Мастер — класс «Единый государственный экзамен по математике и реальный уровень математического образования школьников (из опыта работы)»

Управление образования администрации Белгородского района
МАСТЕР-КЛАСС
«Единый государственный экзамен по математике и реальный уровень математического образования школьников (из опыта работы)»
Урок одной задачи



Подготовила:
Шукшина Людмила Серафимовна,
учитель математики
МОУ «Майская гимназия Белгородского района, Белгородской области»

2011 г.
МАСТЕР-КЛАСС
«Единый государственный экзамен по математике и реальный уровень математического образования школьников (из опыта работы)»
Урок одной задачи
(слайд 1)
«Плохой учитель преподносит истину, хороший учитель учит ее находить»
Адольф Дистерверг
Цель обучения ребенка состоит в том, чтобы сделать его способным, развиваться дальше без помощи учителя
(слайд 2)
Цель проведения мастер - класса: передать свой опыт работы по подготовке к Единому Государственному Экзамену по математике слушателям путем прямого и комментированного показа приёмов работы.
Оборудование: компьютер, презентация, раздаточный материал.
(слайд 3)
ПРЕЗЕНТАЦИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОПЫТА
(слайд 4)
Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего его мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Ведь одного желания, как правило, не достаточно для успешного решения поисковых или исследовательских задач. Эффективность исследовательской деятельности зависит от меры увлеченности ученика этой деятельностью и от умения ее выполнять. Представляется необычайно полезным прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности.
При подготовке к ЕГЭ, ГИА использую следующее:
- при решении задач из раздела В учу учащихся применять «метод тыка».
Мы привыкли учить школьника решать задачу, а нужно учить школьника подбирать наиболее разумный ответ или тренироваться в его угадывании. Именно такой подход позволяет получить наибольшее количество баллов. В.В. Гузеев пишет по этому поводу: «Наш юный соотечественник прочтет задачу, решит ее, а затем станет искать среди приведенных ответов совпадающий с его собственным; если такового не найдется, он станет заново решать задачу. Этот подход к решению задачи явно не в пользу ученика, когда время на работу с каждым заданием теста исчисляется секундами».
-психологическая подготовка к ЕГЭ, ГИА.
Итак, первое, что я советую начать делать: прекратить пугать учеников предстоящим ЕГЭ, ГИА и начать формировать в них твёрдое убеждение в том, что если очень постараться, то можно получить вполне приличный балл. Конечно, не следует
«перегибать палку» и внушать школьникам что ЕГЭ – это легко и просто. Можно школьникам задать прямой вопрос: «Какой балл каждый из вас хочет получить на ЕГЭ?». Таким образом, сразу определяется планируемый результат обучения. Важно, чтобы школьник сам его честно сформулировал для себя. Этот разговор даёт возможность учитывать «актуальный потолок» обучаемого. Это не значит, что следует его занижать, или что этот «потолок» неизменен и, однажды его, наметив, на него следует постоянно ориентироваться. Я всегда ставлю себе опережающую цель: дать «на выходе» результат на порядок выше, чем это определено самим школьником в предварительной беседе.
-техническая подготовка к ЕГЭ, ГИА.
Самое важное: чем меньше и короче ученик делает записи, тем выше будет его результат, поскольку больше времени останется на работу с самим заданием. При выполнении теста ЕГЭ, ГИА привычка все правильно оформлять является очень вредной. Но в разделе С нужны оформления. Конечно! Но какая часть учащихся будет «сражаться» с разделом С в полном объеме?» Не более 10%. Вот с этими школьниками резонно проводить индивидуальные занятия, действительно углубленного характера. Это не означает, что в процессе подготовки к ЕГЭ, ГИА в классе не нужно обращаться к задачам раздела С. Одно - два задания этого раздела вполне посильны даже не самым математически талантливым детям.
-методическая подготовка к ЕГЭ, ГИА.
