уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Разделив обе части на 12, имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
III. Уравнения вида
-19-
13 EMBED Equation.3 1415 при помощи подстановки 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 сводятся к квадратному уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
Решив это уравнение, найдем корни 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. После этого решение исходного уравнения сводится к решению. Таких двух уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 6. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Запишем уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 1415
И обозначим
13 EMBED Equation.3 1415
Получим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, имеющее корни
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй корень не удовлетворяет заданному условию. Таким образом, исходное уравнение в области допустимых значений неизвестного равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, а последнее уравнение равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
Возведя обе части в квадрат, найдем х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появится посторонние корни, проверка необходима именно на этом этапе. Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х= - 0,25 удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -0,25.
-20-
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Найдем критические точки.
х+5=0 х-3=0
х=-5 х=3
Тогда числовая ось разбивается на три интервала:
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415
-х-5+х-3=8
-8=8
Уравнение решений не имеет.
2) Если 13 EMBED Equation.3 1415
х+5+х-3=8
2х=6
х=3 13 EMBED Equation.3 1415
3)Если 13 EMBED Equation.3 1415
х+5-х+3=8
8=8
Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Запишем уравнение в виде:
13 EMBED Equation.3 1415.
Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение может иметь действительные корни, если 13 EMBED Equation.3 1415, то есть при 13 EMBED Equation.3 1415.
А на этом промежутке выражения, записанные в каждом из модулей, положительны.
Уравнение равносильно системе:
-29-
19) 13 EMBED Equation.3 1415
20) 13 EMBED Equation.3 1415
21) 13 EMBED Equation.3 1415
22) 13 EMBED Equation.3 1415
23) 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.
13 EMBED Equation.3 1415
На практике это делается так:
находят критические точки, то есть значения переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль;
разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
на каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.
Совокупность решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 1. Решить уравнение.
-28-
IV. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415, легко сводится к предыдущим уравнениям делением обеих частей на 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда получим
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначив 13 EMBED Equation.3 1415, имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Решив уравнение, найдем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, после чего возвращаемся к подстановке:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7. Решить уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то данное уравнение равносильно уравнению 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, приходим к квадратному уравнению
13 EMBED Equation.3 1415.
Его корни 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Решая уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим в первом случае х=0, а во втором 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
-21-
2х=1, или 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 0; 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
-22-
Упражнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415
8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415
11) 13 EMBED Equation.3 1415
12) 13 EMBED Equation.3 1415
13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415
15) 13 EMBED Equation.3 1415
16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) 13 EMBED Equation.3 1415
18) 13 EMBED Equation.3 1415
-27-
Решив это уравнение, найдем, что 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Получим 13 EMBED Equation.3 1415. Все эти значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, х=64
Проверка. Если х=64, то 13 EMBED Equation.3 1415, 0=0
Ответ: 64.
Иногда при решении логарифмических уравнений используется формула: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 8. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. ОДЗ: х>0
На этом множестве 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому данное уравнение равносильно уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, х=625.
Ответ: 625.
-26-
15) 13 EMBED Equation.3 1415
16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) 13 EMBED Equation.3 1415
18) 13 EMBED Equation.3 1415
Логарифмические уравнения
Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.
Способы решения
Решение уравнений, основанное на определении логарифма
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, х-1=3, х=4.
Проверка подтверждает правильность полученного результата.
Ответ: 4.
Решение уравнений потенцированием.
Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=> (х=-1)
Ответ: -1.
Решение уравнений логарифмированием
Пример 3 Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
-23-
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Возвращаемся к подстановке, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 х=100
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 ; 100.
Применение основного логарифмического тождества
Пример 4. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Согласно основному логарифмическому тождеству
13 EMBED Equation.3 1415, при х>0. Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415 и по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 => х=3
Ответ: 3.
Замена переменной.
Пример 5. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. ОДЗ: х>0.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Находим корни
-24-
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем, что х=10 и х=100.
Ответ: 10; 100.
Переход к новому основанию
Пример 6. Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
Приводим все логарифмы к основанию 2, применяя формулу перехода к новому основанию:
13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Введем подстановку
13 EMBED Equation.3 1415, тогда уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415. Где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-25-
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native