Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло
План урока
Учебная дисциплина МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
Тема урока Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло.
Цели урока
Научить оценивать надежность простейших систем методом Монте-Карло.
Научить оценивать надежность СМО с отказами методом Монте-Карло
Развитие качества ума, внимания, умений учебного труда студентов.
Воспитание дисциплинированности, целеустремленности студентов.
Оснащение урока конспект лекций, В.П.Агальцов «Математические методы в программировании», В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики»
Ход урока:
Организационный момент:
проверка отсутствующих, заполнение журнала.
Актуализация опорных знаний: ответы на контрольные вопросы:
В чем заключается суть имитационного моделирования?
В чем заключаются достоинства и недостатки такого типа моделирования?
Как применяется метод Монте-Карло? Приведите пример такой задачи.
Какие способы получения случайных величин Вы знаете?
Что такое псевдослучайные числа? Расскажите о двух основных способах их получения.
ответы на контрольные вопросы «Понятие СМО»:
Какие виды СМО Вы знаете?
Приведите примеры на каждый вид СМО.
Изучение нового материала:
Тема лекции: «Решение различных практических задач имитационного моделирования с применением математических методов. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло»
План лекции:
Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло.
Расчет СМО с отказами методом Монте-Карло.
1. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло
Пример: Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система оказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента: А, В (они соединены параллельно) и оказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй содержит один элемент С и отказывает при отказе этого элемента.
а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности (вероятности безотказной работы) системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р (А)=0,8, Р (В)=0,85, Р (С)=0,6; б) найти абсолютную погрешность (Р-Р* (, где Р- надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний.
Решение. а) Выбираем из таблицы приложения (равномерно распределенные числа) три случайных числа: 0,10, 0,09 и 0,73; по правилу *) (если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не наступило) разыграем события А, В, С, состоящие в безотказной работе соответственно элементов А, В, С. Результаты испытания будем записывать в расчетную таблицу .
Поскольку Р (А)=0,8 и 0,10 <0,8, то событие наступило, т.е. элемент А в этом испытании работает безотказно. Так как Р (В)=0,85 и 0,09< 0,85, то событие В наступило, т.е. элемент В работает безотказно.
Таким образом, оба элемента первого блока работают; следовательно, работает и сам первый блок. В соответствующих клетках табл. ставим знак плюс.
Таблица
Номер
испытания
Блок
Случайные числа,
моделирующие элементы
Заключение о работе
элементов
блоков
системы
А
В
С
А
В
С
1
Первый
Второй
0,10
0,09
0,73
+
+
-
+
-
-
2
Первый
Второй
0,25
0,33
0,76
+
+
-
+
-
-
3
Первый
Второй
0,52
0,01
0,35
+
+
+
+
+
+
4
Первый
Второй
0,86
0,34
0,67
-
+
-
+
-
-
Так как Р (С)=0,6 и 0,73< 0,6, то событие С не наступило, т.е. элемент с получает отказ; Другими словами, второй блок, а значит и вся система, получают отказ. В соответствующих клетках табл. 57 ставим минус.
Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. приведены результаты четырех испытаний.
Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности Р примем относительную частоту Р * =28/50=0,56.
б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно равны:
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность безотказной работы системы
P=P1*P2=0,97*0,6=0,582
Искомая абсолютная погрешность (Р-Р*(=0,5
·82-0,56=0,022.
2. Расчет СМО с отказами методом Монте-Карло
Пример: В трехканальную систему массового обслуживания с отказом поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону f(()=5e-5( . Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Найти методом Монте-Карло математическое ожидание а числа обслуженных заявок за время Т=4 мин.
Решение:
Пусть Т1=0- момент поступления первой заявки. Заявка поступит в первый канал и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания первой заявки Т1+0,5=0+0,5=0,5. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.
Моменты поступления последующих заявок найдем по формуле
Т(= Т(-1+ (( ,
где (( - длительность времени между двумя последовательными заявками с номерами (-1 и (.