Часто учителя, репетиторы и родители, помогающие своим детям подготовиться к ЕГЭ, пытаются прорешать как можно больше вариантов предыдущих лет. Опыт показывает, что такой путь неперспективен. Во-первых, варианты не повторяются. Во-вторых, у школьников не формируется устойчивый общий способ деятельности с заданиями соответствующих видов. В-третьих, у школьника появляется чувство растерянности и полной безнадежности: заданий так много и все они такие разные. Иными словами, уже через неделю школьник не может вспомнить, как он решал это задание. Причем нетвердо владеющий общими способами деятельности с материалом школьник пытается именно вспомнить соответствующее решение, а не применять общий подход к заданиям такого типа. Поэтому намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению задач.
Сформулируем принципы построения методической подготовки к ЕГЭ, ГИА.
- тематический. Разумнее выстраивать такую подготовку, соблюдая «правило спирали» - от простых типовых заданий до заданий со звездочками, от комплексных типовых заданий до заданий раздела С.
-на этапе подготовки тематический тест должен быть выстроен в виде логически взаимосвязанной системы, где из одного пункта вытекает другое, то есть выполненный сегодня тест готовит к пониманию и правильному выполнению завтрашнего.
-переход к комплексным тестам разумен только в конце подготовки ( апрель-май), когда у школьников накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт в их применении на заданиях любой степени сложности.
-все тренировочные тесты следует проводить с жестким ограничением времени
-максимальная нагрузка (по содержанию и по времени) для всех школьников в равной мере.
-в шутливой форме звучит так «Нормальные герои всегда идут в обход!». Смысл этого принципа в следующем: нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» получения ответа наиболее простым и быстрым способом.
Надеюсь, что приведенные размышления о технологии подготовки к ЕГЭ, ГИА по математике помогут коллегам, которые в этом году впервые выводят своих учеников на это испытание.
Ведущая педагогическая идея опыта
(слайд 5)
Ведущей идеей опыта является создание максимально благоприятных условий для формирования базовых научных знаний школьников по математике, развитие их индивидуальных способностей в учебной и внеурочной деятельности. Акцент переносится на воспитание подлинно свободной личности, формирование у школьников способности самостоятельно мыслить, добывать и применять знания, тщательно обдумывать принимаемые решения и четко планировать действия, эффективно сотрудничать в разнообразных по составу и профилю группах.
Длительность работы над опытом
(слайд 6)
Разработка продолжалась в течение 5 лет, уточняя и корректируя отдельные моменты, тщательно изучая динамику формирования базовых научных знаний по математике, роста качества знаний учащихся, разработана система уроков и внеклассных мероприятий, направленных на формирование качества знаний учащихся по ЕГЭ, ГИА.
Теоретическая база
(слайд 7)
Согласно современным психологическим представлениям, восходящим к Ж.Пиаже, структура математического мышления представляет собой пять пересекающихся подструктур, или кластеров. В зависимости от индивидуальных особенностей человека любая из них может занимать место преобладающей.
Первая, назовем ее топологической, помогает оперировать такими характеристиками, как непрерывно - разрывно, связно — несвязно, принадлежит — не принадлежит, внутри — вне, порознь — вместе. Школьники, у которых преобладает эта подструктура математического мышления, не любят торопиться. Каждое действие они осуществляют очень подробно, стараясь не пропустить в нем ни одного звена. Это тонкие аналитики. Они все проверят, не пропустят ошибок, их скрупулезность, а отсюда и медлительность порой вызывает раздражение у окружающих.
Те, у кого преобладает проективная подструктура, предпочитают изучать любой математический объект с различных точек зрения и искать и находить различные применения и возможности использования предмета в практике, его бытовое назначение и применение, уподоблять его известным объектам. Эти дети любят планировать, они не сделают первого шага, если не видят следующего. Они поражают нас широтой своего математического мышления, способностью отыскивать и предлагать совершенно неожиданные подходы и аспекты решения.
Сравнивать и оценивать в общем качественном виде (равно — не равно, больше — меньше, ближе - дальше, выше — ниже и т.д.) предпочитают те, у кого доминирующей является порядковая подструктура. Им очень важны форма объектов, их соотношение, направление движения. Эти юные педанты не позволят нарушить или пропустить ни одного условия. Действуют они логично, по порядку. Работа по алгоритму для них — любимое занятие.
Учащиеся с доминирующей метрической подструктурой акцентируют свое внимание на количественных характеристиках, они как бы заворожены числом. Главный вопрос для них - «сколько?». Они всегда выясняют, какова длина отрезка, площадь фигуры и т.д. Им трудно понять, что ответ может не иметь числового значения, они испытывают дискомфорт, если их принуждают к решению задач в общем виде. Гораздо приятнее для них решать задачу по действиям, результатом каждого из которых является число, нежели искать принцип решения, его идею в общем абстрактном нечисловом виде.
Наконец, учащиеся с доминирующей алгебраической подструктурой постоянно стремятся к всевозможным комбинациям и манипуляциям, вычленению частей и их сбору в единое целое, к сокращению и замене нескольких преобразований одним. Это те самые «торопыги», которые в противоположность «топологам» не хотят подробно записывать, объяснять все шаги решения или обосновывать собственные действия. Эти «великие комбинаторы» думают и делают быстро, способны фонтанировать идеи, предположения и гипотезы решения, но при этом часто и ошибаются'.
Доминантная подструктура математического мышления проявляет себя во всех математических действиях, и в зависимости от нее каждый ученик выбирает свой индивидуальный метод решения. Понятно, что далеко не всем учащимся в будущем придется пользоваться логарифмами, составлять уравнения плоскости или сферы, а способность логически рассуждать или доказательно убеждать потребуется каждому. И делать это будет каждый человек не по общей схеме, а в индивидуальной, присущей лично ему манере. Поэтому, подбирая задачи или упражнения к уроку, необходимо наряду с обучающей целью одновременно задаться и вопросом о том, каким образом каждый ученик будет конструировать свои рассуждения.
Как показывает опыт, эффективно решать эти проблемы удается на специальных уроках, которые называются уроками одной задачи. Эти уроки интересны тем, что от учащихся не требуется общего, одинакового для всех решения. Каждый может решить задачу тем способом, который ему понятнее. А зависит этот способ от доминантной подструктуры математического мышления школьника. В соответствии с ней и помощь учителя, его подсказки разным учащимся должны быть различными. В этом случае они будут услышаны, восприняты и приняты. В противном случае объяснение педагога может оказаться бесполезным, ибо, как
утверждал знаменитый И.В.Гете, «каждый слышит только то, что он понимает». А понимает человек тогда, когда усваивает математические знания или открывает решение в рамках своего кластера, своей доминантной подструктуры мышления.
Психологические исследования показывают, что овладеть иным (не адекватным для него) способом рассуждения человек может лишь после того, как предварительно овладел своим «родным» (адекватным его кластеру) методом решения проблемы. Отсюда нетрудно сделать вывод о том, что каждую задачу ученик должен сначала решить своим индивидуальным способом и лишь после этого пытаться понять иные методы рассуждений.
Тригонометрия объективно труднее для всех школьников со всех точек зрения. В тригонометрии нужно каждый раз искать новый, оригинальный подход. Покажем сказанное на примере урока одной задачи (Урок одного тригонометрического уравнения, XI класс, повторение способов решения тригонометрических уравнений при подготовке к ЕГЭ)
ПРОВЕДЕНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ ИГРЫ
(слайд 8)
Сейчас я предлагаю Вам на практике увидеть предложенную мной методику проведения урока одной задачи.
Основная форма организации исследовательской деятельности учащихся на уроке – групповая работа
(слайд 9)
Фронтальное исследование
(слайд 10)