Возможные (( = - (1/() ln ri = = (1/()(- ln ri ).
Учитывая, что, по условию, (=5, получим (( =0,2 (- ln ri ).
Случайные числа ri берем из таблицы приложения, начиная с первой строки сверху. Для нахождения времени между поступлениями первой и второй заявок возьмем случайное число r=0,10.
Тогда (2=0,2*(-ln 0,10)=0,2*2,30=0,460. Первая заявка поступила в момент T1=0.
Следовательно, вторая заявка поступила в момент T2= T1+0,4600+0,460=0,460. В этот момент первый канал еще занят обслуживанием первой заявки, поэтому вторая заявка поступит во второй и будет им обслужена. Момент окончания обслуживания второй заявки T2+05=0,460+0.5=0.960 . В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.
По очередному случайному числу r=0.09 разыграем время (3 между поступлениями второй и третьей заявок:
(3=0,2(-ln 0,09)=0,2*2,41=0,482.
Вторая заявка поступила в момент T2= 0,460 . Поэтому третья заявка поступила в момент T3= T2+0,482=0,460+0,482=0,942. В этот момент первый канал уже свободен и третья заявка поступит в первый канал. Момент окончания обслуживания третьей заявки
T3+0,5=0,942+0,5=1,442.В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.
Дальнейший расчет производят аналогично (табл. 59), причем если момент поступления заявки все каналы заняты (момент поступления заявки меньше каждого из моментов окончания обслуживания), то в счетчик отказов добавляют единицу.
Заметим, что обслуживание 20-й заявки закончится в момент 4 148,>4, поэтому эта заявка получает отказ.
Испытание прекращают (в таблице записывают «стоп»), если момент поступления заявки T>4.
Таблица
номер заявки
i
Случайное числоri
-ln ri
Время между двумя последовательными заявками
(i=0,2(-ln ri)
Момент поступления заявки
Ti= Ti-1+(i
Момент
Ti+0,5
окончания обслуживания заявки каналом
Счетчик
1
2
3
Обслуженных заявок
отказов
1
0
0,500
1
2
0,10
2,30
0,460
0,460
0,960
1
3
0,09
2,41
0,482
0,942
1,442
1
4
0,73
0,32
0,064
1,006
1,506
1
5
0,25
1,39
0,278
1,284
1,784
1
6
0,33
1,11
0,222
1,506
2,006
1
7
0,76
0,27
0,054
1,560
2,060
1
8
0,52
0,65
0,130
1,690
1
9
0,01
4,60
0,920
2,610
3,110
1
10
0,35
1,05
0,210
2,820
3,320
1
11
0,86
0,15
0,030
2,850
3,350
1
12
0,34
1,08
0,216
3,066
1
13
0,67
0,40
0,080
3,146
3,646
1
14
0,35
1,05
0,210
3,356
3,856
1
15
0,48
0,73
0,146
3,502
4,002
1
16
0,76
0,27
0,054
3,556
1
17
0,80
0,22
0,044
3,600
1
18
0,95
0,05
0,010
3,610
1
19
0,90
00,10
0,020
3,630
1
20
0,91
0,09
0,018
3,648
4,148
1
21
0,17
1,77
0,354
4,002
(стоп)
итого
Х1=12
8
Из таблицы находим, что за 4 мин всего поступило 20 заявок; обслужено x1=12.
Выполним аналогично еще пять испытаний, получим x2=15, x3=14, x4=12, x5=13, x6=15.
В качестве оценки искомого математического ожидания а числа обслуженных заявок примем выборочную среднюю
a *=13 EMBED Equation.3 1415=(2*12+13+14+2*15)/6=13,5.
5.Подведение итогов урока: выводы, оценки, домашнее задание:
подготовиться к практическому занятию
Ср17: нахождение финальных вероятностей
Подпись преподавателя
Root Entry