Каким методом решить данные уравнения:
Теоретические сведения
(слайд 11)
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида  .
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:
 или 
 или 


Решить уравнения:
(слайд 12)
sin  x  – 2 cos  x  = 0. (однородное)
sin 2   x  – 6 sin  x  cos  x  + 5 cos 2   x  = 1. (сведение к однородному)
tg 2 x  – 6 tg  x  + 5 = 0 (замена переменной, сведение к квадартному)
 cos 2 x + sin x · cos x = 1 (разложение на множители)
;  (преобразование сумм тригонометрических функций в произведение)
cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1 (группировка)
 3 sin x – 5 cos x = 7.  (введение половинного аргумента)
√3 sin3x-cos3x=1 (введение нового аргумента QUOTE )
2 sin x · sin 3x = cos 4x. (преобразование произведения в сумму)
(применение формул понижения степени)
( замена )
КАРТА ИССЛЕДОВАНИЯ
(слайд 13)
1.Распределите роли:
-секретарь (запись результатов);
-мыслители (выдвижение идей);
-докладчик (отчет о результатах работы);
2. Поэкспериментируй!
«Уж лучше совсем не помышлять об отыскании, каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода»
Рене Декарт

(слайд 14)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ГРУПП
(слайд 15)
I группа (Решить данное уравнение сведением к однородному уравнению второй степени).
Решить уравнение: sin x+ сos x = 1
Подсказка: Выразить sin x , cos x и 1 через функции половинного аргумента.
Решение:
2sin QUOTE *cos QUOTE +cos2 QUOTE -sin2 QUOTE = sin2 QUOTE + cos2 QUOTE
2sin QUOTE *cos QUOTE - 2sin2 QUOTE =0 | : 2cos2 QUOTE
tg QUOTE -tg2 QUOTE = 0
tg QUOTE (1- tg QUOTE )=0
tg QUOTE =0 или 1- tg QUOTE =0
QUOTE или QUOTE
x= 2 QUOTE или x= QUOTE Ответ: x= 2 QUOTE или x= QUOTE
Поэкспеременитруй! (реши уравнение 3 sin x – 5 cos x = 7 данным способом)
II группа: (Решить данное уравнение способом введения вспомогательного аргумента)
Решить уравнение: sin x+ сos x = 1
Подсказка:
- разделить обе части уравнения на QUOTE ;
-ввести вспомогательный аргумент QUOTE .
Решение:
sinx+cosx=1 | :
sinx +cosx = QUOTE
cos QUOTE * sinx +sin QUOTE QUOTE =
sin(x + QUOTE ) = QUOTE
x+ QUOTE = (-1)k QUOTE + πk, k QUOTE
x= - QUOTE + (-1)k QUOTE + πk, k QUOTE
Ответ: - QUOTE + (-1)k QUOTE + πk, k QUOTE
Поэксперементируй ! ( реши уравнение 3 sin x – 5 cos x = 7 данным способом)
III группа (Реши данное уравнение способом преобразования суммы в произведение)
Решить уравнение: sin x+ сos x = 1
Подсказка:
-выразить cosx через sin( QUOTE
Решение:
Sinx + sin( QUOTE =1
2sin QUOTE
2sin QUOTE
QUOTE cos QUOTE =1 QUOTE
x=
Ответ: x=
Поэксперементируй ! (реши уравнение 3 sin x – 5 cos x = 7 данным способом)
IV группа (Реши данное уравнение разложением на множители).  
 
Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
 
Подсказка:
-  перенести все члены уравнения влево;
- выразить cosx-1 через 2sin2 QUOTE
Решение:
  sin x + cos x – 1 = 0
 
   
Ответ: x=2 QUOTE
Поэксперементируй! (реши уравнение 3 sin x – 5 cos
x = 7 данным способом)
V группа (Реши данное уравнение возведением в квадрат обеих частей уравнения)
Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
 
Подсказка:
-возвести обе части в уравнения в квадрат
Решение:



X=πk, QUOTE или x= QUOTE
Этот способ требует отбора корней. Из серии чисел x=πk решением будет серия x=2 πk, а серия x=π+2 πn, n QUOTE посторонний корень.
Ответ: X=2πk, k, x= QUOTE
Поэксперементируй! (реши уравнение 3 sin x – 5 cos x = 7 данным способом)
Слово предоставляется каждой группе (каждая группа представляет свой способ решения и докладывает результат эксперемента)
(слайд 16)
Оценка методов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1
(слайд 17)
Вопрос 1 (всему классу) «Какой способ решения лучше?»
_ Сведение к однородному уравнению второй степени, введение вспомогательного аргумента, преобразование суммы в произведение, разложение на множители, являются наиболее эффективными методами решения уравнения. Алгоритмы их реализации отличаются четкостью, способ сведения к однородному уравнению второй степени может быть применен при любых значениях коэффициентов asix+bcosx=c.Важно, что они основываются на равносильных преобразованиях, что делает ненужной проверку корней. Самый короткий и красивый путь-введение вспомогательного аргумента (уравнение asinx+bcosx=c этим способом решается ни при любых а,в,с ). Возведение в квадрат обоих частей уравнения связано с «отсеиванием» посторонних корней, попробовав решить любое из уравнений типа asinx + bsin x=c таким способом вряд ли еще когда-либо захочется воспользоваться им: на этапе проверки возникают достаточно серьезные проблемы.
Вопрос 2 (всему классу) «Какие еще существуют способы решения данного уравнения?»
-применение универсальной подстановки
(слайд 18)

В чем недостаток этого способа?
Этот метод имеет существенный недостаток, вязанный с тем, что указанные формулы не являются абсолютными тождествами: левые части определяются при любых действительных x, а правые - при , QUOTE .
Их формальное применение приводит к потере корней, поэтому использование формул универсальной подстановки должно предполагать дополнительную проверку множества значений х, на которую сузилась область определения неизвестной. Уравнение (asix+bcosx=c можно решить этим способом при любых а,в,с).
-применение формулы sinx+cosx= QUOTE sin (x+ QUOTE
(слайд 19)
В чем недостаток этого способа?
Недостаток способа заключается в том, что эта формула встречается редко, и учащиеся чаще всего ее не запоминают.
-замена cosx= QUOTE
(слайд 20)
В чем недостаток этого способа?
Недостаток способа заключается в том, что после осуществления замены, уравнение значительно усложнилось.
-введение вспомогательного угла (asinx+bcosx=c)
sinα= QUOTE cosα= QUOTE
(слайд 21)
Домашнее задание : решить уравнения sinx+cosx=1 и 3 sin x – 5 cos x = 7 указанными выше способами.
(слайд 22)
МОДЕЛИРОВАНИЕ
(слайд 23)

Уважаемые коллеги, я предлагаю вам смоделировать урок одной задачи:
Решить иррациональное неравенство QUOTE
(I способ – равносильные преобразования;
II способ – метод интервалов;
III способ – графический способ)
или
2. Решить задачу
Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час , поезд на перегоне в 720км увеличил скорость , с которой должен был идти по расписанию , на 10 км/ч.Какова скорость поезда по расписанию?
(I способ – составление уравнения;
II способ – составление системы уравнений;
III способ – геометрическое решение
IV способ- аналитический (арифметический)
РЕФЛЕКСИЯ
(слайд 24)
- Сначала мы рассуждали…
- Потом мы…
- Затем мы наблюдали( сравнивали, делали)…
- Мы увидели…
- Значит…
- Теперь мы будем …
Я уверена, что все Вы замечательные педагоги. Вы умеете вовлекать своих учеников в исследовательскую деятельность, используя при этом такие методы и приемы, которые взывают интерес к математике и позволяют успешно сдавать ЕГЭ. ГИА.
(слайд 24)
Спасибо за внимание! (слайд 25)